4.5 晶体的偏光干涉

4.5.1 平行光的偏光干涉

4.5.2 会聚光的偏光干涉

4.5.1 平行光的偏光干涉

1. 单色平行光正入射的干涉

2. 单色平行光斜入射的干涉

3. 白光干涉

1. 单色平行光正入射的干涉

正交偏振器

平行偏振器

P1 P2

d

若 P1 的偏振轴与晶片的一个振动方向夹角为，则

sin"

cos'

0

0

EOCE

EOBE

E 和 E 从晶片射出时的相位差

FG

C

O B

A

P2

P1

x1

x3

E0

通过起偏器和检偏器的振动分量

dnn )(π2

(4.5-2)

一束单色平行光通过 P1 变成振幅为 E0 的线偏振光，垂直入射晶片上，被分解为振动互相垂直的的两束线偏振光。

干涉特性

如果 P1 和 P2 偏振轴的夹角为 ，则由晶片射出的两束线偏振光通过检偏器后的振幅分别为

)sin(sin)sin(

)cos(cos)cos(

0

0

EOCOF

EOBOG

cos2 2121 IIIII

这时其频率相同、振动方向相同、相位差恒定，满足干涉条件。相干叠加的光强为

dnn )(π2

将 OG 、 OF 表达式代入， 可得

]2

sin)(2sin2sin[cos

]cos)sin(sin)cos(cos2

)(sinsin)(cos[cos

220

22220

I

aII

如果在两个偏振器之间没有晶片，则 =0 ，此时

出射光强与入射光强之比等于两偏振轴夹角余弦的平方。—— 马吕斯定律。

20 cosII

(4.5-5)

两个偏振器之间有晶片， 0 （光强与、 、 有关）。两种重要的特殊情况：

1) P1 和 P2 的偏振轴正交 ( = /2 ) 正交偏振器

2sin2sin 22

0

II (4.5-7)

]2

sin)(2sin2sin[cos 220

II

2sin 2

0

II

= 0, /2, , 3/2 时， sin2 = 0 ， I⊥= 0

(1) 晶片取向 对输出光强的影响

= /4, 3/4, 5/4, 7/4 时， sin2 = 1 ，当晶片中的偏振光振动方向位于二偏振器偏振轴的中间位置时，光强极大。

即晶片中的偏振光振动方向与起偏器的偏振轴方向一致时，出射光强为零，视场全暗——消光现象

晶片转动一周，依次出现四个消光位置，与无关。

晶片转动一周，同样有四个最亮位置。

此时如果改变，则不论晶片处于消光位置还是最亮位置，输出光强均为零。

= 0, 2, , 2m (m 为整数 ) ， sin2(/2) =0 ， I⊥=0

此时，该晶片相当于全波片

(2) 晶片相位差 对输出光强的影响

= , 3, , (2m+1) (m 为整数 ) 时， sin2(/2) =1 ， I⊥= I0 sin22 ，输出加强 如果此时晶片处于最亮位置 ( =/4) ， 和 的贡献都使得输出光强干涉极大， I 最大 = I0 。

此时，该晶片相当于半波片

I∥和 I⊥ 的极值条件正好相反。正交和平行两种情况的干涉输出光强正好互补。

2) P1 和 P2 的偏振轴平行 ( = 0 ) 平行偏振器

)2

sin2sin1( 220//

II (4.5-10)

]2

sin)(2sin2sin[cos 220

II

)2

sin1( 20//

II

= 0, /2, , 3/2 时， sin2 = 0 ， I//= I0

(1) 晶片取向 对输出光强的影响

= /4, 3/4, 5/4, 7/4 时， sin2 = 1 ，光强极小

即当起偏器的偏振轴与晶片中的一个偏振光振动方向重合时，通过起偏器所产生的线偏振光在晶片中不发生双折射，按原状态通过检偏器，出射光强最大。

= 0, 2, , 2m (m 为整数 ) ， sin(/2) = 0 ， I//=I0

(2) 晶片相位差 对输出光强的影响

= , 3, , (2m+1) (m 为整数 ) ， sin(/2) =1 ，光强极小

I//= I0 (1sin22)

此时如果 =/4 ，则有 I// = 0 。

1 ）在正交情况下，只有同时满足 = /4 、 = 的奇数倍时，输出光强最大： I 最大 = I0 。

结论

2 ）正交和平行两种情况的干涉输出光强互补。

输出光强最小的条件是 = 0 、 /2 的整数倍，或

=2 的整数倍，只要满足两条件之一，即输出最小光强： I 最

小 =0 。

实验中，处于正交情况下的干涉亮条纹，在偏振器旋转 /2 后，变成了暗条纹，而原来的暗条纹变成了亮条纹。

3 ）平行光的偏光干涉的强度 I 与 、 、 有关。特别是 、 一定， I 随 变化

dnn )"'(π2

而

当 d 均匀时，屏上各处光强相等，或只呈现某种颜色一定的光强；

当 d 不均匀时，即实际上，晶片各处的 (n-n)和晶 片厚度 d 不可能完全均匀，这就使各点的干涉强度不同，

会出现与等厚 (光学厚度 )线形状一致的等厚干涉条纹。

2. 单色平行光斜入射的干涉

平行光斜入射至平行晶片时，干涉原理与正入射情况相同，只是相位差的具体形式稍有不同。

)(π2

BACBBA

由双折射定律，两分离的折射光的相位差为

和是二折射光在晶片中的波长； 是入射光在空气中的波长。

d

A

D C

BB B

tt

i

k

由几何关系tt coscos

d

BAd

BA ；

)tan(tansinsin ttii dBBCB

)

sinsin1(

cos

1)

sinsin1(

cos

1π2 ti

t

ti

t

d

由折射定律，用 sint/ 和 sint/ 代替上式中的 sini/ ，得

因为 |n n| n 、 n ， |t t| t 、 t ，取一级近似得

得

)coscos(π2coscos

π2 tttt

nndd (4.5-16)

)(cos

1coscos

ttt nnnn

保持 i 不变，对折射定律 sini =nsint 微分，并代入上式得

(4.5-19) 与 (4.5-2) 式比较可以看出，斜入射时的相位差只需用晶片中二波法线的平均几何路程 d/cost 代替正入射时的几何路程 d 即可。

)d

dsin)(cos()cos(dcoscos t

ttttt nnnnnnn

其中 n 是 n 和 n 的平均值； t 是 t 和 t 相应的平均值

则 (4.5-16) 式变为 )(cos

π2nn

d

(4.5-19)

i

iiII

2sin2sin 22

0

（色）

1) 两个偏振器偏振轴垂直的情况

输出光是其中每种单色光干涉强度的非相干叠加。

不同波长单色光通过晶片时，相应的二振动方向相互垂直的线偏振光之间相位差不同，所以对出射总光强的贡献不同。

(4.5-20) dnni )"'(π2

i

3. 白光干涉 —— 仅讨论正入射

因此对于白光入射，由于输出光中不含有某些波长成分，其透射光不再是白光，而呈现出美丽的彩色。

干涉强度为零，即 中不包含这种波长成分的单色光。)(色I

干涉强度为极大。

这种偏振光干涉时出现彩色的现象称为显色偏振或色偏振。是检验物质具有双折射性质的最好方法。

对应 i=2m 时，波长 m 为整数 的单色光dm

nni

dm

nni 1

)(2

对应 i=(2m+1) ，波长 m 为整数 的单色光

i

iiII )

2sin2sin1( 22

0//

（色）

2) 两个偏振器偏振轴平行的情况

第一项代表透射的白光光强；第二项与偏振轴垂直情况相同，但符号相反，因此上式可简写为

(4.5-23)

（色）（白）（色） III 0//

这表明，在 中最强的色光，在 中恰被消掉；在 中消失的色光，在 中恰恰最强。

)(色I )//(色I )(色I

)//(色I

通常将 (4.5-20) 式和 (4.5-23) 式决定的色光称为互补光，即若将这两种色光叠加在一起就得到白光。

4.5.1 会聚光的偏光干涉

1. 通过晶片两束透射光的相位差

2. 等色面和等色线

3. 单轴晶体会聚光的干涉图

4. 双轴晶体会聚光的干涉图

会聚光偏光干涉装置示意图

会聚在屏上同一点的偏振光，均来自物平面上同一点。由于物面 S 是 O1 的焦平面，所以物面上的一点发出的各光束，经 O1 后必成为一束平行光通过晶片。

]cos

)(πsin)(2sin2sin[cos 22

0t

nndII

会聚光的干涉光强分布，既取决于 P1 、 P2 的相对位置，又与晶片的双折射 (nn) 特性有关。因为 (nn) 与晶片中折射光相对光轴的方位有关，所以干涉条纹与晶体的光学性质及晶片的切割方式有关。

因此观察屏上各点的光强可采用平行光斜入射的公式：

1. 通过晶片两束透射光的相位差1) 单轴晶体中的相位差

当波法线方向与光轴夹角为 时，相应两个振动方向相互垂直的线偏振光的折射率 n 和 n 满足关系：

2e

2

2o

2

22o

2

sincos111

nnnnn

22e

2o

22sin)

11(

11

nnnn

22e

2o

oeoe22

sin))(())((

nn

nnnn

nn

nnnn

或

因而有

由于折射率之差与折射率的值相比很小，所以可近似写成：

2oe sin)( nnnn

将上式代入 (4.5-19) 式，同时令 =d /cos t ，得

sin)(π2

eo nn (4.5-29)

2) 双轴晶体中的相位差 设折射光的波法线方向与两光轴夹角分别为 1 和 2

，两特许线偏振光的折射率满足 (4.2-58) 式，则有：

2123

21

22sinsin)

11(

11 nnnn

2113 sinsin)( nnnn 可近似为

2113 sinsin)(π2

nn (4.5-32)

代入 (4.5-19) 式，同时令 =d /cos t 得

2. 等色面和等色线

设入射到晶片的会聚光中所有光线都过 A 点，则不同的入射光线在晶片中的折射光有不同的波法线方向，并从晶片下表面不同的 B 点射出，其相应的两支透射光与入射光平行，会聚在透镜焦平面的 F 点上， F

点与 B点一一对应。会聚光通过晶片示意图

d

A

D CBB B

tt

i

k

F

当在晶片和透镜焦平面之间放置检偏器时，各对透射光就会在各 F 点发生干涉，干涉条纹的形状由相应 = 常数 的 F 点的轨迹——等色线所确定。

透镜焦平面上的等色线与晶片下表面上 = 常数 的各 B点的轨迹一一对应，形状基本相同。而 = 常数 的 B

点轨迹实际上是晶片中围绕 A 点的等相位差 的曲面——

等色面与出射表面的交线。因此，如果知道了晶片中的等相位差 的曲面——等色面，便可通过确定等色面与晶片出射表面的交线确定出干涉条纹的形状。

(4.5-29) 和 (4.5-32) 中 ( 或 1 、 2) 表示晶体中两束折射光的传播方向，表示传播距离。若和 同时变化，只要满足 sin2 = 常数 单轴晶体 (4.5-33)

sin1 sin2 = 常数 双轴晶体 (4.5-34)

就保持不变。因此可以通过晶体中的某一点引一矢径，该矢径的长短随其方向按 (4.5-33) 或 (4.5-34)规律变化，矢径末端在空间描出一个曲面，曲面上的值处处相等，它即是等相位差曲面或等色面。

等色面不只有一个，而是对应不同 值的一族。

单轴晶体的等色面 双轴晶体的等色面

sin2 = 常数 (4.5-

33)

sin1 sin2 = 常数 (4.5-34)

知道了晶体的等色面，可大致确定各种切割方式晶片所产生的会聚光干涉条纹（等色线）的形状。

对于单轴晶体，当晶体光轴与晶片表面垂直时，等色线是同心圆形；当光轴与晶片表面有一小夹角时，等色线是卵圆形；当光轴与晶片表面平行时，等色线是一对双曲线。

如图，以晶片第一个表面上的 A点为中心，根据晶片切割方式确定的光轴方位，画出相位差为的等色面，则晶片的第二个表面与该等色面的截线即为相位差为的等色线。

3. 单轴晶体会聚光的干涉图

当 晶 片 表面垂 直 于 光轴、 P1 垂直于 P2 时，会聚光的干涉条纹是同心圆环，中心为通过光轴的光线所到达的位置，并且有一暗十字贯穿整个干涉图。

P1 平行于 P2 时，干涉图与正交时互补，此时有一个亮十字贯穿整个干涉图。当使用扩展光源时，该干涉定域在透镜焦平面上；当使用点光源时，条纹是非定域的。

1 ）同心圆环干涉条纹

2 ）暗十字的形成

]cos

)(πsin)(2sin2sin[cos 22

0t

nndII

(4.5-25)

斜交光轴晶片干涉图

当晶片的光轴与表面不垂直时，干涉图往往是不对称的。

垂直锐角等分线的晶片会聚光干涉图

4. 双轴晶体会聚光的干涉图

双轴晶体会聚光干涉图

作 业

15 ， 19 ， 20 ， 23