จดทำำโดย 

นำงสำว สรรตน  ตนสกลรหสประจำำตว  43040989

  

อำจำรยทปรกษำอำจำรย กรรณกำ คงสำคร

 

เสนอ

อำจำรย พชร เลศวจตรศลป

เมอเรำเรยนพชคณตเชงเสน (linear algebra) เรำมกจะพบเอกลกษณทเรยกวำ Vandermonde determinant ในรป

23

22

21

321

xxx

xxx

111

det )xx)(xx)(xx( 231312 −−−

=Vandermonde Matrix

⇒ Vandermonde Matrix

23

22

21

321

xxx

xxx

111

ตวอยำง

⇒ det                                = (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) = 2

1694

432

111

⇒ det                                   = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2)) (-2-(-4))(-2-(-3))(-3-(-4))

= (3)(2)(1)(2)(1)(1) = 12

−−−−

−−−−

182764

14916

1234

1111

ในกรณทวไปนยำมเมทรกซทเรยก Vandermonde matrix เปน

−

=

1nn

x... 1-n

3 x

1-n2

x1-n

1 x

.

n

x... 3

x2

x1

x

1 ... 1 1 1

)x,...,x,(x V n21

… (1)

∏≤<≤

−=nji1

ijn1 )xx()x,...,x(Vdet

เมอ n เปนจำำนวนเตมบวกและ n 2≥…(2)

พสจน

กรณ n = 2 เหนไดชดเจนวำ 

….(3)

( ) ( )1221

21 xxxx

11x,xVdet −==

สมมตให 

∏≤<≤

−=kji1

ijk1 )xx()x,...,x(Vdet

 เมอ k เปนจำำนวนเตมบวกใด ๆ  ตองกำร

แสดงวำ  ∏

+≤<≤

−=1kji1

ij )xx(det V (x1,…xk,xk+1) เปนจรง

เปนจรง

det V (x,…xk,xk+1) = det

+

−+

−−−−

+

+

k1k

kk

k3

k2

k

1k1k

1kk

1k3

1k2

1k

21k

2k

23

22

21kk32

xx...xxx

xx...xxx

.....

.....

.....

xx...xxx

xx...xxx

11...111พจำรณำ

…(4)

    เมอกระจำยตำมหลกท  1 คำของ  det V(x,…,xk,xk+1) จะเปนพหนำมดกร k ใน x และถำแทน x ดวย   จะเหนวำ  คำของตวกำำหนด (determinant) เปนศนย

1k32 x,...,x,x +

   ดงนนสำมำรถ เขยนไดวำ det V(x,…,xk,xk+1) = A(x-x2) (x-x3)…(x-xk) (x-xk+1) ….(5)

เมอ A เปนคำคงท จำก (5) จะเหนวำ A เปนสมประสทธของ xk ดงนนจำก (4) ไดวำ 

1k1k

1kk

1k3

1k2

1kk32

k

xx...xx

....

....

....

xx...xx

11...11

)1(

−+

−−−

+

−A =

k)1(−= det V(x2,…,xk+1)

= (-1)k ∏+≤<≤

−1kji2

ij )xx(

สรปวำ detV= )x,x,...,x( 1kk1 +

(x-x2)(x-x3)…(x-xk)(x-xk+1)

−− ∏

+≤<≤ 1kji2ij

k )xx()1(=

เมอแทน x ดวย x1

det V (x1,…xk,xk+1) = (x1-x2) (x1-x3)…(x1-xk) (x1-xk+1)

−− ∏

+≤<≤ 1kji2ij

k )xx()1(

−∏

+≤<≤ 1kji2ij )xx( )xx)(xx)...(xx)(xx( 11k1k1312 −−−− +

∏+≤<≤

−1kji2

ij )xx(=

=

      โดยหลกกำรอปนยทำงคณตศำสตร ไดวำ (2) เปนจรงทก ๆ  n ทเปนสมำชกของจำำนวนเตมบวกใด ๆ 

เรำมกจะพบ Vandermonde matrix ในปญหำดงตอไปน

1. กำรสรำงพหนำมคำสอดแทรก (polynomial interpolation)

2. ปญหำคำเรมตนของสมกำรเชงอนพนธ (differential equation initial value problem) และ 

3. กำรสรำงลำำดบโดยกำำหนดจำกควำมสมพนธเวยนบงเกด (recursively defined sequences) ในทนจะกลำวถงเพยงปญหำทง 3 อยำงทกลำวไว

แลว ขำงตน และบทบำทของ Vandermonde matrix และเพอไมใหเกดควำมสบสน  จะเขยน V แทน V

)x,...,x,x( n21

1. 1. พหนำมคำสอดแทรกพหนำมคำสอดแทรก  (Polynomial (Polynomial interpolation)interpolation)กำำหนดใหพหนำมดกร n-1 ผำนจด (x1, y1),

(x2,y2),….,(xn,yn) ตำงกน n จด เขยนในรปq(x) = ….(6)

1n1n10 xc...xcc −

−+++

สมประสทธ ci หำไดจำกระบบสมกำร q(xj) = yj ; j = 1, 2 ,…,n

เมอแทนคำ j = 1, 2,…,n ในพหนำม q(x) จะไดระบบสมกำรดงน

1n11n

212110 xc...xcxcc −

−++++1n

21n222210 xc...xcxcc −

−++++

1nn1n

2n2n10 xc...xcxcc −

−++++

......

= yn

= y1

= y2

…(7)

จำกระบบสมกำร สำมำรถนำำมำเขยนในรปเมทรกซ  ดงน

−

−

−

1nn

2nn

1n2

222

1n1

211

x...xx1

....

....

....

x...xx1

x...xx1

−1n

1

0

c

.

.

.

c

c

=

n

2

1

y

.

.

.

y

y

… (8)

สงเกตวำ เมทรกซ สมประสทธ จะเปนตวสลบเปลยน (transposed) ของ Vandermonde matrix และ ตวกำำหนด (determinant) ของเมทรกซ สมประสทธของ (7) จะเกยวของกบเอกลกษณ (2) เหนไดชดวำเมอ xi

ตำงกนหมด  ตวกำำหนด (determinant) จะไมเทำกบศนย  สมประสทธของ  q มเพยงหนงเดยว  

q(x) q(x) จะสำมำรถหำไดโดยกำรปฏบตดงจะสำมำรถหำไดโดยกำรปฏบตดงตอไปนตอไปน

กำำหนดให

Q(x) = det

−−−−

0y...yy

xx...xx

....

....

....

xx...xx

11...11

n21

1n1nn

1n2

1n1

n21

…(9)

เมอแทน  x ใน หลกสดทำยดวย xi จะได

Q( xi) = det

−−−−

0y...yy

xx...xx

....

....

....

xx...xx

11...11

n21

1ni

1nn

1n2

1n1

in21

นำำหลกสตรทำยลบดวย หลกท i จะไดวำสมำชกในหลกสดทำย เปน 0 ยกเวน สมำชกตวสดทำย มคำเปน -yi และ

Q( xi) = det

−

−−−

in21

1nn

1n2

1n1

n21

yy...yy

0x...xx

....

....

....

0x...xx

01...11

= -yi det V(x1,…,xn)

หรอ           yi = - ….(10))Q(x)x,...,detV(x

1i

n1

สงนเปนจรงสำำหรบทก i = 1, 2, 3…,n และเพรำะวำ q(xi) = yi

ดงนนจะไดวำ     q(x) = ….(11)

)Q(x)x,...,detV(x

1-

n1

ในทน Vandermonde determinant มควำมสำำคญอยำงเหนไดชด ในกำรสรำงพหนำมคำสอดแทรก (polynomial interpolation) ผำนจดตำงกน n จด

กำำหนดใหพหนำมกำำลง 2 ทผำนจด  (-3, 4), (0, 1), (2, 9)

ตวอยำงตวอยำง

คอ     q(x) =

2210 xcxcc ++

เมอแทนคำ   (x1, y1) =(-3,4) , (x2 y2) = (0,1)

และ (x3, y3) = (2,9) ลงในสมกำร  จะได210 c9c3c +−

210 c0c0c ++

210 c4c2c ++

= 4

= 1

= 9

จำกระบบสมกำร  สำมำรถเขยนในรปเมทรกซ  ดงน

−

421

001

931

2

1

0

c

c

c

9

1

4

VT C = Y)x,x,x( 321

=

det V(x1,x2,x3) = det

−

409

203

111

= (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0) = (5) (3) (2)

= 30

Q(x) = det

−

0914

x409

x203

1111

2

= - 2x

9 1 4

2 0 3-

1 1 1

-x

9 1 4

4 0 9

1 1 1

9 1 4

4 0 9

2 0 3-

+

จะได  Q(x) = -30 + (-60)x -30 x2

จำก (11) ; q(x) =        ดงนน   q(x) = 1 + 2x + x2

)230x-60x-(-3030

1-

จำก (9) ; กำำหนดให

#

2. 2. ปญหาคาเรมตนของสมการเชงปญหาคาเรมตนของสมการเชงอนพนธอนพนธ(Differential equation initial value (Differential equation initial value problems)problems)พจำรณำสมกำรเชงอนพนธ

0=y0a+Dy1a+...+y1-nD1-na+y

nD ….(12)

เมอ   a0,a1,…an เปนคำคงท  และ D แทนกำรหำอนพนธเทยบกบ t พรอมดวยเงอนไขเรมตน

Djy(0) = yj ; j = 0, 1, 2,…,n-1 ….(13)

 สมกำร (12) มพหนำมลกษณะเฉพำะ (characteristic polynomial)

( )( )( ) ( )n21

011n

1nn

xDxDxD

aDaDaDDp

−−−=++++= −

−

       จำกสมกำร (12) จะมผลเฉลย yi = ; i = 1,

2,…,n และเมอ ผลเฉลยทง n ผลเฉลย จะเปนอสระเชงเสน          ดงนน ผลรวมเชงเสน (linear combinations) ของ yi = คอ                

tx ien21 x...xx ≠≠

tx ie

y =

txn

tx2

tx1

n21 ec...ecec +++เปนผลเฉลยของ (12) ดวย

Dy tx

nntx

22tx

11n21 exc...excexc +++=yD2

tx2nn

tx222

tx211

n21 exc...excexc +++=

tx1nnn

tx1n22

tx1n11

1n n21 exc...excexcyD −−−− +++=

เมอแทนเงอนไขเรมตนจำก (13) จะไดระบบสมกำร j

nnj22

j11 xc...xcxc +++ = yj ; j = 0,1,2,…,n-1

และ

…

ระบบสมกำรนสำมำรถเขยนใหม ในรปเมทรกซ  ไดเปน

−−−− 1nn

1n3

1n2

1n1

2n

23

22

21

n321

x...xxx

....

....

....

x...xxx

x...xxx

1...111

=

n

3

2

1

c

.

.

.

c

c

c

−1n

2

1

0

y

.

.

.

y

y

y

VC = Y …(14)

เมอ V = , C = , Y = )x,...,x(V n1 [ ] Tn21 c...cc [ ] T

n10 y...yy

ถำ xiตำงกน ผลเฉลยของ (14) มหนงเดยวจะเหนวำ Vandermonde matrix มบทบำทในกำรหำคำคงท  C ของผลเฉลยของปญหำ

ตวอยางตวอยาง

= 0 ; y0= 1,y1 = 9, y2= 17 y3yy3y +′−′′−′′′

( D3 - 3D2 – D + 3 )y = 0        พหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำรคอ p(D) = D3 - 3D2 – D + 3

= (D + 1)(D – 1)(D – 3) 3tectect-ecy(t) 321 ++=

วธทำำ

เมอแทนเงอนไข เรมตน   (13) จะไดผลเฉลย  คอ

321 ccc ++321 c3cc)1( ++−321 c9cc ++

= 1

= 9

=17

จำกระบบสมกำรนำำมำเขยนในรปเมทรกซ  ไดเปน

−

911

311

111

3

2

1

c

c

c

17

9

1

=

V C = C =

0Y

01YV−

#

3.3.ลำาดบทกำาหนดโดยความลำาดบทกำาหนดโดยความสมพนธเวยนบงเกดสมพนธเวยนบงเกด   (Recursively defined sequences(Recursively defined sequences))

ให                        เปน  n พจนแรกของลำำดบทมควำมสมพนธกนตำมสมกำร

n10 y,,y,y

….(15)

k02-nk2n1nk1nnk yayayay −−−−= +−−+−+

เมอ ai ไมขนกบ k จะเรยกลำำดบนวำ recurrent

sequenceตวอยำงของลำำดบนทรจกกนด  คอ  Fibonaci

sequence ซงเรมจำก 0,1,1,2,3,… และแตละพจนจะเปนผลรวมของ 2 พจน   ทอยขำงหนำ

ในอกทำงหนง  เรำกำำหนดให  {yj} เปนลำำดบทม  n + 1 พจน  ซงสอดคลองกบสมกำรในรปแบบขำงตนเปน

….(16) 0yayayay k02-nk2n1nk1nnk =++++ +−−+−+

ซง  y0, y1 ,y2, …, yn-1 เปนคำเรมตนทกำำหนดไวแนนอน       สมกำรท (16) จะเรยกวำสมกำรเชงผลตำง (difference equations) และสมกำรนเปนสมกำรทสำำคญในกำรสรำงแบบจำำลองปญหำตำง  ๆ

สมกำร (16) หำคำำตอบไดโดยกำรให  yj อยในรปฟงกชนของ  j ซงเหมอนกบทกลำวมำในสมกำรเชงอนพนธกำำหนดตวดำำเนนกำร  L โดยท

L {yj} = {yj+1} , j=0,1,2,…

เรยกตวดำำเนนกำรนวำ ตวดำำเนนกำรเลอน 

(Shifting Operator) ซงเลอนลำำดบ  y0, y1, y2,… ไปทำงซำยเปนลำำดบ  y1, y2, y3,… สมกำร  (16)

เขยนใหมไดเปน Ln{yj}+ an-1L

n-1{yj}+…+a1L{yj}+a0L{yj}={0} ….(17)

ซงพหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำรคอ

p(L) = Ln+an-1Ln-1+…+ a0

= (L-x1)(L-x2)…(L-xn)

ถำ  x1, x2,…, xn

ตำงกนหมด  ผลรวมเชงเสนทงหมดของลำำดบน จะเปนผลเฉลยของสมกำร  (17) ดงนนผลเฉลยทวไปของ  (17) คอ

jnn

j22

j11j xcxcxcy +++=

เมอใชคำเรมตนพบวำสมประสทธ  cj จะสอดคลองกบ  (14) คอ

n1n

2n1n

221n

11

1nn2211

0n21

yxcxcxc

y xcxcxc

y ccc

=+++

=+++

=+++

−−−

จะไดระบบสมกำรทสำมำรถเขยนใหอยในรปเมทรกซไดเปน

เมอ  V = V(x1,…,xn) , C = [c1c2…cn]T ,

Y = [y0y1…yn-1]T

YCV

y

y

y

y

c

c

c

c

xxxx

xxxx

xxxx

1111

1n

2

1

0

n

3

2

1

1nn

1n3

1n2

1n1

2n

23

22

21

n321

=

=

−−−−−

ตวอยตวอยำงำง    พจำรณำสมกำรผลตำงสบเนอง yn+2 - 5yn+1+ 6 yn

= 0 ; y0 = 9 , y1 = 23

เขยนในรปตวดำำเนนกำร L ไดเปน (L2 – 5L + 6)yn = 0

พหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำร  คอp(L) = L2 + 5L+6

= (L-2)(L-3)ดงนนผลเฉลย  คอ  yn = c12

n + c23n

เมอแทนเงอนไขเรมตน  จะได c1 + c2 = 9

2c1 +3c2 = 23

จำกระบบสมกำร  นำำมำเขยนในรปเมทรกซ  ไดเปน

C = V-1Y0

=

23

9

c

c

32

11

2

1

0YCV =

เหนไดชดวำ  Vandermonde determinant จะครอบคลมกำรแกของปญหำตำงๆ ตำมทกลำวมำ

#

แตละกรณขำงตน  Vandermonde matrix เกยวของกบปญหำของกำรหำคำสมประสทธของผลรวมเชงเสน     

ในปญหำพหนำมคำสอดแทรก  ปญหำคำเรมตนของสมกำรเชงอนพนธ  และของสมกำรเชงผลตำง  สำมำรถหำสตรของผลเฉลยทเกยวของกบเมทรกซ  V(x1,…,xn) โดยตรง  โดยหลกเลยงกำรเกยวของกบกำรใชผลรวมเชงเสน  (linear combinations)

พจำรณำสมกำรเชงอนพนธพจำรณำสมกำรเชงอนพนธ    (12)(12)

หรอ

มพหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำร

0yaDyayDayD 011n

1nn =++++ −

−

)x(D)x)(Dx(D

aDaDaDp(D)

n21

011n

1nn

−−−=++++= −

−

0)y aDaDa(D 011n

1nn =++++ −

−

เมอแปลงเปนระบบสมกำรอนดบหนงโดย  กำำหนด

n1n2110n

n1n

32

21

1

ya...yaya Dy

y Dy

y Dy

y Dy

y y

−

−

−−−−==

===

เขยนในรปเมทรกซ  ไดเปน

….(18)

หรอ DY = AY ….(19)

เมอ  Y เปนเวกเตอรทประกอบดวยสมำชก   A เปนเมทรกซขนำด  n x n ซงอยทำงขวำ

ของสมกำร  (18)

y

y

y

y

aaaa

1000

0100

0010

Dy

Dy

Dy

Dy

n

1n

2

1

1n210n

1n

2

1

−−−−

=

−

−

−

n21 y,,y,y

ผลเฉลยของรำกบนสมกำรอนดบหนง (18) ทำำไดโดยหำคำเจำะจง   จำกสมกำร

λ

0

λaaaaa

1λ000

001λ0

0001λ

λIA

1n2n210

=

−−−−−−

−

−

−

=−

−−

กระจำยตวกำำหนดตำมแถวท n จะไดสมกำร ( )

n21

n21

012n

2n1n

1nn

x,,x,xλ

0 )x(λ)x)(λx(λ

λpaλaλaλaλ0

=

=−−−

=+++++= −−

−−

สำำหรบ              หำเวกเตอรเจำะจง  C1 จำก

1xλ =

0CI)λ-(A =

=

−−−−−−−

−−

−

−− 0

0

0

0

c

c

c

c

xaaaaa

1x000

001x0

0001x

n

1n

2

1

11n2n210

1

1

1

1n1n213112 cxc,,cxc,cxc −=== ดงนน

เลอก  c1 = 1

 จะได                    และ 

=

n1

21

1

1

x

x

x

1

C

tx

n1

21

1tλ

1111 e

x

x

x

1

eCY

==

ทำำนองเดยวกน

tx

n2

22

2tλ

2222 e

x

x

x

1

eCY

==

ผลเฉลยทวไป  คอ

tx

1nn

2n

n

ntx

1n2

22

2

2tx

1n1

21

1

1

n

3

2

1

nn2211

n21 e

x

x

x

1

ce

x

x

x

1

ce

x

x

x

1

c

y

y

y

y

YcYcYcY

++

+

=

+++=

−−−

จดเปน

[ ] Ce,,eVDY

c

c

c

c

e000

0e00

00e0

000e

xxxx

xxxx

xxxx

1111

y

y

y

y

txtxiag

n

3

2

1

tX

tX

tX

tX

1nn

1n3

1n2

1n1

2n

33

22

21

n321

n

3

2

1

n1

n

3

2

1

=

=

−−−−

… (20)

เมอ                                              =

[ ]txtxiag

n1 e,,eD

tX

tX

tX

tX

n

3

2

1

e000

0e00

00e0

000e

เมอใชเงอนไขคำเรมตน  Djy(0) = yj ; j =

0,1,2,…,n-1 จะแทนดวย

Y(0) = Y0 ….(21)

ทำำใหไดวำ

Y0 = VIC = VC หรอ     C = V-1Y0

สดทำยจะไดผลเฉลยหนงเดยวของสมกำร  (19) และ (21) จะอยในรป

….(22)

[ ] 01txtx

iag YVe,,eVD(t)Y n1 −=

สงเกตวำ ถำ [ ]

=

n

3

2

1

n1iag

x000

0x00

00x0

000x

x,,xD

แลว [ ]n1iag

nn

n2

n1

2n

22

21

n21

x,,xDV

xxx

xxx

xxx

AV

=

=

ดงนน ….(23) 

[ ] 1n1iag Vx,,xVDA −=

ในทำำนองเดยวกน จำก (22 ) กำำหนดเมทรกซ exponential

ดงนน ผลเฉลยของปญหำคำเรมตนของ

สมกำรเชงอนพนธ คอ ….(24)

[ ] 1txtxiag

At Ve,,eVDe n1 −=

0At YeY =

ตวอยำงตวอยำง  จงหำผลเฉลยของสมกำร     

1(0)y1,y(0) ; 06yy5y −=′==+′−′′

วธทำำ

พหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำรคอ

3)2)(D(D

65DDp(D) 2

−−=+−=

ดงนน   

กำำหนดให                   และ     

[ ]

=

=

32

11V,

e0

0ee,eD

3t

2t3t2t

iag

′

=y

yY

=

1-

1Y 0

ผลเฉลยของสมกำรคอ [ ] 0

13t2tiag YVe,eVD Y −=

−

−

−

=

1

1

12

13

e0

0e

32

11

3t

2t

−

−=

3t2t

3t2t

9e8e

3e4e

นนคอ                              และ                               #

3t2t 3e4ey −=3t2t 9e8ey −=′

พจำรณำสมกำรเชงผลตำง (17)Ln{yj}+an-1L

n-1{yj}+….+a1L{yj}+a0{yj}= {0}

จะเปลยนรปเปนระบบสมกำรในวธทำำนองเดยวกน  โดยเรำจะพจำรณำลำำดบของเวกเตอร{yj}

สมกำร (17) จะกลำยเปนL{Yj} = {AYj} ….(25)

เมอ A คอ เมทรกซทเคยกลำวถงเมอ    L{Yj} = {Yj+1} แลวสมกำร (25) จะสมมล

กบ Yj+1 = AYj ….(26)

    ในทำำนองเดยวกน เมอใชเงอนไขคำเรมตน   (0) = 0 สดทำยผลเฉลยหนงเดยวของสมกำร (26) จะอยในรปประยกตใช (23) ไดวำผลเฉลยของปญหำคำเรมตนของสมกำรเชงผลตำงคอ

เมอ 

Y Y

0j

j YAY =

[ ] 1jn

j1iag

j Vx,,xDVA −=

ตวอยำง พจำรณำสมกำรผลตำงสบเนอง yn+2 - 5yn+1

+ 6 yn = 0 ; y0 = 9 , y1 = 2

วธทำำ พหนำมลกษณะเฉพำะของสมกำร  คอ

p(L) = L2 + 5L+6= (L-2)(L-3)

ดงนน    กำำหนดให              และ   

[ ]

=

=

32

11V,

30

02,32D

n

nnn

iag

=

+1n

n

y

yY

=

23

9Y 0

ผลเฉลยของสมกำรคอ [ ]

⋅+⋅⋅+⋅

=

−

−

=

= −

nn

nn

n

n

01nn

iag

31528

3524

23

9

12

13

30

02

32

11

YV,32VDY

     นนคอ yn = และ  yn+1 =

#

nn 3524 ⋅+⋅nn 31528 ⋅+⋅