4.4 ajuste de curvas interpolación por splines

Trazadores linealesTrazadores Cuadráticos

Trazadores cúbicos

Análisis NuméricoTema 4. Ajuste de Curvas III: Interpolación por Splines

M. P. Vassileva, J. G. Maimó

Instituto Tecnológico de Santo Domingo (INTEC),República Dominicana

M. P. Vassileva, J. G. Maimó Análisis Numérico


Trazadores cúbicos

Contenido:

ObjetivosIntroducciónTrazadores



Trazadores cúbicos

Trazadores Lineales:

La unión más simple entre dos puntos es una línea recta. Los trazadores de primergrado para un grupo de datos ordenados pueden definirse como un conjunto defunciones lineales,

f(x) = f(x0) +m0(x− x0) x0 ≤ x ≤ x1

f(x) = f(x1) +m1(x− x1) x1 ≤ x ≤ x2

...f(x) = f(xn−1) +mn−1(x− xn−1) xn−1 ≤ x ≤ xn

donde mi es la pendiente de la línea recta que une los puntos:

mi =f(xi+1)− f(xi)

xi+1 − xi(1)

Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la función en cualquier punto entre x0

y xn localizando primero el intervalo dentro del cual está el punto. Después se usala ecuación adecuada para determinar el valor de la función dentro del intervalo. Elmétodo es obviamente idéntico al de la interpolación lineal.



Trazadores cúbicos


Problema 1:

Ajuste los datos de la tabla con trazadores de primer grado. Evalúe la función enx = 5.

x = 1 f(x)3.0 2.54.5 1.07.0 2.59.0 0.5

Solución Problema 1:

Se utilizan los datos para determinar las pendientes entre los puntos. Por ejemplo,en el intervalo de x = 4.5 a x = 7 la pendiente se calcula con la ecuación (1):

m =2.5− 1

7− 4.5= 0.60



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Se calculan las pendientes en los otros intervalos y los trazadores de primer gradoobtenidos se grafican en la (a). El valor en x = 5 es 1.3.



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Una inspección visual a la figura (a) indica que la principal desventaja de los tra-zadores de primer grado es que no son suaves. En esencia, en los puntos donde seencuentran dos trazadores (llamado nodo), la pendiente cambia de forma abrup-ta. Formalmente, la primer derivada de la función es discontinua en esos puntos.Esta deficiencia se resuelve usando trazadores polinomiales de grado superior, queaseguren suavidad en los nodos al igualar las derivadas en esos puntos.



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Trazadores cuadráticos:

Para asegurar que las derivadas m-ésimas sean continuas en los nodos, se debeemplear un trazador de un grado de, al menos, m + 1. En la práctica se usancon más frecuencia polinomios de tercer grado o trazadores cúbicos que aseguranprimera y segunda derivadas continuas. Aunque las derivadas de tercer orden ymayores podrían ser discontinuas cuando se usan trazadores cúbicos, por lo comúnno pueden detectarse en forma visual y, en consecuencia, se ignoran.Debido a que la deducción de trazadores cúbicos es algo complicada, la hemos in-cluido en una sección subsecuente. Decidimos ilustrar primero el concepto de inter-polación mediante trazadores usando polinomios de segundo grado. Esos ”trazadorescuadráticos” tienen primeras derivadas continuas en los nodos. Aunque los traza-dores cuadráticos no aseguran segundas derivadas iguales en los nodos, sirven muybien para demostrar el procedimiento general en el desarrollo de trazadores de gradosuperior.



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Trazadores Cuadráticos:

El objetivo de los trazadores cuadráticos es obtener un polinomio de segundo gra-do para cada intervalo entre los datos. De manera general, el polinomio en cadaintervalo se representa como

fi(x) = aix2 + bix+ ci (2)

La siguiente figura servirá para aclarar la notación. Para n+1 datos (i = 0, 1, 2, ..., n)existen n intervalos y, en consecuencia, 3n constantes desconocidas (las a, b y c)por evaluar. Por lo tanto, se requieren 3n ecuaciones o condiciones para evaluar lasincógnitas.



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Trazadores cúbicos

Trazadores cuadráticos:

Éstas ecuaciones son:1. La primera y la última función deben pasar a través de los puntos extremos.

Esto agrega dos ecuaciones más:

ai−1x2i−1 + bi−1xi−1 + ci−1 = f(xi−1) (3)

aix2i−1 + bixi−1 + ci = f(xi−1) (4)

para i = 2 a n. Como sólo se emplean nodos interiores, las ecuaciones (3) y(4) proporcionan, cada una, n− 1 condiciones; en total, 2n− 2 condiciones.

2. Los valores de la función de polinomios adyacentes deben ser iguales en losnodos interiores. Esta condición se representa como

a1x20 + b1x0 + c1 = f(x0) (5)

anx2n + bnxn + ci = f(xn) (6)

en total tenemos 2n− 2 + 2 = 2n condiciones.



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3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales. La primeraderivada de la ecuación (2) es f ′(x) = 2ax+ b. Por lo tanto, de manerageneral la condición se representa como

2ai−1xi−1 + bi−1 = 2aixi−1 + bi (7)

para i = 2 a n. Esto proporciona otras n− 1 condiciones, llegando a un totalde 2n+ n− 1 = 3n− 1. Como se tienen 3n incógnitas, nos falta una condiciónmás. A menos que tengamos alguna información adicional respecto de lasfunciones o sus derivadas, tenemos que realizar una elección arbitraria paracalcular las constantes. Aunque hay varias opciones, elegimos la siguiente:

4. Suponga que en el primer punto la segunda derivada es cero. Como lasegunda derivada de la ecuación (2) es 2ai, entonces esta condición se puedeexpresar matemáticamente como

a1 = 0 (8)

La interpretación visual de esta condición es que los dos primeros puntos seunirán con una línea recta.



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Problema 2:

Ajuste trazadores cuadráticos a los mismos datos que se utilizaron en el Problema1. Con los resultados estime el valor en x = 5.


En este problema, se tienen cuatro datos y n = 3 intervalos. Por lo tanto, 3(3) = 9incógnitas que deben determinarse. Las ecuaciones (3) y (3) dan 2(3)− 2 = 4condiciones:

20.25a1 + 4.5b1 + c1 = 1.0

20.25a2 + 4.5b2 + c2 = 1.0

49a2 + 7b2 + c2 = 2.5

49a3 + 7b3 + c3 = 2.5



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Evaluando a la primera y la última función con los valores inicial y final, seagregan 2 ecuaciones más (ecuación (5)):

9a1 + 3b1 + c1 = 2.5

y ecuación (6)81a3 + 9b3 + c3 = 0.5

La continuidad de las derivadas crea adicionalmente de 3− 1 = 2 condiciones(ecuación (7)):

9a1 + b1 = 9a2 + b2

14a2 + b2 = 14a3 + b3



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Por último, la ecuación (8) determina que a1 = 0. Como esta ecuación especificaa1 de manera exacta, el problema se reduce a la solución de ocho ecuacionessimultáneas. Estas condiciones se expresan en forma matricial como

4.5 1 0 0 0 0 0 00 0 20.25 4.5 1 0 0 00 0 49 7 1 0 0 00 0 0 0 0 49 7 13 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 81 9 11 0− 9 −1 0 0 0 00 0 14 1 0 −14 −1 0

b1c1a2b2c2a3b3c3

=

112.52.52.50.500



Trazadores cúbicos



Estas ecuaciones se pueden resolver utilizando las técnicas estudiadas en el tematres, con los resultados:

a1 = 0 b1 = −1 c1 = 5.5 a2 = 0.64 b2 = −6.76 c2 = 18.46

a3 = −1.6 b3 = 24.6 c3 = −91.3

que se sustituyen en las ecuaciones cuadráticas originales para obtener la siguienterelación para cada intervalo:

f1(x) = −x+ 5.5 3.0 < x < 4.5

f2(x) = 0.64x2 − 6.76x+ 18.46 4.5 < x < 7.0

f3(x) = −1.6x2 + 24.6x− 91.3 7.0 < x < 9.0

Cuando se usa f2, la predicción para x = 5 es,

f2(5) = 0.64(5)2− 6.76(5) + 18.46 = 0.66



Trazadores cúbicos

Trazadores Cúbicos:

El objetivo en los trazadores cúbicos es obtener un polinomio de tercer grado paracada intervalo entre los nodos:

fi(x) = aix3 + bix

2 + cix+ di (9)

Así, para n+1 datos (i = 0, 1, 2, · · · , n), existen n intervalos y, en consecuencia, 4nincógnitas a evaluar. Como con los trazadores cuadráticos, se requieren 4n condi-ciones para evaluar las incógnitas.



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Éstas son:1. Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores (2n− 2

condiciones).2. La primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos (2

condiciones).3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n− 1

condiciones).4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n− 1

condiciones).5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones).



Trazadores cúbicos


Los cinco tipos de condiciones anteriores proporcionan el total de las 4n ecuacionesrequeridas para encontrar los 4n coeficientes. Mientras es posible desarrollar traza-dores cúbicos de esta forma, presentaremos una técnica alternativa que requiere lasolución de sólo n− 1 ecuaciones. Aunque la obtención de este método es un pocomenos directo que el de los trazadores cuadráticos, la ganancia en eficiencia vale lapena.La deducción de las ecuaciones de los splines cúbicos da como resultado la siguienteecuación cúbica en cada intervalo:

fi(x) =f ′′i (xi−1)

6(xi − xi−1)(xi − x)3 +

f ′′i (xi)

6(xi − xi−1)(x− xi−1)

3

+

[f(xi−1)

xi − xi−1−

f ′′(xi−1)(xi − xi−1)

6

](xi − x)

+

[f(xi)

xi − xi−1−

f ′′(xi)(xi − xi−1)

6

](x− xi−1) (10)



Trazadores cúbicos


La última ecuación contiene sólo dos incógnitas (las segundas derivadas en los extre-mos de cada intervalo). Las incógnitas se evalúan empleando la siguiente ecuación:

(xi − xi−1)f′′(xi−1) + 2(xi+1 − xi−1)f

′′(xi)

+(xi+1 − xi)f′′(xi+1)

=6

xi+1 − xi(f(xi+1)− f(xi))

+6

xi − xi−1(f(xi−1)− f(xi)) (11)

Si se escribe esta ecuación para todos los nodos interiores, resultan n−1 ecuacionessimultáneas con n− 1 incógnitas. Recuerde que las segundas derivadas en los nodosextremos son cero.



Trazadores cúbicos


Problema 3:

Ajuste trazadores cúbicos a los mismos datos que se usaron en el Problemas 1 y 2.Utilice los resultados para estimar el valor en x = 5.


El primer paso consiste en usar la ecuación (11) para generar el conjunto deecuaciones simultáneas que se utilizarán para determinar las segundas derivadasen los nodos. Por ejemplo, para el primer nodo interior se emplean los siguientesdatos:

x0 = 3 f(x0) = 2.5 x1 = 4.5 f(x1) = 1 x2 = 7 f(x2) = 2.5

Estos valores se sustituyen en la ecuación (11):

(4.5− 3)f ′′(3) + 2(7− 3)f ′′(4.5) + (7− 4.5)f ′′(7)

=6

7− 4.5(2.5− 1) +

6

4.5− 3(2.5− 1)



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Debido a la condición de trazador natural, f ′′(3) = 0, y la ecuación se reduce a

8f ′′(4.5) + 2.5f ′′(7) = 9.6

En una forma similar, la ecuación (11) se aplica al segundo punto interior con elsiguiente resultado:

2.5f ′′(4.5) + 9f ′′(7) = −9.6

Estas dos ecuaciones se resuelven simultáneamente:

f ′′(4.5) = 1.67909

f ′′(7) = −1.53308



Trazadores cúbicos



Estos valores se sustituyen después en la ecuación (10), junto con los valores de lasx y las f(x), para dar

f1(x) =1.67909

6(4.5− 3)(x− 3)3 +

2.5

4.5− 3(4.5− x)

+

[1

4.5− 3−

1.67909(4.5− 3)

6

](x− 3)

of1(x) = 0.186566(x− 3)3 + 1.666667(4.5− x) + 0.246894(x− 3)

Esta ecuación es el trazador cúbico para el primer intervalo.



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Se realizan sustituciones similares para tener las ecuaciones para el segundo ytercer intervalo:

f2(x) = 0.111939(7− x)3 − 0.102205(x− 4.5)3

− 0.299621(7− x) + 1.638783(x− 4.5)

yf3(x) = −0.127757(9− x)3 + 1.761027(9− x) + 0.25(x− 7)

Las tres ecuaciones se pueden utilizar para calcular los valores dentro de cadaintervalo. Por ejemplo, el valor en x = 5, que está dentro del segundo intervalo, secalcula como sigue

f2(5) = 0.111939(7− 5)3− 0.102205(5− 4.5)3

− 0.299621(7− 5) + 1.638783(5− 4.5) = 1.102886


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