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Aula 13 Álgebra Linear I 1

N esta aula, você estudará um tipo especial de função. O domínio e o contradomíniodessa função serão espaços vetoriais sobre e ela deve satisfazer algumas con-dições de linearidade. As transformações lineares aparecem no cálculo diferencial,

ligadas aos conceitos de diferenciabilidade, em que curvas, num certo sentido, são aproxi-madas por retas.

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de definir transformaçãolinear de , dar exemplos de transformações line-ares, determinar se uma função é ou não linear,trabalhar com a composição de transformações lineares, e saberdeterminar a inversa de uma transformação linear dada.

Aula 13 Álgebra Linear I2

Lembre-se do espaço vetorial , emque a adição é definida por

e a multiplicação por

Se , temos o vetor nulo do , o qual será indicado porou simplesmente por 0, quando estiver claro no contexto.

Assim, etc.

Trabalharemos com funções . Se , você estudou no EnsinoFundamental que toda função definida por , para algum , échamada linear.

Exemplo 1

Considere definida por . Construa a tabela a seguir:

Note que ao variarmos de 1 para 3, de 3 para 5, , isto é, em 2 unidades, varia,respectivamente, de 3 para 9, de 9 para 15, , ou seja, em 6 unidades. De maneira maisgeral, se a variação em for constante, a variação em será também constante. Essa é umacaracterística importante de uma função linear.

Agora, se , então, satisfaz as seguintes propriedades:

i) se , então, ;

ii) se e , então, .

Exemplo 1

x y T(x)


Atividade 1

Reciprocamente, se satisfaz as propriedades (i) e (ii), é fácil ver que élinear. De fato, usando a propriedade (ii), obtemos

em que

Portanto, poderíamos ter dito que é linear, se satisfaz as propriedades(i) e (ii) anteriores.

A função definida por é uma transformação linear?

Para e quaisquer, diremos que é uma transformação linear, se

i) , para todo , isto é, preserva a soma;

ii) , para todo e todo , isto é, preserva a multiplicaçãopor escalares.

Note que se é linear, então, pode ser dada na forma ,em que é uma matriz . De fato, por simplificação, considere . Nestecaso, , e temos

Lembre-se de que é a base canônica do .

Como e pertencem ao espaço vetorial , sabemos que epodem ser escritos como combinação linear dos vetores da base canônica

de , isto é, existem números (escalares) taisque


Atividade 2

Assim

(vetor escrito como coluna)

Observe que se , então, a matriz , coincide com o número .

Logo, se é linear, . Assim, se uma dadafunção é tal que , então, não é linear.

A função dada por é linear?

é definida por , para todo , para alguma matriz, , pela propriedade distributiva de matrizes, temos

i) ,

ii) , para toda e todo ; logo élinear.

Exercício resolvido 1Considere a função

definida por

a qual é chamada “projeção” no plano . Verifique que é uma transformaçãolinear.

1


Solução

De fato, se e , então,

i)

e, para , temos

ii)

Logo, a projeção no plano é uma transformação linear.Note que pode ser escrito na forma

Exemplo 2

Uma empresa fabrica dois produtos, e . Para cada real ganho com o produto ,a empresa gasta 40 centavos com a matéria-prima, 20 centavos com a mão-de-obra e 15centavos com as demais despesas. Para cada real ganho com o produto , a empresa gasta45 centavos com a matéria-prima, 35 centavos com a mão-de-obra e 10 centavos com asdemais despesas. Sejam

e

e representam o “custo por real de produção” para os dois produtos.

Considerando as colunas e , construímos a matriz de “custo unitário”.

Produto

matéria-primamão-de-obrademais despesas

Seja um vetor de “produção” correspondendo a reais do produto e

reais do produto , e considere definida por

Solução

De fato, se e , então,

i)

e, para , temos

ii)

Logo, a projeção no plano é uma transformação linear.Note que pode ser escrito na forma

Exemplo 2


total do custo de matéria-prima

total do custo de mão-de-obra

total do custo de demais despesas

A função transforma a lista de quantidades produzidas (medidas em reais) numa listade custo total. A linearidade de significa que:

i) se a produção for aumentada de um fator, digamos 10, de para 10 , então, os custosaumentarão pelo mesmo fator, de para 10 ;

ii) se e são vetores de produção, então, o vetor do custo total associado à produçãoé , ou seja, é a soma dos vetores de custo e .

Transformações do plano são as transformações lineares .

Exibiremos algumas transformações desse tipo.

Transformações de “semelhança”

em que

Se , note que leva cada vetor não-nulo num vetor de mesmo sentido,mas de comprimento menor do que (uma fração do comprimento de ), e temos, nestecaso, uma contração. Se , leva cada vetor nele mesmo, isto é, é o operadoridentidade. Finalmente, se , leva cada vetor não-nulo num vetor de mesmo sentido,mas de comprimento vezes o de . Nesse último caso, é uma dilatação. Em todos oscasos anteriores, o vetor nulo é levado nele mesmo. Dizemos que fixa o vetor nulo.


é claramente linear. Observe que .

Transformações “reflexão em torno da origem”

Aqui, note que leva cada vetor não-nulo num vetor de mesmo comprimento, mas desentido oposto. Temos .

é obviamente linear. Aqui, .

Transformação “rotação de 90 ”


Note que leva um vetor não-nulo num vetor de mesmo comprimento, mas localizadoa 90o de , ou seja, é obtido através de uma rotação de 90o do vetor . Para tanto,observe que as retas que contêm e são perpendiculares.

Aqui, .

Neste caso, temos ainda que o vetor nulo é fixado, isto é, .

Transformação “reflexão em tornodo eixo dos ”

Note que, se , então, reflete cada vetor em torno do eixo do . Se ,então, o vetor é levado nele mesmo, isto é, qualquer vetor sobre o eixo é deixado invariante.


Atividade 3

Aqui, .

Verifique que as transformações “rotação de 90o” e “reflexão em torno do eixodos ” são lineares.

Sejam e duas transformações lineares.

Lembre-se de que a função composta é definida por ( , paratodo , isto é, primeiro aplicamos em e depois em .


Exercício resolvido 2

Sejama “reflexão em torno do eixo dos ”

e

a “rotação de 90o”. Determine .

Solução

Aqui, .Por definição, temos

Logo,

Note que é linear.De fato, veja que, se , então,

i)

,

e, se , temos:

ii)

De um modo geral, vale o seguinte

Teorema 1Se e são transformações lineares, então, acomposta é uma transformação linear.

1

Solução

Aqui, .Por definição, temos

Logo,

Note que é linear.De fato, veja que, se , então,

i)

,

e, se , temos:

ii)


Prova

Ora, se é linear, então, , para alguma matriz , ,e todo . Agora, como é linear, temos , para algumamatriz , , e todo . Assim,

Neste caso, já sabemos, é linear.

Seja uma transformação linear.

Lembre-se de que é injetora, se dados com , então,, isto é, é injetora, se leva pontos distintos em valores distintos. Outra maneira

equivalente de dizer isso é: . Evidentemente, a transformaçãoidentidade

é injetora, pois, se , então, . O problema é que nem sempre é fácilconcluir que é injetora ou não. Na próxima aula, daremos um critério que facilitará essaanálise para funções lineares.

Agora, linear é sobrejetora, se dado , existe tal que


, isto é, é sobrejetora, se todo elemento de é imagem de algum elementodo através de . Lembre-se de que o conjunto imagem de , denotado por ,é dado por:

é um subconjunto do , isto é, , em que denota: está contidoou é igual. Outro modo de dizer que é sobrejetora é que

Exercício resolvido 3

Demonstre que a “reflexão em torno do eixo dos ”

é injetora e sobrejetora.

1


Solução

Sejam tais que , isto é,

Da igualdade de pares, segue que e , de modo que(multiplicando por ). Assim, . Isso prova que

é injetora.Agora, seja .Tome e note que

, provando que é também sobrejetora.Quando é injetora e sobrejetora, diz-se que é bijetora. Logo, o Exercícioresolvido 3 nos diz que a “reflexão em torno do eixo dos ” é uma transformaçãolinear bijetora. Neste caso, existe uma função inversa tal que

eVeja que a inversa da “reflexão em torno do eixo dos ” é dada por

isto é, é ela própria.

De fato,

e

Conclusão – A inversa de uma “reflexão em torno do eixo dos ” é uma “reflexão em tornodo eixo dos ”. Logo, a sua inversa é também uma transformação linear.

Observação – Será mostrado na aula 14 (Núcleo e imagem de uma transformação linear),Corolário 3, que se é linear e bijetora, então, .

De um modo geral, vale o seguinte teorema.

Teorema 2Seja uma transformação linear bijetora. Então, a função inversa

é uma transformação linear.

Solução

Sejam tais que , isto é,

Da igualdade de pares, segue que e , de modo que(multiplicando por ). Assim, . Isso prova que

é injetora.Agora, seja .Tome e note que

, provando que é também sobrejetora.Quando é injetora e sobrejetora, diz-se que é bijetora. Logo, o Exercícioresolvido 3 nos diz que a “reflexão em torno do eixo dos ” é uma transformaçãolinear bijetora. Neste caso, existe uma função inversa tal que

eVeja que a inversa da “reflexão em torno do eixo dos ” é dada por

isto é, é ela própria.

De fato,

e


Resumo

Prova

Sejam e . Como é bijetora, existem únicos tais quee . Agora, sendo linear, temos

e

Por definição de função inversa, note que

e

Logo,

e

provando que é linear.

Nesta aula, vimos o que significa uma função ser linear; vocêconheceu alguns exemplos de transformações lineares e aprendeu o critériopara decidir se não é linear. Observou que toda transformação linear deem é da forma , para todo , para alguma matriz ,

. Além disso, vimos que a composta de duas transformações linearesé uma transformação linear e a inversa de uma transformação linear é umatransformação linear.

Sejam e definidas por

i) Mostre que e são lineares.

ii) Determine e .

iii) Encontre .


Exercícios propostos1) Mostre que as seguintes funções são lineares.

a) definida por , em que . é chamada“cisalhamento paralelo ao eixo dos ”. Descreva isso geometricamente.

b) definida por .

2) Quais das seguintes funções de em são lineares? Justifique.

a) .

b) .

c) .

3) Sejam e duas funções definidas pore , respectivamente.

i) Encontre .

ii) é linear?

ANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-man, 2001.

BOLDRINI, J. L; COSTA, S. R. C; FIGUEIREDO, B. L; WETZLER, H. G. Álgebra linear. SãoPaulo: Editora Harbra Ltda, 1986.

Lembrete: solicitamos ao aluno que não verifique as respostas antes deresolvê-las.


1) Verifique que satisfaz as condições (i) e (ii) da definição.

2) a) Não é linear. Note que .

b) Não é linear. Calcule .

c) Não é linear. Calcule .

3) i)

ii) Sim.

Respostas dos exercícios propostos

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