490.проблемы повышения эффективности образовательного...

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Проблемы повышения эффективности образовательного процесса

в высших учебных заведениях

Сборник научно-методических статей

Ярославль 2004

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

ББК Ч 481я43 П 78 УДК 378.02:372.8 Редакционная коллегия – Л.П. Бестужева (отв. редактор), Л.Б. Медведева (зам. отв. редактора), Е.В. Никулина (отв. секретарь)

Рецензенты: кафедра теории и методики обучения математике Ярославского

государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского; канд. пед. наук Н.Л. Дашниц.

Проблемы повышения эффективности образовательного про-

цесса в высших учебных заведениях: Сб. науч.-метод. статей / Под ред. Л.П. Бестужевой. Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2004. 155 с.

ISBN 5-8397-0351-6 Сборник содержит статьи, в которых обсуждаются программы, ме-

тодическое и организационное обеспечение дисциплин математическо-го цикла на математических и нематематических факультетах высших учебных заведений; вопросы подготовки учителей математики в уни-верситетах России, а также проблемы работы с учащимися средней школы и учета их учебных достижений.

Сборник предназначен для преподавателей, аспирантов и студен-тов; будет полезен и учителям средней школы.

ISBN 5-8397-0351-6 © Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2004 г.


3

Проблемное пространство задач с параметрами

Л.П. Бестужева Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

Задачи с параметрами заняли прочное место в школьном курсе математики. Еще лет 15- 20 назад их можно было встретить только в экзаменационных материалах ведущих вузов страны. В настоя-щее время задачи с параметрами включены в содержание ЕГЭ, причем не только в часть С, наиболее трудных задач экзамена, но и в часть В. Нельзя сказать, что школьники совсем не были знакомы с такими задачами раньше. Так, решение линейного уравнения (не-равенства) bax = ( bax > ) или квадратного уравнения (неравенства)

02 =++ cbxax ( 02 >++ cbxax ) есть не что иное, как решение уравнений и неравенств с параметрами ba, или cba ,, соответст-венно, а эти задачи всегда входили в школьную программу, в ее теоретическую часть, которая сопровождалась, как правило, реше-нием соответствующих задач с числовыми коэффициентами. Те школьники, чей интерес к математике не ограничивался решением задач из школьных учебников, были знакомы с задачами с пара-метрами по таким, например, книгам: П.С. Моденов "Экзаменаци-онные задачи по математике с анализом их решения"; В.Б. Лидский и др. "Задачи по элементарной математике"; В.Г. Болтянский и др. "Лекции и задачи по элементарной математике"; и, конечно, нельзя не назвать "Сборник задач по математике" под ред. М.И. Сканави, по которому училось решать задачи не одно поколение учащихся. В этих книгах задачи с параметрами не выделены и встречаются наряду с другими задачами элементарной математики. О возрос-шей за последние лет 10 популярности задач с параметрами гово-рит тот факт, что появились книги, которые посвящены только этим задачам, о чем свидетельствуют их названия. Достаточно на-звать книги: В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич "Задачи с параметра-ми"; П.И. Горнштейн и др. "Задачи с параметрами". В этих книгах задачи систематизированы, причем в первой книге – в основном, по видам функций, входящих в уравнения или неравенства, а во второй – по методам решения. Обе книги содержат примеры реше-ния задач и достаточно большие списки задач для самостоятельно-го решения. К книгам, в которых разработана теория задач с пара-


4

метрами, относится работа В.И. Горбачева "Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами". Следует упомянуть и публикации в журнале "Математика в шко-ле", в которых обсуждаются различные аспекты решения и исполь-зования в учебном процессе задач с параметрами.

Включение уравнений и неравенств с параметрами в содержа-ние школьного обучения обусловлено многими причинами, и в первую очередь, связано с задачей формирования у школьников исследовательских умений и навыков. Немаловажными в этой свя-зи являются и высокие требования к математической подготовке школьников – абитуриентов. Вузы постоянно снабжают школу це-лой системой ориентиров в виде контрольных материалов (про-грамм, тестов, задач и т.д.), оказывающих сильнейшее воздействие на весь учебный процесс в школе. В последние годы такие ориен-тиры задают и материалы ЕГЭ. Обратимся к мнению тех, чей авто-ритет в вопросах математического образования не вызывает со-мнений. А.Г. Мордкович рассматривает уравнения и неравенства с параметрами как один из труднейших разделов школьного курса математики: "Здесь кроме использования определенных алгорит-мов решения уравнения или неравенства приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить мно-го тонкостей. Уравнения и неравенства с параметрами – это тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное по-нимание им материала". А.Г. Мордкович считает, что "обучать этому (решению задач с параметрами) массового школьника вряд ли целесообразно, но сильных учащихся знакомить с этим, безус-ловно, необходимо, ведь задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы" [1]. Г.В. Дорофеев в предисловии к книге [2] еще более категоричен: "…так называемая элементарная математика (а может быть, просто школьная математика) даже в ограниченном контексте – задачи с параметрами – представляет собой широкое поле для полноценной математической деятельности – во всяком случае, более широкое, чем многочисленные и зачастую вполне алгоритмические задачи на вычисление пределов, производных и интегралов, которыми на-полнены практические занятия студентов по высшей математике". Анализ содержания материалов Государственного централизован-ного тестирования, проводимого на территории России в послед-


5

ние восемь лет (1997 – 2004 гг.), и материалов ЕГЭ (2001 - 2004 гг.) показывает, что задачи с параметрами являются обязательными для усвоения именно "массовым школьником", а не только сильными учащимися, как считает А.Г. Мордкович.

Отличительной чертой задач с параметрами является их боль-шое разнообразие. В то же время в целях обучения их решению можно выделять некоторые классы задач. Для одних классов можно сформулировать алгоритм в виде последовательности предписаний, выполнение которых приводит к решению задачи. Для других клас-сов описание подобного алгоритма затруднительно. Тем не менее, можно выделять группы (совокупности задач), в основе решения ко-торых лежит одна "идея", и выработать стратегию их решения. Воз-никновение идеи решения задачи тесно связано с построением и проверкой гипотез. Способности к этому виду интеллектуальной деятельности формируются в процессе решения задач, а "уровень развития этих способностей, как и качество приобретенных знаний, зависят прежде всего от содержания этих задач, которое определяет пространство возможных гипотез или проблемное пространство" [3].

Проблемное пространство задач с параметрами задает широ-кий спектр поисковой деятельности на основе актуализации знаний и умений, относящихся, как говорят, к различным темам. Часто приходится наблюдать неумение применить знания и умения, сформированные при изучении одной темы, при решении задач, относящихся к другой теме. Наборы фактов, утверждений, методов существуют в сознании учащихся изолированно, не пересекаясь и не взаимодействуя между собой. Именно этим, вероятно, объясня-ется тот факт, что многие задачи, не являющиеся по своей сути сложными, трудны для учащихся. Задачи с параметрами выступа-ют средством целенаправленной и, следовательно, управляемой интеграции знаний и умений. При их решении происходит процесс образования целостного знания, возникает понимание взаимосвя-зей между различными разделами школьной математики и единст-ва применяемых методов. Тем самым реализуются обучающие функции задач, направленные на формирование системы матема-тических знаний, умений и навыков как предусмотренных про-граммой, так и расширяющих и углубляющих ее содержание.


6

Выделим предметные знания и умения, которые актуализиру-ются при решении уравнений и неравенств с параметрами. Необ-ходимо:

- знать и уметь применять теоремы о равносильности уравне-ний и неравенств;

- знать и уметь применять основные методы решения уравне-ний и неравенств;

- знать свойства элементарных функций, уметь их использо-вать при решении уравнений и неравенств;

- уметь строить графики функций с использованием приемов преобразования графиков известных функций и на основе исследо-вания с помощью производной;

- уметь строить множества точек, удовлетворяющих уравнени-ям, неравенствам и их системам;

- уметь выделять элементы графика или множества точек и пе-реосмысливать их с точки зрения различных понятий в соответст-вии с условием или требованием задачи.

Очевидно, что каждый из обозначенных пунктов можно дета-лизировать. Остановимся на последнем пункте как наиболее важ-ном для умения решать задачи с параметрами. Определим понятие "чтение графика", которое часто используют, когда требуется опи-сать свойства функции по ее графику. Такое задание, рассматри-ваемое как самостоятельное, как правило, не вызывает трудности. Другое дело, когда при решении уравнения или неравенства надо использовать то или иное свойство функции, которое надо "счи-тать" с графика. Под чтением графика будем понимать выделение элементов графика и их осмысление с точки зрения различных по-нятий в соответствии с условиями или требованиями задачи. Гра-фик в этом случае рассматривается как средство решения задачи.

Проблемное пространство задач с параметрами характеризует-ся и тем, что многие из них имеют внутренний потенциал, состоя-щий в возможности использовать при их решении различные спо-собы. Так, в [4] приведено пять способов решения уравнения

124 −=+ xax , а в [5] - семь способов решения уравнения axx =−+ 21 .

В качестве примера рассмотрим задачу, относящуюся к классу задач, в которых уравнение заменой переменной сводится к квад-ратному уравнению.


7

Задача. При каких значениях параметра a уравнение

axx 32

cos8sin45 22 =−−

имеет решение? Решение. В результате преобразований уравнение приводится

к виду 033cos4cos4 2 =−−− axx .

Рассмотрим различные способы решения этого уравнения. Способ 1. Выделив полный квадрат, получим

( ) ax 341cos2 2 −=− . Далее с помощью последовательности оце-нок, начиная с 1cos1 ≤≤− x , получим ( ) 91cos20 2 ≤−≤ x . Ответ на вопрос задачи дает решение неравенств 9340 ≤−≤ a . Ответ:

−∈

35,

34a .

Способ 2. Сделав замену переменной xt cos= и записав урав-

нение в виде 134

34 2 −−= tta , приходим к графическому способу

решения. Для этого строим график функции 134

34 2 −−= tta и

"считываем" ответ с графика, переформулировав задачу: "При ка-ких значениях параметра а прямая, параллельная оси ОТ, пересека-ет график функции при 11 ≤≤− t хотя бы в одной точке?".

Способ 3. Сделаем замену переменной xt cos= , 11 ≤≤− t , за-

пишем уравнение в виде 03344 2 =−−− att и переформулируем за-дачу: "При каких значениях параметра a хотя бы один корень квадратного уравнения принадлежит отрезку [ ]1,1− ?". Воспользу-емся задачей исследования расположения корней квадратного трехчлена относительно двух данных чисел, в нашем случае –1 и 1.


8

Для этого рассмотрим функцию ( ) atttf 3344 2 −−−= и приведем графическую интерпретацию необходимых и достаточных усло-вий: 1) принадлежности только одного корня уравнения отрезку [ ]1,1− ; 2) принадлежности обоих корней уравнения отрезку [ ]1,1− (которые доказываются аналитически). В данном случае

( ) ( ) .5,0,331,351),43(16 0 =−−=−=−+= xafafaD 1) ( ) ( ) 011 <⋅− ff

2)

≤≤−>>−

>

.11,0)1(

,0)1(,0

0xffD

Случаи 0=D , т.е. 34

−=a , ,1−=x т.е. 35

=a , ,1=x т.е. 1=a ,

рассматриваются отдельно. Проанализируем эти способы на возможность их использова-

ния при решении аналогичных уравнений. Дидактическая ценность первых двух способов решения состоит в том, что в их основе по-нимание эквивалентности двух задач: "Найти множество значений функции ( )xfa = " и "При каких значениях параметра а уравне-ние ( ) axf = имеет хотя бы одно решение?". Заметим, что во вто-ром способе решения множество значений функции

134

34 2 −−= tta на отрезке [ ]1,1− можно искать не только путем

считывания этого свойства с графика функции, но и аналитически путем поиска наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке с учетом ее непрерывности на этом отрезке. В материалах ЕГЭ [6] в комментариях к решению задачи "Найдите все значения


9

р, при которых уравнение xpx 2cos7sin8 3 −= не имеет корней" по этому поводу сказано: С точки зрения решения уравнений, ключе-вым является очевидное, но редко отрабатывающееся в достаточ-ной степени на уроках утверждение: "Уравнение ( ) pxf = имеет хотя бы один корень в том и только в том случае, когда р принад-лежит множеству значений ( )fE функции f и приведен образец решения, использующий способ оценки выражения снизу и сверху. Для этого уравнение записывается в виде ( ) pxx =+− 77sin4sin2 2 , и далее: так как ,1sin1 ≤≤− x то ,2sin20 2 ≤≤ x –11≤4sinх–7≤–3 и ( ) .77sin4sin215 2 ≤−≤− xx Поэтому ( ) .777sin4sin215 2 ≤+−≤− xx В этом фрагменте решения самым тонким моментом является пе-реход от неравенств 37sin411,2sin20 2 −≤−≤−≤≤ xx к неравен-ству ( ) 77sin4sin215 2 ≤−≤− xx , который, к сожалению, не обсуж-дается. Упоминается также решение, основанное на исследовании функции 7148 23 +−= ttp , где xt sin= , ,11 ≤≤− t с помощью производной, однако предпочтение отдается именно способу оцен-ки, строгость обоснования которой, на наш взгляд, не бесспорно.

Возвращаясь к нашей задаче, заметим, что графический способ решения уравнения ( ) atf = (способ 2) легко реализуем, так как в нашем случае это парабола (точнее, ее фрагмент, соответствующий значениям переменной t), которую без всякого сомнения должны уметь строить все успевающие по математике школьники. Пре-имущество этого способа решения особенно ощутимо, если в фор-мулировке задачи содержится указание на количество решений уравнения. И, самое главное, этот способ решения обратим и мо-жет служить источником новых задач. Так, на основе графика функции ( )xfa = можно составлять задачи с параметром, варьи-руя требования задачи, а на основе графика функции ( )tfa = мож-но составлять задачи, варьируя переменную t . Иллюстрацией вы-шесказанного может быть следующая задача, составленная на ос-нове квадратного трехчлена, который фигурировал в вышепри-веденной задаче.

Задача. При каких значениях параметра а уравнение

03324 21 =−−− ++ axx имеет решение?


10

Остановимся на особенностях решения этой задачи. В резуль-тате преобразования и замены переменной 0,2 >= tt x получим уравнение 03344 2 =−−− att , и задачу можно решать любым из тех способов, что были описаны выше. Однако, если условие зада-чи изменить и потребовать указать количество решений в зависи-мости от параметра a, становится очевидным, что способ 1 не даст ответа на поставленный вопрос, и задача может быть решена вто-рым или третьим способами. Остановимся на способе 2. Запишем

уравнение в виде 134

34 2 −−= tta , построим график функции

134

34 2 −−= tta и "считаем" ответ с графика, переформулировав

задачу: "При каких значениях параметра a прямая, параллельная оси Ot, пересекает график функции при 0>t в одной точке, в двух точках?".

Заметим, что особенность

этого способа решения состоит в том, что фактически графиче-ское решение уравнения ( ) axf = в плоскости ХОY, при

котором решениями уравнения являются абсциссы точек пере-сечения графиков функций

( )xfy = и ay = , фактически совпадает с решением в плоско-сти XOa ("переменная – пара-метр"). Реализация этого спосо-ба решения возможна при вы-

полнении двух условий: 1) уравнение ( ) 0, =axF можно записать в виде ( ) axf = и учащиеся могут построить график этой функции. Так, например, для решения уравнения 0224 1 =++⋅− + aa xx спо-

собом 2 надо уметь строить график функции 1222

−−

=t

ta , где xt 2= ,

0>t , и, следовательно, этот способ решения задачи недоступен по-давляющему большинству школьников, а, скажем, для уравнения


11

034224 21 =+−+⋅− + aaa xx способ 2 неприемлем в принципе, и это уравнение надо решать способом 3. Таким образом, способ 3, ис-пользующий в качестве ключевой задачу исследования расположе-ния корней квадратного трехчлена относительно одного или двух данных чисел, является универсальным для задач этого класса. В то же время учет индивидуальных особенностей каждой задачи влияет на выбор оптимального для данной задачи решения. Можно сказать, что выбор способа решения представляет собой эвристический по-иск, суть которого состоит в распознавании типа задачи, выявление ее индивидуальных особенностей, определяющих оптимальный способ решения, а реализация самого способа носит уже алгорит-мический характер. Всё это свидетельствует о том, что при решении задач с параметрами обсуждаемого класса в результате приобрете-ния опыта их решения происходит изменение соотношения эври-стической и алгоритмической деятельности учащихся в сторону увеличения доли последней.

Одно из направлений исследовательской работы с задачами связано с использованием метода укрупненных дидактических единиц (УДЕ), предложенного П.М. Эрдниевым и суть которого состоит в том, что "основной формой упражнения должно стать многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логии-чески разнородных, но психологически состыкованных в некото-рую целостность частей, например: а) решение "обычной готовой" задачи; б) составление обратной задачи и ее решение; в) составление аналогичной задачи и ее решение; г) составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей; д) решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным параметрам исходной задачи" [7]. Задачи с параметрами позволяют с успехом реализовать в обучении концепцию УДЕ, так как отно-сятся к задачам, допускающим их видоизменение, которое можно рассматривать как один из приемов конструирования (составления) новых задач. Эта особенность задач с параметрами отмечена в [8] и раскрыта на примере решения неравенства 0312 ≥+−−−− xaxx и составления на его основе новых задач.

Для рассматриваемого класса задач можно определить три ос-новных направления видоизменения "готовой" задачи. Первое на-правление состоит в том, что квадратное уравнение "готовой" за-


12

дачи остается неизменным, например: 0222 =++− aatt , а проис-ходит варьирование переменной t , например:

t = 2x, t = 2x, t = 2–x, t = x2, xt = , t = x, t = sinx, t = lg sinx,

t = sin2x, t = sinx+cosx, t = 2sinx, xxtxxt −+=

+= 22,1 , и т.д.

Второе направление заключается в составлении различных

квадратных уравнений с параметром при сохранении переменной t, например, 0222 =++− aatt , 042 =+− att , 022 22 =−++ att ,

0122 =+− atat и т.д., где xt 2= . Подчеркнем еще раз, что от вида квадратного уравнения во многом зависит выбор способа решения. И, наконец, "готовое" уравнение остается без изменения, а меня-ются требования задачи: Для каждого значения параметра a найти все решения уравнения; при каких значениях параметра a уравне-ние не имеет решений; имеет хотя бы одно решение; имеет единст-венное решение, и т.д. Задачи с параметрами позволяют "обеспе-чить единство процессов решения и составления задач" [7] при со-ответствующей организации учебной деятельности.

Литература 1. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. М.: Школа-Пресс, 1995.

272 с. 2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. М.:

Илекса, Харьков: Гимназия, 1998. 336 с. 3. Гетс Х. Построение гипотез при решении задач на идентификацию // Фор-

мирование учебной деятельности школьников / Под ред. В.В. Давыдова, И. Ломп-шера, А.К. Марковой. М.: Педагогика, 1982. С. 133 - 140.

4. Амелькин В.В., Рабцевич В.А. Задачи с параметрами. Минск: Асар, 1996. 464 с.

5. Моденов П.С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их ре-шения. М.: Просвещение, 1969. 351 с.

6. Единый государственный экзамен: Математика: Контрол. измерит. мате-риалы / Л.О. Денищева и др.; М-во образования Рос. Федерации. М.: Просвещение, 2003. 191 с.

7. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обуче-нии математике. М.: Просвещение, 1986. 255 с.

8. Мещерякова Г.П. Метод областей – еще одна грань реализации технологии УДЕ // Математика в школе. 2000. № 8. С. 36 – 38.


13

Об организации турнира математических боев

Ю.В. Богомолов Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

В настоящее время существует достаточно много различных форм внеурочной математической деятельности. С целью привле-чения способных школьников к занятию математикой ежегодно устраиваются математические олимпиады различных уровней. Также достаточно популярными являются такие виды состязаний, как математические аукционы, брейн-ринги, викторины, математи-ческие регаты и «математические драки».

В последнее время все большую популярность завоевывает та-кая форма командных математических соревнований школьников, как математический бой. Эта игра была придумана в 60-х годах XX века ленинградским учителем И.А. Веребейчиком. Математиче-ский бой включает в себя групповую работу над решением интерес-ных нестандартных задач, устное изложение решения, поиск оши-бок и недочетов в предложенном решении (оппонирование), оценку трудности задач (с целью выбора правильной игровой стратегии), а также прививает навыки ведения научной дискуссии.

С 1994 года в Ярославской области проводится областной тур-нир математических боев среди школьных команд. В самом первом турнире приняло участие всего 4 команды. Впоследствии количе-ство участников увеличивалось и в последние годы борьбу в тур-нире ведут более 20 школьных команд Ярославля и Ярославской области.

Правила математического боя За четыре десятка лет существования математических боев

правила этой игры сильно изменились, появилось множество до-полнительных условий, ограничений, поправок. В разных городах, на разных турнирах используются различные варианты правил (по-этому иногда участники турниров сталкиваются с непривычной трактовкой правил, что доставляет определенные неудобства), од-нако в целом структура игры осталась неизменной. Ниже приво-дится сокращенный вариант правил математического боя.


14

В математическом бою принимают участие две команды (обычно по 7-8 человек). В начале математического боя (матбоя) команды получают одинаковые подготовленные жюри комплекты условий задач (чаще всего 8) и в течение определенного времени (подготовительной части) решают их. В ходе решения задач ко-манда имеет право пользоваться любой имеющейся в наличии ли-тературой и непрограммируемыми вычислительными устройства-ми. Во время подготовительной части члены команды имеют право общаться лишь друг с другом и членами жюри. На решение обыч-но отводится 4 часа.

После окончания подготовительной части команды собираются в одном помещении, где проходит зрелищная часть математическо-го боя. В этот период времени команды рассказывают друг другу решения задач в определенном правилами порядке.

Для определения порядка вызовов проводится конкурс капита-нов, в котором капитаны команд решают не предлагавшуюся во время подготовительной части задачу. Тот из капитанов, который первым справится с предложенной задачей, объявляется победите-лем. После этого победившая в конкурсе капитанов команда опре-деляет, будет ли она делать первый вызов, или же она хочет быть сначала вызванной. Возможно также проведение конкурса капита-нов в другой форме (например, в виде некоторой игры). О форме проведения конкурса капитанов объявляет жюри.

После определения порядка вызовов начинается рассказ реше-ний. При этом команды последовательно рассказывают друг другу решения задач. Та из команд, которая обладает правом вызова, вы-зывает противоположную команду на одну из задач, решение кото-рой еще не рассказывалось (например: «Мы вызываем соперника на задачу № 5»). Команда может принять вызов и выставить к дос-ке докладчика, а вызвавшая команда выставляет к доске оппонента. Также команда может проверить корректность вызова (для этого достаточно сказать: «Проверка корректности»). В этом случае док-ладчика выставляет вызывавшая команда, а совершившая проверку корректности команда выставляет оппонента. После этого между докладчиком и оппонентом происходит обсуждение задачи.

Докладчик рассказывает решение задачи. Доклад должен со-держать ответы на все поставленные в задаче вопросы и доказа-тельство правильности и полноты полученных результатов. На


15

доклад обычно отводится 10 минут, но по решению жюри время может быть увеличено. Докладчик обязан доказывать каждое про-межуточное утверждение, либо ссылаться на него как на общеиз-вестное. Общеизвестными принято считать утверждения школьной программы, а также некоторые дополнительные факты (в любом случае вопрос об общеизвестности утверждения решается жюри). В свою очередь задачей оппонента является обнаружение в реше-нии ошибок и недочетов (если такие имеются). Каждая задача оце-нивается в 12 баллов, которые распределяются между командами (которые в каждом раунде представлены докладчиком и оппонен-том) и жюри.

Оппонент может уточнить некоторые моменты доклада (напри-мер, попросить уточнения какого-либо высказывания или предло-жить его более понятную переформулировку). Также оппонент име-ет право попросить докладчика доказать сформулированное тем не общеизвестное утверждение. В том случае, если на какие-либо во-просы оппонента докладчик не дал ответа, считается, что в решении обнаружена «дыра». Жюри оценивает стоимость «дыр», и оппонент получает, как правило, половину этой стоимости. Если в данном ра-унде не было проверки корректности вызова, то оппонент получает возможность закрыть «дыры» (доказав то, что не удалось сделать докладчиком, или, в исключительных случаях, рассказав свое реше-ние), за что может получить и оставшуюся стоимость «дыр». Ут-верждения, которые оппонент доказал лишь после вопросов оппо-нента или жюри, называются «грязью» (за что с докладчика снима-ют обычно не более двух баллов). Оппонент, после того как задаст все вопросы, высказывает резюме по докладу, давая общую его оценку и перечисляя моменты, которые не были доказаны. Далее в роли оппонента выступает жюри, и докладчик отвечает уже на его вопросы. После того как вопросов не остается, жюри объявляет счет по данному раунду, распределяя баллы по задаче между докладчи-ком, оппонентом и жюри. В спорных ситуациях жюри рассматрива-ет претензии капитанов по существу.

Если при вызове на задачу была проверка корректности и оп-поненту удалось обнаружить отсутствие решения (показал ли оп-понент, что задача не решена, определяет жюри), то вызов призна-ется некорректным и право вызова остается у той команды, кото-рая вызывала. В противном случае вызов признается корректным и


16

право вызова переходит к противоположной команде. Команда, обладающая в текущий момент правом вызова, может отказаться от него, в этом случае противоположная команда имеет право рас-сказать решения любых не рассказанных до этого задач с оппонен-том от отказавшейся команды, после чего бой заканчивается.

Во время доклада команда имеет право взять полуминутный перерыв (всего в распоряжении команд по ходу матбоя имеется шесть таких перерывов) для совещания со своим представителем у доски. Также команда имеет право заменять своего докладчика или оппонента (за это с команды снимается два полуминутных переры-ва). Каждый член команды имеет право выходить к доске не более двух раз, при этом не играет роли, был ли это выход с докладом или же выход на оппонирование. Участие в конкурсе капитанов выходом не считается.

По ходу математического боя докладчик, оппонент и жюри высказываются в вежливой и корректной форме, обращаются друг к другу строго на «Вы». Критика доклада не должна переходить в критику личности докладчика или оппонента. В течение математи-ческого боя жюри имеет право оштрафовать команду или отдель-ных ее членов за шум, некорректное поведение и прочие наруше-ния правил матбоя. В качестве штрафов жюри снимает имеющиеся у команды полуминутные перерывы, а также может лишить ко-манду права на дальнейшее обсуждение доклада или дисквалифи-цировать команду или отдельных ее членов.

Зрелищная часть математического боя заканчивается тогда, ко-гда рассказаны решения всех задач, или когда одна из команд со-вершила отказ от вызова, а другая команда предложила решения некоторых из оставшихся задач и больше с докладом выступать не будет. После окончания зрелищной части жюри подводит итоги, суммируя набранные командами баллы по задачам. В том случае, если разница набранных командами баллов не превышает трех, объявляется ничья, иначе победителем объявляется команда, на-бравшая больше баллов. Если бой не может окончиться вничью (например, в турнирах на выбывание), то победитель определяется путем так называемых «пенальти» (небольшое командное соревно-вание, победителем в котором объявляется команда, быстрее и правильнее справляющаяся с решением дополнительных задач).


17

Очевидно, правила математического боя достаточно сложны, поэтому по ходу математического боя жюри комментирует тонкие моменты правил командам. Также жюри является верховным тол-кователем правил матбоя и мотивирует все свои решения, не выте-кающие из правил напрямую.

Цели проведения математического боя Отметим некоторые особенности математического боя, сход-

ства и отличия от других форм математических состязаний и ос-новные цели, которых можно с их помощью достигнуть.

Как упоминалось ранее, неотъемлемой частью математическо-го боя является решение интересных, нестандартных задач различ-ной степени трудности. Таким образом, у участников матбоя фор-мируются навыки решения задач такого рода (в «экстремальных» условиях). В этом можно отметить сходство математического боя со многими формами внеурочной математической работы (с олим-пиадами, математическими аукционами, брейн-рингами, регатами и «математическими драками»). Участники математического боя сталкиваются с интересными и, возможно, не известными им до этого типами задач и практически сразу (во время зрелищной части или разбора задач членами жюри) знакомятся с общими принци-пами решения задач такого рода, что отчасти отличает матбой от упомянутых выше форм математических состязаний.

Математический бой принадлежит к категории командных со-стязаний, поэтому участники решают задачи не для себя, не для своего личного рейтинга (как в индивидуальных состязаниях), а для того, чтобы внести их в «копилку» своей команды, что повы-шает ее шансы на общий успех. При решении участники активно обмениваются мнениями по задачам. В процессе обсуждения задач во время подготовительной части боя члены команды приобретают навыки четкого изложения собственных идей, решений, выявления позитивных моментов и устранения имеющихся недостатков (в том числе в чужих решениях), что способствует формированию навы-ков групповой научной работы. Большую роль в организации игра-ет капитан, который координирует действия членов команды, рас-пределяет задачи, организует внутренний разбор решений задач, определяет возможную тактику команды, назначает докладчиков и оппонентов. Именно капитан в большей степени получает навыки организации групповой работы.


18

В отличие от других командных математических соревнова-ний, на математическом бою происходит групповая работа в тече-ние относительно длительного промежутка времени (для сравне-ния: во время математического брейн-ринга или математической регаты групповая работа, направленная на коллективное решение поставленных задач, продолжается в течение нескольких минут и не распространяется на процесс изложения решения).

Математический бой отличает от многих других форм матема-тических состязаний устное изложение решений поставленных за-дач. Стоит также отметить, что члены команд принимают участие в состязании друг с другом непосредственно, в отличие от многих других математических игр, когда команды или индивидуальные участники, в лучшем случае, отчитываются перед жюри, не всту-пая в прямое взаимодействие между собой. При этом участники боя в процессе доклада оттачивают навыки монологической речи. Необходимость четкого, последовательного изложения решения задач сразу осознается участниками, так как пробел в решении мо-жет стоить команде не просто потери баллов: фактически, упущен-ные по этой причине баллы чаще всего становятся «добычей» со-перника. В состязании примерно равных по силе соперников более четкая работа докладчиков может быть вознаграждена победой ко-манды, что стимулирует участников более аккуратно, четко и по-следовательно излагать имеющееся в наличии решение, не допус-кая ошибок и необоснованных утверждений.

Большое внимание на математическом бою уделяется выявле-нию ошибок и недочетов в решениях. В процессе отделения невер-ных правдоподобных утверждений от верных участники развивают критическое мышление. При этом упор делается на конструктив-ную критику предлагаемых решений: во время подготовительной части требуется четко указать на недостатки и устранить их совме-стными усилиями, возможно привлекая для этого имеющуюся в наличии литературу. Это же прослеживается и на зрелищной час-ти: конечно, оппоненту желательно задать вопрос так, чтобы не дать докладчику дополнительной информации, но в том случае, ес-ли докладчику не удается ликвидировать пробел в решении, оппо-нент должен в кратчайшее время найти возможные пути решения и самостоятельно исправить найденные ошибки, при этом команда может прийти на помощь своему представителю. Пропущенная


19

ошибка может привести к неправильному выбору тактики, что, в свою очередь, может послужить причиной поражения (например, в случае «сбоя» в порядке вызовов и передаче инициативы соперни-ку). Конечно, претензии у оппонента иногда возникают и к вполне верному решению, но, во-первых, таким образом осуществляется его «проверка на прочность», а во-вторых, мелкие придирки (вроде указания на неаккуратность построения чертежа или излишне на-стойчивое обращение внимания на различного рода оговорки) снимаются жюри. В любом случае от участников требуется пре-дельно корректное отношение друг к другу, ни в коем случае не допускается переход на личности. (Интересные примеры возмож-ных злоупотреблений во время математического боя описаны в иронической пьесе К. Кохася «Вызываем вас (пособие для начи-нающих)».)

Таким образом, во время математического боя мы имеем дело с коллективной деятельностью по решению поставленных проблем с последующим корректным конструктивным обсуждением возмож-ных путей их решения. Указанные выше признаки позволяют за-ключить, что в ходе рассмотренной формы математического состя-зания формируются первичные навыки творческой научной дея-тельности и ведения научной дискуссии. Участников игры нередко захватывает сам процесс совместного поиска решения новых задач, выдвижения своей точки зрения, поиска ошибок и путей их исправ-ления, при этом сам результат имеет второстепенное значение.

Об организации математических боев Ранее было показано, что проведение математических боев

преследует вполне серьезные цели. Не менее очевидно, что для то-го, чтобы это мощное средство формирования у школьников важ-ных умений и навыков эффективно работало, требуется кропотли-вая работа по организации данной формы внеклассного мероприя-тия. Большая ответственность при этом ложится на членов жюри.

Особое место в работе жюри занимает подбор задач. Это в ка-кой-то мере напоминает подбор задач для математической олим-пиады: в комплект обычно включают разнообразные по своей те-матике, нестандартные по формулировке или принципам решения относительно трудные задачи. Однако сама специфика игры имеет некоторые дополнительные условия, что несколько усложняет подбор задач.


20

Во-первых, редко встречаются задачи, предполагающие излиш-не большой объем технической работы при их решении. Обсужде-ние такого рода задач превращается в обсуждение однообразных выкладок, а также часто не укладывается в регламентированное время, отведенное на доклад. Вообще говоря, такими задачами ста-раются не злоупотреблять и на математических олимпиадах, но здесь это дополнительно подчеркивается самими правилами игры. Также не стоит забывать, что это увлекательное математическое со-стязание, в котором монотонный доклад, построенный на обилии однообразных выкладок, оказывается «не к месту».

Во-вторых, мало предложить просто интересную задачу с не-стандартной идеей решения. Математический бой – не просто со-ревнование по решению задач, это еще и работа докладчиков, изла-гающих решение, и оппонентов, выявляющих в нем недочеты. Со-ответственно задачи должны по возможности предоставлять пищу для обсуждения, поэтому часто содержат «подводные камни» (на-пример, подлежащие рассмотрению частные случаи, или разнооб-разные конфигурации фигурирующих в задаче объектов, каждая из которых требует отдельного изучения). В такой ситуации от док-ладчика требуется аккуратное рассмотрение всех встречающихся случаев, а оппонент должен внимательно следить за докладом, чтобы не пропустить какой-либо нерассмотренный случай.

По этим же причинам жюри также должно отлично владеть за-дачами и правилами. В течение подготовительной части математи-ческого боя члены жюри комментирует условия задач и правила, чтобы у команд не возникало некорректного или неверного их ис-толкования. (В правилах есть пункт, который гласит, что в случае неверного истолкования условия команда не получает никаких преимуществ, однако упущенные по этой причине баллы не добав-ляют радости командам.) Также жюри должно быть готово к тому, чтобы указать докладчику на возможные пробелы в решении, если они не будут обнаружены оппонентом, а эта задача упрощается, если жюри владеет возможными решениями задач.

Во время зрелищной части жюри лишь держит дискуссию в рамках правил, не допуская активного вмешательства в ее ход. Не-своевременное включение жюри в обсуждение задач может на-толкнуть докладчика на решение (или на недостающую его часть), а оппоненту указать на имеющиеся недочеты или, напротив, ли-


21

шить его «заслуженных» баллов за обнаружение ошибки. Поэтому чрезмерная активность жюри приводит к недовольству участвую-щих в обсуждении задачи сторон. Жюри подключается к обсужде-нию задач лишь тогда, когда завершилась дискуссия между док-ладчиком и оппонентом, и только после этого задает свои вопросы участникам.

После окончания обсуждения задачи жюри делает общие выво-ды: определяет, решена задача или нет, отмечает пробелы в реше-нии (возможно, указывая «стоимость» дыр в баллах), указывает, ка-кие из них были обнаружены оппонентом, решает вопрос о кор-ректности вызова. Данные выводы доносятся до команд, и лишь по-сле этого объявляется счет по докладу. Решение жюри, тем самым, оказываются мотивированными, что снимает большую часть пре-тензий команд.

В целом задачу жюри можно сформулировать так, как во мно-гих игровых видах спорта: хорошо, если жюри не замечают. Это оз-начает, что у команд должно сложиться ощущение того, что исход матбоя вплоть до мелочей зависит только от них самих, от их рабо-ты, от верности предпринятых ими ходов и от их просчетов. При этом не должно складываться впечатления, что на конечный резуль-тат повлияли какие-либо посторонние, внешние, причины: некор-ректная формулировка задач, ошибки жюри, неверное истолкование правил или действия, противоречащие правилам. Этим подчерки-ваются объективность оценок и результативность работы команд.

Задачи на математический бой подбираются с учетом предпо-лагаемой силы, уровня команд-участников. Действительно, боль-шую роль в математическом бою играет непосредственное реше-ние задач. С малым количеством решенных задач сложно рассчи-тывать на успех, в такой ситуации оказывается практически беспо-лезной любая стратегия. Однако если большинство задач оказались непосильными для обеих команд (если жюри предложило очень трудные задачи), то результат матбоя может оказаться весьма слу-чайным и может не отразить истинного уровня команд. Возможна и другая крайность: командам могут быть предложены слишком простые задачи, и команды, даже если они значительно различают-ся по уровню, могут легко с ними справиться, а исход математиче-ского боя будет зависеть от случайной ошибки докладчика или оп-понента при обсуждении задачи. Одинаково малоинтересна ситуа-


22

ция, когда решение задач не потребовало сколь бы то ни было зна-чительных усилий, и ситуация, когда серьезные попытки решения задач ни к чему не привели. В обоих случаях решение задач не доставит удовольствия командам, ведь при этом результат мало за-висит от затраченных усилий.

Чтобы избежать подобного рода ситуаций, обычно руковод-ствуются следующими правилами: во-первых, в комплекте должны быть задачи, с которыми справятся обе команды. Во-вторых, долж-ны быть задачи, справиться с решением которых крайне тяжело (обычно в комплект включают четное количество задач первого ро-да и четное число задач второго рода, чтобы снизить влияние отно-сительно случайных факторов, таких как порядок вызова). В-третьих, желательно наличие задач, с которыми справится только одна из команд. При этом команда, которая решает больше задач, пользуется некоторым преимуществом, однако соперники все же имеют возможность восполнить данный недостаток за счет верной стратегии и качественной работы в процессе обсуждения задач.

Для математического боя с участием относительно неопытных команд допускается включение большего количества «стандарт-ных» задач с той целью, чтобы участники чувствовали себя более комфортно при их решении. Во встречах команд математического кружка возможно наличие задач по разобранным на занятиях те-мам (с целью дополнительной проверки степени ее усвоения). Также необходимо учитывать возрастной состав участников: уче-ники шестых–седьмых классов обычно не приспособлены к целе-направленному решению задач в течение длительного промежутка времени, поэтому подготовительная часть в таком случае обычно сокращается до полутора - двух часов (а количество задач может быть уменьшено до шести). Соответственно, в бою с участием бо-лее старших и опытных участников возможно увеличение количе-ства задач и отводимого на их решение времени (что, например, и делается в финале ярославского областного турнира).

При организации турнира математических боев с участием не-скольких команд заранее определяется формат турнира. При не-большом количестве команд турнир удобно проводить по круговой системе, в котором каждая команда играет с каждой (так проводится турнир по подгруппам в уральском турнире юных математиков). Это имеет определенные преимущества: независимо от своего


23

уровня, команда участвует в нескольких играх, накапливая опреде-ленный опыт. Однако участие большого количества команд в кру-говом турнире не представляется возможным ввиду необходимости проведения значительного количества встреч между командами. В таком случае прибегают к «олимпийской» форме проведения тур-нира, в котором проигравший выбывает из дальнейшей борьбы, а победитель продолжает участие, встречаясь с победителями других встреч (по такой схеме проводится ярославский областной турнир математических боев). Допускается использование смешанной формы проведения турнира.

С целью повышения уровня зрелищности турнира желательно по возможности снизить вероятность встречи в бою команд с объек-тивно сильно отличающимся уровнем. В ярославском областном турнире эта задача частично решается на этапе формирования тур-нирной сетки: более сильные команды начинают участие в турнире с более высоких стадий (самые сильные команды вступают в борьбу с полуфинальных и четвертьфинальных игр). Поэтому на организа-торов ложится дополнительная работа по оценке начального уровня команд. Это осуществляется по предположительному наличию в со-ставе команд игроков с опытом участия в математических боях, а также призеров математических олимпиад различного уровня (от городского до российского).

Примеры предлагаемых задач Приведем пример комплекта задач, предложенных в финале

II лиги X ярославского областного турнира математических боев: 1. Внутри треугольника ABC отмечена точка O. Известно, что

∠OAC ≥ ∠OAB, ∠OBA ≥ ∠OBC, ∠OCB ≥ ∠OCA. Докажите, что O – центр вписанной в треугольник ABC окружности.

2. На шахматной доске 8×8 расставлено N фигур так, что в ка-ждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду стоит хотя бы одна фигура. При каком наименьшем значении N можно с уве-ренностью утверждать, что с доски можно убрать одну фигуру так, что и при этом в каждом горизонтальном и вертикальном ряду найдется хотя бы одна фигура?

3. Каждая сторона выпуклого четырехугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противопо-ложных сторонах соединены друг с другом; полученные клетки раскрашены в два цвета (черный и белый) в шахматном порядке.


24

Докажите, что сумма площадей белых клеток равна сумме площа-дей черных клеток.

4. Докажите, что квадратное уравнение с целыми нечетными коэффициентами не имеет рациональных корней.

5. Решите уравнение: 3x+16 = 5x. 6. Имеется группа из 9 человек. Известно, что среди любых че-

тырех из них обязательно найдутся двое знакомых. Докажите, что найдутся хотя бы трое попарно знакомых между собой человек.

7. На плоскости дано 3N точек, причем никакие три не лежат на одной прямой. Докажите, что можно начертить N треугольников с вершинами в этих точках, не пересекающихся и не содержащих друг друга.

8. Докажите неравенство: 2111...

411

311

211 3333 >

−

−

−

−

n.

В приведенном комплекте задач есть две достаточно легкие за-

дачи: № 3 (достаточно решить задачу для четырехугольника, раз-битого средними линиями на четыре части, после чего распростра-нить решение на указанный в условии случай) и № 5 (интуитивно понятное решение, которое нужно аккуратно «облачить» в строгие рамки). Задачи № 6 и № 8 весьма трудны, и команды с ними не справились. Остальные задачи были так называемого «среднего уровня».

Условия некоторых задач требовали дополнительных коммен-тариев. Например, в задаче № 2 оказалось необходимым отдельно прокомментировать слова «с уверенностью», а также пояснить, что значит найти минимальное значение параметра. К задаче № 3 ко-манды попросили привести чертеж, что и было сделано (так как, скорее всего, это не наводило на решение). А при ответе на вопрос по задаче № 7 («Достаточно ли привести алгоритм построения се-рии треугольников?») отмечена необходимость обоснования каж-дого шага решения и каждого ответа (фактически, необходимость доказательства корректности предлагаемого алгоритма).

Таким образом, во время подготовительной части иногда необ-ходимо отводить некоторое время на обучение, на ознакомление с правилами, на комментирование непривычных в некоторых случа-ях задач. В течение областного турнира математических боев мож-но заметить, что количество отводимого на такого рода задачи


25

времени сокращается по мере продвижения команд вверх по сетке турнира, что несложно объяснить постепенным накоплением опы-та. Поэтому в математических боях с участием команд высокого уровня работа жюри во время подготовительной части сводится к минимуму.

Литература 1. Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои: 5 – 11-е классы:

Книга для учителя. М.: Изд-во «Первое сентября», 2003. 2. Бахтина Т.П. Математикон 8: Готовимся к олимпиадам, турнирам и мате-

матическим боям: Пособие для учащихся общеобразоват. учреждений. Мн.: «Аверсэв», 2003.

3. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки: Пособие для внеклассной работы. Киров: Изд-во «АСА», 1994.

4. Федотов В. Математический бой // Квант. 1972. №10. 5. Мерзляков А.С. Факультативный курс по математике (первый год обуче-

ния). Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 2002.

Изучение темы “Взаимное расположение линейных многообразий в аффинном пространстве”

в курсе геометрии и алгебры

Г.М. Бродский Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

Тема “Взаимное расположение линейных многообразий в аф-финном пространстве” в том или ином объеме рассматривается во многих учебниках по геометрии и алгебре. Используемые при этом понятия (параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся линей-ные многообразия) появились из попыток описать взаимное распо-ложение линейных многообразий в n-мерном пространстве по ана-логии с известным из школьной геометрии случаем пространств размерностей 2 и 3. Однако при переходе к случаю n-мерного про-странства этих понятий оказывается недостаточно в связи с ростом числа различных случаев взаимного расположения. Авторы одних учебников по геометрии и алгебре ограничиваются введением и изучением указанных понятий для n-мерного случая (см., напри-мер, [1 – 3]). При этом отсутствие общепринятой терминологии приводит к тому, что два линейных многообразия, параллельные или скрещивающиеся в смысле одного из этих учебников, могут


26

оказаться не являющимися таковыми в смысле другого учебника. Алгоритмы, которыми сопровождается изложение темы, скажем, в [2], ориентированы лишь на грубую классификацию случаев вза-имного расположения двух линейных многообразий (параллельны они, пересекаются или скрещиваются). В других учебниках пред-принимается попытка полностью охарактеризовать взаимное рас-положение двух линейных многообразий некоторым набором це-лых неотрицательных чисел. Так, например, в [4] предлагается для такой характеризации использовать четверку чисел

)0( ),,,( 2121 nmkkkmkkk ≤≤≤≤≤ , где n – размерность точечного пространства V; 21 и kk – размерности линейных многообразий V1 и V2 в V, занумерованных так, что 21 kk ≤ ; k – степень парал-лельности V1 и V2, т.е. размерность пересечения их направляющих подпространств; m – размерность аффинной оболочки множества

21 VV ∪ . Отметим, что если числа 21 , , kkn считать заданными, то вместо четверки потребуется лишь пара целых неотрицательных чисел (k, m).

В [5] автор предложил излагать раздел “Аффинные простран-ства и линейные многообразия” с позиций теории многоосновных универсальных алгебр. В настоящей статье, во-первых, предлагает-ся при изложении темы использовать для характеризации взаимно-го расположения двух линейных многообразий единственное “чис-ло”, названное алгебраической степенью параллельности. (Слово “число” понимается здесь в некотором обобщенном смысле, на что и указывают кавычки.) Во-вторых, предлагается, на наш взгляд, наиболее удобная терминология для описания качественной карти-ны взаимного расположения линейных многообразий. В-третьих, для различных способов задания линейных многообразий уравне-ниями приводятся алгоритмы вычисления алгебраической степени параллельности. Здесь приводится лишь схема изложения темы в курсе геометрии и алгебры. Разумеется, само изложение темы для студентов в отличие от этой схемы должно быть менее формализо-ванным.

Всюду ниже (V, L) – это n-мерное точечно-векторное (аффин-ное) пространство над полем K, где V – точечное пространство, а L – соответствующее векторное пространство. Условимся употреб-лять обозначения: AS(V) и VS(L) – множества всех линейных мно-гообразий в V и всех векторных подпространств в L соответствен-


27

но; – направляющее подпространство линейного многообразия V1 в V; )( dim),( dep 2121 LLVV ∩= , где iL ( 2,1=i ), – степень па-раллельности линейных многообразий V1 и V2 в V; ⟩⟨ sll , ... , 1 – ли-нейная оболочка системы векторов Lll s ∈, ... ,1 ; W aff – аффинная оболочка непустого подмножества VW ⊆ ; ][P – координатный столбец точки VP∈ в заданной системе координат neOe ...1 точеч-но-векторного пространства (V, L); ][r – координатный столбец вектора Lr∈ в заданном базисе nee , ... ,1 векторного пространства L; )(Mat , Kqp – множество всех qp× - матриц над полем K; Kp – множество всех столбцов высоты p над полем K; Arg – ранг мат-рицы A над полем K.

Пусть 0±Z – множество всех пар ),( mε , где } , { −+∈ε и }0{∪∈Nm . Если 0≠m , то пары ) , ( m+ и ) , ( m− можно отожде-

ствить с соответствующими целыми числами m+ и m− . Пары ) 0 , ( + и ) 0 , ( − можно записывать в виде 0+ и 0− . Подчеркнем,

что 0 0 −≠+ , так что 0+ и 0− нельзя путать с целым числом 0. Итак, можно на 0±Z смотреть как на множество ненулевых целых чисел, к которому добавлены два новых различных элемента 0+ и

0− . Для краткости формулировок условимся называть 0±Z множе-ством обобщенных целых чисел. Превратим его в линейно упоря-доченное множество, положив . ...210012... <+<+<+<−<−<−<

Следуя общепринятым в теории частично упорядоченных множеств обозначениям, для любых 0, ±∈Zba , где ba ≤ , положим

} | { ],[ 0 bcacba ≤≤∈= ±Z . Пусть } , { :sgn 0 −+→±Z и }0{ : | | 0 ∪→⋅ ± NZ – отображе-

ния, определяемые условиями ε=asgn и ma = || для любого 0),( ±∈= Zma ε . Будем называть asgn и || a соответственно знаком

и абсолютной величиной обобщенного целого числа a. Алгебраи-ческой степенью параллельности линейных многообразий

)( AS, 21 VVV ∈ назовем обобщенное целое число ),( adep 21 VV , определяемое условиями

∅=∩−∅≠∩+

=21

2121 если ,

, если , ),( adep sgn

VVVV

VV и ),( dep |),( adep| 2121 VVVV = .


28

Утверждение 1. Если V – это n-мерное точечное пространство над полем K; Z∈21, kk ; nkk ≤≤ 21,0 и

} dim ; dim );( AS, | ),{()(Q 2211212121kVkVVVVVVVkk ==∈= ,

то adep индуцирует отображение 0)(Q21 ±→ ZVkk , образ которого

=+−++−≤

+−++∪+−+−−=

.),( max если )],,( min),0,( max[,1),( max если )],,( min),0,( max[)]0,1( max),,( min[

Q Im

212121

21

21212121

21

nkkkknkknkk

kknkknkkkk

kk

Доказательство. Положив ),( dep 21 VVk = , напомним, что

∅=∩+−+∅≠∩−+

=∪. если ,1

, если ,)( aff dim

2121

212121 VVkkk

VVkkkVV

Ясно, что необходимым и достаточным условием существова-ния пары )(Q),(

2121 VVV kk∈ , для которой ∅≠∩ 21 VV и kVV =),( dep 21 , является система неравенств

≤≤≤−+

),,( min0 ,

21

21

kkknkkk

т.е. условие ).,( min)0 , ( max 2121 kkknkk ≤≤−+

Аналогично, необходимым и достаточным условием сущест-вования пары )(Q),(

2121 VVV kk∈ , для которой ∅=∩ 21 VV и kVV =),( dep 21 , является система неравенств

≤≤≤+−+

),,( min0 , 1

21

21

kkknkkk

т.е. условие ).,( min)0 , 1( max 2121 kkknkk ≤≤+−+

Легко видеть, что целые числа k , удовлетворяющие последне-му двойному неравенству, существуют тогда и только тогда, когда

1),( max 21 −≤ nkk . Остается учесть определение ),( adep 21 VV . Утверждение 2. Пусть в системе координат neOe ...1 точечно-

векторного пространства (V, L) над полем K линейные многообра-зия V1 и V2 в V заданы соответственно общими уравнениями

11 ][ bPA = и 22 ][ bPA = , где )(Mat , KA nqi i

∈ и Kb iqi ∈ ( 2,1=i ). Тогда


29

≠

−

=

+

=

rg rg если ,

,

rg rg если , ),( adep sgn

22

11

2

1

22

11

2

1

21

bAbA

AA

bAbA

AA

VV

и

−=

2

1 21 rg |),( adep|

AAnVV .

Доказательство. Заметим, что подмножество VVV ⊆∩ 21 в системе координат neOe ...1 и подпространство )( VS21 LLL ∈∩ , где

iL ( 2,1=i ) , в базисе nee , ... ,1 задаются соответственно уравне-ниями

=

2

1

2

1 ][ bbP

AA и 0][

2

1 =

r

AA .

Доказательство завершается применением теоремы Кронеке-ра - Капелли и общеизвестной формулы для размерности про-странства решений однородной системы линейных уравнений.

Утверждение 3. Пусть в системе координат neOe ...1 точечно-векторного пространства ),( LV над полем K линейные многообра-зия VVV в и 21 заданы соответственно параметрическими урав-нениями

uDPP ][][ 1 1 += и vDPP ][][ 2 2 += , где VPP ∈21 , ; )(Mat , KD

ikni ∈ – матрица, по столбцам которой за-писаны координаты векторов некоторого базиса

iikii lll , ... ,, 21 под-пространства ( 2,1=i );

=

1

...1

ku

uu и

=

2

...1

kv

vv – столбцы параметров. Тогда

( ) ( )( ) ( )

≠−=+

=, ][|| rg| rg если , , ][|| rg| rg если ,

),( adep sgn2121

212121 lDDDD

lDDDDVV

где , и ( )21 2121 | rg |),( adep| DDkkVV −+= .


30

Доказательство. Положим )( aff 213 VVV ∪= и iL ( 3,2,1=i ). Поскольку

⟩⟨=iikiii lllL , ... ,, 21 )2,1( =i , то

⟩⟨=+21 2221 21 12 1 1 2 1 , ... ,,,, ... ,, kk llllllLL и ⟩⟨= ,, ... ,,,, ... ,,

21 2221 21 12 1 1 3 lllllllL kk . После этого первое из доказываемых равенств следует из рав-

носильности условий: 1) ∅≠∩ 21 VV ; 2) 2 1 3 LLL += . Для доказа-тельства второго равенства остается привлечь формулу Грассмана

)( dim)( dim 2 1 212 1 LLkkLL ∩−+=+ . Утверждение 4. Пусть в системе координат neOe ...1 точечно-

векторного пространства ),( LV над полем K линейные многообра-зия VVV в и 21 заданы соответственно общими и параметриче-скими уравнениями

11 ][ bPA = и vDPP ][][ 2 2 += , где )(Mat ,1 1KA nq∈ ; Kb q1 1 ∈ ;

VP ∈2 ; )(Mat2,2 KD kn∈ – матрица, по столбцам которой записаны

координаты векторов некоторого базиса 22221 2 , ... ,, klll подпро-

странства ;

=

2

...1

kv

vv – столбец параметров. Тогда

( ) ( )( ) ( )

−=−−=+

= ][| rg rg если , , ][| rg rg если ,

),( adep sgn21 121 21

21 121 21 21 PAbDADA

PAbDADAVV

и ( )21 221 rg |),( adep| DAkVV −= .

Доказательство. Для нахождения 21 VV ∩ подставим выраже-ние для [P] из параметрических уравнений линейного многообра-зия 2V в общие уравнения линейного многообразия V1. Применяя к полученной системе линейных уравнений

][ 21 121 PAbvDA −= теорему Кронекера - Капелли, получим первое из доказываемых равенств. Положим iL ( 2,1=i ). Поскольку 1 L и 2L задаются со-ответственно уравнениями

0][1 =rA и vDr ][ 2= ,


31

то для нахождения 21 LL ∩ следует рассмотреть однородную сис-тему линейных уравнений 0 21 =vDA . Пусть размерность про-странства ее решений равна k. Тогда skk −= 2 , где )( rg 21 DAs = . Пусть для определенности минор матрицы A1D2, расположенный в строках с номерами s, ... ,2,1 и столбцах с номерами

2, ... ,2,1 kkk ++ , является базисным. Тогда, выражая главные неиз-вестные

2, ... ,, 21 kkk vvv ++ через свободные неизвестные kvv , ... ,1 для

нахождения общего решения системы, получаем, что kkk vcvcv 11111 ... ++=+ ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 112 ksksk vcvcv ++=

для некоторой матрицы )(Mat)( , Kc ksij ∈ . Поэтому ...) ... (...{ 1,21111221121 ++++++=∩ +kkkkk lvcvclvlvLL

=∈+++ },...,|) ... ( 1211 2Kvvlvcvc kkksks

⟩+++⟨= ∑∑∑=

+=

+=

+

s

iikikk

s

iiki

s

iiki lcllcllcl

1,22

1,2222

1,2121 , ... , , .

Учитывая линейную независимость системы векторов 22221 2 , ... ,, klll , заключаем, что kLL =∩ )( dim 2 1 . Справедливость

второго из доказываемых равенств установлена. Отметим, что утверждения 2 – 4 обобщают факты, относящие-

ся к случаю аффинных пространств размерностей 2 и 3 и содержа-щиеся во многих учебниках по геометрии и алгебре (в задачнике [6] обоснование этих фактов предоставлено студентам в серии за-дач, имеющих теоретическое значение).

Перейдем к терминологии, дающей качественную картину вза-имного расположения линейных многообразий. Пусть

)( AS, 21 VVV ∈ , причем 11 dim kV = и 22 dim kV = . Линейные мно-гообразия 1V и 2V назовем сравнимыми, если 21 VV ⊆ или 12 VV ⊆ (т.е. ),( min),( adep 2121 kkVV += ). Таким образом, здесь имеется в виду сравнимость V1 и V2 по включению, и термин “сравнимые” заимствован из теории частично упорядоченных множеств. Линей-ные многообразия V1 и V2 назовем пересекающимися в широком смысле (или пересекающимися в теоретико-множественном смыс-ле), если ∅≠∩ 21 VV (т.е. ),( min),( adep0 2121 kkVV +≤≤+ ). В учебниках [2, 4, 7] пересекающиеся в широком смысле линейные


32

многообразия называются пересекающимися. Линейные многооб-разия V1 и V2 назовем пересекающимися в узком смысле, если V1 и V2 являются пересекающимися в широком смысле и не сравнимы-ми (т.е. ),( min),( adep0 2121 kkVV +<≤+ ). В [8] пересекающиеся в узком смысле линейные многообразия называются пересекающи-мися. Линейные многообразия V1 и V2 называются параллельными в широком смысле, если ⊆ или ⊆ (т.е.

),( min),( adep 2121 kkVV −= или ),( min),( adep 2121 kkVV += ). Этот термин используется в [10, 11], в [1, 2, 4, 7 – 9] вместо него исполь-зуется термин “параллельные”, а в [12] – термин “вполне парал-лельные”. Линейные многообразия 1V и 2V назовем параллельными в узком смысле, если 1V и 2V являются параллельными в широком смысле и не сравнимыми (т.е. ),( min),( adep 2121 kkVV −= ). Парал-лельные в узком смысле линейные многообразия размерностей 1≥ в [3] называются полностью параллельными, а в [10] – параллель-ными. Назовем степенью скрещивания линейных многообразий V1 и V2, не являющихся пересекающимися в широком смысле, це-лое неотрицательное число

),( dep),( min),( des 212121 VVkkVV −= .

Линейные многообразия 1V и 2V назовем скрещивающимися,

если V1 и V2 не являются ни пересекающимися в широком смысле, ни параллельными в узком смысле и ),( min),( des 2121 kkVV = (т.е. 0),( adep),( min 2121 −=<− VVkk ). В [9] скрещивающиеся ли-нейные многообразия называются абсолютно скрещивающимися. В [1, 3] под скрещивающимися линейными многообразиями пони-маются линейные многообразия V1 и V2, для которых

0),( adep 21 −=VV . Линейные многообразия V1 и V2 назовем парал-лельно-скрещивающимися, если V1 и V2 не являются ни пересе-кающимися в широком смысле, ни параллельными в узком смысле, ни скрещивающимися (т.е. 0),( adep),( min 2121 −<<− VVkk ). В [2, 4, 7 – 9] под скрещивающимися линейными многообразиями по-нимаются линейные многообразия V1 и V2, являющиеся в нашей терминологии скрещивающимися или параллельно-скрещиваю-щимися. В [3] под параллельными линейными многообразиями по-нимаются линейные многообразия V1 и V2 размерностей 1≥ , яв-


33

ляющиеся в нашей терминологии параллельными в узком смысле или параллельно-скрещивающимися.

Итак, в рамках грубой классификации для линейных многооб-разий )( AS, 21 VVV ∈ , где 11 dim kV = и 22 dim kV = , имеет место один и только один из следующих случаев взаимного расположе-ния: 1) V1 и V2 – сравнимые; 2) V1 и V2 – пересекающиеся в узком смысле; 3) V1 и V2 – параллельные в узком смысле; 4) V1 и V2 – скрещивающиеся; 5) V1 и V2 – параллельно-скрещивающиеся. От-метим, что не для любой тройки чисел ),,( 21 kkn , где N∈n ;

Z∈21, kk и nkk ≤≤ 21,0 , реализуются все пять случаев (см. утвер-ждение 1).

Литература 1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002. 544 с. 2. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. СПб.: Лань, 2003.

416 с. 3. Пензов Ю.Е. Аналитическая геометрия. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та,

1972. 367 с. 4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 2. Линейная алгебра. М.: Физмат-

лит, 2000. 368 с. 5. Бродский Г.М. Об общеалгебраическом подходе к изложению раздела

“Аффинные пространства” // Стимулирование академической активности студен-тов: Сб. науч. тр. Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 1991. С. 18 – 22.

6. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геомет-рии. М.: Наука, 1976. 384 с.

7. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970. 528 с.

8. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. 400 с. 9. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по анали-

тической геометрии и линейной алгебре. М.: Физматлит, 2001. 496 с. 10. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные не-

обходимыми из алгебры с приложением собрания задач, снабженных решениями, составленного А.С. Пархоменко. М.: Наука, 1968. 912 с.

11. Пизо Ш., Заманский М. Курс математики: Алгебра и анализ. М.: Наука, 1971. 656 с.

12. Яглом И.М. Пространства евклидовы и неевклидовы. Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 1980. 75 с.


34

О задачах на составление уравнений множеств точек

Г.М. Бродский Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

Существуют два подхода к преподаванию аналитической гео-метрии студентам прикладных специальностей. Первый подход вынужденным образом используется в некоторых технических ву-зах, где аналитическая геометрия является лишь одним из разделов курса высшей математики. (Разумеется, это не относится к втузам с расширенной программой по математике.) Он в значительной сте-пени сводится к перечислению на лекциях многочисленных фак-тов, содержащих формулы для решения задач. При этом из-за ог-раниченности времени приводится обоснование лишь части этих фактов, а процесс решения задач студентами зачастую сводится к подстановке числовых данных в известные формулы. Для обучения студентов университетской специальности “Прикладная математи-ка и информатика”, осваивающих аналитическую геометрию в рамках курса “Геометрия и алгебра”, представляется целесообраз-ным использование иного подхода. Этот второй подход преду-сматривает существенно более глубокое изучение материала. Он имеет целью не только вооружить студентов аппаратом, широко используемым в других курсах и приложениях, но и сделать их способными в дальнейшем, если это потребуется, пополнить имеющийся запас знаний. Вот почему, на наш взгляд, в преподава-нии геометрии и алгебры особое внимание следует уделять сле-дующему: 1) формированию алгебраического мышления; 2) разви-тию геометрической интуиции; 3) повышению логической культу-ры. Потребность в наиболее рациональном использовании времени учебных занятий заставляет по-новому организовать построение курса, используя группировку материала не только по предмету, но и по методу изучения. Эта тенденция нашла отражение в учебни-ках и задачниках по геометрии и алгебре (см., например, [1, 2]).

В адресованных молодым преподавателям методических ука-заниях [3] автор предложил четкие формулировки некоторых пра-вил, дающих единый метод решения задач на прямые и плоскости. В настоящей статье предлагается использовать в преподавании геометрии и алгебры задание множеств точек системами неявных


35

уравнений с параметрами. Этот способ задания обобщает стан-дартные (с помощью неявных или параметрических уравнений) и позволяет легко переводить ряд задач на составление уравнений множеств точек на алгебраический язык. Показывается, как для одних задач этот перевод немедленно приводит к системе неявных уравнений с параметрами, после чего остается лишь позаботиться о приведении системы к удобному виду с помощью исключения па-раметров (полного или частичного). Рассматриваются и ситуации, когда такой перевод не приводит непосредственно к системе урав-нений. Показывается, что даже в этих случаях есть возможность сформулировать конкретные правила организации дальнейших рассуждений, которые полезно иметь в виду студентам при реше-нии задач. Решение задачи с использованием систем неявных уравнений с параметрами может содержать три этапа. Первый из них – это перевод задачи на алгебраический язык, второй – нахож-дение системы неявных уравнений с параметрами, третий – нахож-дение эквивалентной ей системы неявных или параметрических уравнений. При этом, разумеется, некоторые из этих этапов могут оказаться лишними или тривиальными. В то же время, как показы-вает опыт преподавания, реализация каждого из этапов студентами может сопровождаться логическими ошибками. Примеры таких ошибок приводятся в статье.

Всюду ниже, если не оговорено противное, предполагается, что в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная сис-тема координат Oxyz. Впрочем, определения и правила, формули-руемые ниже, допускают очевидные обобщения на случай n-мер-ного аффинного пространства и аффинной системы координат. Рассмотрим систему неявных уравнений

=

=

0), ... ,,,,(. . . . . . . . . . . . . . .

,0), ... ,,,,(

1

11

pk

p

uuzyxF

uuzyxF (1)

с параметрами puu , ... ,1 . При этом не исключается случай, когда p=0, т.е. параметры отсутствуют. Будем говорить, что система (1) задает множество Q точек трехмерного пространства, если для вся-кой точки M(x,y,z)


36

R∈∃⇔∈ puuQM , ... , 1

=

=

.0), ... ,,,,(. . . . . . . . . . . . . . .,0), ... ,,,,(

1

11

pk

p

uuzyxF

uuzyxF

Рассматривая наряду с (1) другие системы такого вида, будем их нумеровать и обозначать множество, которое задает система (i), через Q(i). Итак, пусть задана еще одна система неявных уравнений

=

=

0), ... ,,,,(. . . . . . . . . . . . . . .

,0), ... ,,,,(

1

1 1

ql

q

vvzyxG

vvzyxG (2)

с параметрами qvv , ... ,1 . Будем говорить, что система (2) является следствием системы (1), если )2()1( QQ ⊆ . Системы (1) и (2) будем называть эквивалентными, если каждая из них является следствием другой, т.е. )2()1( QQ = .

Переходя к формулировке шести правил, отметим прежде все-го, что они содержат не утверждения, которые обязательно следует сформулировать студентам, а способы рассуждений, которым их рекомендуется научить (возможно, в процессе обсуждения реше-ний конкретных задач).

Правило 1. Пусть каждой точке ),,( 0000 zyxM множества (на-пример, линии) Q(1) сопоставлено множество (например, линия)

0MQ , заданное системой неявных уравнений

=

=

0), ... ,,,,,,,(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,0), ... ,,,,,,,(

1 000

1 0001

rm

r

wwzyxzyxH

wwzyxzyxH

с параметрами rww , ... ,1 . Если искомое множество (например, по-верхность) задано (или его удалось представить) как

)1(00

QM

MQ∈

, то

его можно задать системой неявных уравнений


37

=

==

=

0), ... ,,,,,,,(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,0), ... ,,,,,,,(

,0), ... ,,,,(. . . . . . . . . . . . . . . . . . ,0), ... ,,,,(

1 000

1 0001

1000

10001

rm

r

pk

p

wwzyxzyxH

wwzyxzyxHuuzyxF

uuzyxF

(3)

с параметрами rp wwuuzyx , ... ,,, ... ,,,, 1 1000 . Отметим, что система (3) неудобна для использования: ее пер-

вые k уравнений содержат лишь параметры и не содержат коорди-нат x,y,z. Поэтому после применения правила 1 целесообразно вы-полнение этапа 3, отмеченного выше. Правило 1 оказывается по-лезным при составлении уравнений поверхностей, получаемых пу-тем движения линии по заданной траектории. В геометрическом моделировании [4] такие поверхности называются поверхностями движения, или кинематическими поверхностями. Примерами могут служить поверхности вращения; цилиндрические и конические по-верхности; поверхности, заметаемые подвижной параболой при скольжении по неподвижной (см. задачу 1000 из [5]). Правило 1 применимо и в ситуациях, когда каждое множество

0MQ является точкой (например, если требуется составить уравнение проекции линии )1(Q на заданную плоскость; уравнение линии, симметрич-ной )1(Q относительно заданной плоскости, и т.п.). Так что при изучении, скажем, геометрических преобразований тоже есть воз-можность его использования.

Пример 1. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющей которого служит парабола

==

.1,22

zpxy (4)

Решение. Рассматриваемый конус – объединение прямых

===

,,,

0

0

0

tzztyytxx


38

проходящих через начало координат и точку ),,( 0000 zyxM пара-болы (4). Поэтому его можно задать системой неявных уравнений

=====

tzztyytxx

zpxy

0

0

0

0

020

,,

,1,2

(5)

с параметрами tzyx ,,, 000 . Остается выполнить последний, третий, этап. Заметим, что при исключении параметров желательно обой-тись без использования равенств

tzz

tyy

txx === 000 ; ; .

Это связано с тем, что параметр t может принимать значение 0, и случай 0=t тогда придется рассматривать отдельно. Удобнее, вы-ражая из первых двух уравнений системы (5) параметры x0 и z0 и подставляя в последние три, получить систему

==

=

.,

,21

0

20

tztyy

typ

x

(6)

Покажем два способа организации дальнейших рассуждений. Способ 1. Уравнения (6) – это параметрические уравнения

множества Q(6). Поскольку )6()5( QQ ⊆ , остается установить спра-ведливость обратного включения. Действительно, положив

;1 ;21

0200 == zy

px из (6) выводим (5). Переобозначив y0 через S,

получаем ответ в виде параметрических уравнений:

==

=

.,

,21 2

tzsty

tsp

x


39

Отметим, что в геометрическом моделировании параметриче-ские уравнения широко используются наряду с неявными [4].

Способ 2. Пытаясь выполнить полное исключение параметров, умножим первое уравнение системы (6) на t. Из полученного ра-

венства 20 )(

21 typ

xt = с учетом двух последних уравнений системы

(6) находим, что 2

21 yp

xz = , т.е.

.22 pxzy = (7) Типичной ошибкой, допускаемой студентами на третьем этапе,

является объявление уравнения (7) решением задачи. На самом де-ле доказано лишь, что )7()5( QQ ⊆ . Для доказательства обратного включения рассмотрим сначала случай, когда 0≠z . Тогда, полагая

1 ; ; ; 000 ==== zzyy

zxxzt ,

из (7) действительно получаем (5). Однако рассмотрение случая, когда 0=z , показывает, что включение )5()7( QQ ⊆ неверно. Дей-ствительно, прямая

==

0,0

zy

не содержится в конусе (5), так как его пересечение с плоскостью 0=z состоит из одной точки O(0,0,0). Одна из простейших возмож-

ностей получить ответ в виде системы неявных уравнений такова. Заметим, что из (5) следует, что 0))(sgn1( 2 =− zx , где

<−=>

=.0 если ,1,0 если ,0 ,0 если ,1

sgnzzz

z

Поэтому )8()5( QQ ⊆ для системы неявных уравнений

=−=−

,0))(sgn1( ,02

2

2

zxpxzy (8)

причем проверка включения )5()8( QQ ⊆ проходит и в случае z = 0.


40

Правило 2. Если искомое множество задано (или его удалось представить) как )2()1( QQ ∩ , то его можно задать системой неяв-ных уравнений

=

==

=

0), ... ,,,,(. . . . . . . . . . . . . . .

,0), ... ,,,,(,0), ... ,,,,(

. . . . . . . . . . . . . . . . ,0), ... ,,,,(

1

1 1

1

11

ql

q

pk

p

vvzyxG

vvzyxGuuzyxF

uuzyxF

(9)

с параметрами qp vvuu , ... ,,, ... , 1 1 . Правило 2 оказывается полезным, в частности, при исследова-

нии взаимного расположения двух множеств точек (например, ли-нейных многообразий), при нахождении линий пересечения двух поверхностей (например, сечений поверхностей плоскостями) и при составлении общих уравнений прямой в трехмерном простран-стве. Одна из возможных логических ошибок при использовании правила 2 совершается при нарушении условия

∅=∩ }, ... ,{}, ... ,{ 1 1 qp vvuu вопреки тому, что qp vvuu , ... ,,, ... , 1 1 – попарно различные переменные. Примером служит неправильное нахождение точки пересечения двух прямых, заданных параметри-ческими уравнениями, когда при составлении системы (9) в каче-стве параметров u1 и v1 используется одна и та же буква t. Чтобы показать другую логическую ошибку, приведем

Пример 2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (2,1,0) и пересекающей две прямые

=+=+−=

tzty

tx

3,1

,21 (10)

и

=+−=

+=

.3,2,92

tztytx

(11)

Система координат аффинная.


41

Решение. Прямая (10) проходит через точку )0,1,1(1 −P и имеет направляющий вектор )3,1,2( ; прямая (11) проходит через точку

)0,2,2(2 −P и имеет направляющий вектор )3,1,9( . Легко видеть, что данные прямые скрещиваются. Поскольку = )0,0,3( и

= )0,3,0( , где )0,1,2(0 P – данная точка, то не коллинеарен

и не коллинеарен . Следовательно, однозначно опреде-лены плоскости, проходящие через данную точку и данные пря-мые. Уравнения этих плоскостей

0 001312

12 =

−− zyx; 0

010319

12 =

−− zyx;

или 033 =−− zy ; 023 =−− zx . Если искомая прямая существует, то она является линией пересечения этих плоскостей. Типичной ошибкой является объявление общих уравнений

=−−=−−

023,033

zxzy

(12)

решением задачи. На самом деле искомая прямая не существует. Действительно, если прямая V1 лежит в плоскости, проходящей че-рез прямую V2 и точку 2VP∉ , и проходит через точку P, то V1 либо пересекает прямую V2, либо параллельна ей. Поэтому необходимо проверить, не оказалась ли прямая (12) параллельна одной из дан-ных прямых (т.е. не оказалась ли одна из найденных плоскостей, проходя через одну из данных прямых, параллельна другой). По-скольку прямая (11) параллельна плоскости 033 =−− zy , заклю-чаем, что задача не имеет решений. Отметим, что указанная выше ошибка в решении задачи делается на первом этапе, когда с целью перевода задачи на алгебраический язык используется ее перефор-мулировка, носящая характер неравносильного перехода. Остается высказать пожелание, чтобы аналогичные примеру 2 задачи (с чи-словыми данными, при которых искомая прямая не существует) появились в задачниках по геометрии и алгебре, давая возмож-ность студентам учиться на своих ошибках.

Правило 3. Пусть задано множество (например, линия) )1(Q и известно, что искомое множество (например, поверхность) Q при-надлежит семейству множеств


42

Waaaa sQ ∈= ),...,( 1

)( , где W – заданное непустое подмножество арифметического век-торного пространства . , NR ∈ss Пусть каждое множество

)( WaQa ∈ задано системой неявных уравнений

=

=

0), ... ,,, ... ,,,,(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,0), ... ,,, ... ,,,,(

11

111

qsm

qs

ttaazyxK

ttaazyxK

с параметрами qtt , ... ,1 . Если известно, что QQ ⊆)1( , то при нахож-дении искомого множества Q (т.е. таких Wa∈ , что aQQ = ) можно использовать условие

R∈∀ puuzyx , ... ,,,, 1

⇒

=

=

0), ... ,,,,(. . . . . . . . . . . . . . .

,0), ... ,,,,(

1

11

pk

p

uuzyxF

uuzyxF

=

=∈∃⇒

0), ... ,,, ... ,,,,(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,0), ... ,,, ... ,,,,(

, ... ,

11

111

1

qsm

qs

q

ttaazyxK

ttaazyxKtt R . (13)

Правило 3 оказывается полезным при составлении уравнений поверхностей из некоторого семейства, проходящих через задан-ную линию; при нахождении прямых, целиком лежащих не по-верхности (например, прямолинейных образующих), и т.п.

Пример 3. Составить уравнение гиперболического параболои-да, проходящего через гиперболу

==−+

,,1)1( 22

yzxy (14)

зная, что его плоскости симметрии совпадают с двумя плоскостями координат Oxz и Oyz и что третья координатная плоскость пересе-кает его по паре прямых.

Решение. Если плоскости симметрии гиперболического пара-болоида совпадают с плоскостями Oxz и Oyz, и единственной пер-пендикулярной им плоскостью, пересекающей его по паре прямых является плоскость Oxy, то, как известно, уравнение гиперболиче-ского параболоида имеет вид


43

zqy

px 2 ~ ~

22=− (15)

для некоторых R∈qp ~,~ , таких, что 0~~ >qp . Поскольку он проходит через гиперболу (14), то

R∈∀ zyx ,,

=−⇒

==−+ 2 ~ ~ ,1)1(

2222z

qy

px

yzxy . (16)

Покажем три способа организации дальнейших рассуждений, каждому из них предпослав формулировку некоторого правила.

Прежде чем сформулировать правило 4, напомним, что курс геометрии и алгебры изобилует ситуациями, в которых приходится иметь дело с бесконечными системами каких-либо условий. Весь-ма общий подход к организации рассуждений в таких ситуациях указывает

Правило 4. Если требуется получить или использовать уже по-лученную бесконечную систему каких-либо условий, то целесооб-разно попытаться сделать это с привлечением некоторой ее конеч-ной подсистемы, выбранной подходящим образом. При этом сле-дует позаботиться о том, чтобы замена бесконечной системы ее конечной подсистемой не свелась к переформулировке задачи, но-сящей характер неравносильного перехода.

Способ 1. Выделяя из системы условий (16) конечную подсис-тему, возьмем на гиперболе (14) две точки: )1,1,3( и )3,3,3( −− . Тогда в силу (16) имеем

−=−

=−

,6 ~9 ~

3

,2 ~1 ~

3

qp

qp

откуда находим, что 1~ =p и 1~ =q . Типичная ошибка, допускаемая студентами на втором этапе при таком способе решения, заключа-ется в том, что уравнение zyx 222 =− сразу объявляется искомым. Сначала надо убедиться в справедливости утверждения

R∈∀ zyx ,,

=−⇒

==−+ 2 ,1)1( 22

22zyx

yzxy .

С этой целью докажем равносильное ему утверждение


44

R∈∀ zyx ,,

==−

⇒

==−+ ,2 ,1)1(

2222

yzzyx

yzxy .

Это легко сделать, заметив, что

==−+

⇔

==−

.,1)1( ,2

2222

yzxy

yzzyx

Итак, zyx 2 22 =− – искомое уравнение. Правило 5. При использовании условия (13) для нахождения

saa , ... ,1 целесообразно попытаться из системы (1) выразить x,y,z через puu , ... ,1 и подставить в условие

=

=∈∃

.0), ... ,,, ... ,,,,(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,0), ... ,,, ... ,,,,(

, ... ,

11

111

1

qsm

qs

q

ttaazyxK

ttaazyxKtt R . (17)

Если это невозможно сделать (например, если p = 0), то можно пытаться из системы (1) выразить, скажем, x и y через puuz , ... ,, 1 (или выразить x2 и y через puuz , ... ,, 1 , если в (17) входят только четные степени x, и т.п.) и подставить в (17). Наконец, если, на-пример, p = 0 и часть переменных x,y,z не удается выразить через остальные, можно попытаться сначала заменить систему (1) на эк-вивалентную ей систему параметрических уравнений.

Способ 2. Поскольку

=−+=

⇔=

=−+,

,1)1( ,1)1( 2222

yzyx

yzxy

то, подставляя полученные выражения для x2 и z в уравнение (15), приходим к условию

.0 1 ~12 ~

1 ~1 2 =

−+

−∈∀ y

py

qpy R

Приравнивая коэффициенты получившегося в левой части ра-венства квадратного трехчлена нулю, находим, что 1~ =p и 1~ =q .

Правило 6. Если множество Q(1) лежит в некоторой плоскости (например, одним из уравнений системы (1) является общее уравне-ний некоторой плоскости), то для использования условия (13) мож-но привлечь проектирование на одну из координатных плоскостей.

Способ 3. Условие (16) равносильно следующему:


45

R∈∀ zyx ,,

=

=−⇒

==−+ ,2 ~ ~ ,1)1(

2222

yz

zqy

px

yzxy , (18)

т.е. условию

R∈∀ zyx ,,

=

=−+

⇒

==−+ ,1 ~~ ~

)~( ,1)1(

2

2

222

yzqp

xq

qy

yzxy .

На втором этапе при таком способе решения студенты часто

допускают следующую неточность. Вместо (18) делается утвер-ждение, что линией пересечения гиперболического параболоида (15) с плоскостью z = y является гипербола (14). Конечно, это более сильное утверждение в данном случае нетрудно обосновать. Но эти усилия будут напрасными, так как это утверждение не нужно для решения задачи. По-видимому, следует обращать внимание сту-дентов на неустойчивость подобного рассуждения к обобщениям. Например, тор

222222 )3()(16 +++=+ zyxyx проходит через окружность

==+−

,0,1)2( 22

yzx

но пересечение его с плоскостью 0=y является объединением двух окружностей

==+±

.0,1)2( 22

yzx

Продолжая решение задачи, из того, что гипербола (14) содер-жится в гиперболе

,

,1 ~~ ~)~( 2

2

2

=

=−+

yzqp

xq

qy

заключаем, что такое же включение имеет место для их проекций на плоскость Ox,y, т.е.


46

R∈∀ zyx ,,

=

=−+

⇒

==−+

0

,1 ~~ ~)~(

0

,1)1( 2

2

222

zqp

xq

qy

zxy .

Отсюда, учитывая известную форму гиперболы 1 2

2

2

2−=−

by

ax

(и, следовательно, гиперболы 1 )( 2

2

2

2−=

+−

bcy

ax ), выводим, что

1~ =q ; 1~2 =q ; 1~~ =qp ; т.е. 1~ =p и 1~ =q .

Литература 1. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. СПб.: Лань, 2003.

416 с. 2. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и за-

дачи. 1. М.: ИКД “Зерцало-М”, 2003. 430 с. 3. Бродский Г.М. Аналитическая геометрия: Методические указания к прове-

дению практических занятий. Ярославль: Яросл. гос. ун-т, 1978. 12 с. 4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование. М.: Физматлит, 2002. 472 с. 5. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геомет-

рии. М.: Наука, 1976. 384 с.

О важности использования математического инструментария в решении

экономических задач школьного курса экономики

Н.Л. Будахина Ярославский государственный педагогический

университет им. К.Д. Ушинского

О важности и необходимости преподавании экономики в шко-ле ведется немало разговоров. Актуальность включения предмета в школьный базисный учебный план связывают с наступлением ры-ночных отношений в нашей стране, и главная задача педагога - научить школьника мыслить экономически грамотно, подготовить его к принятию правильных и рациональных решений и поступков. Особенно эта задача обострилась в связи с последними постанов-лениями и решениями правительства в сфере образования.


47

Среди приоритетных направлений модернизации образования, опубликованных в "Учительской газете" № 22 от 30.05.2003 г. в статье "Стратегия развития образования", названы: "Усиление социальной и гуманитарной ориентированности

общего образования, расширение и конкретизация его социального и культурного контекста. Для этого, прежде всего, необходимо преодолеть технократизм школьного образования, вывести на должный уровень предметы социально-гуманитарного цикла (пра-во, экономика, основы политической системы, общественного уст-ройства, иностранные языки должны преподаваться в объеме, дос-таточном для полноценной гражданской деятельности выпускни-ков школы)…; усиление практической ориентации и инструментальной на-

правленности общего среднего образования, что означает: - достижение оптимального сочетания фундаментальных и

практических знаний; направленность образовательного процесса не только на усвоение знаний, но и на развитие способностей мышления, выработку практических навыков;

- изучение процедур и технологий, а не набора фактов; - расширение различного рода практикумов, интерактивных и

коллективных форм работы; привязка изучаемого материала к про-блемам повседневной жизни, и т.д.".

Другими словами, перед общеобразовательной школой ставит-ся задача формирования целостной системы универсальных зна-ний, умений, навыков, а также опыта самостоятельной деятельно-сти и личной ответственности обучающихся, т.е. ключевых компе-тенций, определяющих современное качество образования.

Однако сложившаяся образовательная практика порой проти-воречит новым взглядам на сущность качественного изменения общего образования, формируя проблемы модернизации. О.Е. Ле-бедев, руководитель Экспертно-аналитического центра при Нацио-нальном фонде подготовки кадров, доктор педагогических наук, профессор, член-корреспондент РАО, выделяет, по крайней мере, восемь проблем модернизации содержания школьного образова-ния. Не называя всех проблем модернизации содержания образо-вания, считаю необходимым выделить одну из них, актуальную для преподавателей всех учебных дисциплин и экономики в том числе - это проблема соотношения изучения социального опыта и


48

формирования собственного опыта учащихся в различных видах деятельности. "В этой связи основным результатом должна стать не система знаний, умений и навыков сама по себе, а набор ключе-вых компетентностей в интеллектуальной, социально-правовой, коммуникационной, информационной и прочих сферах" [1].

На мой взгляд, такая правительственная стратегия на форми-рование "ключевых компетентностей" предполагает и изменение методов обучения, уделяя больше внимания тем из них, которые формируют практические навыки и способствуют усилению роли самостоятельной работы учащихся. Более того, именно решение экономических задач на уроках экономики или обществознания в процессе обучения этому предмету предполагает реализацию принципа субъектности и включение в учебное занятие приемов и методов актуализации субъектного опыта учащихся, а значит, и способствует формированию социальной компетентности, усили-вает роль самостоятельной деятельности. Убеждена в том, и мно-голетняя практика преподавания подтверждает, что использование задач по экономике имеет ряд преимуществ по сравнению с други-ми возможными формами работы в процессе освоения учащимися нового материала и для проверки их знаний имеет ряд преиму-ществ. Решение задач, на мой взгляд, особенно эффективно ввиду их практической направленности, так как задачи позволяют:

- учащимся применить свои знания к анализу конкретных со-бытий реальной экономической действительности;

- проверить знания по всей программе и осуществить узко-выборочную проверку, сконцентрированную на наиболее важных или «традиционно» наиболее трудных понятиях или темах;

- решение задач упрощает понимание сложных экономических явлений.

Содержание задач и упражнений необходимо подбирать в со-ответствии Обязательному минимуму содержания среднего общего образования по экономике, утвержденному приказом Минобразо-вания России от 30.06.99 г. № 56, и оно не должно быть перегру-жено задачами повышенной сложности. Решение задач в школьном курсе экономики ставит своей целью не только разъяснение и ос-воение основных, базовых, понятий, а скорее актуализацию эконо-мического мышления учащихся. А интеграция математических и экономических знаний при этом способствует целостному воспри-


49

ятию экономических явлений, формированию навыков рациональ-ного экономического поведения.

В связи с этим возрастает роль умений и навыков самого учи-теля решать и использовать на уроках экономические задачи. Большая роль в овладении методикой решения стандартных задач по экономике отводится математической подготовке учителя и учеников. Так, условие максимизации прибыли MR(Q)=MC(Q) может быть строго и корректно объяснено, используя математиче-ский инструментарий. Дана функция прибыли П(Q) = TR(Q) - TC(Q), и нужно определить ее максимум. Это обычная задача на нахождение экстремума, и решается она стандартным способом – берется первая производная функции прибыли и приравнивается к нулю:

0=−=dQ

dTCdQdTR

dQdП .

Отсюда следует, что условие максимизации прибыли – это

dQdTC

dQdTR

= . Нетрудно видеть, что при очень маленьких прираще-

ниях объема выпуска, когда 0→∆Q , предельная выручка будет не чем иным, как первой производной функции общей выручки,

QQTRQMR

∆∆

=)()( ,

а предельные издержки – первой производной функции общих из-держек

QQTCQMC

∆∆

=)()( .

Действительно, dQdTR

QTR

Q=

∆∆

→∆ 0lim и

dQdTC

QTC

Q=

∆∆

→∆ 0lim . Следова-

тельно, MR(Q) = MC(Q) в точке максимума функции прибыли. Безусловно, эта часть объяснения материала не является обяза-

тельной в школьном курсе, тем более что преподают экономику в школах и географы, и историки, в основном, неспециалисты. Педа-гоги хотя и владеют большим количеством содержательной ин-формации по предмету, но математический аппарат, применяемый


50

при решении задач, у них оказывается явно недостаточным. В дан-ном случае учителю следует не только учитывать математическую подготовку своих учащихся, но и привлекать имеющиеся у них знания по математике для объяснения материала на уроке. Актуа-лизировав тем самым собственный опыт ребенка, учитель имеет возможность формировать интегративное мышление учащихся, опираясь на межпредметные связи и повышая познавательную ак-тивность класса.

В качестве примера, подтверждающего важность практическо-го применения знаний, умений и навыков по определению произ-водной, рассмотрим тестовое задание № 19 по экономической тео-рии Всероссийской олимпиады школьников по основам предпри-нимательской деятельности и потребительских знаний:

Зависимость общих затрат (ТС) фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, от величины выпуска описывается формулой: TC =120Q2 - 80Q +100 (Q - величина выпуска, тыс. еди-ниц). Если на рынке установилась цена, равная 640 руб. за едини-цу, то максимальную прибыль фирма получит, произведя и продав:

А) 2 тыс. ед. Б) 3 тыс. ед. В) 375 единиц. Г) Нельзя определить. Развернутое решение тестового задания выглядит следующим

образом. Условие максимизации прибыли фирмы, действующей на

рынке совершенной конкуренции: pMRMC == , (1)

где МС – предельные издержки фирмы, MR – предельная прибыль, р – цена изделия. А предельные издержки (МС) можно получить, взяв производ-

ную от общих издержек (ТС), т.е. МС = ТС', отсюда МС = ТС' = (120 Q2)' - (80Q)' + 100 = 2 × 120 Q – 80. Подставив по-лученные данные в уравнение (1), получаем:

240 Q - 80 = 640 → Q = 3 тыс. Эту задачу легко интерпретировать в упражнение, позволяю-

щее провести отработку навыков нахождения таких экономических величин, как общие и предельные издержки, а также общая и пре-дельная прибыль. Построение графика по данным этого упражне-ния облегчает понимание нахождение оптимального объема вы-пуска, максимизирующего прибыль фирмы.


51

Упражнение В таблице приведены данные о цене единицы продукции, объ-

емах выпуска и соответствующей им величине общих издержек фирмы, работающей на совершенно конкурентном рынке.

1) Рассчитайте общую выручку фирмы при каждом возможном объеме выпуска и заполните третью колонку таблицы.

2) Рассчитайте предельную выручку фирмы при каждом воз-можном объеме выпуска и заполните четвертую колонку таблицы. О чем говорят ваши расчеты?

3) Рассчитайте предельные издержки при каждом возможном объеме выпуска и заполните шестую колонку таблицы.

4) Определите объем выпуска, при котором фирма получит максимальную прибыль.

5) Подсчитайте прибыль фирмы при каждом возможном объе-ме выпуска и удостоверьтесь в том, что фирма действительно мак-симизирует свою прибыль, осуществляя тот объем выпуска, кото-рый отвечает условию максимизации.

Цена

единицы продукции

Р, руб.

Выпуск продукции

Q, тыс. шт.

Общая выручка TR, руб.

Предельная выручка MR, руб.

Общие издержки ТС, руб.

Предельные издержки МС, руб.

Общая прибыль П,

руб.

640 0 640 1 640 2 640 3 640 4 640 5 640 6

Решение. Выполнение этого упражнения требует от учителя и учащихся

в дополнение к расчетным экономическим формулам элементар-ных математических знаний по применению арифметических дей-ствий. Заполнение 3-й колонки не вызовет особого труда, так как достаточно перемножить данные первых двух колонок.

Выручка (R) = Количество изделий (Q) × Цена изделия (p). Предельная выручка (MR) находится простым вычитанием и

делением, так как показывает выручку каждой последней единицы изделия:


52

QQTRQMR

∆∆

=)()( .

Например, при Q1 = 1 тыс. ед., TR1 = 640 тыс. руб., а при Q0 = 0 тыс. ед., TR0 = 0, тогда

MR = (TR1 – TR0) : (Q1 – Q0 ) = 640 тыс. руб. Для заполнения 5-й колонки достаточно подставить данные из

2-й колонки (Q) в уравнение TC = 120Q2 - 80Q +100. Например, при Q1 = 1 тыс. ед. ТС = 120 × 12 - 80 × 1 + 100 = 140 тыс. руб.

Предельные издержки (МС) в 6-й колонке также находятся простым вычитанием и делением, так как показывают, во сколько обходится производителю последняя произведенная единица про-дукции

QQTCQMC

∆∆

=)()( .

Например, при Q1 = 1 тыс. ед. TС1 = 140 тыс. руб., а при Q0 = 0 тыс. ед. TС0 = 100 тыс. руб., тогда MС = (TС1 – TС0) : (Q1 – Q0) = 40 тыс. руб.

Любую прибыль, в том числе и общую (7-я колонка), можно получить простым вычитанием затрат из выручки. Полностью за-полненная таблица выглядит следующим образом:

Цена ед. продукции

Р, руб.

Выпуск продукции

Q, тыс. шт. в день

Общая вы-ручка TR, тыс. руб.

в день

Предель-ная выруч-

ка MR, тыс. руб.

Общие издержки ТС, тыс.

руб. в день

Предель-ные из-держки

МС, тыс. руб.

Общая прибыль П, тыс. руб.

в день

640 0 0 - 100 - -100 640 1 640 640 140 40 500 640 2 1280 640 420 280 860 640 3 1920 640 940 520 980 640 4 2560 640 1700 760 860 640 5 3200 640 2700 1000 500 640 6 3840 640 3940 1240 -100

Данные в таблице четко показывают оптимальный объем, мак-симизирующий прибыль.

Заполненная таблица может служить и объектом для развития аналитических способностей учащихся. Осуществляя дифферен-цированный подход в обучении, учитель может предложить уча-щимся с хорошей математической подготовкой построить графики зафиксированных в таблице экономических величин, что послужи-


53

ло бы хорошим логическим завершением и обобщением материала по данной теме.

На этом примере я хотела показать, как владение математиче-ским инструментарием помогает учителю экономики повышать познавательный интерес к своему предмету, добиваться самоак-туализации учащихся, формировать у них экономическое мышле-ние. Это поможет и самим педагогам реализовать свой творческий потенциал и быть компетентными в преподавании такого социаль-но-значимого предмета, как экономика.

Литература 1. Стратегия модернизации содержания общего образования: Материалы для

разработки документов по обновлению общего образования. М: Мир книги, 2001.

Обучение истории математики с методическим уклоном

М.Ф. Гильмуллин Елабужский государственный педагогический университет

Профессионально-педагогическая направленность специаль-ной подготовки учителя математики является объектом многих теоретических исследований. В основу большинства из них поло-жена концепция профессионально-педагогической направленности обучения студентов в педвузе, разработанная А.Г. Мордковичем [1]. Все положения этой концепции – принципы фундаментально-сти, бинарности, непрерывности, ведущей идеи – могут быть реа-лизованы в различных видах профессиональной подготовки учите-ля. В работах С.В. Белобородовой [2] эти принципы применены к историко-математической подготовке студентов педвуза. Они влияют и на содержание, и на методику преподавания курса исто-рии математики. Проблеме историко-методической подготовки учителей посвящены работы К.А. Рыбникова, Т.С. Поляковой, А.Е. Томиловой, Н.А. Буровой, О.В. Шабашовой и др. Если раньше стоял вопрос о разработке методики использования историко-математического материала в обучении математике в школе, то те-перь стоит вопрос об ознакомлении будущих учителей этой мето-дикой. Мы считаем, что, пока разработанные разными авторами курсы истории математики остаются больше математическими


54

курсами. Но речь не идет о сведении этого курса к частной мето-дике применения исторических сведений на уроках. Должна быть создана методическая система обучения истории математики. И все компоненты этой методической системы (цели, содержание, методы, формы, средства и др.) должны в своей структуре содер-жать элементы, реализующие методическую направленность. При-чем эта методическая система должна охватывать не только курс истории математики. Такое широкое понимание задач профессио-нальной направленности историко-математической и методической подготовки учителей в педвузе ставит соответствующие задачи ме-тодического обеспечения всех курсов из всех блоков учебного пла-на. Внешняя среда такой методической системы фактически охва-тывает все образование.

Одним из главных компонентов является содержание истори-ко-математического образования. Методике отбора содержания курса истории математики и его реализации в педагогическом вузе посвящены, в частности, работы А.Е. Томиловой [3]. Эти и все по-добные им работы реализуют авторские концепции курса. Также мы проанализировали существующие программы и учебные посо-бия по истории математики с точки зрения задач этого курса. Они решают не все задачи профессиональной направленности. Методи-ческая направленность не везде соблюдается. Мы не можем реко-мендовать ни одно конкретное учебное пособие для студентов, опираясь на которое можно было бы решать все поставленные за-дачи.

Одно из рекомендуемых учебных пособий – классический учебник К.А. Рыбникова для университетов. Имеются несколько изданий этого учебника (1960, 1974, 1994 гг.) [4]. Его можно поло-жить в основу фундаментального курса лекций, излагаемого по ис-торическим периодам в хронологической последовательности. Но при таком построении курса достаточно сложно проследить со-держательно-методические линии школьной математики. А следо-вание им мы объявляли одной из задач обучения истории матема-тики. Тогда естественно построить цикл семинарских занятий по тематическому принципу, последовательно изучая историю разви-тия отдельных теорий или понятий. В этом случае мы рекомендуем использовать пособие для учителей Г.И. Глейзера [5]. Естественно, ограничиться только этими пособиями нельзя. Всегда надо иметь в


55

виду необходимость использования монументального исследова-ния истории математики с древнейших времен до двадцатого века коллектива авторов под редакцией А.П. Юшкевича и А.Н. Кол-могорова. Но это сочинение не может быть рассмотрено как учеб-ное пособие. Существует и другая рекомендованная в программах литература (Д.Я. Стройк, А.П. Юшкевич, Б.В. Гнеденко и др.). Та-ким образом, имеется колоссальный объем исторического мате-риала, накопленного и систематизированного наукой. Проблема отбора содержания курса истории математики до конца не решена, особенно с точки зрения его методической направленности. При этом серьезным препятствием является также ограниченность ча-сов, отводимых на изучение предмета. Как нам известно, при су-ществующем положении вещей каждая кафедра решает данную проблему по-своему. Для примера, сравним некоторые современ-ные учебные пособия (С.Н. Марков [6], Н.А. Бурова [7], Р.А. Май-ер [8]).

С.Н. Марков излагает историю математики тематически. Каж-дой теме соответствует отдельная глава. Главы относительно неза-висимы друг от друга. В каждой главе имеются вопросы и задания, которые рекомендуется разбирать на семинарских занятиях. Но эти задания нельзя рассматривать как планы семинаров. В соответст-вующих местах пособия включены упражнения для самостоятель-ной работы студентов. Рассматриваемые в темах вопросы позво-ляют «перекинуть мостик» между школьной и вузовской матема-тикой. Но это учебное пособие нельзя рассматривать как методи-ческое пособие.

Учебное пособие Н.А. Буровой составлено как средство реали-зации гуманизации и гуманитаризации математического образова-ния и ставит целью улучшение профессиональной подготовки учи-теля. В основу курса положен историко-хронологический метод в комбинации с другими методами: предметно-модульным, концеп-туально-логическим, доминантным, историко-географическим, персонифицированным. История основных понятий школьного курса математики, по мере возможности, прослеживается при из-ложении материала. Большое внимание уделяется вопросам миро-воззренческого и философского характера. Разработаны темы практических занятий и рефератов. Причем предполагается подго-товка и защита двуединых рефератов, включающих не только ис-


56

торию изучаемого понятия, но и ее отражения в курсе математики средней школы и вуза.

Учебное пособие Р.А. Майера представляет собой комплект, состоящий из курса лекций и пособия к семинарским занятиям. Изложение ведется по историческим периодам, с выделением в каждом из них основных сформировавшихся к тому времени раз-делов математики. Вопросы, выносимые на семинары, рассматри-ваются с точки зрения умения анализировать, оценивать рассмат-риваемый исторический материал. И этот анализ является показа-телем, характеризующим не столько знание истории математики, сколько уровень математической подготовки студента. Особое значение уделяется знакомству студентов с первоисточниками. Содержится детальная разработка семинарских занятий. Знание истории предмета рассматривается как необходимый элемент ма-тематического образования педагога, который помогает ему в ре-шении методических вопросов. Методическая линия, тем не менее, представлена в пособии слабо.

Таким образом, все рассмотренные курсы истории математики являются авторскими и решают разные задачи. Мы ставим целью создание такого учебного пособия для студентов, которое было бы средством реализации профессионально-направленного обучения истории математики. Мы представляем его как некоторый ком-плекс. В этот комплекс входят:

1) курс лекций на историко-хронологической основе, в кото-ром также четко выделена история основных понятий школьной математики;

2) методическое пособие для семинарских занятий и самостоя-тельной работы студентов. В нем будет отражена каждая содержа-тельно-методическая линия школьной и вузовской математики;

3) комплект средств обучения истории математики, включая электронные.

Решить все поставленные задачи историко-методической под-готовки учителей математики без такого комплексного пособия очень сложно. Таким образом, каждая содержательная часть учеб-ного материала будет иметь методическое приложение.

Сводить весь курс истории математики к подробным рекомен-дациям, какие исторические сведения и каким образом нужно при-менять, считается нецелесообразным. Но методические рекомен-


57

дации или выводы о значении каждой темы для школьной матема-тики совершенно необходимы. В методическом пособии мы пред-полагаем также установить связи истории математики с другими предметами, особенно с методикой обучения математике. Истори-ческий материал может с успехом служить многим целям обучения математике.

Первую лекцию курса истории математики следует посвятить вопросу ее применения при обучении математике в школе, ее педа-гогическому значению. Раскрываются цели, формы изучения исто-рического материала. Определяется предмет математики и истории математики. История математики определяется как составная часть истории человеческого общества. Устанавливается ее взаимосвязь с другими науками и с практикой. Определяются периоды развития математики. Таким образом, устанавливается необходимость начи-нать описание истории каждого периода развития математики с общей характеристики состояния общества того периода.

Семинарские занятия лучше организовать по темам. В задани-ях к ним все задачи, упражнения, вопросы связываются с конкрет-ными школьными темами. В планы семинарских занятий, рефера-тов, индивидуальных творческих заданий обязательно включается работа со школьными учебниками. Видами деятельности студентов являются доклады на историко-математические темы, решение ис-торических задач, изучение различных форм использования исто-рических сведений в процессе обучения в школе (сообщение, справка, беседа, решение задач, доказательство именных теорем, показ и разъяснение рисунка, доклады учащихся, кружковые и фа-культативные занятия, математические вечера, викторины, выпуск тематических математических газет и пр.), фрагменты уроков ма-тематики с применением исторического материала, подготовка сценариев и программ историко-математических конкурсов, вече-ров, оформление газет к юбилейным датам, изучение и обсуждение исторической литературы, журнальных статей, защита рефератов (о жизни и творчестве известных математиков, по отдельным те-мам), и др. Разрабатываются как планы отдельных уроков с приме-нением исторического материала, так и тематические планы с ис-торико-генетическим уклоном. Фактически будущие учителя учат-ся строить свою методическую систему обучения.


58

Литература 1. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специ-

альной подготовки учителя математики в педагогическом институте. Дис. … д-ра пед. наук. М., 1986. 355 с.

2. Белобородова С.В. Профессионально-педагогическая направленность ис-торико-математической подготовки учителей математики в педвузах. Дис. … канд. пед. наук. М., 1999. 163 с.

3. Томилова А.Е. Методика отбора содержания курса истории математики и его реализации в педагогическом вузе. Дис. … канд. пед. наук. Архангельск, 1998. 230 с.

4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. М.: Изд-во МГУ, 1994. 496 с.

5. Глейзер Г.И. История математики в школе: Пособие для учителей: В 3 кн. М.: Просвещение, 1981 - 1983.

6. Марков С.Н. Курс истории математики: Учеб. пособие. Иркутск: Изд-во Иркут. ун.-та, 1995. 248 с.

7. Бурова Н.А. История математики: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГПУ, 1999. 168 с.

8. Майер Р. А. История математики: Курс лекций. Часть 1. Красноярск: РИО КГПУ, 2001. 191 с.

Роль доклада в организации учебного процесса

И.П. Иродова, С.И. Яблокова Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

Среди различных форм самостоятельной работы студентов важное место занимает такая форма работы, как подготовка докла-дов. В этой статье мы попытаемся ответить на вопросы:

- Когда нужно давать доклады? - Какие цели при этом преследует преподаватель? - Как организовать учебный процесс? - Какие при этом возникают трудности? - Какова специфика математических докладов? Рассмотрим конкретные примеры, опираясь на опыт работы

авторов статьи. Учебный процесс в университете организован таким образом,

что студенты 1 - 2-го курсов только начинают изучать серьезную математику. Конечно, в рамках основного базового курса доклады студентам, как правило, не даются, потому что они не могут само-стоятельно справиться с неизвестным материалом. Кроме того, из-ложение материала основного курса требует особой четкости,


59

строгости и ясности дли того, чтобы привить элементы математи-ческой грамотности. Поэтому преподаватель излагает материал та-кого курса сам, не привлекая студентов к чтению докладов. На этом этапе обучения хорошо себя зарекомендовали такие виды са-мостоятельной работы, как домашние контрольные и расчетно-графические работы, рефераты, индивидуальная работа под руко-водством преподавателя.

Начиная с 3-го курса, когда студенты в рамках специализации начинают изучать специальные дисциплины, давать им доклады полезно как для развития навыков работы с математической лите-ратурой, так и для развития математической речевой грамотности будущих специалистов. Известно, что в настоящее время экзамены в большинстве случаев проводятся в письменной форме (а с введе-нием единого экзамена письменный экзамен окончательно вытес-нит устный). В связи с этим студенты не учатся рассказывать изу-ченный материал перед аудиторией. Они не могут внятно изложить даже тот теоретический материал, которым довольно свободно пользуются при решении задач. Лучшее, чего от них можно до-биться, – изложение хода решения задачи в виде алгоритма дейст-вий без объяснения смысла этих действий.

Итак, цель, которую преследует преподаватель, давая студен-там доклады, в первую очередь состоит в том, чтобы научить сту-дента читать специальную математическую литературу и грамотно, понятно для остальных излагать разобранный самостоятельно но-вый материал.

Еще одна цель - заинтересовать студентов, привить им навыки самостоятельной творческой работы. Конечно, эта вторая задача намного сложнее и всех увлечь невозможно. Многие отнесутся к докладу как к очередному заданию. Но всегда находятся те, кто может и хочет работать, кто желал бы глубже изучить предмет.

Если сам преподаватель - лектор интересно излагает свой курс, то он заинтересует тех студентов, которые стремятся стать хоро-шими специалистами. Студенты "загораются" желанием свободно владеть материалом, самостоятельно узнавать новые факты.

Ученики очень часто неосознанно стараются быть похожими на того педагога, который интересно излагает материал и сумел за-интересовать их своим предметом. Ученик Давида Гильберта Гер-ман Вейль так писал о своем учителе: "По своей душевной просто-


60

те и в полном неведении я позволил себе записаться на курс по квадратуре круга и понятию числа, объявленный Гильбертом на этот семестр. Большая его часть была выше моего понимания. Но двери нового мира уже распахнулись передо мною, и я недолго си-дел у ног Гильберта, пока в моем молодом сердце не созрело окон-чательное решение всеми средствами стремиться прочесть и изу-чить все, что написал этот человек".

Конечно, великий Гильберт - это только образец для подража-ния, но стараться увлечь студентов своим предметом, зажечь в них интерес к его изучению должен стремиться каждый преподаватель.

Наконец, в ходе подготовки студентами докладов и затем их выступлении перед аудиторией преподаватель может выделить са-мых способных студентов, увидеть, кто из них может продолжить обучение в магистратуре и аспирантуре, с кем можно работать по индивидуальному плану. Ведь известно, что далеко не каждый от-личник способен к творческой работе. Иногда студент, не заинте-ресованный в предмете, не особенно старается его постичь, полу-чая удовлетворительные оценки без особых хлопот, не приклады-вая к изучению материала никаких усилий. Но если это способный человек, которого удастся заинтересовать тем или иным вопросом курса, и он захочет сам разобраться в поставленной перед ним проблеме, вникнуть в ее суть, то порой результаты бывают самые неожиданные. Считавшийся слабым (а на деле просто неактивный) студент вдруг с увлечением начинает заниматься заинтересовав-шей его проблемой. В ходе решения задачи ему потребуется при-влекать знания и из других курсов. Он вдруг видит, что казавшиеся ранее ненужными факты требуются ему для решения задачи. Воз-никает сильная мотивация к изучению не только данного курса, но и других математических дисциплин.

Остановимся несколько подробнее на проблемах, с которыми может столкнуться студент при подготовке доклада. Чтение мате-матических книг обладает рядом особенностей. Это длительная и кропотливая работа. Глубокое понимание математического текста приходит не сразу, зачастую требуется затратить немало времени и труда, чтобы понять новый материал, вникнуть в тонкости того или иного доказательства, понять причинно-следственные связи утвер-ждений, суметь применить результаты к решению практических задач. Иногда даже для того, чтобы понять одно предложение,


61

нужно затратить много усилий. Еще знаменитый французский ма-тематик Жозеф Луи Лагранж обращался к молодым математикам со словами: " Читайте, понимание придет потом".

Задача преподавателя - научить студента не бояться возни-кающих сложностей, читать материал в несколько приемов. При первом прочтении постараться удержать главную нить рассужде-ний, понять основную идею, при последующих прочтениях снача-ла усвоить основные этапы доказательства, а затем разобраться в тонкостях и деталях. При этом материал будет усваиваться лучше, если использовать полученные знания на практике, решая задачи.

Перейдем теперь к вопросу о том, как организовать учебный процесс. Доклады, которые предлагаются студентам для изучения спецкурса, могут быть не связаны между собой, использовать ма-териал, взятый из нескольких источников, а могут и продолжать друг друга, развивая какую-либо одну проблему.

В рамках спецкурса "Теория Галуа и геометрические задачи на построение", сложного с точки зрения даже студента-математика 5-го курса, доклады давались, как правило, с элементами повторе-ния того материала, который в принципе должен быть студентам известен из ранее изученных курсов. На известные уже вопросы требовалось посмотреть как бы с новой точки зрения, с точки зре-ния его использования в данной теории. Поэтому доклады не были жестко связаны друг с другом, студенты освещали разные вопросы и могли пользоваться разными источниками. Такого рода доклады полезны еще и тем, что заставляют студента, вспоминая изученный ранее материал, заново переосмысливать его, обновлять свои зна-ния, замечая, как этот материал применяется в других разделах ма-тематики.

В рамках спецкурса "Быстрые алгоритмы" доклады, наоборот, зависели друг от друга. Студенты изучали этот курс, пользуясь од-ним источником. Большинство из входящих в курс алгоритмов ос-новано на одной теореме о решении системы сравнений над коль-цом многочленов. В этом случае была важна связь между различ-ными докладами, нужно, чтобы доклады были максимально понят-ны для всех слушателей, так как следующие выступающие должны будут использовать этот материал в своих выступлениях.


62

Наконец, приведем пример, как предлагались доклады на спецкурсе "Прикладная теория приближений", который рассчитан на студентов четвертого года обучения.

В начале семестра каждый студент получает индивидуальное задание для написания программы на компьютере. Чтобы спра-виться с поставленной задачей, студенту необходимо изучить со-ответствующий теоретический материал. Он и является темой док-лада. Хотя доклады жестко и не связаны между собой, почти все они посвящены решению одной и той же задачи - приближению заданной функции более простой. Изменяется только аппарат при-ближения и способ приближения. Поэтому в конце семестра, когда программы написаны и отлажены, происходит сравнение приме-няемых алгоритмов, которые тестируются на одних и тех же при-мерах. Обсуждение проходит опять в форме небольших докладов. Таким образом, студенты делают еще по одному докладу, в кото-рых уже разбирается не теоретический материал, а анализируется проделанная работа.

На конкретных примерах мы показали, как можно организо-вать работу спецкурса. Обсудим теперь, как оценить работу сту-дента в конце семестра. Можно, конечно, поставить отметку за подготовку доклада, но нужен постоянный контроль, иначе тот, кто сделал доклад, будет считать свою работу выполненной и не станет принимать участие в дальнейшей работе спецкурса.

Можно рекомендовать устроить зачетное мероприятие по все-му прослушанному курсу. Это значительно активизирует работу студентов на занятиях. Они задают много вопросов докладчику, стараясь разобраться в материале. Если после доклада предполага-ется дать еще и задание для выполнения его на компьютере, то это можно сделать следующим образом: теоретический материал рас-сказывает один студент, а программу на эту тему пишет другой. Можно раздробить доклады на более мелкие части и давать не один доклад, а несколько. Можно увеличить количество высту-пающих, давая доклад сразу двум студентам. Все это преследует одну цель - привлечь к обсуждению на занятиях как можно больше слушателей. Конечно, есть студенты, которым не нужна дополни-тельная опека со стороны преподавателя. Они занимаются, потому что им интересно. Задача преподавателя - сделать так, чтобы таких студентов было как можно больше. Можно напомнить студентам


63

слова И. Гете: "Приобретать познания еще недостаточно для чело-века, надо уметь отдавать их в рост". Именно это и делает доклад-чик. Поняв и осмыслив материал, он пытается донести его до слу-шателей.

Остановимся теперь на том, какую форму может иметь доклад. Это зависит от цели, которая ставится перед докладчиком:

- обзор некоторых вопросов; - подробное обсуждение какого-то одного вопроса; - иллюстрация известного материала на примерах интересных

задач. Упор может быть сделан как на теоретический, так и на прак-

тический аспект рассматриваемой в докладе темы. Во втором слу-чае очень важен подбор задач и порядок их обсуждения. Если на-чать со сложной задачи, то, встречаясь с "непреодолимыми", по его мнению, трудностями, студент, как правило, не делает никаких по-пыток их преодолеть, так как не понимает, с чего следует начинать. Поэтому задачи должны усложняться постепенно. Лучше всего, когда задачи связаны между собой так, что решение каждой после-дующей раскрывает новые аспекты вопроса, углубляя знания слу-шателей.

В заключение скажем о некоторых трудностях, которые возни-кают при организации работы спецкурса в форме докладов.

Во-первых, такая работа требует от преподавателя много до-полнительных индивидуальных консультаций. Как правило, сту-денты не могут самостоятельно справиться с предложенным мате-риалом и нуждаются в помощи. Если этой помощи не оказать, то доклады становятся непонятными для самого докладчика и, как следствие, неинтересными для слушателей.

Во-вторых, нужно внимательно относиться к выбору тем, вы-бирая золотую середину между сложностью материала и его по-знавательностью.

В третьих, важен подбор литературы. Если по данному спец-курсу есть хорошие методические разработки, пособия, наборы за-дач, то студенту легче разобраться в материале, а преподаватель получает существенную помощь в руководстве самостоятельной деятельностью студентов. Поэтому издание методической литера-туры не только по основным, но и по специальным курсам особен-но важно как в плане руководства учебной работой студентов, так


64

и в плане помощи преподавателю, ведущему семинарские занятия. В таком издании можно обратить особое внимание на тот или иной вопрос, наиболее сложный для понимания, проиллюстрировать вводимые понятия на примерах, указать план изложения того или иного раздела курса.

Наконец, преподаватель должен организовать работу спецкур-са, помогать докладчику при возникающих трудностях. При подго-товке доклада следует совместно с докладчиком обсудить план его выступления, обратить его внимание на особо важные моменты, посоветовать, каким образом более наглядно иллюстрировать вво-димые понятия, обсудить те примеры и задачи, которые следует разобрать в ходе доклада, научить пользоваться доской. Позднее эти навыки пригодятся студенту при защите курсовых и диплом-ных работ.

Таким образом, доклад, как один из методов организации са-мостоятельной работы студентов, является важным этапом в обу-чении - одним из организующих факторов в работе студентов.

Методические и организационные основы формирования в классических университетах

единой структуры подготовки и переподготовки кадров сферы образования

В.А. Кузнецова, В.С. Сенашенко, В.С. Кузнецов Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова,

Российский университет дружбы народов

Классические университеты, работая со студенческим и аспи-рантским контингентом, накопили большой опыт подготовки педа-гогических кадров в рамках дополнительного профессионального образования. Этот опыт целесообразно использовать для создания в университетах единой организационно-методической структуры, обеспечивающей подготовку, переподготовку и повышение квали-фикации кадров сферы образования. Новые социально-экономи-ческие условия, возникшая регионализация образования во многом изменили роль классических университетов в регионах. Они стано-вятся научно-методическими центрами по подготовке преподава-телей для школ продвинутого уровня, преподавателей высшей


65

школы, центрами повышения квалификации преподавателей вузов своего региона и руководителей профессионального образования.

Обзор информации о системах подготовки преподавателей в развитых в образовательном отношении странах указывает не только на различие, но и на общие трудности, аналогичные рос-сийским, неудовлетворённость и стремление трансформировать систему, в том числе решить проблему повышения квалификации преподавателей.

Подготовка преподавателя высшей школы в рамках дополни-тельного образования (в магистратуре и послевузовском образова-нии) есть подсистема, не имеющая аналогов в мировой практике. Она требует серьёзной проработки методологии соответствующих образовательно-профессиональных программ, изучения способов реализации. Однако до сих пор многие дисциплины не имеют дос-таточно развёрнутых учебных программ, т.е. используются автор-ские варианты, да и Государственные требования нуждаются в мо-дернизации.

Послеуниверситетская профессиональная переподготовка пре-подавателей организована в ряде стран (Австралия, Ирландия, Франция и др.). В нашей стране формой повышения квалификации являлась организация институтов и факультетов повышения квали-фикации. При изменении социально-экономических условий ФПК столичных вузов стали недоступны для многих преподавателей пе-риферийных учебных заведений. В середине девяностых годов ста-ла очевидной тенденция интеграции подсистем профессиональной переподготовки, стажировки, повышения квалификации и дополни-тельной подготовки преподавателя высшей школы. В последние го-ды было обращено внимание на подготовку в рамках дополнитель-ного образования менеджеров для системы высшей школы, на пере-подготовку руководящих кадров разного уровня для сферы образо-вания. Анализ научного, методического, культурного, материально-технического потенциала классических университетов позволил сделать вывод о целесообразности создания в части периферийных университетов единой преемственной системы подготовки и пере-подготовки педагогических кадров разных уровней и различных на-правлений, реализуемой в форме дополнительного образования с использованием современных образовательных технологий, в част-ности зачётных единиц. Такой подход вызвал необходимость теоре-


66

тических обоснований построения организационно-методических структурных форм, разработки содержательного наполнения новых программ (например, переподготовка руководящих работников для сферы образования, в том числе для высшей школы), обновления уже имеющихся программ, содержательной преемственности и со-пряжения отдельных звеньев единой системы, разработки новой технологической реализации. В настоящее время в решении некото-рой части этих проблем определены ориентиры, построены общие конструкции подготовки преподавателей разных уровней, подкреп-лённые Государственными требованиями к качеству подготовки выпускника. Однако часть, касающаяся дополнительной педагоги-ческой подготовки в послевузовском образовании, и модель функ-ционирования на университетском уровне единой системы подго-товки и переподготовки педагогических кадров сферы образования, которые должны иметь обширное научно-методическое сопровож-дение, ещё находятся в состоянии разработки. По-прежнему акту-альными остаются вопросы модификации многоуровневой системы и расширения спектра дополнительных профессиональных про-грамм педагогической направленности.

Теоретической основой для создания организационно-методи-ческой структуры являются системный анализ и метод логического моделирования, позволяющие построить преемственную модель подготовки преподавателей разного уровня, начиная с программ преподавателя основной школы (на базе бакалавриата), преподава-теля (на базе подготовки специалиста), затем - преподавателя выс-шей школы (на базе магистратуры и аспирантуры) и кончая про-граммами повышения квалификации преподавателей и руководя-щих работников для сферы образования. Проектирование моделей с помощью метода логического моделирования предполагает сначала выявить требования, которым должны удовлетворять подсистемы образовательной системы, а затем на их основе сформировать об-новлённое содержание имеющихся программ и содержание новых программ подготовки и переподготовки работников для сферы об-разования. Применительно к обсуждаемой единой университетской системе это означает, что одной из первоочередных задач является исследование особенностей профессиональных компетенций совре-менного преподавателя для школ продвинутого уровня, современ-ного преподавателя вуза и руководителя в сфере образования. Зная


67

спектр профессиональных компетенций, можно сформулировать требования, которым должна удовлетворять содержательная компо-нента системы дополнительного образования организационно-педагогического профиля. Термин «организационно-педагогиче-ский» употреблён для того, чтобы подчеркнуть, что профессиональ-ные качества современного работника в сфере образования, будь то преподаватель или руководитель какого-либо уровня, включают в себя как определённые педагогические, так и организаторские и управленческие умения и навыки.

Начатая в этом направлении работа обозначила необходимость существенного обновления действующих с 1995 года Государст-венных требований для получения дополнительной квалификации "Преподаватель". Первоначально программа разрабатывалась в рас-чёте на массовую подготовку преподавателей. Анализ опыта её реа-лизации показал, что при сильном расслоении системы среднего об-разования, возникновении профильных классов, изменении про-грамм, появлении новых технологий учебного процесса и выпуск-ных экзаменационных работ должен измениться спектр профессио-нальных качеств преподавателя. Современный педагог должен быть готов к самообразованию, доучиванию, непрерывному образованию в течение всей жизни. Последнее означает не только необходимость изменения подготовки в области предметного поля, но и определён-ную трансформацию менталитета. Будущий вариант Гостребований должен быть направлен в сторону подготовки преподавателя, вла-деющего продуктивными, творческими методами и приёмами, спо-собного к проектированию учебного процесса, не только к исполь-зованию готовых, но и к разработке собственных, авторских, мето-дик. Указанные изменения вместе с обновлением содержания Гос-требований потребуют разработки новых технологий.

Хотя необходимость изменения направленности Гостребова-ний достаточно ясна, способы достижения цели не определены. Во-первых, очевидно, что сформулированная позиция относитель-но формирования у выпускника готовности к непрерывному обра-зованию в течение всей жизни касается, в первую очередь, обуче-ния по основной профессиональной университетской программе. Подготовка преподавателя выступает здесь лишь сопутствующим фактором. Во-вторых, введение какого-либо специального курса не изменит ситуации. Наверное, надо во многих курсах (если не во


68

всех) ставить одной из задач формирование у студента умения са-мостоятельной работы с книгой, отыскания необходимой инфор-мации и её обработки, психологической готовности к постоянному профессиональному самосовершенствованию. Отсюда следует не-обходимость изменения методики обучения будущих преподавате-лей: уход от требований репродуктивного воспроизведения изу-чаемого материала к умению самостоятельно ставить и решать не-стандартные задачи предметного поля. В Гостребованиях для по-лучения дополнительной квалификации «Преподаватель» этим во-просам могут быть посвящены отдельные дисциплины.

Профессионально-педагогические компетенции преподавателя высшей школы долгое время практически не находились в поле зрения исследователей. До конца девяностых годов прошлого века целенаправленная подготовка преподавателей высшей школы в пе-риод обучения в вузе вообще не осуществлялась, а в аспирантуре номинально выполнялась на факультативной основе. С 1997 года и в магистратуре (т.е. на вузовском этапе), и в аспирантуре она начала осуществляться в рамках дополнительного профессионального об-разования в соответствии с «Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню профессиональной подготовки для получения дополнительной квалификации “Преподаватель высшей школы”». В 2001 году эти Государственные требования были об-новлены. Подготовка преподавателя стала несколько привлекатель-нее для обучающихся: появилась содержательно более чётко очер-ченная программа, сопровождаемая получением государственного диплома о дополнительной квалификации. Не останавливаясь под-робно на содержании подготовки преподавателей высшей школы, заметим лишь, что и обновлённые Гостребования нуждаются в со-вершенствовании. Особую трудность представляет реализация этой программы в магистратуре, поскольку её содержание сильно пере-секается с аспирантской программой и никак не сопряжено с маги-стерской подготовкой.

В последние годы во многом в связи с появлением рыночной экономики, платных образовательных услуг, многоканального фи-нансирования образовательных учреждений стала очевидной про-блема изучения процессов реализации образовательного менедж-мента как определённого вида социального управления. Маркетинг и менеджмент, являясь основой организационно-педагогической


69

системы управления образованием, требуют глубокого изучения руководителями образовательных учреждений и поэтому опреде-ляют программы их повышения квалификации и переподготовки.

Все описанные виды работ по подготовке, повышению квали-фикации и переподготовке кадров в сфере образования могут вы-полнять классические университеты, имеющие достаточный науч-ный, методический потенциал и обширное материально-техниче-ское оснащение. Классические университеты должны стать лидера-ми в формировании образовательной политики в регионе, в разви-тии важных, современных направлений подготовки специалистов, в реализации опережающей функции образования. Однако универси-тет готовит не только специалистов различных хозяйственных от-раслей, но и кадры для учебных заведений всех уровней, значит, во многом определяет качество образованности будущих поколений. Хотя подготовка преподавателей высшей категории реализуется в разных вузах, но в первую очередь эта функция возлагается на клас-сический университет. Созданная в нём единая структура, обеспе-чивающая все виды подготовки и переподготовки работников сфе-ры профессионального образования, реально осуществит содержа-тельную преемственность программ разных уровней и сопряжён-ность дополнительных программ между собой и с основным про-фессиональным образованием. Единая университетская структура не только содержательно, но и функционально может соединить все звенья организационно-педагогической подготовки, вплоть до объ-единения отдельных потоков слушателей для изучения конкретных дисциплин и составления необходимого расписания.

Одним из важных направлений модернизации высшей школы России и формирования механизмов для вхождения российского высшего образования в международное образовательное простран-ство является разработка эффективных методик применения сис-темы зачётных (кредитных) единиц, которая может функциониро-вать параллельно с действующей в настоящее время системой учё-та трудоёмкости в академических часах. Кредитная (зачётная) сис-тема несёт не только учётную функцию, по мнению многих иссле-дователей, она может выступать в качестве инструмента управле-ния учебным процессом. Введение системы при так называемом нелинейном подходе вызывает необходимость новой организации учебного процесса, изменения технологии преподавания дисцип-


70

лин, разработок новых методических материалов. Применение за-чётных единиц в дополнительном образовании, в силу его модуль-ности, представляется весьма целесообразным. В частности, при реализации курсов для руководящего состава образовательных уч-реждений надо иметь в виду, что руководитель не может позволить себе долгое отсутствие на рабочем месте и поэтому его программа повышения квалификации может быть распределена во времени на основе последовательного накопления и перезачёта освоенных от-дельных модулей, трудоёмкость каждого из которых выражена в зачётных единицах. В сущности, такой же подход целесообразно осуществлять и при подготовке по любым дополнительным про-граммам.

Работа выполняется в рамках программы «Университеты России (2004)».

Тестирование как одно из эффективных средств измерения, обработки

и интерпретации учебных достижений

Н.Л. Майорова, В.В. Майоров Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

До настоящего времени в нашей стране отдавалось предпочте-ние традиционным формам контроля уровня знаний учащихся, од-нако в последние годы значительно вырос интерес к тестам приме-нительно к средней школе и вузу. Тесты являются сейчас наиболее развитой в научном отношении частью методического арсенала, по-зволяющего адекватно скреплять теорию с эмпирией в соответствии с некоторыми известными стандартами качества информации.

В учебном процессе постоянно ощущается потребность в хо-рошо разработанных методах измерения уровня обученности в са-мых различных областях знаний. Традиционная система оценива-ния обучаемых не лишена многих недостатков, главными из кото-рых являются: субъективизм, отсутствие регулярности контроля и четких критериев оценки. Одним из путей преодоления этих не-достатков может являться использование тестового контроля [1].


71

На языке педагогической науки тестирование – это исследова-тельский метод, в основе создания и использования которого лежат определенные правила. Научный тест – творение конца 19-го века. Педагогическим тестом называется система заданий специфической формы, определенного содержания, возрастающей трудности, соз-даваемая с целью объективно оценить структуру и измерить уро-вень подготовленности учащихся [2]. Тест в более сильной степени, чем другие диагностические инструменты, отвечает критериям ка-чества, предъявляемым к социологическим измерениям. В педаго-гической диагностике под тестированием понимаются исследова-тельские методы, с помощью которых результаты учебного процес-са могут быть измерены, обработаны и интерпретированы с целью использования результатов измерения в педагогической практике.

Профессиональное тестирование было начато еще в 2200 году до нашей эры, когда служащие китайского императора тестирова-лись, чтобы определить их пригодность для императорской служ-бы. Педагогические тесты в ряде стран используются уже более ста лет. Среди развитых в тестовом отношении стран – Нидерланды, США, Австралия, Англия, Япония, Дания, Израиль, Канада, Новая Зеландия, Франция. Не случайно, что многие из них имеют весьма высокий уровень жизни населения. В Великобритании и в США тестирование проводится независимыми организациями, в нем участвуют все желающие поступить в университеты. В США уже в 1929 году была создана современная программа тестирования. В середине 60-х годов 20-го века получила поддержку практика из-мерения результатов учебного процесса в школах с помощью об-щенациональных репрезентативных поперечных срезов (NAEP – National Assessment of Educational Progress). Результаты обследова-ния получают широкую огласку. Для учителей и родителей эти данные очень наглядны, а для школ служат отправной точкой при определении необходимости организации дополнительных про-грамм повторения школьных курсов. В США поощряется конку-ренция при создании и применении тестов. В настоящее время там функционируют несколько сотен независимых от государственных органов образования центров, осуществляющих различного рода тестовые мониторинги.

В Австралии затраты на образование уже вышли на третье ме-сто в национальном бюджете. Доля образовательных услуг неук-


72

лонно возрастает, большое внимание уделяется разработке и при-менению тестов для нужд развития образования.

В Германии и Франции тестирование организуется в школе. Во Франции в течение длительного времени положительная роль тес-тов отрицалась. Лишь в 1989 году был принят закон об основных направлениях развития образования, в котором записано требова-ние обязательной подготовки учителей по методам объективной оценки знаний учащихся.

В Японии первый тур тестирования осуществляется государст-венным экзаменационным центром при министерстве образования, а второй – университетами. Последние годы характеризуются объ-единением стран в проведении международных сравнительных ис-следований, осуществляемых на основе стандартизированных тес-тов.

Сопоставление положения дел с тестовым контролем в других странах и в России показывает, что мы существенно отстаем по масштабам практической работы, по финансированию научных ис-следований, по подготовке тестологов в педагогических вузах, по уровню и качеству развития теории тестов, по программно-технической оснащенности тестового процесса. В нашей стране пристальное внимание к вопросам тестирования применительно к средней школе было обращено лишь в начале 1990-х годов. В со-временном мире педагогической общественности относительно тестов сложилась противоречивая ситуация. С одной стороны, тес-ты признаны оригинальным методом исследования широкого спек-тра проблем, с другой – можно констатировать затянувшуюся по времени сдержанность в отношении к тестам, недостаток научных публикаций и проистекающее отсюда частое непонимание сущно-сти и возможностей практического использования [1].

При выборе новых методов оценки и обоснования их преиму-ществ над существующими следует опираться на научные дости-жения теории измерений, в частности последовательно учитывать критерии качества педагогических измерений. Самые важные из них – объективность, надежность, валидность и точность. По-настоящему объективное педагогическое измерение дает результа-ты, которые не зависят от состояния, личных черт характера и ко-личества тех, кто его проводит. Обеспечить объективность оцени-вания можно лишь максимальной стандартизацией ее проведения.


73

В этом смысле понятия «объективность» и «стандартизация» почти тождественны. Объективность процедуры измерения возможна лишь при одинаковых условиях для всех участников, следователь-но, при максимальной стандартизации процесса оценивания. Эта процедура должна дополняться объективностью обработки данных и интерпретации полученных результатов [3].

Надежность метода измерения определяется уровнем устойчи-вости результатов, их повторяемостью во время аналогичных из-мерений в стандартных условиях. Степень надежности метода оп-ределяется с помощью коэффициента надежности, который равен коэффициенту корреляции между результатами, полученными одинаковыми методами и при одинаковых условиях.

Валидность (от английского valid – действительный, пригод-ный, имеющий силу) – один из важнейших критериев качества тес-тов, означающий пригодность теста для измерения того, что он по замыслу должен измерять [5]. Валидность измерения – обязатель-ная предпосылка уверенности педагога в том, что действительно измеряются знания учащихся, а не что-то другое. Валидность счи-тается достаточно высокой, если коэффициент корреляции будет более 0,6. Чем выше валидность метода измерения, тем точнее по-лученные данные. Стопроцентно валидных тестов существовать практически не может. Для большинства педагогических измере-ний валидность метода характеризуют более узкими критериаль-ными признаками – валидностью содержания, соответствия и про-гноза. На выпускных и вступительных испытаниях на первый план выступает валидность прогноза успешности дальнейшего обучения испытуемого на более высокой образовательной ступени.

Точность метода определяет минимальную или систематиче-скую ошибку, с которой можно произвести измерения. Теория оши-бок исходит из того, что при условии устранения систематических ошибок постороннего характера колебания результатов измерения подчинены четким статистическим закономерностям. Это и дает возможность количественно определить меру точности и пользо-вать ею в дальнейшем [3].

Существует много традиционных способов педагогического оценивания (измерения). Это и письменные контрольные работы, и устный опрос, и наблюдения, и собеседования, и анкетирование. Каждый из этих способов обладает как выраженными положитель-


74

ными чертами, так и отрицательными. Как отмечает немецкий пе-дагог и психолог К. Ингенкамп [4], количество исследований, в ко-торых доказана недостаточная объективность обработки письмен-ных работ по всем предметам, весьма велико. Первые попытки изучения объективности традиционных письменных работ отно-сятся еще к 1912 - 1913 годам, когда исследовались экзаменацион-ные работы по английскому языку, математике и истории. Самые значительные расхождения показали работы по математике. В на-стоящее время исследователи уже перешли от констатации расхо-ждений в оценках к изучению факторов, препятствующих объек-тивности обработки письменных работ. Ингенкамп делает вывод: нельзя гарантировать объективность обработки традиционных письменных работ, если они оцениваются обычным образом. На-дежность и валидность письменных работ также недостаточна. Одни и те же преподаватели оценивают одну и ту же работу в раз-ное время по-разному. В исследованиях немецких педагогов дока-зывается, что письменные работы, используемые на приемных эк-заменах, не только варьировались по степени сложности в зависи-мости от места и года их использования, но часто не обладали ни-какой прогностической валидностью. Несмотря на то, что тради-ционные письменные работы играют определенную роль при пере-воде учащихся на другую образовательную ступень, они не явля-ются достаточно надежной базой для проведения процедуры по-добного рода.

Устная форма проверки знаний имеет более давнюю тради-цию, чем письменная, однако также является весьма малопригод-ным инструментом контроля знаний. Она появилась в школах средневековья в форме диспута. Устная форма контроля является наименее изученной, так как устный ответ не может быть конкрет-но зафиксирован для проведения его повторного анализа. С точки зрения социальной психологии она нехороша тем, что экзаменатор и экзаменующийся занимают асимметричные позиции, когда одни определяют экзаменационную норму, а другие вынуждены к ней приспосабливаться. Если экзаменатор и экзаменующийся не были до сих пор знакомы, то первое впечатление приобретает особое значение для общей оценки. Ритуал устного экзамена вызывает очень сильный страх. Исследователи отмечают противоречие, за-ключающееся в том, что экзамен, призванный измерить успевае-


75

мость, препятствует достижению этой цели именно из-за чувства страха, вызываемого самой формой измерения. Без интенсивной подготовки и обучения преподавателей устный опрос становится слишком необъективной, ненадежной и невалидной формой про-верки [2]. Специалисты доказывают несоответствие устного опра-шивания всем современным критериям качества. Если проведение устного экзамена необходимо, то рекомендуется привлекать к уча-стию в работе экзаменационной комиссии большее количество преподавателей, чтобы обеспечить более объективную оценку зна-ний учащихся, что, например, должно неукоснительно выдержи-ваться при проведении любого вступительного экзамена в высшее учебное заведение, хотя «грубость» и малую распознавательную способность устного опроса не удается повысить ни применением шкал с большим количеством ступенек, ни расширением состава экзаменационной комиссии.

Тестирование нельзя рассматривать как универсальный и иде-альный метод оценивания учебных достижений. Хотя хорошо под-готовленное тестирование дает возможность удовлетворить основ-ные методические критерии объективности, надежности и валид-ности. При этом может быть оценен и объем знаний, и его систем-ность, и обобщение, и мобильность. К одним из немаловажных от-рицательных черт тестовой формы контроля можно отнести значи-тельные затраты времени на первичную подготовку качественных материалов для проведения измерений, а также преодоление пре-дубеждений приверженцев традиционных методов педагогических измерений.

Тестовая форма может содержать задания с выбором одного от-вета из двух, трех, четырех, пяти и большего числа ответов, среди которых один правильный, остальные правдоподобны, но неверны. Такие ответы в американской тестовой литературе обозначаются словом distractor (to distract – отвлекать). В общем случае, чем луч-ше подобраны дистракторы, тем лучше бывает задание. Каждый от-вет должен как бы привлекать к себе испытуемых: как правильные, так и неправильные ответы выбираются в зависимости от подготов-ки учащегося. Среди недостатков заданий с двумя ответами – срав-нительно высокая вероятность угадывания правильного ответа (она равна ½, если ответы одинаково правдоподобны), поэтому резул ь-таты такого тестирования нельзя считать весьма достоверными. К


76

достоинствам заданий с двумя ответами можно отнести быстроту выполнения тестирования, высокую технологичность проверки. В практике тестирования задания с тремя ответами распространены больше, чем задания с двумя ответами, но меньше, чем с четырьмя или пятью. Одна из причин такого положения – исследования 1975 года, где с точки зрения надежности теста было показано пре-имущество заданий с четырьмя и пятью ответами по сравнению с тремя. Из всех существующих в мире заданий с выбором одного от-вета из нескольких возможных задания с четырьмя ответами рас-пространены больше других. Одна из причин – кажущаяся опти-мальность числа ответов. Подобрать к заданию более четырех эф-фективных дистракторов довольно трудно. Исключение могут со-ставить тестовые задания по математике и физике. Задания с боль-шим количеством дистракторов создавать достаточно трудно. Если вариант теста содержит 30 заданий, то необходимо подобрать не менее 120 отвлекающих дистракторов, каждый из которых должен предварительно эмпирически проверяться.

Конечно, тестирование нельзя рассматривать как идеальный метод оценивания знаний учащихся, исключая на этом основании все иные. Хотя нет сомнений – при надлежащей предварительной подготовке именно тесты лучше других средств удовлетворяют ос-новным методическим критериям качества, удобны для измерения знаний, их обработки и интерпретации.

В последние годы в педагогике сложилось некоторое пред-ставление о возможности проведения педагогических измерений уровня знаний личности и уровня трудности предъявляемых зада-ний, являющихся латентными переменными. Можно утверждать, чт.е. некоторая взаимосвязь между эмпирическими результатами тестирования и этими латентными переменными. Широко известна математическая модель датского исследователя Г. Раша латентной дистанции, т.е. зависимости тестового результата от соотношения уровня способности личности и уровня трудности задания. Лога-рифмическая оценка таких, казалось бы, реально несопоставимых феноменов привела к попытке сравнить их посредством вычита-ния. Благодаря этому впервые появилась возможность корректного сопоставления любого множества заданий с любым множеством испытуемых, а на этой основе – решения вопросов шкалирования результатов, адаптивного обучения и контроля знаний.


77

Можно также использовать еще один подход к оценке инфор-мационной «стоимости» тестовых заданий, основанный на введен-ном Шенноном понятии энтропии системы. Если в тестовом зада-нии имеются разные по трудности задания и если какое-то задание является слишком простым, и его правильно решают все испытуе-мые или, наоборот, слишком сложным, и его не решает ни один испытуемый, то значение энтропии уменьшается. Чем больше та-ких заданий в тесте, тем меньше степень неопределенности систе-мы и тем хуже селективность теста. Применяя предложенную мо-дель к ситуации централизованного тестирования по математике, были рассмотрены четыре выборки испытуемых. Оказалось, что используемая система тестовых заданий обладает энтропией, близ-кой к идеальной (равной 20): для абитуриентов ЯрГУ – 18,9; для ЯГТУ – 18,8; для сельских школьников – 19,0, что свидетельствует о хорошей «разрешающей способности» заданий для учащихся общеобразовательных учебных учреждений. Энтропия для выбор-ки учеников школы № 33 значительно ниже – 13,4, что говорит о среднем уровне селективности государственных тестов для уча-щихся школ с математическим уклоном.

Можно утверждать, что в настоящее время основные усилия исследователей в области тестирования должны быть направлены на создание качественных контрольно-измерительных материалов, обеспечивающих высокую точность, надежность и валидность оценки учебных достижений учащихся в тестовой форме. В городе Ярославле в течение последних трех лет группой методистов Го-родского центра развития образования под руководством сотруд-ников Центра тестирования при государственном университете им. П.Г. Демидова проводится работа по созданию и внедрению технологии педагогического и административного внутришкольно-го контроля учебного процесса (ВШТК) на основе диагностики ус-воения учебных знаний учащимися в тестовой форме. Для этого была создана базовая площадка (10 общеобразовательных средних школ города) с целью апробации разработанных тестов и процедур проведения тестирования, а также распространения опыта исполь-зования тестовых технологий в школах города. Для учителей базо-вых школ проводятся обучающие семинары по методике тестового контроля, а для заместителей директоров – семинары по организа-ции работ, связанных с тестовой формой оценивания. Проведено


78

обучение 407 педагогов школ города методике ВШТК по 5 предме-там 7 – 11-х классов. Творческими коллективами опытных учите-лей города и методистов ГЦРО разработаны тестовые задания по основным учебным предметам, осуществлена их апробация и экс-пертиза, разработана структура банка тестовых заданий и методи-ческие рекомендации педагогам и администрации школы по орга-низации и проведению ВШТК. Группой компьютерной поддержки при ГЦРО разработана автоматизированная система для накопле-ния, статистической обработки и представления результатов тести-рования на уровне отдельного ученика, учителя, класса, параллели, школы в целом, района и т.д. Проводится работа по психологиче-скому сопровождению внедрения ВШТК.

Особенно актуальным внедрение технологии ВШТК становит-ся в период эксперимента по проведению Единого Государствен-ного экзамена по отдельным предметам, заменяющим традицион-ные выпускные экзамены в школе. Учителя выпускных классов стремятся как можно лучше подготовить учащихся к новому для всех испытанию, в связи с чем активно посещают курсы, на кото-рых прорабатываются организационные вопросы по подготовке к ЕГЭ, его структура и содержание, нормативные документы и виды контрольно-измерительных материалов. Преподаватели универси-тета проводят разбор типичных заданий по разделам школьной программы.

Нужно отметить, что весьма удобным банком тестовых зада-ний является система тестовых заданий Централизованного тести-рования, в котором выпускники Ярославской области очень актив-но участвуют уже шесть лет. Процедура ЦТ вполне прочно утвер-дилась как одна из доступных, приемлемых и добровольных форм оценивания знаний выпускников. Школьные педагоги также при-няли и поддерживают государственное абитуриентское тестирова-ние как удобную для школьников форму повторения всего объема знаний по предмету, в связи с чем активно посещают организован-ные для них преподавателями университета тренинговые занятия, чтобы еще более качественно оказывать помощь ученикам. Центр тестирования, в свою очередь, организует тренинг-курсы по мате-матике, физике и русскому языку для учащихся, готовящихся к процедуре абитуриентского тестирования. Опытные педагоги по-могают школьникам систематизировать знания и применять их к


79

решению заданий, сформулированных именно в тестовой форме. Оказалось, что слушатели тренинг-курсов показали лучшие ре-зультаты по всем трем предметам как в сравнении со средним бал-лом по России, так и со средним баллом всех абитуриентов регио-нального представительства ЦТ при ЯрГУ (РПЦТ). Соответствую-щие цифры (баллы) по русскому языку: 58.3, 50.0, 54.7; по матема-тике: 60.9, 50.0, 58.1; по физике: 56.5, 50.0, 52.6. При этом процент участников абитуриентского тестирования РПЦТ и слушателей тренинг-курсов, набравших тестовый балл, соответствующий оценкам «4» и «5», соответственно равен: по математике – 62.5% и 78%, по русскому языку – 57.5% и 73%, по физике – 53.2% и 64%. Цифры еще раз подтверждают незаменимую роль педагога в какой бы то ни было его деятельности.

Показателями доверия к процедуре Централизованного тести-рования (а следовательно, и к новой, тестовой форме контроля зна-ний) можно считать систематическое увеличение числа участников абитуриентского тестирования. В 2003 году процедуру тестирова-ния в Ярославском государственном университете прошло около 5 000 выпускников средних образовательных учреждений. По дан-ным Госкомстата России, в Ярославский государственный универ-ситет в 2003 году предъявили сертификаты Централизованного тестирования 1 742 школьника, из них было зачислено 472 абиту-риента, что составило 30,1% от числа всех зачисленных в ЯрГУ. Для сравнения, аналогичные цифры по Ярославскому государст-венному техническому университету составляют: 1 159, 931 и 52,5%; по Рыбинской государственной авиационной технологиче-ской академии: 1 887, 836 и 44,3%.

Литература 1. Кречетников К.Г. Задания в тестовой форме и методика их разработки.

Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2002. 36 с. 2. Аванесов В.С. Композиция тестовых заданий. М., 1996. 191 с. 3. Карсак К. Тесты – и не роскошь, и не идеал // Народное образование. 2002.

№ 8. С. 91 - 98. 4. Ингенкамп К. Педагогическая диагностика. М.: Педагогика, 1998, 239 с. 5. Анастази А. Психологическое тестирование. Книга 1. М.: Педагогика, 1982,

315 с.


80

Обсуждение вопроса о введении начального курса геометрии в средних

учебных заведениях дореволюционной России

Л.Б. Медведева Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

Мысль о необходимости разделения обучения геометрии в средних учебных заведениях на два курса - пропедевтический и систематический - широкое распространение в России получила в конце 19-го – начале 20-го века. Эта идея составила одну из основ-ных проблем, обсуждавшихся на первом и втором Всероссийских съездах преподавателей математики, которые проходили в Петер-бурге с 27 декабря 1911 по 3 января 1912 года и ровно через два года – в Москве.

Разделение школьного курса геометрии на две части поддер-живали многие участники съездов. Наиболее яркими выступле-ниями на эту тему были выступления С.А. Богомолова «Обоснова-ние геометрии в связи с постановкой ее преподавания», ([1], т. 1) и А.Р. Кулишера «Начальный (пропедевтический) курс геометрии в средней школе. Его цели и осуществление» ([1], т. 1).

Главные причины необходимости реформирования курса гео-метрии и методики ее преподавания выделяют в своих докладах не только С.А. Богомолов и А.Р. Кулишер, но и Д. Мордухай-Бол-товской, С.И. Шохор-Троцкий, Д.В. Ройтман, Н.А. Извольский и другие. Суммируя мнения разных докладчиков, эти причины мож-но сформулировать так:

1. В силу своих психолого-возрастных особенностей дети, при-ступающие к изучению геометрии, не в состоянии усвоить курс, построенный на общих выводах современной аксиоматики. А “психология указывает единственный путь в область абстракции, это – тот, который идет через интуицию ” ([4], c. 23).

2. Для успешного усвоения материала преподавание должно быть интересным. Интерес к знанию есть у каждого нормального ребенка. Только направление интереса, его характер меняется с воз-растом… Чем моложе человек, тем более его интересы направлены в сторону внешнего мира. Учащиеся в том возрасте, в котором при-ступают к изучению геометрии, полны жажды знания, но при не-пременном условии, чтобы это знание преподносилось им в живой,


81

интуитивной форме, связанной с другими их интересами в области природы и жизни ” ([1], т. 1, с. 46 - 47).

По этому поводу С.И. Шохор-Троцкий пишет ([1], т. 1, с. 74 - 75): “Недочеты и трудности, возникающие в процессе усвоения геометрии, зависят, большей частью, от невнимания к психологии мышления. … Известно, что пространственные представления и восприятия предшествуют счету. Но вся беда в том, что количество и качество пространственных восприятий и представлений у школьника, приступающего к занятиям геометрией, считается дос-таточным для прохождения с ним курса евклидовой геометрии”. А это далеко не так, “и та высота логического усилия, на которую учитель сразу хочет поднять учащихся, для них недоступна”.

Итак, необходимость перестройки курса геометрии диктова-лась как необходимостью соблюдения принципа наглядности в обучении геометрии, так и требованием учета возрастных особен-ностей учащихся в процессе обучения.

3. В современном курсе геометрии наблюдается постоянное смешение двух различных методологических подходов – интуиции и логики – в изложении материала: “там нет единства метода: до-казательства частью основаны на интуиции, частью – на логике” ([1], т. 1, с. 45).

Избавиться от этой двойственности, по мнению С.А. Богомо-лова, можно, построив геометрию по единому методу. Доказав не-приемлемость построения школьного курса геометрии на основе одной только интуиции или одной только логики, С.А. Богомолов находит решение проблемы в разбиении курса геометрии на две части. В каждой из них он предлагает выдержать единство метода и каждую посвятить почти исключительному развитию одной из наших духовных способностей – интуиции и логики. Первая будет соответствовать интуитивному, вторая – логическому элементу в геометрии” ([1], т. 1, с. 47).

“Первая часть – пропедевтический курс – должна иметь целью развитие пространственной интуиции и накопление геометриче-ских знаний. В этом курсе учащиеся должны самым широким об-разом использовать свою способность пространственного вообра-жения. Здесь следует отвести видное место так называемому лабо-раторному методу и экспериментированию разного рода: построе-ниям простейшими чертежными инструментами, построениям на


82

клетчатой бумаге, вырезанию и накладыванию фигур, различного рода измерениям, и т.д. Вполне уместным будет ввести понятие движения в механическом смысле и использовать его для конст-руирования новых для учащихся плоских и пространственных фи-гур, новых предложений геометрии”.

По мнению С.А. Богомолова, преобладание в начальном курсе наглядных доказательств, основанных только на интуиции, опыте, позволяет оживить и пополнить традиционный материал элемен-тарной геометрии, неизменный со времен Евклида, некоторыми главами новейших геометрических теорий. Считая геометрию по-ложения более элементарной по сравнению с обычной геометрией меры, докладчик предлагает включить в пропедевтический курс начала проективной геометрии и некоторые вопросы геометрии начертательной. Эти разделы геометрии хорошо поддаются на-глядному, интуитивному изложению, а благодаря наличию пре-красных моделей, они научат изображать пространственные обра-зы на плоскости и тем самым принесут немалую практическую пользу многим учащимся.

Полную поддержку идеям С.А Богомолова являл собой доклад А.Р. Кулишера ([1], с. 376 - 413).

А.Р. Кулишер не останавливается на обосновании необходимо-сти начального курса в школе, отсылая слушателей к сочинению немецкого дидакта Трейтлейна (“Der geometrische Anschaungsunter-richt”. Berlin, 1911), сорок лет проработавшего в области дидактики математики. Он говорит, что в этой книге (рус. пер. см. [8]), помимо методики наглядной геометрии, читатель найдет историю попыток введения начального курса геометрии, охватывающую весь 19-й век (к тому времени этот курс в Австрии преподавали уже почти 40 лет, в Германии - 10 лет, в Швейцарии его изучали с 1820 г., а в России он был введен в 1911 году в кадетских корпусах).

Прослеживая схему построения традиционного курса геомет-рии того времени, А.Р. Кулишер указывает на некоторые ее недос-татки. Первый недостаток он видит в том, что ученики старших классов “хорошо владеют всеми изученными главами в отдельно-сти, но с трудом представляют себе весь курс в виде связного, стройного целого. А между тем одной из задач курса является объ-единение всех его предложений в нечто целое, в то, что называют системой” ([1], т. 1, с. 379). Причина этого обстоятельства, по его


83

мнению, кроется в том, что занятия по геометрии начинаются “не с укрепления и разработки имеющихся уже у учащихся сведений от-носительно пространства трех измерений, а с изучения некоторых отвлеченных предложений относительно фигур на плоскости” ([1], т. 1, с. 380), и это в то время, когда “многочисленные наблюдения преподавателей-практиков подтверждают, что тела для детей “проще”, чем прямые и плоскость” ([1], т. 1, с. 380).

Другим слабым местом обычного систематического курса гео-метрии является игнорирование целой области геометрии, “невзи-рая на ее доступность для учащихся и ценность в дидактическом отношении”. Ученики, успешно окончившие гимназию, “затрудни-лись бы указать, что геометрия – не только наука о протяженных величинах, но также и наука о взаимном расположении и соотно-шении элементов геометрических образов” (Там же, с. 380).

Большая часть доклада А.Р. Кулишера посвящена анализу наи-более значимых пропедевтических курсов геометрии того времени. Среди них “Наглядная геометрия” В. Кемпбела [9], “Начатки опытной геометрии” Поля Бэра [10], примыкающий к ним курс А.М. Астряба [11], книга Н.Е. Кутузова [12], начальный и система-тический курсы итальянского математика Веронезе, “Дидактика преподавания математики” австрийского педагога Гефлера ([1], т. 1, с. 382 - 387). Особое внимание уделяется курсу Трейтлейна: дается подробная характеристика программы этого курса и прин-ципов его построения, описывается методика проведения первых занятий ([1], т. 1, с. 389 - 394).

Собственный курс А.Р. Кулишера внутреннее очень похож на курс Трейтлейна, о чем свидетельствует краткий обзор материала, подлежащего рассмотрению в этом курсе.

Начальный курс геометрии А.Р. Кулишера рассчитан на 3 учебных года при 1 часе в неделю и предполагает изучение сле-дующих вопросов.

Первый год обучения. Знакомство с телами (куб, шар, ци-линдр). Понятие прямой, ломаной, плоской поверхности. Отрезок, измерение длин отрезков. Квадрат, параллельные и перпендику-лярные прямые. Прямой угол, понятие угла. Прямоугольник. Пло-щадь квадрата и прямоугольника. Развертка куба. Ромб, его неко-торые свойства.


84

Второй год обучения. Расположение прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Парал-лельные плоскости, параллельные прямые. Параллелограмм, виды параллелограммов. Трапеция. Призмы. Боковая поверхность и объ-ем прямоугольного параллелепипеда.

Третий год обучения. Связка прямых и шар, пучок прямых и круг. Симметрия. Подобие. Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора. Измерение площадей параллелограмма и трапеции. Треугольники и их площади. Треугольная пирамида. Конус. Ци-линдр. Шар. Объемы и поверхности этих тел.

Важным моментом введения пропедевтического курса геомет-рии в школьные учебные планы А.Р. Кулишер считает “отчетливое понимание критериев правильности построения подобного курса” ([1], т. 1, с. 411). Существование достаточно большого числа учеб-ников по данному предмету тем более делает необходимым “уста-новление признаков, при наличии которых то или иное построение пропедевтического курса можно было бы признать целесообраз-ным” ([1], т. 1, с. 381). Сравнение различных курсов, проведенное А.Р. Кулишером, позволило ему сформулировать основные требо-вания к любому начальному курсу геометрии ([1], т. 1, с. 409):

1. Пропедевтический курс должен удовлетворять всем требо-ваниям общей дидактики, учитывающей особенности того или иного возраста и основанной на разумной самодеятельности уча-щихся.

2. Материал курса не должен быть очень велик; он должен стать прочным достоянием учащихся и в результате планомерной, в основном классной, работы перейти в область твердых навыков учащихся.

3. Слово должно сопутствовать всей той работе, которую вы-полняют рука и мысль ребенка.

4.Учебный материал должен быть связан с теми пространст-венными представлениями, которые ребенок вынес или может вы-нести из повседневного опыта, а также «с некоторыми сторонами строительного и инженерного искусства и творений природы».

5. Изучаемые в курсе объекты должны быть взаимосвязаны; весьма важно, чтобы новые образы возникали из старых, причем рассмотрение трехмерных фигур целесообразно сочетать с их изо-бражением на плоскости.


85

6. На материал должны влиять, в известной мере, приемы мышления новых геометров.

7. В нем должны возникать рассуждения и обобщения доказа-тельного характера (особенно в заключении курса).

8. Переход от начального курса к следующей части занятий геометрией должен быть тщательно продуман.

По мнению Кулишера, пропедевтический курс должен не толь-

ко знакомить учащихся с важнейшими свойствами пространствен-ных и плоских фигур и “способствовать выработке “пространствен-ной грамотности”, но и внести свою долю в дело развития мышле-ния и умения правильно формулировать умозаключения”([4], с. 24).

Следует заметить, что весьма желательным введение в пропе-девтический курс доказательного элемента считали многие сто-ронники этого курса. “Следует познакомить учеников с чисто ин-туитивными доказательствами (индусской геометрией). Этими до-казательствами можно убедить ребенка больше, чем доказательст-вами логическими. …Геометрические истины можно сообщить без доказательства; но необходимо, так сказать с пеленок, внушить, что наука - область не веры, а знания, потому предпочтительнее в пользу их представить аргументы, хотя бы и только наглядные”, – пишет, например, Д. Мордухай-Болтовской ([4], с. 24). Мало-помалу, – говорит С.А. Богомолов, – учащихся надо привести к мысли, что математика не может удовлетвориться методами ин-туитивного установления фактов, и на простейших примерах пока-зать, как из известных предложений получить новые путем одних только рассуждений; постепенно школьники смогут оценить силу дедукции ([1], т. 1, с. 49).

Как уже отмечалось, ни в докладе Богомолова, ни в докладе Ку-лишера не содержится четко очерченной программы начального курса геометрии. Такую программу фактически предложила Н.А. Тамамшева в своем шестилетнем курсе математики ([1], т. 2, с. 140 - 162), который она называет пропедевтическим. Сведения по геометрии, которые заложены в этот курс, композиционно удачно расположены, значительны по объему. Будучи извлеченными из программы курса, они составят хорошую программу начального курса геометрии. Положительными моментами этой геометриче-ской программы являются:


86

1) введение значительных сведений из наглядной геометрии, начиная с первого года обучения;

2) включение в пропедевтический курс интересных сведений из аналитической геометрии;

3) оживление геометрического материала занимательными сведениями и приложениями из механики, астрономии, геодезии;

4) введение в курс понятия симметрии относительно точки, прямой, плоскости и понятия движения.

Следует отметить, что в “Наглядной геометрии” Н.А. Таммам-шева видит “самое могучее средство как для приучения детей к на-блюдательности, так и для выработки привычки к сосредоточен-ному и продолжительному вниманию” ([1], т. 2, с. 156).

В заключение следует сказать, что первые два съезда препода-

вателей математики поставили много интересных проблем, отно-сящихся к преподаванию геометрии в средней школе ([12, 13]). Обсуждение их предполагалось и на третьем Всероссийском съез-де, о чем свидетельствует список вопросов, который подготовил для обсуждения на третьем Всероссийском съезде его распоряди-тельный Комитет [14]:

1. Необходимо ли разделение курса геометрии в средней школе на циклы и вопрос о числе циклов?

2. Постановка первого цикла в различных учебных заведениях и достигаемые этим курсом результаты.

3. Определения и рассуждения доказательного характера в первом цикле геометрии.

4. Развитие пространственных представлений в первом цикле. 5. Задачи и цели 2-го (и 3-го) циклов курса элементарной гео-

метрии. 6. Вопрос о сокращении курса Евклида, об элементах геомет-

рии начертательной и проективной. 7. Вопрос о слиянии планиметрии и стереометрии (фузио-

низм).

Литература 1. Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Т. 1, 2.

СПб., 1913. 2. Доклады, читанные на 2-м Всероссийском съезде преподавателей матема-

тики в Москве. М., 1915.


87

3. Метельский Н.В. Очерки истории методики математики (к вопросу о ре-форме преподавания математики в средней школе). Минск, 1968. С. 199 − 267.

4. Мордухай−Болтовской Д. О первом Всероссийском съезде преподавателей математики. Варшава, 1912. С. 42.

5. Мрочек В.П. Итоги первого Всероссийского съезда преподавателей мате-матики // Русская школа. 1912. № 2. С. 82 - 89.

6. Смирнова И. Из истории учебников по наглядной геометрии // Математика (еженедельное приложение к газете “Первое сентября”). 1999. № 43.

7. Трейтлейн П. Методика геометрии / Под ред. Ф.В. Филипповича. Ч. 1. СПб., 1912; Ч. 2. СПб., 1913.

8. Кемпбель В. Наглядная геометрия: Пособие для обучения и самообучения / Пер. с англ. Е. Попова. М., 1910.

9. Бэр П. Начатки опытной геометрии в приложении к измерению линий, по-верхностей и тел. М., 1909.

10. Астряб А.М. Наглядная геометрия. Киев, 1909. 11. Кутузов Н.Е. Наглядная геометрия для 2-классных школ. 2-е изд. М.,

1915. 12. Резолюции 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики

// Моб. 1912. № 2. С. 86 – 88. 13. Резолюции 2-го Всероссийского съезда преподавателей математики

// Моб. 1914. № 1. С. 50 – 52. 14. Третий Всероссийский съезд преподавателей математики // ВОФЭМ.

1915. № 630. С. 139 - 141.

Элементы учебных исследований при изучении курса элементарной математики в педагогическом вузе

Н.А. Меньшикова Ярославский государственный педагогический

университет им. К.Д. Ушинского

Данная статья является логическим продолжением научно-ме-тодических исследований автора по проблеме организации учебно-исследовательской математической деятельности в средней и выс-шей школе.

Перед современной высшей школой стоит задача подготовки специалистов, обладающих исследовательскими умениями, в связи с постоянным ростом наукоемкого производства. Формирование исследовательских умений и методологических знаний осуществ-ляется в процессе учебно-исследовательской деятельности. Роль учебно-исследовательской деятельности как особого вида учебной деятельности заключается в передаче опыта творческой деятельно-


88

сти в интеллектуальной области, причем в решении педагогиче-ской проблемы передачи этого опыта необходима преемственность между средней и высшей школой. Выпускник педагогического ву-за как специалист в образовательной сфере должен уметь органи-зовать процесс передачи опыта творческой деятельности в интел-лектуальной области в тех педагогических условиях, в которых он приступает к работе. С этой целью в процессе обучения студенты знакомятся с понятиями учебно-исследовательской математиче-ской деятельности в средней школе и трактовкой понятия учебно-исследовательской задачи, основными типами таких задач [1].

Под учебно-исследовательской математической деятельностью в средней школе мы понимаем особый вид учебной деятельности по приобретению индивидуального опыта творческой математи-ческой деятельности в процессе решения учебно-исследова-тельских математических задач, который подобен научной дея-тельности ученого-математика. Учебно-исследовательская матема-тическая задача определяется нами как многокомпонентное зада-ние, представляющее собой укрупненную дидактическую единицу с дополнительными характеристиками:

- совместным построением учениками и учителем на основе опорной задачи из основной учебной программы;

- варьированием учителем уровня сложности задачи для обеспечения дифференциации и индивидуализации обучения;

- составлением учениками общего плана исследования вы-бранного объекта, предусматривающего их самостоятельную дея-тельность по выявлению свойств и варьированию параметров объ-екта, сравнению его свойств со свойствами аналогичных объектов, выявлению внутрипредметных и межпредметных связей, форму-лировке результатов исследования и определению их приложений;

- совместным поиском рациональной организации действий, необходимых для решения задачи, в том числе с помощью компь-ютера.

Посредством анализа основных характеристик нами выделены восемь основных типов учебно-исследовательских математических задач:

1) подготовительные (пропедевтические задачи); 2) логическая цепочка связанных между собою задач, постро-

енная на основе ключевой задачи учебной программы;


89

3) учебно-исследовательская задача, организованная по прин-ципу пучка задач, связанных общей идеей;

4) многокомпонентное задание, созданное на основе ключевой задачи, в котором главной является обобщенная задача, а основная цель - усвоение обобщенного способа действий;

5) учебно-исследовательская задача – аналог ключевой; 6) задачи, известные из истории науки; 7) многокомпонентные задачи межпредметного характера; 8) самостоятельно составленные учащимися новые задачи по

изученному материалу. Придерживаясь взглядов Л.М. Фридмана и Т.А. Ивановой, к

основным учебно-исследовательским умениям мы относим те, ко-торые соответствуют общей схеме научного поиска. В области ма-тематики это умения:

- производить наблюдения математических объектов и сравни-вать результаты наблюдений;

- выполнять анализ наблюдаемых фактов и синтезировать на основе наблюдений и анализа новые умозаключения;

- проводить математический эксперимент (выполнять вычис-ления, построения, измерения, моделировать объекты);

- проводить классификацию объектов по выбранному основа-нию;

- проводить индуктивные и дедуктивные рассуждения; - осуществлять доказательство; - обобщать полученные факты; - определять область применения полученных фактов. В предыдущих работах автора статьи было показано, что в ус-

ловиях педагогического вуза курс элементарной математики для старшекурсников позволяет на практических занятиях рассматри-вать тематику учебно-исследовательских задач, использовать твор-ческие задания по их составлению. В программе курса элементар-ной математики существуют темы, обладающие большой ценно-стью с точки зрения организации учебно-исследовательской мате-матической деятельности. К этим темам прежде всего отнесем ме-тоды решения задач с параметром, доказательство неравенств, об-щие подходы к решению избранных нестандартных задач, много-


90

компонентные геометрические задачи, межпредметные задачи, и т.п. Курс элементарной математики в целом подготавливает сту-дентов к работе над содержанием учебно-исследовательской мате-матической деятельности: отбору, осмыслению и конструированию задачного материала.

Поскольку курс элементарной математики в педагогическом вузе изучается на протяжении всех лет подготовки по математиче-ской специальности, целесообразно в практические занятия даже на младших курсах включать задания с элементами учебных ис-следований, осуществляя преемственность в формировании иссле-довательских умений между школой и вузом. В процессе обучения в средней школе к участию в учебно-исследовательской математи-ческой деятельности студенты были подготовлены в разной степе-ни. В связи с этим методическая работа в данном направлении проводится поэтапно, начиная с формирования основных исследо-вательских умений.

Рассмотрим на конкретных примерах приемы формирования исследовательских умений студентов с помощью особых форм по-становки учебного задания.

Пример 1. Выявить общий прием решения группы тригоно-

метрических уравнений: 1) ;cos25sinsin 2 xxx +=+ 2) ;17sin42sin2sin xxx +=+ 3) ;4sin2cossin 4 xxx +=+ 4) ;15sinsin =⋅ xx 5) ;23sin)cos3(sin =+ xxx 6) .8sin5)3/(sin3 22 =+ xx Наблюдения и сравнительный анализ составных частей урав-

нений позволяет сделать вывод о том, что при решении этих уп-ражнений необходимо использовать свойство ограниченности три-гонометрических функций xy sin= и xy cos= . С помощью этого свойства уравнения преобразуются в системы, либо в совокупно-сти систем простейших уравнений:


91

1)

===

;0cos,15sin

,1sin

xx

x 2)

−===

;117sin,12sin

,1sin

xx

x 3)

==+

;04sin,1)4/sin(

xx π

4)

==

;15sin,1sin

xx

U

−=−=

;15sin,1sin

xx

5)

==+

;13sin,1)3/sin(

xx π

U

−=−=+

;13sin,1)3/sin(

xx π

6)

==;04sin

,1)3/sin(x

xU

=−=

;1sin,1)3/sin(

xx

U

−==;1sin

,1)3/sin(xx

U

−=−=

.1sin,1)3/sin(

xx

Далее студенты самостоятельно выполняют решение состав-

ленных совокупностей систем по общим правилам. Пример 2. Выявить общий прием решения группы уравнений: а) ;55)3/cos(2 xxx −+= б) ;22)6/)((cos2 22 xxxx −+=+ в) ;22)28(log 112

3xxxx −− +=−+

г) ).4/()4/()23(log 2222 xctgxtgxx ππ +=−+

При анализе структуры этих уравнений можно заметить, что

правые части трех первых уравнений представляют собой сумму взаимно обратных положительных выражений, а правая часть чет-вертого похожа на правые три, с учетом области определения тан-генса и котангенса.

Используя опорное неравенство 2)/1( ≥+ aa для положитель-ных a, заключаем, что выражения, стоящие в правых частях этой группы уравнений, принимают значения, не меньшие 2.

Если докажем, что значения левых частей этой группы уравне-ний не превосходят 2, тогда можно будет выделить корень методом наблюдений.

В первом случае воспользуемся ограниченностью функции )3/cos(xy = и выявим единственный корень x = 0; во втором слу-

чае ограниченность сверху левой части также следует из свойств тригонометрических функций, а единственным решением будет


92

также x = 0. В третьем и четвертом уравнениях выражения, стоя-щие под знаком логарифма, преобразуем, выделив полный квадрат:

);)1(9(log)28(log 23

23 −−=−+ xxx

).)1(4(log)23(log 22

22 −−=−+ xxx

Оценив значения этих выражений и сравнив результаты оцен-ки с правыми частями, получаем в этих случаях единственный ко-рень x = 1.

В процессе разбора этого примера целесообразно переформу-лировать задание: при каких значениях переменной будут равны значения функций, записанных в обеих частях уравнений? В этом случае сравнивается характер ограниченности функций, а также сравниваются значения переменной, при которых одна из функций достигает наименьшего значения, а другая – наибольшего.

Пример 3. Выделите общую структуру данной группы нера-

венств и общий прием их доказательства:

а) ;2)5/sin(

1)5/sin( >+π

π г) ;11

12

2 ≥+

+a

a

б) ;36log3log 32 >+ д) .22

22

2≥

++

++

aaaa

в) ;21≥+ x

x ee

Сравнение этих неравенств позволяет преобразовать каждое из них к виду суммы двух взаимно обратных положительных вели-чин, которая всегда не меньше 2.

Задания, аналогичные приведенным примерам, целесообразно

включать в практические занятия с целью формирования исследо-вательских умений, поскольку с помощью одного-двух уравнений дать наглядное представление об эффективности того или иного приема решения бывает затруднительно.

Необходимым умением для будущего учителя является состав-ление математической модели сюжетной задачи. Для его формиро-вания полезно проводить сравнительный анализ сюжетных задач с похожей структурой.


93

Пример 4. Составить математические модели и выявить общий план решения группы сюжетных задач.

а) Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 т, но последний вагон был загружен не полностью. Если взять вагоны вместимостью 60 т, то их понадобится на 8 больше, но при этом последний вагон вновь окажется неполным. Если взять вагоны вместимостью 50 т, то понадобится еще на 5 вагонов больше, и все вагоны будут загружены полностью. Сколько тонн груза было?

б) Если пионеров лагеря построить в колонну по 8 человек в ряду, то один ряд окажется неполным. Если построить по 7 человек в ряду, то рядов будет на 2 больше, и все они будут полными. Если же выполнить построение по 5 человек в ряду, то рядов будет еще на 7 больше, но один ряд будет заполнен не весь. Сколько пионе-ров в лагере?

в) Если жидкость разлить в бутыли емкостью 40 л, то при этом последняя бутыль окажется неполной. Если эту же жидкость раз-лить в бутыли емкостью 50 л, то бутылей понадобится на 5 мень-ше, и все они будут заполнены. Если жидкость разлить по бутылям емкостью 70 л, то понадобится еще на 4 бутыли меньше, но одна бутыль будет неполной. Сколько было литров жидкости?

Рассмотрим кратко основные этапы методики работы с этими

задачами. Анализ условий и требований задач показывает, что их струк-

тура очень похожа. В каждой из них имеется по два условия, кото-рые могут быть представлены двойным неравенством; по одному условию, порождающему уравнение. В каждой из задач условием является принадлежность к натуральному ряду вспомогательных величин. Во всех трех случаях основное неизвестное удобнее най-ти после определения значения вспомогательной величины. Для поиска общего способа решения рассмотрим первую задачу. С по-мощью цепочки вопросов учащимся определяем, как связаны меж-ду собой общее количество груза Х и количество вагонов имею-щейся вместимости.

Пусть n - количество вагонов вместимостью 50 т. Тогда общее количество груза nx 50= . Для вагонов вместимостью 60 т получа-ем неравенство ),5(60)6(60 −<<− nxn а для вагонов вместимо-стью 80 т получаем неравенство )13(80)14(80 −<<− nxn .


94

Одновременное выполнение всех условий представимо систе-мой:

−<<−−<<−

∈=

).13(80)14(80);5(60)6(60

;,50

nxnnxn

Nnnx

Далее обсуждается план решения: 1) перейти от составленной общей системы к вспомогательной системе двух неравенств с од-ной переменной и найти ее общее решение; 2) отобрать натураль-ные значения искомой вспомогательной величины, удовлетворяю-щие условию задачи; 3) определить искомое значение основной неизвестной величины.

Реализуем составленный план. Исключая из неравенств x, получим:

∈−<<−−<<−

;),13(8050)14(80);5(6050)6(60

Nnnnnnnn

∈<<<<

;,3/1123/104;3630

Nnnn

откуда 35=n , тогда .17503550 =⋅=x Ответ: было 1 750 т груза. Вводя аналогичные обозначения в двух оставшихся задачах,

получаем системы: - для второй задачи:

+<<+−<<−

∈=

),7(5)6(5);2(8)3(8

;,7

nxnnxn

Nnnx

откуда ,17=n .119=x т; - для третьей задачи:

−<<−+<<+

∈=

),4(70)5(70);5(40)4(40

;,50

nxnnxn

Nnnx

тогда ,17=n 850=x т. Замечаем, что составленные смешанные системы однотипны, а

составленный для первой задачи план решения может быть ис-пользован и для второй, и для третьей задачи. Проверка найденных решений выполняется непосредственной подстановкой.


95

Анализируя составленные системы, замечаем, что они допус-кают вариативность, поскольку существуют три варианта вспомо-гательной величины. Одной из дальнейших форм работы с этой группой задач может быть обобщение и решение задачи в общем виде. Опыт работы со студентами, обучающимися на заочном от-делении, показывает, что самостоятельный поиск метода решения аналогичных задач вызывает у учащихся затруднения: часто пред-лагаются другие попытки (табличный способ, перебор вариантов и др.). Тем более целесообразным представляется включение таких заданий в тему «Методы решения сюжетных задач».

Другим видом работы является конструирование математиче-ских объектов.

Пример 5. Пользуясь свойствами окружности, параболы и ги-

перболы, а также свойствами модуля, сконструировать на коорди-натной плоскости несколько замкнутых точечных множеств разной формы. Задать эти множества аналитически с помощью системы неравенств. Рассмотреть аналогичную задачу, используя графики известных функций.

Не менее наглядны как учебные исследования позиционные геометрические задачи на построение. Рассмотрим с этой точки зрения достаточно известную задачу.

Пример 6. Через заданную точку А провести прямую так, что-

бы ее отрезок с концами на заданной прямой m и заданной окруж-ности ω делился точкой А пополам. Провести исследование для различных взаимных расположений А, ω,m .

В общем случае задача решается с помощью центральной симметрии с центром в точке А. Строится образ либо прямой m, либо окружности ω : если существуют общие точки построенного образа со второй фигурой, то задача будет иметь одно или два ре-шения. В учебном исследовании на основе этой задачи основной целью будет поиск вариантов расположения фигур, при которых решение существует. В общий план исследования вводятся основ-ные варианты взаимного расположения этих фигур, а затем внутри каждого основного пункта плана могут быть выделены частные случаи, когда одна из фигур считается неподвижной, а положение других меняется.


96

Подобное исследование можно провести и на основе других известных позиционных задач.

Пример 7. Между двумя окружностями на плоскости проходит

прямая l. Построить равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины лежали на окружностях, а одна из высот лежала на прямой l.

Исследование может быть проведено как по направлению рас-смотрения различных вариантов взаимного расположения этих ок-ружностей, так и по соотношению величин радиусов.

В общем случае задача решается с помощью осевой симметрии с осью l. Если образ одной из окружностей имеет общие точки с другой окружностью, то задача имеет решение. Интересен случай симметричности заданных окружностей относительно заданной прямой: в этом случае задача имеет бесчисленное множество ре-шений.

Упражнения такого рода целесообразно предлагать в качестве домашней контрольной работы, индивидуального задания.

Практикум по элементарной геометрии предоставляет большие возможности для развития исследовательских умений учащихся как на планиметрическом, так и стереометрическом материале.

Организация учебно-исследовательской деятельности студен-тов по другим учебным дисциплинам описывается, например, в мо-нографии [2].

Целостное формирование исследовательских умений у студен-тов как дневного, так и заочного отделений осуществляется в про-цессе междисциплинарного подхода к подготовке учителей мате-матики и других специальностей факультета.

Литература 1. Меньшикова Н.А. Основы методики работы с учебно-исследовательскими

математическими задачами // Ярославский пед. вестник. 2002. № 3. С. 109 - 114. 2. Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс – параллели и взаи-

мосвязи: Монография. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 1997. 137 с.


97

Педагогические условия развития пространственного воображения

у будущих преподавателей математики в классическом университете в рамках дополнительной

профессионально-педагогической программы

Е.В. Никулина Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

Профессионально-педагогическая подготовка студентов в классическом университете осуществляется в рамках дополнитель-ного образования, которое имеет ряд отличительных особенностей, сказывающихся, в частности, на геометрической подготовке буду-щих преподавателей математики.

Под дополнительным образованием понимается получение квалификации, отличной от предусмотренной основной вузовской образовательной программой [1]. В частности, в качестве дополни-тельной выступает квалификация «Преподаватель» (регламенти-руемая Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню профессиональной подготовки выпускника для получе-ния дополнительной квалификации «Преподаватель», далее – Го-сударственные требования), в качестве основной – специальность «Математик» (регламентируемая Государственным образователь-ным стандартом высшего профессионального образования по спе-циальности 010100 - «Математика», далее - Государственный стан-дарт).

Проанализировав разработанные дополнительные профессио-нально-педагогические программы, внедряемые в различных уни-верситетах (Ивановском, Мордовском, Нижегородском, Сыктыв-карском, Ярославском) и исследования разных авторов по данной тематике (Т.А. Вороновой, Г.А. Засобиной, О.А. Иванова, Л.С. Ка-зарина, В.А. Кузнецовой, А.С. Проворова, О.Г. Проворовой, Н.Р. Сенаторовой, В.С. Сенашенко), выделим следующие особен-ности дополнительной педагогической подготовки в классическом университете:

1. Дополнительная программа представляет отдельный модуль, содержание которого не отражено в Государственном стандарте подготовки математика.


98

2. Реализация дополнительной профессионально-педагоги-ческой программы занимает относительно короткое время. Основ-ная часть программы сосредоточена после окончания бакалавриа-та. Объем теоретической подготовки по дополнительной програм-ме занимает 800 часов [2], по основной образовательной программе подготовки математика – 8 370 часов [3].

3. Дополнительная программа включает два вида курсов: - курсы, входящие в пересечение с основной программой (на-

пример, «Психология и педагогика»); - курсы, требуемые для освоения только дополнительной про-

граммы, но не основной (например, «Методика преподавания ма-тематики», «Новые информационные технологии в учебном про-цессе», и т.д.).

Последние относятся к факультативным, или элективным, кур-сам.

4. Дополнительная программа имеет базовую и вариативную составляющие. К базовой относятся дисциплины цикла ОД – об-щие дисциплины и некоторые дисциплины цикла СД – специаль-ные дисциплины. К вариативной относятся специальные дисцип-лины по выбору студентов (входящие в блок СД).

Дополнительная программа реализуется только на базе основ-ной образовательной программы. При этом предметная подготовка осуществляется в основном в рамках основной образовательной программы подготовки специалиста.

На основании вышесказанного, относительно геометрической

подготовки будущих преподавателей в классическом университете можно сделать следующие выводы:

1. В настоящее время уровень геометрической подготовки бу-дущих преподавателей в основном определяется Государственным образовательным стандартом подготовки математика. Геометрия в нем представлена следующими дисциплинами: «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра и геометрия», «Дифференциальная геометрия», «Топология», при изучении которых студенты полу-чают представление только об аналитических методах геометрии, но не о ее строении в целом и различных методах. Этот факт под-черкивается и в работе [4]: «Анализ стандарта показывает, что гео-метрия, как одна из важнейших математических составляющих,


99

представлена лишь номинально, ее разделы в основном разбросаны по отдельным математическим курсам, стоят там в самом конце в виде заголовков глобальных тем, не очень связанных как между собой, так и с тем курсом, в котором они находятся… Содержа-тельно геометрия также сильно обделена – отсутствуют вопросы общей аксиоматики; нет упоминания о неевклидовых геометриях; никак не представлена элементарная геометрия n-мерного про-странства, … отсутствует упоминание о важных идеях и методах синтетической, проективной геометрии. По существу, выпускник университета не имеет представления о том, что такое геометрия и каковы ее методы».

2. Знакомство с научными основами школьной геометрии, с методами синтетической геометрии, составляющими основу школьного геометрического образования, может быть реализовано только на специальных курсах, входящих в блок профессионально-педагогической подготовки, осуществляющейся на основании Го-сударственных требований. На сегодняшний день в качестве одно-го из разделов геометрия может быть представлена в курсе «Науч-ные основы школьного курса математики». Одна из программ дан-ного курса представлена в монографии [5]. Эта программа «рас-считана на то, что все основные математические дисциплины сту-дент уже знает и надо провести некий параллелизм, установить аналогию между понятиями и результатами порой различных ма-тематических ветвей или, наоборот, понять особенности и отли-чия». Заметим, что при этом опять есть опасность, во-первых, «сползания» в сторону алгебраического подхода в геометрии, во-вторых, отказа от рассмотрения некоторых необходимых для бу-дущего учителя аспектов геометрии, вызванного недостатком вре-мени, отводимого на изучение данного курса (80 часов). В качестве подтверждения данного тезиса может служить следующий факт: только один из разделов обсуждаемого курса, посвященный мето-дам изображения (читаемый в течение нескольких лет автором), требует для качественного усвоения материала порядка 20 ауди-торных часов. Таким образом, преподавание геометрии для буду-щих учителей только в курсе «Научные основы школьного курса математики» явно не достаточно. Что касается курса «Методика преподавания математики», в частности его раздела «Методика преподавания геометрии», то здесь акцент должен быть смещен


100

именно в сторону методики преподавания предмета, а не его со-держания.

Таким образом, геометрические курсы основной образователь-ной программы, а также обязательные курсы дополнительной про-граммы, в которые входит геометрия, - необходимы, но недоста-точны для полноценной геометрической подготовки будущих пре-подавателей математики в классическом университете.

Одним из путей решения данной проблемы является разработ-ка и введение за счет вариативной составляющей дополнительной программы системы специальных геометрических курсов, связан-ных с различными аспектами школьной геометрии. Такие автор-ские курсы присутствуют в некоторых университетах: «Конструк-тивная геометрия» (Чувашский государственный университет), «Основания геометрии» (Нижегородский и Сыктывкарский уни-верситеты), «Методы изображений» (ЯрГУ).

На основании вышесказанного, становятся понятны причины трудностей, которые испытывают молодые преподаватели, выпу-скники университета, в процессе преподавания геометрии в школе.

Актуальность решения рассматриваемой проблемы определя-ется следующими факторами:

1. Как уже было отмечено, в классическом университете буду-щий учитель получает геометрическое образование, не ориентиро-ванное на проблемы преподавания геометрии в школе. С опытом, конечно, имея достаточно высокую математическую культуру, он может самостоятельно получить необходимые геометрические знания, но тем не менее долгое время недостатки его геометриче-ского образования будут накладывать соответствующий отпечаток на знания его учащихся. Со временем они сами станут преподава-телями с теми же проблемами по геометрии. Таким образом, полу-чается замкнутый круг, который необходимо разорвать.

2. На современном этапе классический университет должен го-товить преподавателей, способных работать в различных типах учебных заведений, профильных классах, по различным методи-кам. Например, у гуманитариев преобладает наглядно-образное мышление, поэтому преподавание геометрии в гуманитарных классах нужно строить исходя из данной особенности учащихся. Но это по понятным причинам достаточно трудно будет сделать выпускникам университета, у которых в течение обучения в уни-


101

верситете акцент делался на развитие абстрактно-логического мышления.

В подтверждение данных выводов приведем результаты кон-трольной работы, проведенной для 48 студентов 5-го курса ЯрГУ и 4-го курса Костромского государственного университета, желаю-щих получить дополнительную квалификацию «Преподаватель». Контрольная работа проверяла следующие знания и умения: графи-ческую культуру (знание свойств параллельного проецирования, умение видеть чертеж, знание того, на каком этапе при построении чертежа заканчивается допустимый произвол с точки зрения его по-зиционных и метрических свойств; знание некоторых тонкостей при изображении шара и конуса); имеющиеся школьные представления; творческое воображение; умение решать позиционные задачи.

Результаты контрольной работы могут быть представлены в виде следующего графика:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

номер задачи

коли

чест

во у

чащ

ихся

, пр

авил

ьно

реш

ивш

их з

адач

у

1 – 3 – задачи на знание свойств параллельного проецирования, 4 – 7 – задачи, проверяющие умение видеть чертеж, 8 – 9 – задачи на изображение шара и конуса, 10 – 16 – задачи, проверяющие школьные представления

студентов, 17 – 18 – задачи на творческое воображение, 19 – 21 – позиционные задачи, 21 – задача, проверяющая знание того, когда на проекционном

чертеже заканчивается произвол при построении с точки зрения его позиционных свойств.


102

Успешнее всего справились студенты с задачами, проверяв-шими их школьные представления (более 50%). Практически с ка-ждой из остальных задач справились менее 40% студентов.

Таким образом, можно сказать, что те умения и знания, кото-рые были перечислены выше, находятся у студентов - будущих преподавателей математики на очень низком уровне, в то время как они являются необходимыми для их будущей работы.

Вывод: возникает противоречие между требованиями практики к уровню геометрической подготовки будущих преподавателей в классическом университете и реально существующей ситуацией.

Геометрическое образование в качестве необходимого вклю-

чает образный компонент. Под последним, в частности, понимает-ся определенный уровень развития пространственного воображе-ния, способность к которому – профессиональное качество, необ-ходимое каждому учителю математики.

Учитывая особенности геометрической подготовки студен-тов – будущих преподавателей в классическом университете, мож-но выделить следующие педагогические условия развития про-странственного воображения у студентов в рамках дополнительной педагогической программы:

1. Разработка и введение за счет вариативного компонента дополнительной профессионально-педагогической программы спе-циальных курсов синтетической геометрии для будущих препода-вателей.

В качестве таких курсов могут выступать: «Позиционная пол-нота изображений», «Геометрическое моделирование», «Метриче-ские задачи теории изображений», «Научные основы школьного курса геометрии», и т.п. Задача подобных специальных курсов со-стоит в следующем: во-первых, дать студентам необходимую фун-даментальную подготовку, выходящую далеко за рамки школьной геометрии, при этом не теряя связи со школьным предметом; во-вторых, дать студентам методические рекомендации по преподава-нию тех или иных разделов школьной геометрии; в-третьих, разви-вать профессиональные качества, необходимые для будущей рабо-ты в школе. К таким профессиональным качествам относится и пространственное воображение студентов – будущих преподавате-лей. Специфика развития пространственного воображения во мно-


103

гом определяется наглядной основой, в качестве которой могут вы-ступать: топографические карты, чертежи, применяемые в черче-нии, геометрические школьные чертежи, образы вузовской мате-матики. Специальные курсы для будущих преподавателей должны развивать пространственное воображение студентов именно на ос-нове образов школьной геометрии.

2. Разработка средств диагностики пространственного вооб-ражения будущих преподавателей.

Пространственные представления и уровень развития простран-ственного воображения, имеющиеся у студента на начальном эта-пе, – это база для дальнейшего их развития в университете, поэтому необходима диагностика этой базы для выбора оптимальной техно-логии обучения и определения конечной цели обучения. Диагно-стика необходима также в течение всего учебного процесса с целью его своевременной коррекции.

3. Формирование у студентов установки, связанной с педаго-гической мотивацией, на развитие пространственного воображе-ния.

Под установкой на развитие пространственного воображения понимается готовность студентов развивать свое пространственное воображение в период обучения в вузе и в процессе своей будущей педагогической деятельности. Указанная установка формируется через осознание значимости пространственного воображения для профессиональной деятельности (т.е. через связь с профессиональ-ной мотивацией).

Указанные педагогические условия в течение нескольких лет

реализуются автором на математическом факультете ЯрГУ имени П.Г. Демидова в процессе чтения специального курса «Методы изо-бражений» для будущих преподавателей математики. Содержание, структура и методическое обеспечение данного курса, реализуемого за счет вариативной составляющей дополнительной профессио-нально-педагогической программы, направлены на развитие у сту-дентов видения чертежа (одного из видов пространственного вооб-ражения). Под последним понимается процесс создания простран-ственного (трехмерного) образа фигуры по ее плоскому изображе-нию и результат этого процесса. Автором выявлены следующие по-казатели развития видения чертежа: способность создавать на осно-


104

ве чертежа пространственное представление, адекватное изобра-женной фигуре; умение применять видение чертежа при решении различных геометрических задач. При этом для определения адек-ватности пространственного представления используются: описание расположения изображенных объектов в геометрических терминах, с помощью естественного языка и модель фигуры. В процессе чте-ния курса «Методы изображений» у студентов формируется уста-новка на развитие видения чертежа через осознание значимости его для будущей профессиональной деятельности. В качестве основно-го средства формирования установки выступает проблемная ситуа-ция, связанная с преподаванием геометрии в школе и разрешаемая с помощью видения чертежа. Кроме проблемной ситуации на заняти-ях курса практикуется применение навыков видения чертежа при решении школьных позиционных задач.

Опытная работа автора в течение нескольких лет со студента-ми - будущими преподавателями математики подтвердила эффек-тивность предложенных педагогических условий в процессе разви-тия их пространственного воображения, а разработанный курс «Методы изображений» может быть использован как в классиче-ских университетах, так и в педагогических вузах при подготовке учителей математики.

Литература 1. Сенашенко В., Чистова И., Кузнецова В., Казарин Л. Дополнительное обра-

зование: идеи и решения // Высшее образование в России. 2000. № 5. 2. Приказ от 03.08.2000 г. № 2400 «О присвоении дополнительных квалифи-

каций педагогического профиля выпускникам вузов по специальностям высшего профессионального образования».

3. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 010100 Математика. Квалификация – Математик. М., 2000.

4. Белов Ю.А., Кузнецова В.А. О геометрическом образовании будущих пре-подавателей математики // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Всероссийскую научную конферен-цию «54-е Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2001. 215 с.

5. Кузнецова В.А. Теория и практика многоуровневого университетского пе-дагогического образования. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1995. 268 с.


105

Отношения физических и математических дисциплин в их преподавании

Е.В. Рыбникова, В.Ф. Чаплыгин Ярославский госуниверситет имени П.Г. Демидова

Хорошо известно, что зарождение и развитие математики было вызвано потребностями практики, в частности астрономическими наблюдениями, проблемами навигации и др. В дальнейшем это привело к тесной связи между математикой и физикой. Генезис многих математических понятий берет начало в физических нау-ках. Достаточно вспомнить труды Архимеда, Галилея, Кеплера, Торричелли, Ньютона и др., в которых зародились основные поня-тия анализа бесконечно малых, перешедшего затем в дифференци-альное и интегральное исчисление. Причем методы бесконечно малых использовались для отыскания площадей, объемов, статиче-ских моментов, центров масс. Возникновение теории дифференци-альных уравнений, вариационного исчисления для функций одного или нескольких переменных, также связано с решением задач фи-зики, в частности механики.

На протяжении многих веков в физике возникали проблемы, требующие математических методов решения. В отдельных случа-ях физика заимствовала из математики готовые математические структуры и использовала их в своих целях. Причем, нередко слу-чалось, что математический аппарат ждал часа своего практическо-го применения веками. Так было, например, с теорией функции комплексного переменного, нашедшей применение в гидро- и аэ-родинамике лишь в конце XIX века, с теорией групп, которая при-меняется в кристаллографии, неевклидовой геометрией, исполь-зующейся в теории относительности, физике элементарных частиц, в теории валентности и т.д.

Генезис многих математических понятий предопределяет не-обходимость подхода к ним через физические задачи. К понятию производной естественно подойти от задачи о мгновенной скоро-сти, к понятию интеграла – от задачи о нахождении пути по из-вестной мгновенной скорости или работе силы; несобственный ин-теграл возникает как средство нахождения потенциала гравитаци-онного поля, криволинейный интеграл второго типа выражает ра-боту силового поля, формула Остроградского - Гаусса устанавли-


106

вает связь потока векторного поля, проходящего через поверхность тела, с дивергенцией поля в нем. Такой подход позволяет в даль-нейшем применять введенный математический аппарат к решению многих физических задач. Кроме упомянутых выше, к ним отно-сятся задачи об отыскании массы, центра масс, моментов инерции и многие другие, которые решаются с помощью интегралов разно-го вида. При этом необходимо помнить, что студент должен полу-чить не только тот объем знаний, который он будет применять при изучении физических дисциплин, обучаясь в университете, но и тот запас фундаментальных знаний, которые ему потребуются в будущем.

Чему же должны учить преподаватели-математики студента-физика? Выпускник физических специальностей должен:

- строить математические модели по физическим явлениям и процессам;

- выбирать подходящий математический метод из уже имею-щихся для их решения, что требует знания того, чем располагает математика;

- уметь использовать численные методы, в частности прово-дить численный эксперимент с использованием ЭВМ;

- уметь качественно оценить полученный результат и выбрать практические рекомендации для его реализации;

- уметь численно оценивать полученные физические величины, полученные в эксперименте, не прибегая к техническим средствам, чтобы сравнить его с теоретическим значением;

- уметь увидеть простейшие табличные интегралы, пределы в сложных, на первый взгляд, математических уравнениях.

В связи с последним можно вспомнить выдающегося физика-теоретика Д. Ландау, который в экзамен по математике для своих учеников включал вычисление неопределенных интегралов.

Но достижение этих целей возможно лишь после того, как сту-денты овладеют математическими дисциплинами: математическим анализом, аналитической геометрией и линейной алгеброй, диффе-ренциальными уравнениями, уравнениями математической физики.

Определив общую стратегию и цели математического образо-вания физиков, необходимо ответить на два вопроса – чему учить и как учить. На первый вопрос, каким разделам математики учить и в каких объемах, должны ответить физики, посоветовавшись с мате-


107

матиками, а как этому учить, в какой последовательности изучать материал, с какой строгостью и глубиной – должны решить про-фессиональные математики. Так называемые министерские про-граммы по математическим дисциплинам составлены с учетом мнения указанных двух сторон. Они определяют так называемый федеральный компонент, а далее необходимо учитывать специфи-ку собственного университета, профилирующего по определенным специальностям и специализациям, т.е. составлять региональный компонент. Если говорить о Ярославском университете, в котором сильно развита радиофизика, то для этой специальности важны та-кие разделы математического анализа, как ряд и интеграл Фурье, теория вычетов, операционное исчисление, в частности прямое и обратное преобразование Лапласа. Для студентов, специализи-рующихся на кафедре теоретической физики, необходима очень серьезная математическая подготовка. Они должны знать теорию функций многих переменных, дифференцирование, интегрирова-ние (криволинейные, кратные, поверхностные интегралы), теорию неявных функций, замену переменных, зависимость функций, спе-циальные функции, иметь представления об обобщенных функци-ях. Кроме того, они должны овладеть теорий дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, тео-рий групп и многим другим. Для студентов, проходящих специали-зацию на кафедре общей и экспериментальной физики, важны зна-ния функций распределения Гаусса и Максвелла, теории ошибок и их физическая трактовка, метод наименьших квадратов. В спектро-скопии, например, широко используется Фурье-анализ, а в связи с широким развитием электронной техники в эксперименте возника-ет проблема математической обработки больших массивов инфор-мации, снимаемых с датчиков. Сказанное выше обязывает препо-давателя математики, ведущих занятия для студентов различных специальностей «Физика», «Микроэлектроника», «Радиофизика и электроника», «Телекоммуникации», не нарушая логики математи-ческого изложения, делать акценты на тех ее разделах, которые иг-рают для них наиболее важное значение. Задача преподавателей математики состоит в том, чтобы вооружить этими знаниями сту-дентов, а обучить решению прикладных задач, дать выходы на применения на основе математики – задача преподавателей физи-ки, которую они решают в основных и специальных курсах.


108

Изложенное выше – это проект, а далее должна идти речь о его реализации. И вот здесь дело обстоит не очень благополучно. Если тридцать лет назад вещественный математический анализ изучался три семестра, то теперь этот срок сократили до двух. И порядок изучения математических и основанных на них физических дисци-плин оставляет желать много лучшего. В ущерб изучению матема-тического анализа приходится изменять порядок изучения тем, форсировать их изложение, что приводит к негативным последст-виям. Взять, например, векторный и тензорный анализ (ВТА), ко-торый по рабочему плану изучается во втором семестре и требует для его усвоения знаний функций нескольких переменных, крат-ных, криволинейных и поверхностных интегралов, теорем Грина, Остроградского - Гаусса, Стокса, но курс математического анализа не может к этому времени дать студентам эти знания. Не успевает обеспечить курс обыкновенных дифференциальных уравнений теория функций комплексного переменного (они изучается парал-лельно в третьем семестре), в частности, требуется знание извлече-ния корней из комплексных чисел, элементов операционного ис-числения, теории рядов аналитических функций. Курс механики также не имеет должной математической поддержки, и перечень подобных примеров можно продолжить.

Вторым важным вопросом, обозначенным выше, является во-прос, как преподавать. И вот тут-то иногда возникают разночтения у физиков и математиков. Это естественно, так как восприятие ми-ра явлений, их описание у этих двух категорий ученых различно. Математиков часто упрекают в излишнем увлечении доказательст-вами, в том числе теорем существования, а то и в чистой схоласти-ке. А иногда физики задают математикам-преподавателям вопрос, помнят ли те, что читают математику физикам, а не математикам. Но ведь хорошо известно, что сущность математики, ее основной метод – это доказательство утверждений (конечно, на уровне ра-зумной строгости), и выхолащивать эту суть ни в коем случае нельзя. Следует отметить, что преподавание математики на физи-ческом факультете МГУ, в МФТИ, в МИФИ всегда велось на очень высоком уровне. Математики обязаны убедить студентов в спра-ведливости высказываемых положений, может быть, не настаивая на воспроизведении их доказательств на экзамене. Понимая, что для физика, который по духу близок к инженеру, математика – ин-


109

струмент, преподаватель-математик должен показать ему, где ле-жит тот или иной инструмент и как им пользоваться, какова об-ласть его применения. Общим недостатком преподавания физиче-ских и математических дисциплин является их разобщенность. Фи-зики и математики очень мало обсуждают содержание математиче-ских дисциплин. Это случается лишь в частном порядке, в индиви-дуальных беседах. На наш взгляд, этому значению можно придать более организованный характер. Эту функцию должны выполнять деканат и НМК.

Очень важной является проблема: донести до студента глав-ное, выделить основные идеи, не перегружать изложение второ-степенными деталями. По словам А.Я. Хинчина: «Помочь за де-ревьями увидеть лес», а как говорил А.Д. Гильберт: «На примере уравнений 0=′′y и 0=+′′ yy можно изучить всю теорию и даже понять разницу в задачах с начальными или краевыми условиями». К важнейшим фактам математического анализа, безусловно, отно-сится формула Тейлора, которая имеет многочисленные приложе-ния для исследования функций, приближенных вычислений и раз-личных оценок, вычисления пределов, на ее основе легко получить разложение функций в степенные ряды, которые являются основ-ным аппаратом, как в вещественном, так и в комплексном анализе. Следующим важным понятием является дифференцируемость функций одного и нескольких переменных, в том числе и неявных функций. И конечно, совершенно необходимо донести до студен-тов идею интеграла. Хорошо поняв, что такое определенный инте-грал, с помощью которого решается большое число задач, студент осваивает и все остальные виды интегралов: криволинейные, крат-ные, поверхностные. Главное для учащегося - усвоить тот факт, что величина Q, которую надо найти с помощью определенного интеграла должна обладать свойством аддитивности ( ];[]);;([]);([]);([ bacbcQcaQbaQ ∈∀+= ). Он должен научиться выделять из ее приращения Q∆ главную часть – дифференциал

dQ , после чего ],[ baQ находится без труда: ∫=b

adQbaQ ];[ . Стре-

мясь к разумной строгости изложения, прибегая в необходимых случаях к интуитивно-наглядным соображениям, используя контр-примеры, следует избегать излишнего упрощенчества, вульгариза-


110

ции, так как это может привести к грубым ошибкам в применении математических методов. Извечный вопрос преподавания состоит в том, что лучше индукция, чем дедукция. Большинство препода-вателей склоняется к мнению, что использовать надо и тот и дру-гой метод, однако предпочтительнее идти от индукции, от приме-ров к общим понятиям. Преподаватель должен стремиться к тому, чтобы выработать у студентов интуицию, помогающую предска-зать итоговый результат, видеть аналогии, опровергать ложное предположение с помощью контрпримеров.

Литература 1. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука,

Физматиздат, 1980. 2. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. М.; Л.: Гостех-

издат, 1948. 3. Чаплыгин В.Ф. Содержание, методическое и организационное обеспечение

дисциплины «Математический анализ» // Проблемы эффективности образователь-ного процесса в вузе. Ярославль, 2000. С. 75 - 80.

4. Алексеев В.П., Кириков М.В., Рыбникова Е.В. О подготовке преподавате-лей на физическом факультете университета // Материалы Всероссийской конфе-ренции «Проблемы педагогического образования в классических университетах». Ярославль: ЯрГУ, декабрь 2000. С. 70.

5. Математический анализ в образовании физика // Тезисы докладов VIII Ме-ждународной научно-методической конференции. Ч. 2. Нижний Новгород, 2000. С. 62 - 63.

Антропокультурологический потенциал образования как методологическое основание образовательной деятельности

Е.А. Савченко Мозырский государственный педагогический университет

Решение исследовательской задачи определения методологи-ческого основания образовательной деятельности основано на ана-лизе работ философов, психологов, педагогов по проблеме образо-вания человека (В.И. Андреев, А.Г. Асмолов, И.С. Батракова, Р.У. Богданова, А.П. Валицкая, С.Г. Вершловский, В.И. Генецин-ский, Б.С. Гершунский, Э.Н. Гусинский, И.С. Заир-Бек, А.С. Запе-


111

соцкий, И.А. Зимняя, В.П. Зинченко, Е.И. Казакова, Г.Б. Корнетов, И.А. Колесникова, О.Е. Лебедев, Л.Н. Лесохина, Е.Б. Моргунов, А.С. Роботова, В.В. Сериков, А.П. Тряпицына и др.).

Выполненный нами анализ имеющегося научного знания по-зволил прийти к следующим выводам.

В настоящее время образование рассматривается как: а) про-цесс; б) результат усвоения знания и связанных с ними способов практической деятельности; в) ценность; г) система, и т.д. Извест-но, что потенциал (от лат. potentia – сила) – это совокупность воз-можностей, источников, средств, запасов и т.п., которые могут быть приведены в действие, использованы для достижения постав-ленных целей; возможности отдельного лица, общества, государст-ва в отдельной области.

Уточняя содержание антропокультурологического образования в контексте проводимого нами исследования, рассмотрим имею-щиеся возможности, источники, подходы, которые будут способ-ствовать методологизации образовательной деятельности в совре-менной социокультурной ситуации. С позиции антропокульторо-логического подхода правомерно обосновывать содержание потен-циала образования в трёх направлениях:

1. Человек 3-го тысячелетия: сущностные характеристики в со-ответствии с философией образования.

Человек как субъект образования и развития человеческих возможностей в ходе образовательной деятельности.

2. Социокультурные факторы и их роль в развитии человека. Поскольку наше исследовательское внимание обращено к че-

ловеку 3-го тысячелетия, обратимся к научной теории, накопившей в своём арсенале различные концепции человека. Это такие кон-цепции, как:

- социально-прагматическая, где сущность человека сводится к совокупности социальных отношений (Н. Добролюбов, П. Кропот-кин);

- универсалистская, в которой человек понимается как часть мироздания (А. Радищев, А. Герцен, В. Вернадский);

- духовно-религиозная, истоки которой идут от учений исиха-стов и развиты в учениях Вл. Соловьёва, Н. Бердяева, П. Флорен-ского, С. Франка, Г. Федотова, Б. Вышеславцева. Основная идея их


112

учений – целостность и онтологизм человека, утверждение при-оритета духовной жизни.

Анализ различных концепций убеждает, что духовность, соз-нание, ум в структуре человеческой сущности считаются высшей ступенью. Существенной особенностью отечественной философ-ской антропологии является целостность человеческой личности.

Принципиальным отличительным признаком русского антро-пологизма (в отличие от западных теорий) является теоцентрич-ность, пронизывающая все уровни образовательной деятельности. Данный признак находит отражение в поиске духовных оснований бытия как высшей цели образовательной деятельности, в построе-нии образовательных практик и др. В теологической традиции обоснованы основания антропологизма Вл. Соловьёвым, В. Несме-ловым, идеи которых составляют особую духовную традицию, свя-занную с пониманием человека и высшего предназначения его жизни. Этой традиции следовали: Н. Бердяев, С. Булчаков, Н. Фе-доров, П. Флоренский и др. Данная традиция реализовалась не только в философской, но и в педагогической теории и практике. В этой связи в педагогике следует назвать концепции и идеи К. По-бедоносцева, Л. Толстого, В. Вахтерева, К. Вентцеля, П. Лесгафта, К. Ушинского, Р. Розанова, Н. Пирогова и др. Педагогический принцип “познания и самопознания человека” есть принцип антро-пологической методологии. Его обосновали и развили А. Галич, К. Ушинский, Н. Пирогов, В. Острогорский, А. Каптерев, В. Водо-возов, Н. Неклюев, П. Лесгафт. Они были едины во взгляде чело-века как на объект и субъект образования. Глубока по смыслу пе-дагогическая антропология К. Ушинского. Цель воспитания, по К. Ушинскому, должна обозначать вектор человеческих устремле-ний в соответствии с возможностями и потребностями обществен-ной жизни. Анализ образовательных концепций предыдущих веков свидетельствует о том, что они обусловливались общекультурным содержанием.

В трудах П. Лаврова, Д. Менделеева, А. Галича, П. Редкина, П. Кропоткина и других мыслителей идея признания личности как основа бытия и познания является центрирующей в теоретической и практической деятельности в сфере образования.

Антропологический подход нашёл своё развитие в русском космизме, основная идея которого – неразрывная связь человека с


113

Космосом, Вселенной. Исходные принципы относительно развития человека как участника космических процессов сформулированы Н. Федоровым (см. “Философия общего дела”). Познание должно быть преобразовательно-деятельным, а самопознание является ус-ловием постижения опыта всего человечества. Актуальны идеи В. Вернадского о необходимости учёта в процессе образования роли и места человека в мире. Он указывал, что “мощь человечества” – не в материале, а в разуме и направлении разума трудом. Образователь-ную деятельность В. Вернадский рассматривал как часть социаль-ного (и даже космического) целого.

В обосновании сущностных характеристик человека начала 3-го тысячелетия особый интерес с точки зрения антропологиче-ского направления представляют идеи С. Франка, исследовавшего проблемы свободы и ответственности, нравственного идеала чело-века. С. Франк актуализирует вопрос духовно-нравственного раз-вития личности, целостности культуры как единого комплекса дос-тижений человечества, в состав которого входят наука, искусство, нравственная жизнь, образование и воспитание, творчество гениев и духовный уровень народных масс, правовые отношения и госу-дарственный порядок, хозяйство и техника.

В ситуации духовного кризиса образованию С. Франк отводил главенствующую роль, так как оно призвано задавать свои приори-теты, как в развитии умственных способностей, так и в нравствен-ном развитии, должно преподносить определённые идеалы и цен-ности.

Резюмируя наши рассуждения относительно развития образова-

тельных концепций и их роли в жизни человека, мы констатируем, что отечественное философско-педагогическое наследие со своим богатством идей о духовной культуре человечества в контексте ре-шения задач воспитания человека следует рассматривать как мето-дологическое основание образовательной деятельности. Именно та-кое понимание антропокультурологического потенциала образова-ния даёт нам возможность определить сущностные характеристики человека 3-го тысячелетия, выступающего целью и результатом об-разовательной деятельности.

Антропокультурологический подход задаёт конкретный мето-дологический ориентир в выдвижении целеполагания в обучении и


114

воспитании учащихся, в построении образовательной деятельно-сти, в процессе социализации и индивидуализации, а также гума-нитаризации образовательного процесса.

Следовательно, содержание образовательной деятельности формируется на основе:

- понимания методологического основания, наполненного ан-тропокультурологическим потенциалом образования;

- сущностных характеристик человека. Сущностью человека является его “способность строить себя, а

значит, постоянно изменять содержание ответа на вопрос о собст-венной сущности”.

Таким образом, методологическое основание образователь-ной деятельности в антропокультурологической плоскости опре-деляется как система условий, методов, целенаправленно активи-зирующих человеческое развитие в соответствии с сущностными характеристиками человека, т.е. ценностно-нормативной моделью человека (формируемой на основе антропокультурологического понимания концепций человека и требований общества).

Нами определены следующие сущностные характеристики че-ловека в начале 3-го тысячелетия, выделенные на основе понима-ния концепций человека предыдущих столетий и учёта требований, предъявляемых к человеку как:

- члену планетарного общества; - представителю определённого социума, представителю этно-

культуры, специалисту профессиональной сферы; - личности, индивидуальности. Личностное ядро слагают духовно-нравственная целостность и

потребность в непрерывном самопознании и развитии. Основные характеристики человеческой сущности:

- высокий уровень самосознания, позволяющий человеку объ-ективно познавать Мир, Природу, Общество, Вселенную, опреде-лять своё место в мире, выявлять закономерности в общественном и личностном развитии, определять причину и следствие в куль-турно-историческом развитии;

- способность к сотрудничеству и созиданию в системе “Чело-век – Человек – Группа – Общество - Человечество”;

- ответственное отношение к экологическому здоровью плане-ты и сохранению жизни на ней;


115

- осознание единства Человека и окружающего мира; - способность осознавать общечеловеческие, национальные,

личностные ценности, обогащать и передавать новым поколениям образцы духовной, материальной культуры, накопленной в процес-се человеческого развития;

- активная жизненная позиция в утверждении нравственных идеалов, норм, ценностей в деятельности и поведении;

- развитое концептуальное мышление, позволяющее давать оценку, выделять позитивы и негативы в окружающей действи-тельности;

- способность быть преемником традиций национальной и ми-ровой культуры;

- высокий уровень эстетической, этической, правовой, экологи-ческой, гражданской, гендерной, семейной, физической культуры;

- способность целенаправленно, осознанно выбирать и осуще-ствлять жизненную тактику и стратегию, прогнозировать собст-венное и общественное развитие;

- гуманность, демократичность, творческий подход к делу; - высокий профессионализм; - высокий уровень этики межличностных отношений в процес-

се взаимодействия с людьми; - взаимопонимание, эмпатия по отношению к другим людям; - готовность к диалого-дискуссионному общению; - рефлексия; - человеческий долг; - способность определять методологию собственного действия

и деятельности в соответствии с общественными идеалами и тре-бованиями; и др.

Образование как ценность для личности и общества содержит

антропокультурологический потенциал, который является основой для раскрытия способностей человека построения его собственной жизнедеятельности, заимствования идеалов, ценностей. Это та поч-ва, на которой человек открывает тайны бытия, осмысливает триа-ду: Природа – Культура – Общество. В процессе непрерывного об-разования в течение всей жизни человек открывает смыслообра-зующие жизненные ценности и перспективы, обнаруживает новые технологии самообразования, и др. При этом личность “вступает” в


116

диалог с Веком, другой Личностью, что, несомненно, обогащает и активизирует процессы интеллектуального, духовно-нравственного, культурного самоопределения. Это позволяет личности в процессе самостроительства “жить” жизнью других людей: переживать жиз-ненные события других, сочувствовать, сорадоваться, осознавать, понимать, а следовательно, избирать собственную жизненную стра-тегию и тактику.

В обществе в соответствии с законодательными государствен-ными документами создаются условия, необходимые для интел-лектуального, духовно-нравственного развития личности. Система образования как социальная инфраструктура государства содержит антропокультурологический потенциал, который является методо-логическим основанием образовательной деятельности. Приведём доказательства.

Первое. Концептуальные основы образовательной политики сводятся к основной идее о том, что образование является важней-шим фактором, “определяющим как положение государства в со-временном мире, так и статус человека в обществе, является сред-ством выявления и развития творческих возможностей каждого гражданина, воспитания в нём трудолюбия и высоких нравствен-ных принципов”… Государство должно принять на себя ответст-венность за настоящее и будущее отечественного образования, яв-ляющегося основой социально-экономического и духовного разви-тия общества и человека, - отмечается в Национальной Доктрине образования в РФ. Цели, сформированные в этом документе, явля-ются тем ведущим структурным компонентом в методологии обра-зовательной деятельности, от которого зависят содержание, сред-ства и результат образовательной деятельности.

Многообразные образовательные программы на всех ступенях системы образования (начиная от дошкольной педагогики и завер-шая андрогогикой – педагогикой взрослых) призваны своим целе-полаганием задавать ценностно-смысловую основу, дух, культуру, образовательной пространство, в котором личность способна раз-вивать, созидать, творить, постигать те или иные социальные функции.

Второе. Содержание образования обеспечивается следующи-ми основными принципами:


117

- исторической преемственностью поколений; - сохранением и развитием национальной культуры; - непрерывностью образования в течение всей жизни человека; - систематическим обоснованием всех аспектов образования; - развитием отечественных традиций в работе с одарёнными

детьми и молодёжью; и др. Принципы – обязательный компонент в структуре алгоритма

методологии субъекта образовательной деятельности. В свою очередь, задачи государства в сфере образования, ко-

торые должны перевести субъекты образовательной деятельности на свой индивидуальный уровень, заключаются в следующем:

- в реализации конституционного права на получение бесплат-ного образования высокого качества;

- в формировании в общественном сознании отношения к обра-зованию как высшей ценности гражданина, общества и государства;

- в сознании условий для полноценного обучения и воспитания детей в семье, в государственных и муниципальных образователь-ных учреждениях;

- в воспитании молодого поколения в духе высокой нравствен-ности и уважения к закону;

- в создании социально-экономических условий для приори-тетного развития системы образования, и др.

Предметом особого внимания субъектов образовательной дея-тельности в ходе реализации методологических подходов должно стать создание морально-психологической атмосферы, которая бу-дет благоприятствовать развитию человеческого в человеке. Такая атмосфера порождается в ходе сотрудничества, совместной жизне-деятельностью субъектов образования – деятельностью, общением, межличностными отношениями, всем укладом жизни того или иного образовательного учреждения. Субъекты образовательной деятельности в различных видах образовательных учреждений призваны содержанием образования:

- создавать благоприятные предпосылки для понимания лично-стью взаимообусловленности и взаимозависимости в системе “Че-ловек – Человек – Мир – Природа – Культура”;

- расширять ценностно-смысловое поле личности, в котором ведётся поиск смысла жизни, идеалов, перспектив и др.;


118

- обогащать социокультурное пространство, содействующее духовному развитию субъектов образования;

- создавать предпосылки для постижения социального опыта.

Третье. Содержание образования на каждой ступени обучения систематизировано, конкретизировано, аргументировано. Оно вы-ступает инструментом познания и понимания Мира, Природы, Культуры, Жизни и отражает развитие культуры, способов миро-понимания, человеческих возможностей. Наряду с познаватель-ным, развивающим компонентами, оно включает и ценностно-мировоззренческий.

В связи с этим спектр содержания образовательной деятельно-сти широк: от материализованных текстов о жизни до событийно-сти человека и Вечности. Проблемы, представленные в содержа-нии образования, связаны с реальной действительностью, с жиз-нью конкретных людей, общества. Педагогические средства, тех-нологии, способы взаимодействия субъектов образовательной дея-тельности должны быть обращены к человеку, учитывать его ин-дивидуальные особенности. Ведущим средством является диалог педагога и учащегося, в ходе которого возможно самостоятельное постижение познаваемого. Технология освоения познавательно-мировоззренческого опыта в таком случае включает: коллективное и индивидуальное целеполагание; соучастие и содействие в позна-вательном, эмоционально-чувственном саморегулировании; содей-ствие в построении духовно-нравственного компонента опыта жизни, и др. При этом меняется позиция обучающегося субъекта, так как он при содействии других сам определяет личностно зна-чимое для себя ценностно-смысловые ориентиры и соответствую-щее им содержание своей жизнедеятельности. Это требует от педа-гога как субъекта образовательной деятельности умений владения технологией обучения и воспитания, осмысленной с точки зрения антропокультурологического подхода.

Приведенные доказательства (первое, второе, третье) убеждают в том, что антропокультурологический потенциал образования, цен-трируемый на человеке как высшей ценности в культурно-образо-вательном пространстве, создаёт необходимую методологическую основу образовательной деятельности в начале 3-го тысячелетия.


119

Маркетинг образовательных услуг – стратегия образовательного учреждения

в условиях крупного города

Е.Р. Семко Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов

«Провинциальный колледж»

Развитие рыночных отношений в России неразрывно связано с процессом становления маркетинга. Среди специалистов нет об-щепринятого определения маркетинга. Мы будем пользоваться оп-ределением Ф. Котлера: «Маркетинг – вид человеческой деятель-ности, направленной на удовлетворение нужд и потребностей по-средством обмена» [1]. Социальные основы маркетинга связаны со следующими понятиями: нужды, потребности, запросы, товар, об-мен, сделка и рынок.

«Возникновение в России рынка образовательных услуг раз-личной привлекательности поставило перед субъектами, оказы-вающими образовательные услуги, принципиально новую задачу… нужен новый, научно обоснованный метод управления образова-нием. Таким методом является маркетинг, т.е. комплексное управ-ление производством и сбытом образовательных услуг» [2]. Таким образом, если понимать образование как товар, то его производст-во должно строиться на основе изучения рынка, использования маркетинга.

«Предмет маркетинга в сфере образования – это философия, стратегия и тактика отношений и взаимодействий потребителей (пользователей) и производителей образовательных услуг и про-дуктов в условиях рынка, свободного выбора приоритетов и дейст-вий с обеих сторон обмена ценностями. Целевой результат марке-тинговой деятельности – это наиболее эффективное удовлетворе-нию потребностей: личности – в образовании; учебного заведе-ния – в развитии и благосостоянии его сотрудников; организаций-заказчиков - в росте кадрового потенциала; общества – в расши-ренном воспроизводстве совокупного личного и интеллектуально-го потенциала» [3].


120

Маркетинг, как ничто другое, способен помочь разрешению обострившихся противоречий между высокими темпами перемен, низкими - в развитии сферы образования между спросом и факти-ческим предложением образовательных услуг. Однако для рас-смотрения этой проблемы недостаточно знать только понятие «маркетинг», следует определить, что же такое образование. По определению ЮНЕСКО, под образованием понимается процесс и результат совершенствования способностей и поведения личности, при котором она достигает социальной зрелости и индивидуально-го роста. Сочетание «процесс и результат» свидетельствует о пра-вомерности выбора именно образовательных услуг (ОУ) в качестве основного объекта маркетинга в данной сфере.

Маркетинг образования играет двоякую роль в современной экономике.

Во-первых, это связано с особой значимостью образования в экономическом развитии. Современные технологии обеспечивают высокий уровень и качество жизни, задают верхний предел эконо-мического роста. Современные технологии доступны всем, однако их распространение зависит от системы и уровня образования насе-ления. Следовательно, маркетинг образования связан с распростра-нением идеи образования.

Во-вторых, учебные заведения содержатся, как правило, на средства бюджетов, пожертвования и средства, получаемые путем взимания платы за образовательные услуги. Ограниченность воз-можностей федерального и регионального бюджетов в условиях кризиса российской экономики определяет интенсивное развитие маркетинга платных образовательных услуг.

Особенности маркетинга образования обусловлены, кроме то-го, приверженностью рынка формальному материальному пред-ставлению образования в виде аттестатов и дипломов.

Понимая возможность и необходимость использования всего арсенала средств и методов маркетинга в образовании, прежде все-го у руководителя должно возникнуть понимание того, что «марке-тинг – это элемент устройства сознания участников цивилизован-ных рыночных отношений, соотносимый со стилем их жизни на рынке. Для производителей услуг, в том числе образовательных, степень приверженности маркетингу как философии рынка вопло-щается в ступенях перехода от так называемой «производствен-


121

ной» или производственно-бытовой ориентации организации к ры-ночной, маркетинговой ориентации» [4].

Переориентация на нужды потребителей – это не только струк-турные или технологические перемены, анализ разнообразной ин-формации под иным углом зрения или провозглашение звучных лозунгов «любви к ближнему». Это, прежде всего, серьезнейшая психологическая перестройка персонала учреждения – от директо-ра до учителя или технического работника. Подобные изменения не происходят в одночасье, даже если выдвигается самый привле-кательный лозунг, декларируются новые стратегические цели ор-ганизации. Время, в течение которого содержание программного лозунга станет внутренним убеждением подавляющего большин-ства сотрудников, может оказаться очень продолжительным. Пока будет длиться этот период, образовательное учреждение не раз столкнется с задачами, которые можно было бы решить привыч-ными проверенными методами.

Преодолеть соблазн частичного отступления нелегко, но если этого не сделать, организация, в конце концов, окажется перед не-обходимостью начинать все сначала, поскольку концепция марке-тинга приносит успех только тем, кому хватает последовательно-сти, настойчивости и терпения. Маркетинг – не панацея от неудач на рынке, но это те «правила игры», которые в системе товарно-денежных отношений вооружают учреждение верными ориенти-рами на пути к успеху.

Таким образом, первая задача, решаемая в Провинциальном колледже и любой школе, принявшей маркетинговую ориента-цию, - сориентировать коллектив и организационно приспособить его к работе с новыми услугами, программами.

Учитывая возрастающую конкуренцию на рынке образова-тельных услуг, для оценки потенциального спроса следует обра-титься к маркетинговым способам исследования рынка. Цель мар-кетинговых исследований состоит в выявлении перспективных по-требностей, оценке степени их удовлетворения, проверке конкрет-ных гипотез и прогнозировании потребительского поведения. С этой точки зрения имеет смысл применить методику проведения маркетинговых исследований к анализу образовательных потреб-ностей.


122

Следовательно, вторая решаемая задача – проводить и изу-чать перспективы маркетинговых исследований рынка, в частности выявлять образовательные потребности учащихся, родителей и ме-стного сообщества.

Далее, активизируя классические элементы маркетинга – сег-ментирование рынка, продвижение услуг с помощью маркетинго-вых коммуникаций – решать проблему согласования изученных образовательных потребностей и возможностей школы.

И, наконец, рассматривать процесс управления маркетинговой деятельностью как целостный процесс согласования образователь-ных потребностей с возможностями школы и формирования моде-ли маркетинга образовательных услуг. К этому выводу пришли члены команды, осуществляя элементы маркетинга в колледже, выстраивая процесс управления маркетинговой деятельности в це-лом.

Каждое образовательное учреждение обречено заняться марке-тингом в силу изменившихся общественных отношений, выхода на рынок услуг.

Согласно определению Ф. Котлера маркетинг образовательных услуг – это совокупность работ по исследованию, планированию, осуществлению и контролю за тщательно сформулированными программами, задуманными, чтобы вызвать добровольный обмен ценностями с целевыми рынками с целью достижений стремлений учебного заведения.

Проанализируем это определение. Во-первых, маркетинг образовательных услуг – процесс управ-

ления, включающий в себя предварительные исследования, целе-вое планирование, собственно реализацию при наличии постоянно-го контроля состояния.

Во-вторых, маркетинг образовательных услуг – это программа, имеющая в качестве основного целевого ориентира предложение услуг, обладающих необходимой привлекательностью не для всех, а только для определенного круга потребителей.

В-третьих, маркетинг образовательных услуг предполагает в качестве главного своего практического результата – наиболее обоснованный выбор области деятельности (приложения) конкрет-ного учреждения, наиболее эффективного его места на рынке обра-зовательных услуг.


123

В-четвертых, маркетинг образовательных услуг – комплекс-ная система, необходимо включающая: составление программы, ценообразование, финансирование и кредитование, право, бухгал-терский учет, методы распространения, продвижения услуг и дру-гие составляющие современного бизнеса, необходимые для под-держания высокого спроса на предлагаемые образовательные услу-ги. Иначе говоря, в отличие от традиционной системы обществен-ного образования предприниматель на рынке образовательных ус-луг должен обладать многими дополнительными знаниями, обес-печивающими эффективное достижение поставленных целей.

Обеспечивает решение задач колледжа разработка и осуще-

ствление маркетинговой программы, включающей в себя следую-щие позиции:

1. Определение предмета и цели деятельности, выявление так называемой миссии учебного заведения с фиксацией этих позиций в Уставе.

2. Организация группы по маркетингу. 3. Изучение своих слабых, сильных сторон, возможностей,

опасностей. 4. Определение основных рынков (внутренний – учредитель,

ученики, родители; внешний – выявление организаций, заинтере-сованных в деятельности колледжа, различных контактных групп населения).

5. Содействие продвижению идеи (идей) своего учебного заве-дения (проспекты, использование средств массовой коммуникации, работа среди населения).

6. Привлечение финансовой поддержки (спонсоры, изучение рынка попечителей, возможно, организация сбора средств, привле-чение целевых денег).

7. Оценка маркетинга (по итогам осуществления маркетинго-вой программы).

Выбор стратегии образовательным учреждением в значитель-

ной степени влияет на процедуры согласования разного рода меж-ду внешней и внутренней средой, в том числе и на процедуры со-гласования образовательных потребностей учащихся, местного со-общества и возможностей колледжа.


124

В теории маркетинга описаны различные виды стратегий в за-висимости от выбора основных приоритетов фирмой или какой-либо организацией.

Нам близка стратегия «фирменного товара», предполагающая четыре классических уровня:

- постоянное качество услуг; - стабильный уровень цен; - возможность приобрести услугу вдали от фирмы; - возможность предварительной договоренности на услуги. Для Провинциального колледжа последние два уровня можно

интерпретировать следующим образом: - возможность приобрести требуемую услугу по специальному

заказу (родителей или (и) учащихся); - возможность заказать услугу до (при) поступлении в колледж

или на какую-либо программу колледжа. Напомним, что практическому применению маркетинга пред-

шествует необходимость осуществления ряда предварительных мер. Во-первых, надо принять определенную концепцию; во-вторых, создать организационную структуру, позволяющую пре-творить концепцию в действие; в-третьих, необходима собственная система маркетинговой информации о состоянии рынка и ее обра-ботки для формулировки целей развития школы и определения пу-тей достижения этих целей; в-четвертых, нужна система доведения планов школы до ответственных лиц, обеспечения этих людей ре-сурсами и полномочиями.

Литература 1. Котлер Ф. Основы маркетинга. М.: Прогресс, 1990. 2. Конаржевский Ю.А. Менеджмент и внутришкольное управление. М.:

Центр «Педагогический поиск», 2000. 3. Панкрухин А.П. Цена образования // Alma mater. 1997. № 5. С. 24 - 28. 4. Маркетинг образовательных услуг // Маркетинг. 1993. № 1. С. 18 - 31. 5. Похабов В.И., Тарелко В.В. Основы маркетинга. Минск: Вышейшая школа,

2001. 6. Басовский Л.Е. Маркетинг. М.: Инфра-М, 2001.


125

Единый государственный экзамен по математике: проблемы школы и вуза

Н.В. Сенчакова Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

Единый государственный экзамен является важным состав-ляющим элементом попытки модернизации образования в Россий-ской Федерации. Он призван выступать как способ создания объек-тивной стандартизированной системы оценки достижений учащих-ся, обеспечить эквивалентность государственных документов о по-лучении среднего образования, привести в соответствие школьные выпускные экзамены и вступительные экзамены в вузы. Особым ар-гументом для широких масс абитуриентов и их родителей является то, что введение ЕГЭ позволит избавиться от коррупции вузовских преподавателей при проведении вступительных экзаменов и сделает бессмысленной систему репетиторства.

Далее речь будет идти о едином государственном экзамене по математике и о результатах, которые показали на этом экзамене выпускники школ Ярославской области.

Так случилось, что автор данной статьи, являясь преподавате-лем вуза, по совместительству работает еще и учителем средней школы (правда, в специализированном физико-математическом классе). Если еще добавить, что мне довелось уже дважды (в 2003 и 2004 гг.) участвовать в проверке задач раздела С, то мое «столк-новение» с процессом ЕГЭ было довольно полным и разносторон-ним.

Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ (зафиксируем: это и не называется задачами) содержат задания трех типов, условно обозначенные как А (примерно 15 заданий), В (примерно 10 зада-ний), С (4 задания). Время выполнения – 240 минут.

Задания типа А являются более чем элементарными и сопро-

вождаются несколькими вариантами ответа, из которых только один правильный, а остальные правдоподобные, но неверные. Если испытуемый выбрал верный ответ, ему выставляется один балл, в противном случае – ноль баллов.


126

Задания типа В сложнее и ответами не сопровождаются. За верный самостоятельно полученный ответ испытуемый получает один балл, за неверный ответ – ноль баллов. Само решение не рас-сматривается, проверку, как и заданий раздела А, осуществляет компьютер. Признаётся, что недостатком проверки здесь может быть получение нулевого балла за «почти верное» решение, когда неверный ответ есть следствие, например, случайной описки. Счи-тается, что это компенсируется количеством заданий, одна ошибка не сильно повлияет на конечный результат, а за большое количество мелких огрехов оценка и должна быть понижена.

Задания раздела С требуют от испытуемых подробного выпол-

нения и предполагают оценки 0, 1, 2, 3, 4 балла. Проверка прово-дится экспертами-предметниками, и в расчет принимаются не только (и не столько) правильность ответа, но и все детали развер-нутого выполнения задания.

Цель заданий раздела С – выделить школьников с высокой ма-тематической подготовкой. Высокой математической подготовке присущи следующие качества (Денищева Л.О. и др. Методические рекомендации по оцениванию заданий С с развернутым ответом. Москва, 2003):

1) прочное владение системой математических знаний, указан-ных в школьной программе по математике;

2) умение построить логически верную цепочку математиче-ских утверждений, шагов решения;

3) умение обосновать сделанные выводы ссылкой на известные математические факты (определения, свойства, формулы и т.п.);

4) умение построить математическую модель ситуации, про-анализировать и исследовать ее;

5) умение синтезировать информацию из различных разделов школьного курса математики для решения поставленной задачи.

На наш взгляд, перечисленные качества характеризуют хорошо подготовленного исполнителя заданий, но не человека, способного решить, а тем более поставить задачу. Конечно, в профессии, где математика не более чем инструмент, этого достаточно, но матема-тические факультеты университетов, если они, конечно, желают соответствовать своему предназначению, нуждаются в несколько других абитуриентах. Видимо, теперь коллективам вузовских пре-


127

подавателей нужно будет не только их искать, привлекать, но пре-жде всего самим создавать и воспитывать. Разумеется, это предмет отдельного разговора.

Целью всего ЕГЭ (в том числе и задач раздела С) объявляется измерение учебных достижений учащихся в рамках стандартной школьной программы, проверка знаний, но не творческих способ-ностей. Для этого, говорят всем нам, проводятся специальные олимпиады, имеющие другую структуру, где предлагаются совсем иные задачи, которые и проверяются, и оцениваются по-другому. Если так, то заметим сразу, что способности к исследовательской работе далеко не всегда и не полностью выявляются в рамках олимпиадного движения. Лидеры олимпиад не всегда становятся таковыми в науке. Кроме того, сколько абитуриентов могут зачис-лить вузы региона по результатам математических олимпиад? Од-ного победителя? Трех, занявших призовые места? Больше? Тогда, видимо, требуется пересмотр положения об олимпиадах, предос-тавление права проводить их самим вузам. Не исчезнет ли при этом сама суть олимпиадного движения и не превратятся ли они во вступительные экзамены?

Раздел С содержит четыре задания. Как правило, это иррацио-нальные, логарифмические, показательные и т.п. уравнения или системы уравнений, задача по стереометрии, задача с параметром, при решении которой следует ответить на некоторый очень специ-фический и достаточно неожиданный вопрос. В 2004 году в каче-стве одного из заданий было предложена задача на оптимизацию.

Следует сразу сказать, что развернутые решения четырех дос-таточно серьезных задач практически невозможно уместить на листе формата А4 (второй лист не выдается). Во всяком случае, предлагаемые предметной комиссией образцы решений, напеча-танные достаточно мелким шрифтом (более пятидесяти строк на странице), занимают обе его стороны.

В первой задаче способ решения обычно вполне однозначен. Возникающие проблемы: потеря корней, приобретение посторон-них корней, расширение или сужение области допустимых значе-ний переменной. Предлагаемые инструкцией критерии оценки сильно привязаны к той последовательности действий, которая вы-брана в образце для решения уравнения (или системы уравнений) и «борьбы» с обозначенными выше проблемами. Вследствие этого,


128

например, отбор посторонних корней путем непосредственной проверки без нахождения области допустимых значений перемен-ной объявляется серьезным недостатком. Возможность решения путем перехода к равносильным уравнениям, системам и совокуп-ностям не рассматривается, хотя для учащихся это наиболее веро-ятный путь выполнения задания.

Предлагаемое в инструкции понятие грубой и негрубой ошиб-ки представляется проблематичным. При этом постулируется, что учащиеся, имеющие высокий уровень математической подготовки (т.е. решающие задания раздела С), не должны допускать грубых ошибок, иначе при наличии грубой ошибки за соответствующее задание ставится ноль баллов.

К грубым ошибкам предлагается отнести ошибки, которые об-наруживают незнание учащимися формул, правил, основных тео-рем и неумение их применять, незнание приемов решения задач, рассматриваемых в учебниках, а также вычислительные ошибки, если они не являются описками.

К негрубым ошибкам предлагается отнести потерю корня или сохранение в ответе постороннего корня, отбрасывание без пояс-нений одного из них, и т.п.

Получается, что почти прощается принципиальная ошибка, показывающая непонимание самого процесса решения уравнений, и строго наказываются чисто технические ошибки, например в таблице умножения.

Все это примерно похоже на то, что нельзя быть художником, если не умеешь ровно выкрасить забор. Может быть, это и так.

Решения геометрических задач раздела С, предложенные уча-щимися при сдаче ЕГЭ 2003 года свидетельствуют, что подавляю-щее число выпускников современных общеобразовательных школ не подготовлены к записи обоснованного решения задачи по гео-метрии. В решениях присутствовали вычисления искомых геомет-рических величин, но соответствующими объяснениями они не со-провождались. Таким образом, итоги 2003 года показали, что ре-альная подготовка большинства учащихся не обеспечивает выпол-нение требований к обоснованию решений, сформулированных в первоначальных критериях для оценки выполнения этих заданий в указанном году. Только 1% участников ЕГЭ успешно справились с решением этих задач. Поэтому в 2004 году требования к уровню


129

обоснования решения геометрических задач были снижены. Задача считалась решенной, если при правильном ходе решения ученик явно описал, но, возможно, не обосновал взаимное расположение и свойства геометрических фигур, играющих ключевую роль к ре-шении задачи. Допускается, что ученик не обосновал ни одного ключевого момента. Наверное, действительно можно считать, что уровень общей математической подготовки ученика при этом дос-таточно высок, так как он понял сущность предложенной в задаче конфигурации геометрических тел, проявил интуицию и хорошие пространственные представления. Однако получается, что уже и в геометрии (в школьном курсе алгебры и анализа уже давно!) ис-чезло понятие доказательства, недаром оно заменено более размы-тым термином «обоснование».

Причинами такого положения дел объявляются следующие об-стоятельства:

1) два часа геометрии в неделю в программе средней школы; 2) отмена обязательного (устного) экзамена по геометрии как в

девятом, так и в одиннадцатом классах; 3) на вступительных экзаменах вузы перестали требовать

обоснований при записи решений геометрических задач; 4) все более широкое использование тестов с выбором ответа в

практике работы школы и вуза. Аргументация очень любопытна. Еще вопрос: является ли

3) правдой, но даже если это так, то здесь явно перепутаны причи-на и следствие; 1) – существенно, но, впрочем, чистота в доме не зависит от его бедности или богатства; 4) прямо указывает на вредность тестирования, но это – существенная часть ЕГЭ, а 2) – на необходимость устных экзаменов по математике в школе и, как следствие, устного вступительного экзамена по этому предмету.

Задачи с параметром до сих пор вызывают у учащихся боль-шие затруднения. За редким исключением в представленных рабо-тах предлагались лишь какие-то частичные действия, про которые трудно было сказать, намечают ли они путь к решению. Радовало, что среди пусть немногочисленных предложенных решений было много разных. Учащиеся активно использовали различные графи-чески соображения, сочетая их с алгебраическими, целочисленные методы. Критерии оценки этих задач, содержащиеся в инструкции,


130

настолько сильно привязаны к имеющемуся там решению, что не дают никаких ориентиров в случае отступления от него.

В 2004 году задачу с параметром пытались решать довольно много учащихся, испугавшись, наверное, не только геометрии (что традиционно), но и впервые появившейся задачи на оптимизацию. Видимо, к ней не были готовы, и, конечно, к следующему году этот пробел будет формально ликвидирован, но полного понимания и осознанного решения подобного рода задач невозможно добиться без серьезной теории предела, серьезных теорем о непрерывных функциях, а это не присутствует в достаточно полном виде даже в программе математических школ. С другой стороны, именно выход на такие задачи оправдывает наличие элементов математического анализа в школьном курсе математики. Впрочем, применение нера-венства Коши и различных других методов позволяет ставить, об-суждать и решать оптимизационные задачи с учащимися седьмых - восьмых классов. Их появление как в рамках ЕГЭ, так и на тради-ционных вступительных экзаменах может только радовать.

Ярославская область участвует в эксперименте по проведению

ЕГЭ по математике с 2003 года. Результаты в нашем регионе не-сколько выше средних по стране, причем преимущество ярослав-ских школьников возрастает при рассмотрении количества уча-щихся с более высокими результатами. Например, в 2003 году оценку «4» имели 32,8% школьников по стране и 35,7% ярослав-ских, оценку «5» - 12,3% и 17,8% соответственно. Школьников, получивших более 90 баллов, в нашем регионе в полтора раза больше, среди них в 2003 году пятеро имели 100 баллов (всего та-ких было 44 на 47 участвовавших в ЕГЭ регионов).

В математической школе и профильных классах гимназий и колледжей «школьные» пятерки получили практически все уча-щиеся (за исключением четырех-пяти в каждом классе), а в целом оценки на ЕГЭ превышали выставленные учащимся годовые оцен-ки (в вышеуказанных классах процент повышенных оценок дохо-дил до шестидесяти). Пребывающая в стрессовом состоянии школьная общественность вздохнула свободнее и на основе имеющегося уже двухлетнего опыта целенаправленно готовит учащихся к процедуре ЕГЭ.


131

Эта подготовка, конечно, даст свои плоды. Например, в мате-матической школе № 33 города Ярославля в 2003 году не было учащихся, получивших 100 баллов, а в 2004-м их стало семь (при не очень сильном выпуске). Разумеется, дети просто больше тре-нировались именно на материале тестовой части заданий ЕГЭ.

Вообще есть опасность понижения уровня обучения в матема-тических школах и специализированных профильных классах гим-назий и колледжей. Что делать учителю, если его троечники полу-чают пять на ЕГЭ? Если получается, что он шестидесяти процен-там учащихся занижает оценку? Как это скажется уже на следую-щем поколении его учеников? Будут ли они стараться «выкарабки-ваться» из троек?

Вузовским преподавателям, а особенно преподавателям мате-матических факультетов университетов, придется усилить и просто резко изменить всю работу по адаптации первокурсников. Ясно, что вчерашние абитуриенты, придя в университет, столкнутся со-всем с другой постановкой математических задач и (им покажет-ся!) совсем с другой математикой. Положение будет усугубляться, так как различные способы тестирования, содержащие ответы без обсуждения, откуда они взялись, неизбежно проникают уже чуть ли не в начальную школу. Понятие «доказать» если и не исчезло уже, то становится все более размытым, а, наверное, оно важно не только для будущего математика, но и филолога, юриста, наконец, политика.

Представляется достаточно очевидным, что отбор на матема-тические специальности университетов не должен ограничиваться рассмотрением баллов, полученных на ЕГЭ. Проблема состоит не только в отборе абитуриентов, видимо, придется еще создавать и развивать ту среду, в которой дети начиная с самого младшего воз-раста будут учиться не столько отвечать на вопросы, сколько зада-вать их, в которой будет идти процесс познания, а не узнавания зна-комых ситуаций и реакций на них на уровне условных рефлексов.

А пока еще сильнее расцвело репетиторство. Оно, конечно, частично решает проблему подготовки к учебе в вузе, но все-таки больше нацелено на сдачу вступительных экзаменов, а теперь еще и единого государственного экзамена.


132

О курсе по выбору для экономистов

Т.Ф. Серебренникова Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

Информатизация российского бизнеса, интернетизация многих сфер предпринимательской деятельности (финансы, реклама, тор-говля и т.п.), внедрение компьютерных технологий управления вы-двигают на первый план проблемы информационной безопасности организации. Изменения, происходящие в экономической жизни России - создание финансово-кредитной системы, предприятий различных форм собственности и т.п. - оказывают существенное влияние на вопросы защиты информации. Переход экономики на рыночные отношения, в том числе и в вопросах интеллектуальной собственности, требует от руководителей фирм, предприятий не только разработки рыночной стратегии, но и стратегии информа-ционной безопасности.

Реальные угрозы информационной безопасности проявились в профессиональной сфере сразу же с началом экономических ре-форм (рынок и конкуренция, нестабильность власти, экономики, финансов, законодательства, политический и информационный плюрализм, коррупция и т.п.). Информационная безопасность оп-ределяется и тем, насколько каждый из членов общества в соответ-ствии со своей позицией и интересами имеет возможность через средства массовой информации и средства телекоммуникаций сво-бодно искать, получать и распространять достоверную информа-цию. Общество не может чувствовать себя в безопасности, если оно получает препарированную, управляемую информацию.

Общеизвестно, что в любом бизнесе есть информация, раскры-тие которой приводит к значительному ущербу, а иногда и к гибе-ли фирмы. В условиях рынка для принятия оптимальных управ-ленческих решений своевременная и достоверная информация приобретает важнейшее решение. В бизнесе цена решения во все времена была очень высока. Из-за ошибки в выборе стратегическо-го партнера, из-за неожиданно появившегося в нише рынка удач-ливого конкурента, из-за недобросовестного поставщика можно потерять многое, если не все.

Далеко не всегда тайны фирмы связаны с криминалом, уклоне-нием от уплаты налогов или другими противоправными действия-


133

ми. В качестве конфиденциальной информации могут выступать сведения о конкурентах, досье на собственных сотрудников, пер-спективные планы развития фирмы, предполагаемые контракты, и т.д.

В условиях становления рыночной экономики каждое пред-приятие, фирма вынуждены постоянно вести конкурентную борьбу за свое существование, за прибыльное ведение дел, за свое доброе имя. Само понятие «безопасность» принимает расширенное содер-жание, оно включает в себя как составляющие информационно-коммерческую, юридическую и физическую безопасность. Вопро-сы информационно-коммерческой безопасности занимают особое место и в связи с возрастающей ролью информации в жизни обще-ства требуют особого внимания. Успех производственной и пред-принимательской деятельности в немалой степени зависит от уме-ния распоряжаться таким ценнейшим товаром, как информация. Но выгодно использовать можно лишь ту информацию, которая тре-буется рынку, но неизвестна ему. Поэтому в условиях ужесточения конкуренции успех предпринимательства, гарантия получения прибыли все в большей мере зависят от сохранности в тайне секре-тов производства, опирающихся на определенный интеллектуаль-ный потенциал и конкретную технологию.

Часть общества адаптировалась к ситуации правового и ре-жимного беспредела, появился новый вид бизнеса (торговля госу-дарственными и ведомственными секретами, различного рода кон-фиденциальной информацией, коммерциализация бюджетных ин-формационных ресурсов, и т.п.), рядовые граждане испытали на себе длительный стресс качественно нового уровня опасности со-циального бытия, сформировавшегося в этот период. Дореформен-ная система государственной, общественной и личностной безо-пасности рухнула вместе с ее политическим, экономическим и идеологическим фундаментом, а новые концепции еще не сформи-ровались, не проникли в общественное сознание и политику. Рос-сийские менеджеры вынуждены были бороться с повышенной (ес-ли не сказать, экстремальной) опасностью для своего бизнеса ме-тодом проб и ошибок, обретая опыт, обучаясь на ходу необходи-мой тактике и определяя стратегии. Последнее было дано не каж-дому, поэтому итогом первого этапа в истории отношения молодо-го российского бизнеса к проблеме экономической и информаци-


134

онной безопасности было множество ошибок, банкротств, потерь, обман потребителей, экономические убийства и т.п.

Одним из важнейших, хотя и не гарантирующих быструю от-дачу, направлений формирования оптимальных стратегий безопас-ности в профессиональной сфере следует считать систему вузов-ского образования. В зависимости от профессиональных задач под-готовки кадров можно выделить основную задачу: преподавание широкому кругу специалистов дисциплин по проблемам экономи-ческой и информационной безопасности с целью формирования профессиональной (в том числе информационной) культуры.

Понятие «безопасность» определяется как состояние защи-щенности жизненно важных интересов (Закон РФ «О безопасно-сти»). Однако в общественном сознании все еще сильны стереоти-пы восприятия безопасности как исключительно относящейся к сфере компетенции государства и специальных органов. Отсюда традиционно «слабое» понимание специфики этих проблем, преж-де всего первыми руководителями предприятий и организаций, от-несение ими вопросов информационной безопасности к не основ-ной деятельности. В итоге нередко вопросы защиты коммерческой тайны упускаются в лицензионных соглашениях, договорах подря-да на создание научно-технической продукции. Такие упущения приводят к утечке коммерчески значимой информации, затрудняют определение собственника на результаты работы.

Не случайно лейтмотив высказываний специалистов в области информационной и экономической безопасности - это констатация неготовности российских предпринимателей, менеджеров прини-мать активные меры к защите своего бизнеса, сохранности своих секретов.

Информационная безопасность дает гарантию того, что дости-гаются следующие цели:

- конфиденциальность критической информации; - целостность информации и связанных с ней процессов (соз-

дания, ввода, обработки и вывода); - доступность информации, когда она нужна; - учет всех процессов, связанных с информацией. Большое внимание уделяется этой проблеме и в Ярославской

области.


135

В 1999 году в УВД Ярославской области был создан отдел по борьбе с преступлениями в сфере высоких технологий (ОБПСВТ)1

Основной причиной наличия потерь, связанных с информаци-онными технологиями, на наш взгляд, является недостаточная образованность в области безопасности. Только наличие некото-рых знаний в области безопасности может прекратить инциденты и ошибки, обеспечить эффективное применение мер защиты, пре-дотвратить преступление или своевременно обнаружить подозре-ваемого.

. В числе задач, возложенных на отдел, - борьба с компьютерными преступлениями, а также противодействие незаконному обороту радиоэлектронных средств и специальных технических средств (средств негласного получения информации). И в первый же год работы отдела было возбуждено восемь уголовных дел в отноше-нии лиц, использовавших чужие пароли для входа в глобальную сеть Internet (ст. 165 УК РФ «Причинение имущественного ущерба путем обмана или злоупотребления доверием»). Одной из серьез-ных проблем, с которой столкнулись работники ОБПСВТ, является недостаточный уровень подготовки следователей, специализи-рующихся на расследовании преступлений данного вида. У работ-ников отдела возникают и затруднения по выявлению ущерба от компьютерных преступлений (неправомерный доступ к компью-терной информации, создание, использование и распространение вредоносных программ, и т.д.).

Так как выпускники подавляющего большинства российских вузов не получают практически никаких знаний в области инфор-мационной, экономической и социальной безопасности, то они эти знания приобретают в реальной жизни, ошибаясь, подвергаясь рискам, становясь нередко жертвами обстоятельств или недобро-совестных конкурентов.

Выпускник вуза должен владеть не только навыками по безо-пасности современных информационных технологий, но и:

- знать основы самих технологий; - иметь представления о главных тенденциях развития инфор-

мационных процессов и их влияния на современное общество;

1 Евстюничев Р. Пресс-служба УВД / Золотое кольцо. 2000. 2 июля.


136

- владеть методами оценки угроз информации и информацион-ных угроз;

- иметь представление о способах, методах и средствах инфор-мационных противодействий и информационной борьбы;

- знать организационно-правовые основы обеспечения инфор-мационной безопасности.

Такого рода перспективы отражают реальную востребован-ность в обществе специалистов нового типа, обладающих демокра-тическим менталитетом, специальными знаниями, обостренным чувством социальной ответственности.

Особенно актуальны такие знания будущим экономистам, по-скольку им неизбежно в профессиональной деятельности предсто-ит столкнуться с проблемами безопасности, защиты информации, необходимостью создавать собственные службы безопасности, грамотно ставить для них задачи. Этим целям служит разработан-ный автором и предложенный студентам в виде курса по выбору курс «Информационная безопасность». В рамках данного курса студенты знакомятся с основными понятиями информационной безопасности, системами угроз и рисков, методами их идентифи-кации и предотвращения, задачами и методами деятельности соб-ственных служб экономической и информационной безопасности в фирме, информационными ресурсами и технологиями, необходи-мыми для обеспечения безопасности. Обучение сочетает в себе как теоретические, так и практические разделы.

В ходе занятий по данной дисциплине будущие экономисты получают представление о значимости социальной, корпоратив-ной, профессиональной и личностной стратегий безопасности в ус-пешной карьере и повседневной жизни, знания того, что руководи-тель должен и может требовать и ожидать от собственной службы безопасности, с какими проблемами необходимо обращаться в коммерческие или государственные структуры.

На практических занятиях студенты работают с антивирусными программами, осваивают программы сжатия и архивирования дан-ных, знакомятся с понятиями стеганографии и криптографии, сред-ствами идентификации и аутентификации пользователей, изучают в Internet материалы научных конференций по безопасности. На сер-вере факультета для самостоятельной работы студентов создана специальная папка, содержащая материалы по большинству тем,


137

программу курса, вопросы для самостоятельной подготовки, тексты законов, постановлений, касающихся информационной безопасно-сти, «Доктрину информационной безопасности РФ». Зачет по курсу студенты сдают в виде теста на компьютере. Курс читается для сту-дентов всех форм обучения и особенно большой интерес вызывает у студентов вечернего и заочного отделения, уже столкнувшихся с проблемами защиты информации у себя на работе.

Мы считаем, что введение подобных курсов целесообразно и для студентов других специальностей, так как он способствует формированию у специалистов любого профиля необходимых зна-ний в области безопасности, информационной культуры (профес-сиональной и личностной). Вместе с изучением базового курса «Информатика» курс «Информационная безопасность» способст-вует преодолению страха перед «цифровым» будущим, учит ис-пользовать компьютеры как инструмент достижения успеха в биз-несе. Подготовленность и вооруженность выпускников этими зна-ниями – частичный ответ на запрос современных рыночных отно-шений в экономической жизни современной России.

Если вуз не видит задачи подготовки своих выпускников в об-ласти информационной и экономической безопасности, то эти зна-ния выпускники смогут получить лишь в реальной жизни, ошиба-ясь, подвергаясь рискам, становясь нередко жертвами обстоя-тельств или недобросовестных конкурентов.

На наш взгляд, с основами информационной безопасности не-обходимо знакомить студентов всех специальностей.

Мониторинг уровня учебных достижений учащихся по математике в Ярославской области

Н.В Шведова Департамент образования Администрации Ярославской области,

Центр оценки и контроля качества образования

Изменения в сфере образования, произошедшие за последнее время, привели к противоречию между развитием образовательных услуг, с одной стороны, и отсутствием системы контроля, направ-ленной на обеспечение объективности проверки знаний на основе государственных стандартов - с другой. Агрессивная информаци-онность внешней среды, а также содержательная перегруженность


138

школьных программ привели к тому, что учащиеся не в состоянии усвоить учебные программы, что негативно отражается на их здо-ровье. Происходит разрушение старой системы оценивания учеб-ных достижений учащихся, возникают проблемы, когда необходи-мо оценить результаты новых технологий, инновационных про-грамм и методик, организационных структур. Отметка учителя уже давно выполняет воспитательные, мотивационные функции и не может отражать действительный уровень подготовки учащихся. Происходит разрушение единого образовательного пространства. В этих условиях образование может утратить свои социальные функции.

В последнее десятилетие в большинстве развитых стран мира уделяется особое внимание проблемам оценки качества образова-ния, создаются национальные службы для контроля за результата-ми образования, мониторинга его качества. На протяжении двух последних десятилетий в Англии, Голландии, Франции, США и других странах вопросы оценки качества образования, позволяю-щей сравнивать эффективность работы учебных учреждений, ос-таются главнейшими, с каждым годом замеряемые показатели да-ют все более и более объективную картину, учитывающую как ре-зультаты, так и условия обучения [10, с. 33]. Во Франции при оценке качества школьного образования с начала 1990-х годов ис-пользуются мониторинговые исследования образовательных дос-тижений учащихся (на выборках), проводится национальное диаг-ностическое тестирование, результаты которого используются для корректировки образовательного процесса, они обобщаются на уровне школы, региона, страны в целом, публикуются ежегодно [10, с. 109].

Вопрос о контроле качества образования тесно связан с вопро-сами: «Чему учить? Какое содержание образования может обеспе-чить развитие ребенка? Каков должен быть результат? Как полу-чить объективные, достоверные и сопоставимые данные о качестве обучения на уровне учебного заведения, муниципального округа, региона?». Российское педагогическое сообщество в настоящее время пытается ответить на эти вопросы, исходя из реалий нашего времени: активного движения страны в общеевропейское образо-вательное пространство. Разрабатываются государственные стан-дарты, как система параметров, характеризующих качество общего


139

образования. Однако стандартизацию не следует понимать как же-сткую регламентацию, стандарт – ядро, на котором строится мно-жество вариативных программ.

Одним из важнейших направлений модернизации системы рос-сийского образования является совершенствование контроля и управления качеством образования. Под «качеством образования понимается соответствие образовательных результатов норматив-ным требованиям, потребностям социума, рынка труда и обучаю-щихся» [9, с. 6]. Цель государственного контроля качества - обеспе-чить стабильное соответствие качества образования потребностям человека, общества и государства. Система образования является важнейшим фактором социального прогресса. В настоящее время необходима целенаправленная научно-исследовательская и техно-логическая работа по созданию информационных образовательных систем, способствующих повышению уровня педагогического взаимодействия всех субъектов образовательного процесса. В ре-гионах создаются центры тестирования, аттестационные службы, в рамках которых формируются модели мониторинга. Например, в Самарской области создан «Региональный Центр мониторинга», в Республике Чувашии - «Республиканская служба образовательной статистики и мониторинга качества образования». Разработанные в других областях аналогичные системы не могут быть механически перенесены на Ярославскую область, так как не учитывают ее спе-цифических особенностей: инфраструктуру, ресурсное обеспечение и т.п. В «Программе развития образования Ярославской области на 2001 - 2003 годы и перспективы по 2005 год» [9, c. 15] одним из приоритетных направлений деятельности системы образования в области является создание региональной системы мониторинга ка-чества общего образования.

В настоящее время мониторинг в образовании нуждается в теоретическом обосновании, в разработке конкретных мето-дик его реализации.

Мониторингом (от лат. monitor – предостерегающий, преду-преждающий) принято называть регулярные, выполняемые по за-данной программе наблюдения состояния предварительно выде-ленного одного или нескольких объектов [7, c. 119].

В экологии понятие «мониторинг» определяют как комплекс-ную систему наблюдений, оценки и прогноза изменений состояния


140

окружающей среды под влиянием антропогенных воздействий. В этой области деятельности человека разработан методологический аппарат мониторинга, созданы средства измерения, мониторинг широко принят научным сообществом, статус закреплен на зако-нодательном уровне (ст. 63 Конституции РФ).

В социологии мониторинг рассматривается как средство обес-печения эффективного функционирования системы прогнозирова-ния [6].

В последние годы мониторинг широко используется в медици-не: в научных целях с целью выявления и предупреждения крити-ческих ситуаций, опасных для здоровья человека, для доказатель-ства исследовательских гипотез.

Понятие «мониторинг» не имеет точного однозначного толко-вания, так как изучается и используется в различных сферах науч-но-практической деятельности. Он может рассматриваться как спо-соб исследования реальности и как способ обеспечения сферы управления. Все объекты, изучение или обследование которых осуществляется с применением мониторинга, находятся в постоян-ном изменении, развитии. Мониторинг представляет собой до-вольно сложное формирующееся понятие, которое носит междис-циплинарный характер. Для каждой из сфер общественной дея-тельности мониторинг будет иметь свои особенности.

В процессе осуществления мониторинга образовательных сис-тем значительной проблемой является обеспечение высокого каче-ства инструментария, разработка критериев оценивания, индикато-ров и показателей, сам процесс измерения, статистическая обра-ботка результатов и их адекватная интерпретация, существенную проблему может представлять структурирование и хранение полу-ченной информации, обеспечение свободного доступа к информа-ционным ресурсам [2]. Подчеркнем тот факт, что мониторинг реа-лизуется в рамках управленческой деятельности.

Важнейшим условием повышения эффективности управления системой образования является систематический анализ объектив-ных данных о состоянии результатов обучения учащихся. Посто-янный мониторинг за качеством учебного процесса, результатов обучения школьников становится особенно актуальным в условиях модернизации школы, обновления содержания образования, нор-мализации учебной нагрузки учащихся. Понятие «мониторинг»


141

возникло в конце двадцатого столетия с появлением информаци-онных технологий. Прообразом «мониторинга образования» явля-лась «педагогическая диагностика», которая широко рассматрива-лась зарубежными педагогами, в частности хорошо известны по данному вопросу работы немецкого педагога К. Ингекампа. В на-шей стране вопросам массовых обследований результатов обуче-ния в 1980-е годы посвящены работы ученых Академии педагоги-ческих наук под руководством А.А. Кузнецова, Московского госу-дарственного педагогического института им. В.И. Ленина под ру-ководством В.Н. Огарелкова и др. [4, с. 27]. Идея мониторинга в настоящее время активно разрабатывается многими учеными – А.Н. Майоровым, С.Е. Шишовым, В.А. Кальней и др. [1, 2, 5].

Контроль в системе образования существовал всегда: кон-трольные работы, экзамены, инспекторские проверки. Но традици-онные формы контроля недостаточно эффективны, они имеют ряд недостатков, приведем некоторые из них:

- контроль состояния обучения носит нерегулярный, эпизоди-ческий характер, не вскрывается динамика изменений;

- основная направленность на итоги обучения, сам процесс обучения остается в стороне;

- результаты мало информативны, так как используются при анализе достаточно субъективные школьные отметки; трудно оп-ределить, какие именно элементы содержания не усвоены учащи-мися;

- значительная часть традиционных методик пренебрегает ста-тистическими закономерностями выборочного обследования на репрезентативной выборке.

Все изложенное выше подчеркивает, что традиционный кон-троль не выполняет диагностическую функцию: вскрыть причины тех или иных ошибок учащихся, выявить недочеты в работе учите-лей, выявить факторы влияния на успеваемость школьников [3, c. 38]. Мониторинг качества образования отличается от контроля систематичностью и протяженностью во времени. Главное отличие состоит в том, что задача мониторинга заключается в установлении причин и величины несоответствия результата целям [4, c. 27]. Системы мониторинга за знаниями учащихся могут быть опреде-лены как выбор инструментов оценки, позволяющий осуществлять долговременную оценку объема знаний, как отдельных учащихся,


142

так и групп. Обоснование, разработка и использование системы мониторинга за знаниями учащихся является дорогостоящим ме-роприятием и требует значительных временных затрат, но резуль-таты ее использования дают очень полезную информацию об эф-фективности образования.

Построение системы мониторинга, которая даст целостное представление о качестве математической подготовки выпускни-ков в области, позволит прогнозировать динамику развития регио-нальной системы математического образования и своевременно выявлять факторы влияния. В нашей работе система мониторинга строится с использованием модели «цель-результат с учетом про-цесса обучения». Главное внимание в работе уделено созданию: региональной системы мониторинга математической подготовки выпускников основной и средней школы, которая использует объ-ективные методы измерения, дает целостное представление о каче-стве и динамике математического образования в области; измери-теля, который позволит проводить измерения, адекватные целям мониторинга; системы интерпретации результатов и возможностям их использования.

Становление регионального мониторинга уровня учебных дос-тижений школьников по математике прошло три этапа.

На первом этапе - теоретическом (1998 г.) - осуществлялось изучение состояния исследуемой проблемы, анализ исторического и современного зарубежного и отечественного опыта построения мониторинга уровня учебных достижений учащихся, научной ор-ганизации контроля качества образования.

На втором этапе – экспериментальном (1999 – 2000 гг.) - продолжилось изучение научной литературы по исследуемой про-блеме, в целом сложилась система мониторинга уровня учебных достижений математического образования в регионе; были опреде-лены базовые площадки и экспериментальные территории, на ко-торых проводилась апробация технологии тестирования. В целях наработки и апробирования методического материала по монито-рингу качества знаний учащихся, созданию единых измерителей контроля, выставлению статистической нормы было проведено тестирование:

- в 1999 году – в 6-х классах (371 человек) по предмету «Мате-матика»,


143

- в 2000 году - в 7-х классах (365 человек) по предмету «Алгеб-ра».

Апробация осуществлялась в шести школах Ярославского рай-она и в четырех школах Ленинского района г. Ярославля. Прове-рялся уровень усвоения учащимися минимума содержания образо-вания независимо от программ и учебно-методических комплектов, по которым велось преподавание.

Третий этап – внедренческий - берет свое начало с 2000 года. В 2000 - 2002 годах проводилось исследование качества математи-ческой подготовки на репрезентативной выборке в выпускных классах. Исследование осуществлялось в формах:

- тестирования по «Алгебре» за курс основной школы (2001 г. - 574 человек из 47 школ; 2002 г. – 1 458 человек из 64 школ);

- перепроверки письменных аттестационных работ по алгебре за курс основной школы (538 работ из 18 школ);

- перепроверки письменных аттестационных работ выпускни-ков 11-го класса, получивших серебряные медали.

В 2003 – 2004 годах, в соответствии с приказом департамента образования Администрации Ярославской области, эксперимент проводится в выпускных классах основной школы области на ре-презентативной выборке по предмету «Геометрия» (400 человек); результат по желанию выпускников может быть засчитан за экза-мен по выбору.

В Ярославской области имеется более 500 общеобразователь-ных учреждений, из них порядка 300 – средние, остальные - основ-ные и начальные. Для осуществления мониторинга уровня учебных достижений школьников по математике в регионе необходима ин-формация о результатах обучения как в основных, так и средних школах.

В 2003 году Ярославская область вступила в эксперимент по введению Единого государственного экзамена (ЕГЭ). Результаты экзамена начинают использоваться для формирования информаци-онных баз региональных систем мониторинга качества образова-ния. Накапливается опыт по организации и использованию резуль-татов ЕГЭ. Общероссийские тестовые баллы массового тестирова-ния задают средние статистические нормы учебных достижений. Результаты ЕГЭ можно рассматривать как информационную осно-ву для организации многоуровневого мониторинга качества подго-


144

товленности выпускников: на внутришкольном, территориальном, муниципальном, региональном уровнях.

Анализ успехов и недостатков требуется образовательным уч-реждениям, органам управления образованием на всех иерархиче-ских уровнях для коррекции образовательного процесса подготов-ки выпускников, школьникам - для оценки требований к уровню подготовленности. Система образования в области не является од-нородной по качеству предоставляемых услуг. Теоретически за ро-дителями и их ребенком сохраняется право выбора более качест-венного, с их точки зрения, образовательного учреждения, однако возможности реализовать это право в условиях полного или час-тичного отсутствия информации – нет. В результате проведения ЕГЭ появится возможность реализации этих прав. ЕГЭ позволит заметно усилить влияние органов управления образованием регио-на, если в основу их деятельности будет положена открытость, объективность и оперативность. Проблема системы качества обра-зования имеет не только ведомственный характер, но и обществен-ный: информация необходима потребителям образовательных ус-луг. Разным пользователям нужны разные данные. При аттестации учреждений должны использоваться не одномоментные замеры, а наблюдение необходимо вести в течение четырех - пяти лет, чтобы прослеживать динамику изменений. Аналогично использование ре-зультатов при аттестации учителей, так как может оказаться, что на момент аттестации попадет более слабый выпуск. Всякая инфор-мация, полученная в ходе мониторинга качества, должна иметь своего адресата и аккуратно представляться.

Математика является обязательным экзаменом для всех выпу-скников средней школы, результаты, полученные на генеральной совокупности, обладают большей надежностью. Ведение ЕГЭ по другим предметам, которые не являются обязательными при про-ведении итоговой аттестации (химии, биологии, истории и т.д.), не даст реальной картины результатов обучения по предмету в облас-ти, так как выборка будет непредставительна.

Особо подчеркнем, что вводимая независимая система оцени-вания, осуществляемая в рамках ЕГЭ, является мощным воспиты-вающим средством, так как формирует уверенность в необходимо-сти качественного труда для успеха в жизни. Отсюда – воспита-тельная функция мониторинга, которая проявляется опосредованно.


145

В результате проведения мониторинговых исследований в об-ласти ряд школ скорректировали свои учебные программы, а именно: добавили «часы» на изучение математики в старших клас-сах за счет вариативной части базисного учебного плана и заявили об углубленном изучении математики.

Некоторые муниципальные округа, например Ярославский, полностью перешли в старших классах на изучение математики по курсу «В». Институт развития образования осуществляет подготов-ку учителей-инструкторов, которые изучают проблемы, связанные с подготовкой выпускников к ЕГЭ и тестовой форме контроля.

Благодаря мониторинговым исследованиям, активизировалась методическая работа по пропедевтике ошибок, допускаемых выпу-скниками. Сегодня информация по учебно-методическим комплек-там помогает учителю сориентироваться в широком многообразии учебников. Проведение ЕГЭ и региональных мониторинговых ис-следований привлекло внимание общественности к вопросу о пре-подавании математики в области.

Литература 1. Кальней В.А., Шишов С.Е. Мониторинг качества образования. Москва; Во-

логда, 1998. 204 с. 2. Майоров А.Н. Мониторинг в образовании. СПб.: Образование – Культура,

1998. 344 с. 3. Майоров А.Н. Теория и практика создания тестов для системы образова-

ния. М.: Народное образование, 2000. 352 с. 4. Макарова Т.Д. О массовых исследованиях качества обучения // Стандарты

и мониторинг в обучении. 2000. № 4. С. 27 - 31. 5. Матрос Д.Ш., Полев Д.М., Мельникова Н.Н. Управление качеством обра-

зования на основе новых информационных технологий. М.: ПОР, 2001. 128 с. 6. Мониторинг как практическая система. http:www.mto.ru/children/

monitoring/system.htm 7. Осипов Ю.Б., Дымов Д.Е., Зилинг Д.Г. и др. Управление природоохранной

деятельностью в Российской Федерации. М.: МГУ, 2001. 440 с. 8. Попов В.Г., Голубков П.В. Мониторинг развития региональной системы

образования // Стандарты и мониторинг в обучении. 2000. № 2. С. 30 - 33. 9. Региональная система управления качеством образования. Департамент об-

разования Администрации Ярославской области. Ярославль, 2000. С. 4 - 8. 10. Реформы образования. Аналитический обзор / Под ред. В.М. Филиппова.

М.: Центр сравнительной образовательной политики, 2003. 303 с.


146

Оптимальная система математического образования студентов 1-го курса естественнонаучных факультетов

классических университетов

Е.И. Щукин Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова

В основу указанной системы математического образования по-ложен принцип единства трех линий математического анализа яв-лений действительности - стохастической, детерминистической и компьютерной - в сочетании с принципом мотивации учебной дея-тельности изучающих дисциплину «Математика – общий курс».

В дисциплине изучаются: - теория вероятностей (случайные события; дискретные и не-

прерывные случайные величины; предельные теоремы); - математический анализ (функции; пределы; производные;

дифференциалы; интегралы; дифференциальные уравнения и их системы).

Указанные разделы изучаются на 1-м курсе естественнонауч-ных факультетов классических университетов, где - в соответствии с учебными планами - I семестр составляет 18 учебных недель, II семестр - 15 недель, и каждую неделю проводятся одна двухча-совая лекция и один двухчасовой семинар (практическое занятие).

Оптимальный учебный план (рабочий план) выглядит следую-щим образом:

I семестр (18 недель)

Теория вероятностей событий (Часть 1 - «Случайные события»)

1. Классификация событий. Определения вероятности (классиче-ское; статистическое; геометрическое).

2/2

2. Математическое и компьютерное моделирование ряда реальных задач.

2/2

3. Метод математической индукции. Элементы комбинаторики. 2/2 4. Сумма и произведение событий. Теоремы о нахождении вероят-

ности суммы событий. 2/2

5. Зависимые и независимые события. Условная вероятность собы-тия. Теоремы о нахождении вероятности произведения событий.

2/2

6. Полная вероятность события. Теорема о переоценке вероятностей гипотез (формула Байеса).

2/2


147

Математический анализ (Дифференциальное и интегральное исчисления)

7. Основные числовые множества. Координаты точки на плоскости 2/2 8. Функция. Взаимнообратные функции. 2/2 9. Основные элементарные функции. 2/2 10. Числовые последовательности; их сходимость или расходи-

мость. 2/2

11. Предел функции непрерывного аргумента. Теоремы о пределах. 2/2 12. Первый и второй замечательные пределы. 2/2 13. Непрерывность. Понятие производной. 2/2 14. Основные правила дифференцирования. Производные основных

элементарных функций. 2/2

15. Общая схема исследования функции. 2/2 16. Дифференциал функции. 2/2 17. Уравнения Мальтуса и Ферхюльста – Перла (логистическое). 2/2 18. Резерв.

II семестр (15 недель)

19. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования.

2/2

20. Определенный интеграл. Теорема Ньютона-Лейбница. 2/2 21. Аналитические и численные методы нахождения определенных

интегралов. 2/2

22. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. 2/2 Теория вероятностей событий (Часть 2)

23. Дискретные случайные величины (ДСВ). Закон распределения ДСВ. Числовые характеристики ДСВ.

2/2

24. Равномерное дискретное распределение. Теорема о повторении опытов. Формулы Бернулли и Пуассона.

2/2

25. Распределение Бернулли, Пуассона и геометрическое. 2/2 26. Непрерывная случайная величина (НСВ). Интегральная и диф-

ференциальная функции распределения; их свойства и графики. 2/2

27. Числовые характеристики НСВ. Равномерное непрерывное и экспоненциальное распределения.

2/2

28. Нормальное распределение. Правило «трех сигм». 2/2 29. Неравенство и теорема Чебышева. 2/2 30. Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема) и следст-

вие из нее. 2/2


148

Дифференциальные уравнения и их системы 31. Основные понятия и определения. Уравнения с разделенными и

разделяющими переменными. Линейные уравнения 1-го порядка и решение их методом Лагранжа.

2/2

32. Линейные уравнения 2-го порядка и их решение методом Ла-гранжа.

2/2

33. Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

2/2

Основой методического обеспечения математического образо-

вания являются материалы лекций и семинаров, где - наряду с тра-диционными формами обучения - широко используются компью-терные программы, составляющие так называемую «Библиотеку стандартных программ». Эти программы - двух основных видов: программы - компьютерные модели реальных задач и программы-иллюстраторы тех или иных математических методов. Укажем схему применения этих программ, рассмотрев следующие две за-дачи (обе они решаются методом статистических испытаний на одной из первых лекций по теории вероятностей).

Задача 1. Случайным образом (наудачу) взяты 2 числа:

0 < x Ј 2; 0 < y Ј 2. Найти х × y и y : x и сравнить x × y? 1; y x? 2. Каждый из участников эксперимента выбирает свою пару чи-

сел (х; y), выступая тем самым в роли «датчика случайных чисел», и сравнивает указанные выше произведение и отношение с 1 и 2. Проводящий эксперимент дает прогноз: примерно 4 человека из 10 выбрали пару (х; y) таким образом, что у них: x × yЈ1; y : xЈ2. Про-стым подсчетом узнаем реальную относительную частоту указан-ного выше события (выбор такой пары (х; y), что: x × yЈ1; y × x Ј2) и сравним с предсказанием. Обсуждая с участниками эксперимента его ход и результаты, приходим к выводу, что мы методом стати-стических испытаний на небольшой, как правило, выборке, вычис-лили - и это мы уже указали - относительную частоту этого собы-тия. Как изменится результат, если объем выборки увеличить и, главное, как это сделать? Откуда проводящий эксперимент узнал число 0,4, к которому - в определенной, конечно, степени - сходит-ся результат и по весьма большой выборке.


149

Ответами на эти вопросы являются следующие соображения: 1) можно решить задачу на основе геометрического определения вероятности события (используя для вычисления площади некото-рой фигуры понятие определенного интеграла); 2) можно соста-вить - на языке Бейсик, например, - компьютерную программу (и даже не одну!), осуществляющие весьма большую выборку. Ре-зультаты счета по программам ВМР 11 и ВМР 12 (Случайная пара чисел) и сами программы приводятся ниже:

ВМР 11 10 REM СЛУЧАЙНАЯ ПАРА ЧИСЕЛ 20 INPUT «ВВЕДИТЕ ЧИСЛО N»; N 30 A = 0 40 M = 0 50 FOR I = 1 TO N 60 XI = 2*RND(1) 70 YI = 2*RND(1) 80 TI = XI*YI 85 LI = YI/XI 90 IF TI<=1 AND LI<=2 THEN 100 ELSE 110 100 M=M+1 110 A=A+1 120 NEXT I 130 W=M/N 140 PRINT “W=”; W 150 END Результаты: N=100 W=0,4 N=1000 W=0,396 N=1000000 W=0,384264 N=10000000 W=0,3849506 BMP 12 INPUT “enter N “, n T=0 FOR a=1 TO n X=RND*2 Y=RND*2 IF (x*y<=1) AND (y/x<=2) THEN t=t+1 NEXT a


150

PRINT “it is”; t/n Результаты: N=100 t=0,4 N=1000 t=0,396 N=1000000 t=0,384264 N=10000000 t=0,3849506 Задача 2. Наудачу (случайным образом) выбраны два целых

числа (l; m): -4ЈlЈ4; -4ЈmЈ-4; которые затем используются для составления «слу-

чайного» квадратного уравнения x + 2lx + m = 0. Какова вероят-ность того, что составленное таким образом уравнение не имеет действительных (вещественных) корней?

Как и в предыдущем случае, проведем эксперимент: предло-жим выбрать указанную пару целых чисел (l, m) группе студентов и затем подсчитаем, как и в предыдущем случае, относительную частоту события А, под которым понимается выбор такой пары (l; m), что дискриминант указанного выше квадратного уравнения меньше нуля (l – m<0). Аналогично предыдущему обсуждается во-прос о том, как увеличить объем выборки для уточнения получен-ных результатов и как другим способом отыскать указанную выше характеристику события А.В результате приходим к следующим соображениям: 1) можно - по существу на основе классического определения вероятности события - определить указанную вероят-ность события А, используя целочисленную решетку (квадрат, в котором 9 × 9 – 81 точка, в том числе 10 точек таких, где m>l - это ясно каждому, кто представляет расположение параболы m = l, в указанном целочисленном квадрате:

-4Ј l Ј 4; -4 Ј m Ј 4; 2) можно составить на языке Бейсик компь-ютерную программу - и опять-таки даже не одну, которые осуще-ствляют большие по объему выборки. Две таких программы входят в составленную, как уже указывалось, «Библиотеку стандартных программ», где - наряду с программами указанного типа, т.е. осу-ществляющими компьютерное моделирование различных задач - имеются программы, которые просто иллюстрируют, например, вычисление определенных интегралов методом трапеций (ВМР30) или методом Монте-Карло (ВМР31).


151

Приведем и эти программы и результаты их работы: ВМР30 (Метод трапеций) 5 CLS 10 DATA 10, 0. 1, 1e-06 20 DEF fnf (x) = sqr(1+x 2) 30 GOSUB 1000 40 STOP 1000 REM 1010 READ n, a, b, e 1020 GOSUB 1100 1030 n=2*n 1040 y1=y 1050 GOSUB 1100 1060 y=y*h 1070 IF ABS(y-y1) > e THEN 1030 1080 PRINT “y=”; y 1090 RETURN 1100 h=(b-a)/n 1110 y= .5*(fnf(a)+fnf(b)) 1120 FOR k=1 TO n-1 1130 y=y+fnf(a+k*h) 1140 NEXT k 1150 RETURN 1160 END Результат: y = 1,147793 ВМР31 10 REM МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО 20 PRINT «Подинтегральная функция задается оператором 30» 30 DEF FNI(X)=SQR(1+X 2) 40 INPUT «введите пределы интегрирования А, В»; А,В 50 INPUT «введите число случайных испытаний N”; N 60 S=O:D=B-A 70 FOR I=1 TO N


152

80 X=A+D*RND(1):S=S+FNI(X) 90 NEXT I 100 I=S*D/N 110 PRINT “I=”; I 120 END Результаты: N = 100 I=1,150524 N = 1000 I=1,148811 N = 100000 I=1,147307 N = 1000000 I=1,146735 Таким образом, в «Библиотеке стандартных программ» дейст-

вительно рассматриваются компьютерные программы двух основ-ных видов: программы – компьютерные модели реальных задач и программы-иллюстраторы тех или иных математических методов. Всего в «Библиотеке стандартных программ» » 30 программ, спи-сок которых постоянно пересматривается и пополняется. Кроме того, помимо программ, составленных на Бейсике, в «Библиотеку стандартных программ» включаются теперь и программы, напи-санные на Паскале студентами экономического факультета ЯрГУ.


153

СОДЕРЖАНИЕ

Проблемное пространство задач с параметрами 3 Л.П. Бестужева .......................................................................................... 3

Об организации турнира математических боев Ю.В. Богомолов ......................................................................................... 13

Изучение темы “Взаимное расположение линейных многообразий в аффинном пространстве” в курсе геометрии и алгебры

Г.М. Бродский............................................................................................ 25

О задачах на составление уравнений множеств точек Г.М. Бродский............................................................................................ 34

О важности использования математического инструментария в решении экономических задач школьного курса экономики

Н.Л. Будахина ............................................................................................ 46

Обучение истории математики с методическим уклоном М. Ф. Гильмуллин ...................................................................................... 53

Роль доклада в организации учебного процесса И.П. Иродова, С.И. Яблокова .................................................................. 58

Методические и организационные основы формирования в классических университетах единой структуры подготовки и переподготовки кадров сферы образования

В.А. Кузнецова, В.С. Сенашенко, В.С. Кузнецов .................................... 64

Тестирование как одно из эффективных средств измерения, обработки и интерпретации учебных достижений

Н.Л. Майорова, В.В. Майоров ................................................................. 70

Обсуждение вопроса о введении начального курса геометрии в средних учебных заведениях дореволюционной России

Л.Б. Медведева .......................................................................................... 80

Элементы учебных исследований при изучении курса элементарной математики в педагогическом вузе

Н.А. Меньшикова ...................................................................................... 87


154

Педагогические условия развития пространственного воображения у будущих преподавателей математики в классическом университете в рамках дополнительной профессионально-педагогической программы

Е.В. Никулина ............................................................................................ 97

Отношения физических и математических дисциплин в их преподавании

Е.В. Рыбникова, В.Ф. Чаплыгин ............................................................ 105

Антропокультурологический потенциал образования как методологическое основание образовательной деятельности

Е.А. Савченко .......................................................................................... 110

Маркетинг образовательных услуг – стратегия образовательного учреждения в условиях крупного города

Е.Р. Семко ............................................................................................... 119

Единый государственный экзамен по математике: проблемы школы и вуза

Н.В. Сенчакова ........................................................................................ 125

О курсе по выбору для экономистов Т.Ф. Серебренникова .............................................................................. 132

Мониторинг уровня учебных достижений учащихся по математике в Ярославской области

Н.В Шведова ........................................................................................... 137

Оптимальная система математического образования студентов 1-го курса естественнонаучных факультетов классических университетов

Е.И. Щукин .............................................................................................. 146


155

Научное издание

Проблемы повышения эффективности образовательного процесса

в высших учебных заведениях

Сборник научно-методических статей

Редактор, корректор А.А. Антонова Компьютерная верстка И.Н. Ивановой

Подписано в печать 30.12.2004 г. Формат 60×84/16. Бумага тип. Усл. печ. л. 9,07. Уч.-изд. л. 7,7.

Тираж 50 экз. Заказ .

Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.

Отпечатано ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.

г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37 тел. (0852) 73-35-03.


156


490.проблемы повышения эффективности образовательного...

Documents