474 elementi od va i ag konecna 2014 komplet
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
1/121
-, -
, 2011 .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
2/121
,
-
,
.
.
. ,
,
.
.
,
,
, .
: ,
.
, , ,
, , .
,
,
.
,
.
. 39
.
, . ,
.
,
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
3/121
. -
. - -
-.
,
.
, 2011
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
4/121
1. ...................... 6
1.1. .............6
1.2.
....................................................................8
1.3. .............12
1.4.
..............................18
1.4.1. .....19
1.4.2. .....23
2. .......................................... 34
2.1. ..........................................................34
2.2. ............................................................37
2.3. ........................................42
2.4. ...................................45
2.5. .
.................................48
2.6. ...................................552.7. .................................61
2.8. .......................................67
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
5/121
3. ............ 72
3.1. ...................................72
3.2.
...........................................74
3.3. ..................................................................................77
3.3.1. ............................................77
3.3.2. ...................................88
3.3.3. ................................................91
3.4. .......................................................................................99
3.4.1. .................................................99
3.4.2. .....................................105
3.4.3. ................................107
3.4.4. ............................................112
......................................................... 120
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
6/121
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
7/121
1.
6
1.
1.1.
11 12 21 22, , ,a a a a ,
11 22 12 21a a a a
.
:
11 12
11 22 12 21
21 22
.a a
a a a aa a
(1.1)
11 12 13 21 22 23 31 32 33, , , , , , , ,a a a a a a a a a -
,
11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33D a a a a a a a a a a a a a a a a a a
.
Taa :
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 32 33 13 22 31 11 23 32 12 21 33.
a a a
D a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
(1.2)
ija , , {1,2,3}i j (1.1) (1.2)
, i -
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
8/121
7
, j
ija . , 21 22,a a 23a -
( 2),
13 23,a a 33a - ( 3).
III
11 12 13
2 1 2 2 2 3
31 32 33
a a a
D a a a
a a a
II1 311 12
21 22 2 3
31 323 3
aa a
D a a a
a a a
ija , {1,2,3}i j i ,
iia , {1,2,3}i , - , ija 4i j , , {1,2,3}i j ,
.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
D a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
D a a a
a a a
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
9/121
1.
8
1.2.
-, ..
11 12
11 22 12 21
21 22
.a a
a a a aa a
1. :
2 2
cos sin) cos cos ( sin ) sin
sin cos
cos sin 1.
3 2
8 9
log 9 log 8 2 3 1 1) 2 3 0.
log 2 log 3 1/ 3 1/ 2 2 3
:
1.
, .
, + ( ). ( ).
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
10/121
9
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 32 33 13 22 31 11 23 32 12 21 33.
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
2.
, o
i- j- D, D aij Dij.
( 1)i jij ijA D
D - aij.
,
21 23 21 231 2
12 12
31 33 31 33
, ( 1) .a a a a
D A
a a a a
,
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 32 33 13 22 31 11 23 32 12 21 33
a a a
D a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31
13 21 32 22 31
( ) ( )
( )
a a a a a a a a a a
a a a a a
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
a a a a a a
a a aa a a a a a
11 11 12 12 13 13 a A a A a A
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
11/121
1.
10
D
- .
, ..D . , i-, {1,2,3}i , -D :
1 1 2 2 3 3.i i i i i iD a A a A a A (1.3) , j-
, {1,2,3}j , D - :
1 1 2 2 3 3 .j j j j j jD a A a A a A (1.4)
3.
D :
1. - . ( ). ( ).
_ _ _
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 32 33 31 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33.
a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a
+ + +
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
12/121
11
2.
. ( ). ( ).
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 32 33 13 22 31 11 23 32 12 21 33
11 12 13
21 22 23
.
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a
2.
3 8 1
2 5 0
1 1 2
) ,
) ,
) .
.
3 8 1
a) 2 5 0 3 5 2 8 0 1 2 ( 1) 1 1 5 1 3 0 ( 1)
1 1 2 8 2 2 9.
) , -
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
13/121
1.
12
, , .
13 13 23 23 33 33
1 3 2 3 3 3
3 8 1
2 5 0
1 1 2
2 5 3 8 3 81 ( 1) 0 ( 1) 2 ( 1)
1 1 1 1 2 5
7 2 9.
a A a A a A
3 8 1 3 8
) 2 5 0 2 5 3 5 2 8 0 1 1 2 ( 1)
1 1 2 1 1 1 5 1 3 0 ( 1) 8 2 2 9.
1.3.
10 -
.
- T , TD .
, 11 12
21 22
.a a
a a
11 21 11 12T
11 22 12 21
12 22 21 22
.a a a a
a a a aa a a a
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
14/121
13
,11 12 13
21 22 23
31 32 33
,
a a a
D a a a
a a a
11 21 31
T
12 22 32 11 22 33 12 23 31 13 21 32
13 23 33 13 22 31 11 23 32 12 21 33 .
a a a
D a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a D
20 , .
,
11 12
21 22
a a
a a , -
21 22 11 1221 12 11 22 11 22 12 2111 12 21 22
.a a a a
a a a a a a a aa a a a
, - .
30
, .
, ,
11 11
11 21 11 21
21 21
0.a a
a a a aa a
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
15/121
1.
14
,
11 12 13
21 22 23 11 22 23 12 23 21 13 21 22
21 22 23 13 22 21 11 23 22 12 21 23 0.
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
40
. , , .
:
11 12 11 12 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22 21 22 21 22
,a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
. .
50 () -
(), .
,
11 12 11 12
11 12 11 12
0a a a a
a a a a
,
. -
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
16/121
15
60 -
() () .
, ,
11 21 12 22
11 21 22 12 22 2121 22
11 12
11 22 12 21
21 22
( ) ( )
.
a a a a
a a a a a aa a
a aa a a a
a a
- .
70
() () .
, :
21 31 22 32 23 33a A a A a A
12 13 11 13 11 12
21 22 23
22 23 21 23 21 22
a a a a a aa a a
a a a a a a
21 12 23 21 22 13 22 11 23 22 21 13 23 11 22 23 12 21 0.a a a a a a a a a a a a a a a a a a
, 70, (1.3)
1 1 2 2 3 3 ,i k i k i k ik a A a A a A D (1.5)
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
17/121
1.
16
1, ,0,
ik
i k
i k
, {1,2,3}i k , 7
0
-
(1.4)
1 1 2 2 3 3 ,j k j k j k jka A a A a A D (1.6)
1, ,
0,jk
j k
j k
, {1,2,3}j k .
. , :
11 12 13 11 11 12 13 13
22 23 21 22 21 22 22 23
33 31 32 33 31 31 32 33
0 0 0 0
0 , 0 , 0 , 0 .
0 0 0 0
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
:
11 12 13 11
22 23 21 22 11 22 33
33 31 32 33
0 0
0 0 ,
0 0
a a a a
a a a a a a a
a a a a
11 12 13 13
21 22 22 23 13 22 31
31 31 32 33
0 0
0 0 .
0 0
a a a a
a a a a a a a
a a a a
.
.
3 8 1
2 5 0
1 1 2
D
-
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
18/121
17
.
. :
11 12 13
22 23
33
0
0 0
a a a
a a
a
.
, :
3 8 1 1 1 2
2 5 0 2 5 0
1 1 2 3 8 1
D
.
60, 2, 3, :
1 1 2 1 1 2 1 1 2
2 5 0 2 2 5 2 0 4 0 7 4
3 8 1 3 3 8 3 1 6 0 11 5
D
.
, 7 - , 40:
1 1 21 1 2
40 7 4 ( 7) 0 17
0 11 50 11 5
D
.
, 11 :
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
19/121
1.
18
1 1 2 1 1 2
4 4( 7) 0 1 ( 7) 0 1
7 7
0 11 5 440 11 11 5
7
1 1 2
4 9 ( 7) 0 1 ( 7) 1 1 9.7 7
90 0
7
D
1.4.
x
0, ,ax b a b :
1) 0a , b
xa
.
2) 0a b , , x 0 0x . .
3) 0a 0b , , x 0 x b . .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
20/121
19
1.4.1.
11 12 1
11 12 21 22 1 2
21 22 2
, , , , , , .a x a y b
a a a a b ba x a y b
(1.7)
,x y .
,11
a 21a -
x, 12a 22a y, 1b 2b .
, 22a , 12a :
11 22 12 22 1 22
12 21 12 22 2 12
.a a x a a y b a
a a x a a y b a
, :
11 22 12 21 1 22 2 12.a a a a x b a b a (1.8)
, 21a
11a , :
11 22 12 21 2 11 1 21.a a a a y b a b a (1.9)
:
11 12
11 22 12 21
21 22
,a a
D a a a aa a
1 12 11 1
1 22 2 12 2 11 1 21
2 22 21 2
, ,x yb a a b
D b a b a D b a b ab a a b
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
21/121
1.
20
(1.8) (1.9) xD x D
yD y D , . (1.7)
.x
y
D x D
D y D
(1.10)
D x y ,
xD yD -
x y, . xD
D - . yD
D .
(1.10):
1)
0D ,
xD x D yD y D , ..
-
, .yx
DDx y
D D
-
.2) 0x yD D D , xD x D
yD y D . ,
.
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
22/121
21
11 22 12 21 0D a a a a , 1 22 2 12 2 11 1 210, 0x yD b a b a D b a b a ,
11 12 1
21 22 2
,a a b
ka a b
..
11 21 12 22 1 2, ,a ka a ka b kb , \ 0k .
, (1.7)
21 22 2
21 22 2
.ka x ka y kb
a x a y b
, , .. .
3) 0D xD yD -
, xD x D
yD y D . , (1.7) -
.
(1.7) 1 2 0b b , .
0, 0x y .
12
22
00
0x
aD
a 11
21
00
0y
aD
a -
0
0
D x
D y
,
:
1) 0D , .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
23/121
1.
22
2) 0D , .
1. , - :
)7 6 11
5 2 33
x y
x y
, )
2 3 4
6 9 12
x y
x y
, )
2 5
4 2 7
x y
x y
.
.)
7 644 0
5 2D
,
. xD yD :
11 6220
33 2xD
7 11176
5 33yD ,
5, 4.yx
DDx y
D D
, (5,4)M .
) 0x yD D D , -
. (
3 ).
, ,
y , 2 4
3
xy
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
24/121
23
2 4, :3
xM x x
.
) 0D , 3 0xD , . , ( 2 4 2 10x y - 4 2 7x y ).
2. , - :
)2 3 0
4 6 0
x y
x y
, )
0
5 0
x y
x y
.
.) 0D , - ( -).
3 , :2yM y y
.
) 6 0D , .
1.4.2.
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
,a x a y a z ba x a y a z b
a x a y a z b
(1.11)
, , , , 1,2,3 .i j ia b i j
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
25/121
1.
24
, ,x y z .,
11 21,a a 31a x,
12 22,a a 32a y, 13 23,a a 33a
z, 1b , 2b 3b -.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
D a a a
a a a
-
(1.11),
1 12 13
2 22 23
3 32 33
x
b a a
D b a a
b a a
,11 1 13
21 2 23
31 3 33
y
a b a
D a b a
a b a
11 12 1
21 22 2
31 32 3
z
a a b
D a a b
a a b
x,y z, . ,
11A ,
21A , 31A :
11 11 21 21 31 31 12 11 22 21 32 31
13 11 23 21 33 31 1 11 2 21 3 31
.
a A a A a A x a A a A a A y
a A a A a A z b A b A b A
(1.6),
11 11 21 21 31 31 ,a A a A a A D
12 11 22 21 32 31 0,a A a A a A
13 11 23 21 33 31 0.a A a A a A
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
26/121
25
1 12 13
1 11 2 21 3 31 2 22 23
3 32 33
x
b a a
b A b A b A b a a D
b a a
, (1.12)
xD x D .,
12A , 22A , 32A -
yD y D ,
13A ,
23A ,
33
A
zD z D . (1.11)
.
x
y
z
D x D
D y D
D z D
:
1) 0D ,
xD x D , yD y D zD z D
, .. -
, , .yx zDD Dx y z
D D D
.
2) 0x y zD D D D
D ,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
27/121
1.
26
,
.
, 0x y zD D D D 11 0A .
21
A ,
31A :
21 21 31 31 22 21 32 31
23 21 33 31 2 21 3 31.
a A a A x a A a A y
a A a A z b A b A
:
11 11 21 21 31 31 11 11 12 11 22 21
32 31 12 11 13 11 23 21 33 31 13 11
1 11 2 21 3 31 1 11.
a A a A a A a A x a A a A
a A a A y a A a A a A a A z
b A b A b A b A
(1.13)
(1.6), :
11 11 21 21 31 31a A a A a A D ,
12 11 22 21 32 31 0a A a A a A
13 11 23 21 33 31 0a A a A a A ,
(1.12) 1 11 2 21 3 31 xb A b A b A D , (1.13)
11 11 12 11 13 11 1 11.xD a A x a A y a A z D b A
xD x D
11 11 12 11 13 11 1 11a A x a A y a A z b A .
11 0A -
11 12 13 1.a x a y a z b , (1.11)
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
28/121
27
. ,
.
3) 0x y zD D D D
D , - :
3.1. , , .. .
3.2. , .. .
, 11 0a
21 11a a 31 11a a , , \ 0 .
D ,
22 12 23 13,a a a a 32 12 33 13,a a a a ,
.. 11 21 12 22 13 23: : : 1:a a a a a a
11 31 12 32 13 33: : : 1:a a a a a a .
11 21 31 12 22 32 13 23 33: : : : : :a a a a a a a a a .
2 1b b 3 1b b ,
11 21 12 22 13 23 1 2: : : : 1:a a a a a a b b 11 31 12 32 13 33 1 3: : : : 1:a a a a a a b b ,
11 21 31 12 22 32 13 23 33 1 2 3: : : : : : : :a a a a a a a a a b b b .
, , , ,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
29/121
1.
28
, ..
, (1.11) .
2 1b b
3 1b b ,
, (1.11) , .
4) 0D ,x yD D zD
, xD x D , yD y D zD z D . , -
(1.11) .
(1.11)
1 2 3 0b b b , . 0, 0, 0x y z -
.
12 13
22 23
32 33
0
0 0
0
x
a a
D a a
a a
,11 13
21 23
31 33
0
0 0,
0
y
a a
D a a
a a
11 12
21 22
31 32
0
0 0,
0
z
a a
D a a
a a
0
00
D x
D yD z
,
:
1) 0D -D , , .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
30/121
29
2)
0D D , , .
3) 0D , .
1. , - :
)
6
2 5
2 2
x y z
x y z
x y z
, )
2 4 1
2 5 1
2
x y z
x y z
x y z
, )
2 4
4 2 2 5
6 3 3 10
x y z
x y z
x y z
,
)
2 4
4 2 2 8
6 3 3 12
x y z
x y z
x y z
, )
2 2 5
2 2
4 2 2 3
x y z
x y z
x y z
.
. )
1 1 1
1 1 2 3 0
1 2 1
D
,
.
xD , yD zD :
6 1 1
5 1 2 3
2 2 1
xD
,
1 6 1
1 5 2 6
1 2 1
yD
,
1 1 6
1 1 5 9
1 2 2
zD ,
:
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
31/121
1.
30
1, 2, 3.y
x z
DD Dx y zD D D
, (1,2,3)M .
) 0x y zD D D D 331 2
3 02 1
A ,
. . , , .
2 4 1
2
x y z
x y z
.
, 2 1x z 1y z .
2 1, 1, :M z z z z .) 0x y zD D D D 2: 4: 6 1: 2 :3 4 :5:10 , -
, .. .
.
) 0x y zD D D D 2: 4:6 1: 2:3 4:8:12 , -
(
). 2 -, 3 . 2 4x y z ,
, 22 2
y zx .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
32/121
31
2 , , : ,2 2
y zM y z y z
.
) 0D , 21 0xD , .
2. , - :
)
3 2 0
2 5 3 0
3 4 2 0
x y z
x y z
x y z
, )
0
3 2 0
3 0
x y z
x y z
x y
, )
2 0
3 6 3 0
2 0
x y z
x y z
x y z
.
. ) 3 0D , 0x y z .
) 0D 11
1 26 0
3 0A
, -
( ).
0
3 2 0
x y z
x y z
,
3
4x z
1
4y z .
3 1, , :
4 4M z z z z
.
) 0D 0ijA , , 1,2,3i j (
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
33/121
1.
32
). 2 0x y z , 2x y z .
2 , , : ,M y z y z y z .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
34/121
33
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
35/121
2.
34
2.
, . - . , , , ,
, . - , , , , , -.
.
2.1.
(), .
- -, .. ,
. :
, , ,a b c
A
B
2.1
A A , B , AB .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
36/121
35
1) AB (-
) AB AB .
2) AB A B AB .
3) AB A B B.
, , .. .
, , . .
, .
, .
1 , 0 . .
a b -
, a b .
a b -
, a b
b a .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
37/121
2.
36
a b ,.. .
a b .
OAa OBb O .
2.2
B
O
a
b
a b
a b .
, 0 . a
b
, 0, a
b
, .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
38/121
37
2.2.
)
.
ABa BCb . ACc a b
c a b . (. 2.3 ).
A
B
C
a
a b+
b
A B
D
a
b a b+
2.3
ABa ADb . ACc , C
ABCD a b c a b . -(. 2.3 ).
OAa , OBb OCc . OM O ,
a , b c , . 2.4.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
39/121
2.
38
B
C
a
ab+c
c+
O Ab
a
b
c
x
y
2.4 2.5
a b . - :
1) abba
, ,
2) cbacba
, ,
3) 0 0a a a , 0 ,
4) ( ) ( ) 0a a a a .
.
1) - . ABCD :
AC AB BC a b AC AD DC b a .
2) a b x b c y . . 2.5
x c a y , .. cbacba
.
3) ABa . 0 AB+BB=ABa a
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
40/121
39
0 AA+AB=ABa a .
4) ABa . BAa ,
( ) AB+BA=AA 0a a ( ) BA+AB=BB 0a a .
)
a
b a
- b , ..
( )a b a b . A
C
a
b
a b_
2.6
)
a AB b :
1)
b a ,
2) a ,3) a 0 ,
a 0 .
b a a b a .
0 ,
0 0 0a a .
, :
1 1a a a ,
( 1) ( 1)a a a ,
0 0 0.
2
a
a
3a
2.7
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
41/121
2.
40
a , 0 -
a
a
1
, .
1aa
.
a
a
0a .
0a a , 0 ,
0
| | 1a a . 0
| |a a a , 0 | |
aa
a .
a b , . :
1) aaa
, ,
2) aaa
,
,
3) ( )a b a b , .
. - .
0 . OAa ABb (. 2.8 ).
OBa b 1 1 1 1OA A B OBa b .
OAB 1 1OA B
1OA OA , 1 1A B AB 1 1OAB OA B ,
1OB OB .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
42/121
41
A A1O ab
a b+
a
b
B1
B
A
A1O a
ba b+
a
b
B1
B
2.8
AOB 1 1A OB
O, B 1B , .. OB 1OB
. 1OB OB , ..
( )a b a b . 0
OAB 1 1OA B (. 2.8 ),
1OB OB .
a b
, 0 a b .
, a b .
0a 0b ,
0 0| | | |a a a a b
( + a b -
, a b ).
0| |
bb
b :
0
| | | | | |
| | | |
b aa a b a b
b b .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
43/121
2.
42
| |
| |
a
b a b .
,
a b . b b , a b .
2.3.
ABa CDb e .
ABa CDb A'B' , A' B' A B
CDb .
A'B' pr AB pr bCD
a .
A
B
C
D
AB
abpr
a
b
2.9
:
1) pr | | | cos |b
a a , a
b ( 0 )., ABa
=ACb .
(. 2.10 ).
AB'B pr
cos| |
ba
a .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
44/121
43
, cos 0 , cos cos .
prcos
| |
ba
a .
, (. 2.10 ), cos 0 cos cos . ABB'
prcos( ) cos | cos |
| |
ba
a
.
A
C
B
Bb
ab
pr
a
AC
B
B
a
bab
pr
2.10
2
, | pr | | | | 0 | 0 | | cos
2ba AA a
.
. AB' pr b
a -
ABa
=ACb , +
(. 2.10), (. 2.10).
2) pr ( ) pr prc c ca b a b
, ABa BCb - . 2.11.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
45/121
2.
44
AB BC ACa b .
a
b :
pr A'B'c a , pr B'C'cb ,
a b :
A
A
C
a
b
B
B
c
C
ac
pr
bc
pr
a
a b+
2.11
pr ( ) pr AC A'C' A'B' B'C' pr pr .c c c ca b a b
a b .
2 1 2, , , na a a ,..
1 2 1 2pr pr pr prc n c c c na a a a a a .
3) pr prb b
a a , .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
46/121
45
2.4.
1 2, , , na a a 1 2, ,
,n
.
nn aaa 2211 -
1 2, , , na a a .
a
1 1 2 2 ,n na a a a
1 2, , , na a a , a
1 2, , , na a a .
1 2, , , na a a 1 2, , , n ,
.02211
nn aaa
1 1 2 2 0n na a a , .
1 2, , , na a a
.
, 1 2, , , na a a .
n ,,, 21 ,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
47/121
2.
46
.02211
nn
aaa
1 0.
321 2 3
1 1 1
nna a a a
.
, 1a -
2 3, , , na a a , ..
1 2 2 3 3 .n na a a a
1 2 2 3 3 0n na a a a .
1a ,
1 2, , , na a a .
- .
10
.
, a
b
, ..
0a b , .
0 .
a b b
.
a
b
.
, a
b
.
, 0 ba
, - a
b
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
48/121
47
20
.
, a
, b
c
, ..
0
cba , , . 0 .
.a b c b c
b
c
, b
c
, ( a
)
. , a
, b
c
.
, OAa , OBb OCc . , .
. . 2.12
1 1OC OA OBc a b ,
0 0 . - .
B1
O
C
a
b
A1
B
c
2.12 ,
a
b
, , 0
ba
, .. cba
0 , .
30
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
49/121
2.
48
2.5.
.
, .
O. O
. x- ( ), y-( ), z- ( ) . x-, y- z-
i , j k , -.
, .
K
z- x- y- - .
2.13
, x-,y-, z-.
K z- x- y-, .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
50/121
49
,
., .
: xOy, xOz yOz. Ox y , Oy z , Ox z . .
OAa . i , j k , 20 2.4. . 302.4. i , j ,
k a , 1 2 3, , 4
,
1 2 3 4
0i j k a .
4 0 ,
1 2 3 0i j k , ,
i , j k . a
i , j k :
1 2 3a a i a j a k .
.
, 1 2 3a a i a j a k
1 2 3a b i b j b k . :
1 2 3 1 2 3a i a j a k b i b j b k , ..
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
51/121
2.
50
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( ) 0a b i a b j a b k .
i , j k ,
1 1 2 2 3 3 0a b a b a b , ..
1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b .
OAa i ,
j k :
1 2 3a a i a j a k .
1 2,a i a j 3a k
a
i , j k ,
a
i , j k . a
i , j k .x
y
z
A
O
a i1
a j2
a k3
a
A3
A1
A2
2.14
1 2,a a 3a -
a . a , .. , . a :
1 2 3, ,a a a a .
i , j k :
1, 0, 0i , 0,1, 0j 0, 0,1k .
a , :
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
52/121
51
1 2 3| | cos , | | cos , | | cos ,a a a a a a
, OAa x-, y- z-, (..
i , j k , ).
1
OAA ,2OAA 3OAA ,
(. 2.14).,
1 2,a a
3a OAa , () (. 2.14):
2 2 2
1 2 3| |a a a a ,
OAa OAa x-,y-z-:
1 1
2 2 2
1 2 3cos ,| |
a a
a a a a
2 2
2 2 2
1 2 3
cos ,| |
a a
a a a a
3 3
2 2 2
1 2 3
cos .| |
a a
a a a a
, , :2 2 2
2 2 2 1 2 3
2cos cos cos 1.
| |
a a a
a
OAa :
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
53/121
2.
52
1 2 331 20
, ,, , cos ,cos ,cos| | | | | | | | | |
a a a aa aaa a a a a a
.
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b . :
1) a b , ..
1 1 2 2 3 3, , .a b a b a b
2)
1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b a b ( )
3) 1 2 3, , ,a a a a ( )
.
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b
, 0 a b , ..
1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b .
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b
31 2
1 2 3
aa a
b b b .
1. , 2, 3, 6a . ,
a . , a ?
. a
:
22 2| | 2 3 6 49 7a .
a :
31 22 3 6cos , cos , cos .| | 7 | | 7 | | 7
aa a
a a a
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
54/121
53
02 3 6
, ,| | 7 7 7
aa a
a , 02 3 6
, ,7 7 7
a
, a .
2. m
2 3a i j b mi j .
. a b a b . :
2 3 ( )i j mi j , ..
(2 ) (3 ) 0m i j .
i j , :
2 0
3 0
m
.
2
3m 3 .
3. :
) 2 3a i j , 2b i j , c i j ,
) 3 2a i k , 5b i j k , 2 3 2c i j k .
.) a , b c , .. a b c , .
a b c :
2 3 ( 2 ) ( )i j i j i j , ..
( 2) (2 3) 0i j .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
55/121
2.
54
i j ,
2 0
2 3 0
.
1
3
7
3 .
) a , b c , .
, .. 0a b c . :
( 3 2 ) (5 3 ) (2 2 ) 0i j k .
i , j k , :
3 2 0
5 3 0
2 2 0
.
:
3 1 2
0 5 3 25 0
2 1 2
D
,
0 .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
56/121
55
2.6.
a
b
, ,
ba
, ba
a . .
a
b
a b , a b .,
a b = | || | cosa b .
a
b
, - ,
a
b
:
cos .| | | |
a b
a b
a
, b
c
, :
1) | | | || pr | | || pr |a ba b a b b a ,
2) 2| |a a a ,
3) 0 0 0a a ,
4) abba
, - ,
5) a b c a b a c ,
a b c a c b c ,
- ,
6) a b a b a b .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
57/121
2.
56
1, 2, 3, 4 6.
a b .
1) 1 2.3. pr | | | cos |b
a a
pr | | | cos |ab b .
| | | || || cos | | || pr | | || pr |a ba b a b a b b a
2) 2| || | cos0 | |a a a a a .
3) | 0 | 0 ,
0 0 0a a .
4) | || | cos | || | cosa b a b b a b a .
6) a b a b . 0 , a b
, :
| || | cos | || | cos | | cosa b a b a b a b a b . 0 , a
a , a b . :
| || | cos | || | cos
| || | cos | | cos ( , )
.
a b a b a b
a b a b a b
a b
0 0 0 0 0a b a b a b . 4
a b b a b a a b ,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
58/121
57
a b a b . a
b
. | | | || pr | | || pr |a ba b a b b a :
| | | || pr | , | pr |
| || | ab
a b a ba b
ab
,
0 2
| | | |pr | pr | ,
| | | | | |b b
a b b a ba a b b
b b b
0 2
| | | |pr | pr | .
| | | | | |a a
a b a a bb b a a
a a a
a
b
0 ba
.
, a
b
. 2
,
| || | cos 02
a b a b
.
, a
b
0 ba
.
cos 0 , 0 , 2
.
2| |a a a
i , j k :
1i i j j k k ,
0, 0, 0i j j i i k k i j k k j .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
59/121
2.
58
cos cos 1 ,
| | | | cos | | | | cos | | | |a b a b a b a b .
| | | |a b a b , .. | | | | | | | |a b a b a b .
:
a
b
| | | |a b a b .
--. , .
a
b
| | | | .a b a b
, 2| |a a a --
22 2
22 2
| | 2 | |
| | 2 | | | | | | | | | | .
a b a b a b a a b b
a a b b a b
-
. , -
.
a
b
:
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b . :
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
60/121
59
1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2
2 3 3 1 3 2 3 3
1 1 2 2 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
.
a b a i a j a k b i b j b k
a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j
a b j k a b k i a b k j a b k k
a b a b a b
,
1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b (2.1)
1.
2 3a p q 2b p q , 2p , 3q , p q / 3 .
a b .
.2 2
(2 3 ) (2 ) 4 2 6 3a b p q p q p p q q p q
2 24 4 3 4 4 4 cos 3 9
3
116 4 2 3 27 1.2
p p q q p q
a b
cos .| | | |
a b
a b
a b :
2 2 2
2 2
(2 3 ) (2 3 ) 4 6 6 9
4 12 9 4 4 12 cos 9 93
1 16 12 2 3 81 133.
2
a a a p q p q p p q q p q
p p q q p q
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
61/121
2.
60
2 2 2
2 2
(2 ) (2 ) 4 2 2
4 4 4 4 4 cos 93
1 16 4 2 3 9 13.
2
b b b p q p q p p q q p q
p p q q p q
,1
cos .| | | | 13 133
a b
a b
2.
0,5, 4a 3, 6,6b . ,
a b .
. :
0 ( 3) 5 ( 6) ( 4) 6 54a b .
41a 9b , 54 6
cos .| | | | 9 41 41
a b
a b
a b :
0 2
| | | |pr | pr |
| | | | | |b b
a b b a ba a b b
b b b
254 2
3, 6,6 3, 6,6 2, 4,4 .9 3
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
62/121
61
3. .
B
C
a
b
c
2.15
ABC - CB , CA ,a b AB c a b .
2
22.
c c c a b a b
a a a b b a b b a b
a
b , 0a b b a .
2.7.
( , , )a b c ( a
, b
c ) , a
,
b
, - c (. 2.16 ). (. 2.16 ).
a
b
c
a
b
c
2.16
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
63/121
2.
62
a
b
c :1) | | | || | sinc a b ,
a b ;
2) a
b
;
3) ( , , )a b c .
a
b
ba
.
a
b
:
sin | || | sin | |a
P ah ab a b a b ,
-
a
b
.
a
bba
x
y
z
ab
b
a
x| |
2.17
a
b
1
| |2
P a b .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
64/121
63
a
b
0
ba .
, a
b
. a
b
, 0 , sin 0 .
| | | || | sin 0a b a b ,
0
ba .
, 0
ba . | | | || | sin 0a b a b , sin 0 , 0 , .. a
b
.
a
, b
c
, :
1) abba
, ,
2) ,a b c a b a c
,a b c a c b c - - ,
3) 0 0 0a a ,
4) 0
aa ,
5)
a b a b a b ,
1, 3, 4 5.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
65/121
2.
64
1) -
1c a b
2c b a ,
1( , , )a b c
2( , , )b a c
(. 2.18).
, 1 2c c .
a
b
b
a
b
a
x
x
2.18
3) | 0 | | 0 | 0a a , 0 0 0a a .
4) ,
a , 0
aa .
5) a b . 0 . 0
0 . 0 , a b
,
0| || | sina b a b n ,
0n a b
0( , , )a b n
. a a
, 0n
a b
0( , , )a b n . ,
0 0| || | sin | || | sina b a b n a b n a b .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
66/121
65
a b a b . 0
0( , , )a b n .
1
a b b a b a a b ,
a b a b .
a
b
,
2
, sin 1 .
| | | | | | .a b a b
i , j k
0i i j j k k ,
( ) , ( ) , ( )i j j i k j k k j i k i i k j .
a
b
:
a
b
2 2
2| | | | | | .a b a b a b
, a
b
, 222 2
| | | | | | sin ,a b a b a b a b
2 22 2cos .a b a b
,
2 22 22 22 2 2| | sin cos | | | | .a b a b a b a b a b
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
67/121
2.
66
a
b
:
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b . , - :
1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2
2 3 3 1 3 2 3 3
2 3 3 2 1 3 3 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b a i a j a k b i b j b k
a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j
a b j k a b k i a b k j a b k k
a b a b i a b a b
1 2 2 1
2 3 1 3 1 2
1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3
( )
.
j a b a b k
i j ka a a a a a
i j k a a ab b b b b b
b b b
,
1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
1 2 3
, , .
i j k
a b a a a a b a b a b a b a b a b
b b b
(2.2)
.
3,2,4a 0,3, 1b .
. 3 2 4 14 3 9
0 3 1
i j k
c a b i j k
-
a b . - a b :
01
14,3,9286
cc
c 0
114,3,9
286c .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
68/121
67
2.8.
a , b c -
a b c ,
, ,a b c . ,
, ,a b c a b c
B a b a
b
. . 2.19 ABCDA1B1C1D1
a
, b
c
pr | | cosa b
H c c
,
a b c .
A
A1
D1
C1
B1
B
CD
a
b
c
b
a
x
2.19
a
, b
c
V B H ,
cos , ,V B H a b c a b c a b c .
( , , )a b c
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
69/121
2.
68
(. 2.19), a b c
, cos 0 cos cos . ,
cos , ,V B H a b c a b c a b c . , ( , , )a b c ,
a b c , cos 0
cos cos . ,
cos , ,V B H a b c a b c a b c .
( , , )a b c ( , , )b c a , . 2.19 -
a
, b
c
-
b
, c
a
. ,
a b c b c a .
b c a a b c ,
, ,a b c a b c a b c .
ABCDA1, ABDA1
a
, b
c
1
, , ,3 3
BHV a b c
1, , .
6 6
BHV a b c
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
70/121
69
a
, b
, c
d , :1) , , , , , ,a b c b c a c a b
, , , , , , ,a c b b a c c b a
2) , , , , , ,a b c d a b c a b d ,
3) , , , , , , , ,a b c a b c a b c a b c ,
4) a
, b
c
, 0,, cba
.
, ,a b c a b c a b c -:
1) , , , , ,
, , , , ,
a b c a b c b c a b c a
a b c a b c c a b c a b
, , , , ,
, , , , ,
, , , , .
a b c a b c a c b a c b
a b c a b c b c a c b a c b a
a b c a b c b a c b a c
2) , , ( )
( ) ( ) , , , , .
a b c d a b c d a b c b d
a b c a b d a b c a b d
3) , , , ,a b c a b c a b c a b c a b c ,
, , , ,a b c a b c a b c a b c a b c ,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
71/121
2.
70
, , , ,a b c a b c a b c a b c .4) a
b
.
a b ,
, , 0 0.a b c a b c b b c c
a
, b
c
0,, cba
.
, a
, b
c
. , , ,
.a b c :
, , , , , , , , 0.a b c b c b c b b c c b c , 0,, cba
.
, , | | cos ,
| | | | cos , sin , ,
a b c a b c a b c a b c
a b c a b c a b
:
1. , .
2. sin , 0a b , .. , 0a b ,a b , a
b
,
a
, b
c
.
3. cos , 0a b c , ,2
a b c
, ..
ba
c
. ba
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
72/121
71
a
b
, c
a
b
.
a
, b
c :
1 2 3, ,a a a a , 1 2 3, ,b b b b 1 2 3, ,c c c c . (2.1) (2.2),
a
, b
c :
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 3
2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3
, , , , , ,
( ) ( ) ( )
a b c a b c a b a b a b a b a b a b c c c
a b a b c a b a b c a b a b c
1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3
.
a a aa a a a a a
c c c b b bb b b b b b
c c c
,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, , .
a a a
a b c b b bc c c
(2.3)
. m ,
ln( 2), 2,6a m , , 2,5b m 0, 1,3c ?
.
0,, cba
,
ln( 2) 2 6
2 5 0
0 1 3
m
m
.
3m .
. , .
a , b c a
b c , .. ( )a b c .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
73/121
3.
72
3.
3.1.
A
OAa A - A . ,a b c
OA , ,a a b c - A A( , , )a b c . , a A , b , c A .
A( , , )a b c - , A ( , 0,0)x a , A (0, ,0)y b
A (0,0, )z c
yOz, xOz xOy . OA A A A A AAx xy y z xz yz. -
.
x
y
z
A( )a,b,c
A (0 0)y ,b,
A (0 0 )z , ,c
A ( 0 0)x a, ,
O
A ( 0)xy a,b,
A (0 )yz ,b,c
A ( 0 )xz a, ,c
3.1
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
74/121
73
A( , , )a b c , 0a , 0b , 0c .
+ + + I
+ + II + III+ + IV
+ + V + VI VII+ VIII
. 1M (1,2,3) , 2M ( 1, 2,3) , 3M ( 1, 2,3) , 4M (1, 2,3) ,
5M (1,2, 3) , 6M ( 1,2, 3) , 7M ( 1, 2, 3) 8M (1, 2, 3) , , , , , , .
A , . -, A 0a ,
Oy z. , A 0b , Ox z, 0c , Ox y .
A , . ,
0a b z-, 0a c y -, 0b c , x -.
A , O . A , .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
75/121
3.
74
3.2.
1 1 1A( , , )x y z 2 2 2B( , , )x y z
.
AB=OB OA ,
OA OB -- A B , . , - AB :
x
y
z
A( , , )x y z1 1 1
O
B( , , )x y z2 2 2
3.2
2 1 2 1 2 1AB=OB OA , , .x x y y z z
A B, A, Bd , :
2 1 2 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
A, B AB , ,
.
d x x y y z z
x x y y z z
.
1. A(1, 1, 3) B(3, 5, 1) .
. 2 2 2
A, B 3 1 5 1 1 3 56 2 14.d
1 1 1A( , , )x y z 2 2 2B( , , )x y z . -
S( , , )x y z AB ( 1 0 ),
.. AS SB , :
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
76/121
75
1 2 1 2 1 2
S , , .1 1 1
x x y y z z
, - 1 1 1A( , , )x y z ,
2 2 2B( , , )x y z S( , , )x y z
1 1 1 1OA , ,r x y z , 2 2 2 2OB , ,r x y z OS , ,r x y z ,
. AS SB 1 2( )r r r r ,
r :1 2
1
r rr
.
x,yz S.
0 , AS SB , S A B .
, 0 1 , AS SB
, S AB ., 1 , .. S -
AB, :
1 2 1 2 1 2S , , .2 2 2
x x y y z z
2. S AB 1.
. S :
1 3 1 5 3 1S , , ,
2 2 2
S 2, 2,1 .
3. 1M (2,6,7) .
2M M(1,5,4)
1 2M M 3:2.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
77/121
3.
76
. 2M ( , , )x y z . 3
2 , :
3 3 32 6 7
2 2 21 , 5 , 43 3 3
1 1 12 2 2
x y z
,
1 13
, , 2
3 3
x y z . 21 13
M , ,2
3 3
.
4.
T T TT( , , )x y z 1 1 1A( , , )x y z , 2 2 2B( , , )x y z
3 3 3C( , , )x y z .
A
B
B1
C1
A1T
3.3
T
1
AA ,1
BB 1
CC -
ABC. 1A ,
1B 1C -
BC , AC AB -,
2 3 2 3 2 31A , ,
2 2 2
x x y y z z
, 1 3 1 3 1 31B , ,2 2 2
x x y y z z
1 2 1 2 1 21C , ,
2 2 2
x x y y z z
.
T T TT( , , )x y z
2:1 1AT :TA 2:1 . , 2 ,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
78/121
77
2 3 2 3 2 31 1 1
T T T
2 2 22 2 2, ,1 2 1 2 1 2
x x y y z z
x y zx y z
, ..
1 2 3 1 2 3 1 2 3T , ,3 3 3
x x x y y y z z z
.
3.3. 3.3.1.
. . , ,
. , , ...
)
, ,n A B C ( 0). - , ,r x y z
n
D , .. r n D .
r
.
, | | | | pr | |nr n n r D pr| |
n
Dr
n .
r
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
79/121
3.
78
n
| |
D
n
, .
, , ,r x y z - - P( , , )x y z ,
Dnr
(3.1)
P
O
n
r
r
npr
3.4
.
(3.1)
0 DCzByAx (3.2) .
(3.2) , ,A B C D :
1) 0D , -
0| |
D
n , 0Ax By Cz
.
2) 0C ,
, , 0n A B 0, 0,1k 0.
, , 0n A B 0, 0,1k , .. z--, 0Ax By D - z-, .. xOy.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
80/121
79
, 0A , 0By Cz D x-, yOz, 0B , 0Ax Cz D y-, xOz.
3) 0DC , 1) 2) 0Ax By z-. , z-.
, 0DB , 0Ax Cz y -, 0DA ,
0By Cz x -.
4) 0 CB , 2) 0Ax D y - z-. -
x -, .. yOz.
, 0 CA , 0By D -
xOz, 0BA , 0Cz D xOy .
5) 0 DCB , 0x yOz. , 0 DCA , 0y xOz, 0 DBA , 0z xOy .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
81/121
3.
80
)
0 0 0 0P ( , , )x y z , ,n A B C
. P( , , )x y z .
, ,r x y z 0 0 0 0, ,r x y z -
P( , , )x y z 0 0 0 0P ( , , )x y z , .
0 0 0 0 0P P , ,r r x x y y z z n
, 0P P 0n , ..
0( ) 0n r r . (3.3)
(3.3) -
, ,n A B C
0 0 0 0P ( , , )x y z -
-
0 0 0 0, ,r x y z . 3.5
PP0
O
n
r
0r
0 0 0, , , , 0A B C x x y y z z .
, , ,n A B C
0 0 0 0P ( , , )x y z :
0000 zzCyyBxxA . (3.4)
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
82/121
81
)
0p
0 cos , cos , cosn
O 0, 0, 0
( , 0n
x-,y-z-, ).
, ,r x y z
P( , , )x y z . M
M 0 cos , cos , cosr pn p p p ( Mr
0n ).
- M Mr ,
- (3.3)
M M 0r r r ,
.. 0 0 0pn r pn .
P( , , )x y z
O
MMrr
Mr
r
n
0
3.6
:
00 pnr
. (3.5)
(3.5) .
0coscoscos pzyx , (3.6)
- .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
83/121
3.
82
:
0 DCzByAx . (3.7)
, , ,n A B C -
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,
| | | | | |
, , ,
n A B C
n n n nA B C
A B C A B C A B C
0222
CBA
DCzByAx. (3.8)
(3.6) (3.8) -:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
cos , cos ,
cos , .
A B
A B C A B C
C Dp
A B C A B C
0p ,
2 2 2A B C D . (3.8) (3.7).
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
84/121
83
)
1 1 1 1M , ,x y z , 2 2 2 2M , ,x y z 3 3 3 3M , ,x y z - , . M , ,x y z .
1M , 2M , 3M M :
1 1 1 1, ,r x y z , 2 2 2 2, ,r x y z , 3 3 3 3, ,r x y z , ,r x y z ,
.
M
3
M2
M1
O
M
r
3.7
1 1M M r r , 1 2 2 1M M r r 1 3 3 1M M r r , .. , , :
1 1 2 1 3M M, M M , M M 0, ..
0,, 13121 rrrrrr , (3.9)
- 1r , 2r , 3r .
1 1 1 1, ,r r x x y y z z , 2 1 2 1 2 1 2 1, ,r r x x y y z z ,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
85/121
3.
84
3 1 3 1 3 1 3 1
, ,r r x x y y z z ,
1 1 1 1M , ,x y z , 2 2 2 2M , ,x y z
3 3 3 3M , ,x y z
.0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
(3.10)
. 1 1 1 1M , ,x y z , 2 2 2 2M , ,x y z 3 3 3 3M , ,x y z
1 2 1 3M M M Mn
1 1 1 1M , ,x y z (3.4).
)
-.
x-,y- z- A( ,0,0)a , B(0, ,0)b C(0,0, )c ,, 0a ,
0b 0c . x
y
z
A
M
O B
C
r
r
A
r
B
r
C
3.8
M , ,x y z
, ,r x y z , A ,0 ,0r a , B 0, , 0r b
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
86/121
85
C0, 0,r c A, B C
.
(3.9) :
AM, AB, AC 0,
A B A C A, , 0r r r r r r .
.0
0
0
ca
ba
zyax
.0)( acyabzbcax
0abc , -
1x y z
a b c
.
0 DCzByAx - (.. 0D ) (.. 0A , 0B 0C ). D ,
1
C
D
z
B
D
y
A
D
x.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
87/121
3.
86
)
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b -
, 0 0 0 0P ( , , )x y z -
a
b
.
3.9
M
P0
a b
0 0 0 0P ( , , )x y z -
M , ,x y z 0 0 0 0, ,r x y z
, ,r x y z , .
0 0P M r r , a
b
, 202.4.
. 0P M
a
b
, ..
0 0P M r r a b .
0r r a b
- . . - , :
0 1 1
0 2 2
0 3 3
x x a b
y y a b
z z a b
.
1. 2 2 5 0x y z :) , ) , ) .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
88/121
87
. ) 2 2 5 0x y z 2 2 2 2 2 22 ( 1) ( 2) 3A B C , -
2 1 2 5
03 3 3 3
x y z .
) 2 2 5x y z 5
15 55
2 2
x y z
.
) . , - :
5A ,0,0
2
, B 0,5,0 5
C 0, 0,2
.
5
AB ,5,02
a
5 5AC ,0,
2 2b
. - :
5 5 5
2 2 2
0 5 0 5
5 50 0
2 2
x
y
z
, , .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
89/121
3.
88
3.3.2.
0 DCzByAx
0 0 0M( , , )x y z . :
1) 0 0 0M( , , )x y z ( M ) , .. 0 0 0 0Ax By Cz D .
2) 0 0 0M( , , )x y z (M ) 0 0 0 0Ax By Cz D .
0 0 0M( , , )x y z
0 DCzByAx , d - M :
0 0 0
2 2 2.
Ax By Cz Dd
A B C
M( , , )x y z0 0 0
N( , , )x y z
M1
M0
n
d
3.10
, N( , , )x y z
. 0 0 0NM , ,x x y y z z ,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
90/121
89
0 0 02 2 2
NMpr NM| |
nn A x x B y y C z z d
n A B C
0 0 02 2 2
,Ax By Cz Ax By Cz
A B C
( , , )n A B C . N( , , )x y z ,
, .. Ax By Cz D . :
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz Dd
A B C
.
2. M(1,2,3) 2 2 4 0x y z .
. M(1,2,3) , . , -:
2 2 2
2 1 2 2 3 42
2 1 ( 2)d
.
3. 1 2M (2,2,3), M ( 1,2, 2)
3M (3,1,1) . :) 1M , -
,a b c : : 1: 2:3a b c ,
) 1 2M , M 3M ,
) 2OM 4 - .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
91/121
3.
90
Pe. ) : : 1: 2:3a b c \ 0k a k , 2b k 3c k .
12 3
x y z
k k k .
1M (2,2,3) ,
2 2 3
12 3k k k
4k ,
:6 3 2 24x y z .
) (3.10.) :
2 2 3
1 2 2 2 2 3 0
3 2 1 2 1 3
x y z
,
:5 11 3 23 0x y z .
) (3.5.) 00 pnr
, 4p , r - P( , , )x y z .
202
OM 11, 2, 2
3OM
n
. :
1
, , 1,2, 2 4 03
x y z
:
2 2 12 0x y z .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
92/121
91
3.3.3.
)
011111 DzCyBxA 022222 DzCyBxA .
1 2 1 1 1 1, ,n A B C
2 2 2 2, ,n A B C , .
1) 1n 2n . :
1.1. 1 2 ( 1 2 )
1n
2n
.
1
n
2
n
21 nn
0 , ..
1 2A A , 1 2B B , 1 2C C .
0 0 0 0M ( , , )x y z .
1 0 1 0 1 0 1 0A x B y C z D 2 0 2 0 2 0 2 0A x B y C z D .
2 0 2 0 2 0 1( ) 0A x B y C z D
2 1( ) 0D D , ..
1 2D D .
, 1 2
1 1 1 1
2 2 2 2
.A B C D
A B C D
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
93/121
3.
92
1.2.
1 2 ( 1 2|| ) 1n
2n
.
1.1.
1 2 :
1 1 1 1
2 2 2 2
.A B C D
A B C D
2)
1n 2n . 1 2 .
, 1 2
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C .
1 2 , .
1 2 - 1n
2n
.
- :
2
n
1
2
n
1
3.11
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2
cos| | | |
n n A A B B C C
n n A B C A B C
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
94/121
93
1 2
1n
2n
(..2
).
, 1 2
,021 nn
.. 0212121 CCBBAA .
4. - 1 2 1 0x y z 2 2 2 0x y z
M(1,2,3) .
. 1 2
, ,n A B C 1 2, 1,1n
2 1,1, 2n . 1 2 2 1 1 5 31 1 2
i j k
n n n i j k
.
1,5,3n . (3.4)
1 1 5 2 3 3 0x y z , ..
5 3 20 0x y z .
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
.
3.12
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
95/121
3.
94
.
1 1 1 1 2 2 2 2 0A x B y C z D A x B y C z D , (3.11)
.
. 1
0 , 2 0 .
(3.11) 0
:
022221111 DzCyBxADzCyBxA ,
. - .
0 1 , 2 .
5. 1 2 3 2 0x y z
2 25 5 48 31 0x y z . x - y -.
.
1 (2,1, 3)n 2 (25,5, 48)n . 2 1 3
25 5 48
.
2 3 2 (25 5 48 31) 0x y z x y z ,
. - :
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
96/121
95
12 31 2 31 2 31
2 25 1 5 3 48
x y z
.
x - y -, :
2 31 2 31
2 25 1 5
,
1
20 . - - 5 5 4 3 0x y z .
)
011111 DzCyBxA ,
022222 DzCyBxA ,033333 DzCyBxA .
. 1.4.2. :
1) , ,
. 21, 3 :
1 1 1 1 2 2 2 2
3 3 3 3 0,
A x B y C z D A x B y C z D
A x B y C z D
(3.12)
, .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
97/121
3.
96
,
. 1 -
0 , 2 0 , 3 0 .
(3.12) 0
:
1 1 1 1 2 2 2 2
3 3 3 3 0,
A x B y C z D A x B y C z D
A x B y C z D
.
. 0 1 ,
2 3 .
2) , , . , .
3)
, , . .
6. 1 1 0x y z ,
2 2 0x y z 3 3 0x y z .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
98/121
97
4 2 3 4 0x y z .
. ,
1 0
2 0
3 0
x y z
x y z
x y z
,
.
1 1 1
1 1 1 4 0
1 1 1
D
,
, . :
1 2 3 0x y z x y z x y z , ..
(1 ) (1 ) (1 ) 1 2 3 0x y z ,
. -
1 ,1 ,1n .
4 2 3 4 0x y z n
4 1,2,3n , ..
1 1 1
1 2 3
.
:
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
99/121
3.
98
1 1
1 2
1 1
2 3
1
3
2
3 .
:
2 4 6 1 0x y z .
. , (3.4), ..
4 1,2,3n n .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
100/121
99
3.4.
p,q,r,.
3.4.1.
)
0
0
22222
11111
DzCyBxA
DzCyBxA
. 1 1 1 1, ,n A B C
2 2 2 2, ,n A B C . .
:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z Dp
A x B y C z D
.
)
p 0 0 0M , ,x y z
, ,p l m n . , ,p l m n .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
101/121
3.
100
, ,r x y z
N( , , )x y z , 0 0 0 0, ,r x y z
0 0 0M , ,x y z .
p
MN , -
t, MN tp .
0MN r r ,:
ptrr
0 .
M( , ,x y z0 0 0N( , , )x y z
r
r
0
pO
p
3.13
. t .
:
tnzz
tmyy
tlxx
0
0
0
.
t :
.,, 000 tn
zztm
yytlxx
, :
.000
n
zz
m
yy
l
xx
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
102/121
101
0 0 0x x y y z z
l m n
,
, ,
0 0
0 0
x x y y
l m
x x z z
l n
,
0 0
0 0
x x y y
l m
y y z z
m n
, ...
, -:
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA.
, .
p
1n
2n
,
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
, , .
i j kB C C A A B
p n n A B CB C C A A B
A B C
, , 0zz .
0xx 0yy
.
20222
10111
DzCyBxA
DzCyBxA
0 0 0M , ,x y z p, :
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
103/121
3.
102
.
22
11
0
22
11
0
22
11
0
BA
BA
zz
AC
AC
yy
CB
CB
xx
p
. , (3.13).
1. x -.. x - 1,0,0i , x -
O(0,0,0) . x -
1 0 0
x y z .
0
0
x t
y
z
.
x - Ox z Ox y ,
0
0
y
z
.
2. 2 3 5 3 0 2 1 0x y zpx y z
.
. p
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
104/121
103
1 2 2 3 5
1 1 2
i j kp n n i j k , .. 1,1, 1p .
0z
2 3 3 0
1 0
x y
x y
,
0x , 1y , P(0,1,0) p .
1
1 1 1
x y z
, .. 1x y z ,
1
x t
y t
z t
.
)
1 1 1M , ,x y z 2 2 2N , ,x y z
. P , ,x y z .
N( , , )x y z2 2 2
r
r
1
O
r
2
P( , ,x y z
M( , , )x y z1 1 1p
3.14
1 1 1M , ,x y z ,
2 2 2N , ,x y z P , ,x y z
1 1 1 1, ,r x y z ,
2 2 2 2, ,r x y z
, ,r x y z , .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
105/121
3.
104
MP MN , .. t
MP MNt . 1MP r r 2 1MN r r :
.121 rrtrr
,121 rrtrr
- 1 1 1 1, ,r x y z 2 2 2 2, ,r x y z .
:
121
121
121
zztzz
yytyy
xxtxx
.
t 1 1 1M , ,x y z
2 2 2
N , ,x y z :
1 1 1
2 1 2 1 2 1
.x x y y z z
x x y y z z
(3.13)
3. M(2,3, 1) N(5,1,2).
. (3.13), -
2 3 1
3 2 3
x y z
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
106/121
105
3.4.2.
P P Px x y y z z
pl m n
M M MM , ,x y z . :
1) M M MM , ,x y z p ( M p ) , ..
M P M P M Px x y y z z
l m n
. (3.14)
2) M M MM , ,x y z p (
M p ) (3.14).
M M MM , ,x y z
p , d M p .
P
M
p
d
p
3.15
- Pr r tp ,
P P P P, ,r x y z --
P P PP , ,x y z ,
, ,p l m n - .
d
p
M PPM r r ,
M M M M, ,r x y z M.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
107/121
3.
106
M PPMP p p r r . P p d ,
M PPM.
p p r rd
p p
4. M(2,1,3)
1
2 1 1
x y zp
.
. M p . p 2,1,1p
P(1,0,0) . PM 1,1,3 ,
PM 2 1 1 2 51 1 3
i j k
p i j k .
PM 30p | | 6p , d
:
305
6d .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
108/121
107
3.4.3.
0 DCzByAx
P P Px x y y z zpl m n
.
, ,n A B C , , ,p l m n p .
, :
P
P
P
x x tl
p y y tm
z z tn
.
, t:
P P P 0A x tl B y tm C z tn D , ..
P P P 0.Ax By Cz D Al Bm Cn t
:
1) 0 CnBmAl , -,
P P PM , ,x tl y tm z tn ,
P P P .Ax By Cz DtAl Bm Cn
p .
2) 0 CnBmAl P P P 0Ax By Cz D , - ,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
109/121
3.
108
, .. p (||p ).
3) 0 CnBmAl P P P 0Ax By Cz D , - , , .. p ( p ).
. p
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
p A x B y C z D
,
p 0 DCzByAx
, - . , :
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
Ax By Cz D
.
P P Px x y y z z
pl m n
-
0 DCzByAx ,
.
p p (.
3.16). ,2
n p
,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
110/121
109
2 2 2 2 2 2sin cos , .| | | |n p Al Bm Cn
n p n p A B C l m n
p
pn
3.16
0 , p p . , n p , .. 0 pn
, p p .
0 pn
0 CnBmAl .
( 2 3.4.3), ( 3 3.4.3).
p -
p
n
(..2
). ,
p
, 0, n p , .. n
C
m
B
l
A .
5. :
) 1 1
2 1 1
x y zp
3 5 0x y z ,
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
111/121
3.
110
) 5 3 2 5 0
2 1 0
x y zp x y z
4 3 7 7 0x y z ,
) 1 1
1 3 2
x y zp
2 4 0x y z .
, .
. )
2
1
1
x t
p y t
z t
, - 2 1 3 3 5 0t t t , p , .. .
) p
1 2 5 3 2 5 9
2 1 1
i j k
p n n i j k
, .. 5,9,1p .
0x ,
3 2 5 0
1 0
y z
y z
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
112/121
111
7
5y ,2
5z , 7 2
P 0, ,5 5
p .
5
7 / 5 9
2 / 5
x t
p y t
z t
, , p , ..p .
)
1 3
1 2
x t
p y t
z t
, 2t , p , .. p .
t A( 2,5, 3) .
:
{2,1, 1} {1, 3,2} 3sin
| | | | 6 14 2 21
n p
n p
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
113/121
3.
112
3.4.4.
P P P
p p p
x x y y z zp
l m n
Q Q Q
q q q
x x y y z zq
l m n
.
p q , ,p p pp l m n
, ,q q qq l m n , . P P PP , ,x y z p, Q Q QQ , ,x y z q. :
1) p q .
p
, q
PQ , e . ,p q :
, , PQ 0p q , :
Q P Q P Q P
0.
p p p
q q q
l m n
l m n
x x y y z z
p q
P P PP , ,x y z
Q Q QQ , ,x y z - n p q .
P
Q
p
q
3.17
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
114/121
113
,
( ), - ( ) ( ).
1.1. p q A ,
.. , , PQ 0p q p
q
, ..
p p p
q q q
l m n
l m n . A
: , p
1t , q
2t . yx, z
1
t
2
t . ,
,
1t p ,
2
t -
q , A.
1.2. p q , ..
, , PQ 0p q p
q
-
, .. p p p
q q q
l m n
l m n , p q
(p q ), (p q ).
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
115/121
3.
114
p p p
q q q
l m n
l m n , , , PQ 0p q .
p p p
q q q
l m n
l m n
, . , .
2) p q
. .
, , , PQ 0p q p q -.
p
q
3.18
P P P
p p p
x x y y z zp
l m n
Q Q Q
q q q
x x y y z zq
l m n
, .
p q p q ,
2 2 2 2 2 2cos
| | | |
p q p q p q
p p p q q q
l l m m n np q
p q l m n l m n
.
: .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
116/121
115
, 2
p q . p q
(.. , , PQ 0p q ) (.. 0 qp
). 0 qp
0 qpqpqp nnmmll .
P P P
p p p
x x y y z zp
l m n
Q Q Q
q q q
x x y y z zq
l m n
.
, .
A p q , - d - P ( p) o q, - Q (
q) op, ..
P
Q
p
d q
p
3.19
PQ
| |
pd
p
PQ
| |
qd
q
.
p q . - d
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
117/121
3.
116
, p,
q.
3.20
p
q
P
Q
p
q
- p
, q
PQ . - -
, , PQV p q . , V B d ,
d , .. , B . B p q .
, p q
, , PQp qd
p q
.
6. , :
)
3
1
1
2
1
1
zyxp ,
3
4
2
3
1
2
zyxq ,
)21
1
1
zyxp
,
2
1
11
1
zyxq ,
)13
2
4
9 zyxp
,2
2
9
7
2
zyxq .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
118/121
117
,
.
. ) P(1,2,1) Q(2,3,4) p q
, 1, 1,3p 1,2,3q
,
1 1 3
(PQ, , ) 1 1 3 0
1 2 3
p q .
p
q
, , . ,
:
1
1
1
1
2
3 1
x t
p y t
z t
2
2
2
2
2 3
3 4
x t
q y t
z t
,
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2 3
3 1 3 4
t t
t t
t t
.
11
3t 2
2
3t ,
4 5
A , ,23 3
.
:
1, 1,3 1,2,3 8cos
| | | | 11 14 154
p q
p q
.
) 1,1,2p q .
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
119/121
3.
118
1
1
1
1
2
x t
p y t
z t
2
2
2
1
2 1
x t
q y t
z t
,
1 2
1 2
1 2
1
1
2 2 1
t t
t t
t t
,
, .. -.
PQ
| |
pd
p
,
P(0,1,0) Q(1,0,1) p q .
PQ 3,1, 2p ,
14 7
36
d .
) P(9,2,0) Q(0, 7,2) p q ,
4, 3,1p 2,9,2q ,
9 9 2
(PQ, , ) 4 3 1 285 0,
2 9 2
p q
.
, , PQ 285 57
35 7
p qd
p q
.
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
120/121
119
-
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
121/121
Anton H., Ross C., Elementary Linear Algebra: Application Version,
8th
edition, John Wiley & Sons, 2000.
James G., Burley D., Dyke P., Searl J., Clements D., Wright J.,
Modern Engineering Matemematics, 3th
edition, Prentice Hall, 2000.
Larson R., Hostetler R., Edwards B., Calculus with Analytic Geometry,
8th
edition, Brooks Cole, 2005.
Milii P.M., Uumli M.P., Elementi vie matematike 1, VIIIizdanje, Graevinska knjiga, 2006.
Mitrinovi D.S., Mihailovi D., Linearna algebra. Analitikageometrija. Polinomi, II izdanje, Graevinska knjiga, 1962.
., , II, , .. - , 1995.