4_distribucion de esfuerzos (falta mejorar)

8/6/2019 4_Distribucion de Esfuerzos (Falta Mejorar)

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DISTRIBUCION DE ESFUERZOS ALREDEDOR

DE UNA EXCAVACION

Ing. David Crdova Rojas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y Metalrgica

SIDAD

UNIVER

GE

SC

BO

IA

NIER

718 6

R

ON

NA

IA

NT

IE

CI ALDE

LA

ET IN


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Cuando se hace una excavacin subterrnea en un macizo rocoso, los esfuerzospre-existentes son disturbados, lo cual induce nuevos esfuerzos en la roca, en

las vecindades inmediatas de la abertura. Un mtodo de representar este nuevo

campo de esfuerzos es por medio de las trayectorias de los esfuerzos

principales, estas son lneas imaginarias en un cuerpo elstico esforzado a lo

largo del cual actan los esfuerzos principales.

ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACION

Figura 4: Trayectorias de los esfuerzos

mayor y menor en el material que rodea

un hueco circular, construido en una

placa elstica uniaxialmente esforzada.

En figura se pueden observar en las lneas

discontinuas las trayectorias de los

esfuerzos principales mayores. En puntos

arbitrariamente seleccionados a lo largo

de estas trayectorias, se muestran los

esfuerzos principales sobre elementos

imaginarios, puesto que el material estdividido en elementos. En cada caso, la

direccin y magnitud del esfuerzos

principal es mostrado por una flecha, las

longitudes de las flechas dan la magnitud

del esfuerzo principal a alguna escala

especificada.


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Con los conceptos previos, se analizar en primer lugar los esfuerzos alrededor

de una excavacin circular. A fin de calcular los esfuerzos, deformaciones y

desplazamientos inducidos alrededor de excavaciones en materiales elsticos,

ser necesarios remontarnos a la teora matemtica de la elasticidad.

En primer lugar y a modo introductorio estudiaremos del caso de los tneles

circulares estudiando el desarrollo y distribucin de tensiones en terrenos

elsticos para tensiones debidas a la gravedad.

Caso 1:

Datos Wx = Wz , aparmetro r

Wt , Wr?

ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACION

CIRCULAR

ra

ra

22

xxt

22

xxr

!

!x

z

ra

x z=

r

t

Ecuacin 28


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Anlisis de las ecuaciones 28:

Es ms importante en anlisis de Wt la cual se duplica cuando r = a, de las

ecuaciones (28) se deduce que Wt en la pared del tnel no vara con el tamao

del tnel, para Wx = Wz siempre Wt = 2Wx en toda la superficie.

2a r4a

WxW

2

1

3a

0

tW

Wr

pg!!!

1/,r

2/,ar

xr

xt

tWWWWW

pg!

!!

1/,r

0/,ar

xr

xt

rWW

WWW


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Caso 2:

Datos Wx=W

z, a , Pi (contrapresin, caso tpico revestimiento)

parmetro r

Wr , Wt?

Anlisis de las ecuaciones 29:

Aa

U

U

WtrW

22

xixt

22

xixr

raP

raP

WWW

WWW

iP

xW a 2a r4a

WxW

1

3a

0

Wr

2

tW 1/,r

/P/,ar

xr

xixr

rWW

WWW

W

pg!

p!

1/,r

1/,ar

xt

xr

tWW

WWW

Ecuacin 29


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Caso 3:

Datos Wx Wz (tensiones residuales)

Parmetros U y r figura (5)

, aplicamos

Las ecuaciones (30) constituyen la solucin bidimensional de la distribucin de

esfuerzos alrededor de una abertura en un campo elstico.

Anlisis de las ecuaciones (30):

4

1K

z

x !!

2Cosr/312

1r/1

2

1

2Cosr/3r/412

1r/1

2

1

44

zx

22

yx

4422

zx

22

yxr

!

!

Ecuacin 30


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Para el punto A:

Para el punto B:

Wz

Wx

rW

3a

W

4a r2aa

zWWt

2.75

o

= 0 (A)U

tW

0.75Wz

a 2a r4a

W

3a

xW

zWWr

0

rxr

r

,r

0,ar0

WW

WU

gr zt

zxzt

,r

)4/(,75.2,ar0

WW

WWWWU

g zr

r

,r

0,ar

WW

W

1180cos

90

!r

r!U

!g!

!!!

zr

zxzt

,r

)4/(,25.0,ar

WW

WWWW

1180cos

90

!r

r!U


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Para un campo de esfuerzos donde Wx = Wz (casos 1 y 2), si la roca que rodea un

tnel circular revestido falla, se origina una situacin parecida al que se muestraen la siguiente figura :

r4a3a2aa

1

WxWt

xW

zW

a

....................Revestimiento

2


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Observando la figura la figura XX, podemos expresar las ecuaciones finales de la

solucin bidimensional de la distribucin de esfuerzos alrededor de una abertura

en un cuerpo elstico usando en este caso un sistema de coordenadas polaresen la cual los esfuerzos no definidos en tcnicas de tracciones, actuando sobre

las caras de un elemento ubicado por un radio y un ngulo polarU.

A partir de estas ecuaciones ampliaremos los conceptos anteriormente dados,

observando hechos muy interesantes e importantes sobre los esfuerzos

alrededor de aberturas:


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Las ecuaciones muestran que el esfuerzo radial Wr y el esfuerzo de corte XrU son

ambos iguales a cero en los bordes de la excavacin cuando r = a. El esfuerzo

tangencial en los bordes esta dado por:

En el techo y en el piso de la abertura, es decir cuando q = 0 y 180

respectivamente, esta ecuacin se reduce a:

En las paredes de la excavacin, es decir cuando o = 90 y 270 se reduce a:

kpz ! 3UW

UWU 2Cosk12k1pz !

1k3pz !U

W

Esfuerzos en los bordes de la excavacin


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Inclinaciones en un punto

UX

U

U

U

U

2Senr

a3

r

a21k1P

2

1

2Cosr

a31K1

r

a1K1P

2

1

2Cosr

a3

r

a1K1

r

a1K1P

2

1

2

2

Zr

2

2

Z

4

4

2

2

2

2

Zr

r

rTanWW

XE

U

U

!

22

Esfuerzos alejados de los lmites de la excavacin

!

!

21

2

r

2

rr3

21

2

r

2

rr1

4

1

2

1

4

1

2

1

UUU

UUU

XWWWWW

XWWWWW

Componentes de los

esfuerzos en el punto

(r,U) de la figura XX.

Esfuerzos principales

en el plano del papelen el punto (r,U).

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