5 класс вариантolimpiada2x2.ru/uploads/autumn/5_class.pdf · 2016-07-15 ·...

Условияирешения

Осенняяинтернет-олимпиада«2×2»5класс

Интернет-олимпиада«2×2»Осенняяолимпиада,5класс,2015гwww.olimpiada2x2.ru

©2015Творческаялаборатория«ДваждыДва»

Более10летТворческаялаборатория«ДваждыДва»проводитолимпиадышкольников.В2016году2нашихученикасталичленамисборнойРоссиипоматематикеипредставляютнашустрануна57-йМеждународнойматематическойолимпиаде.Вэтойброшюревысможетенайтивариантинтернет-олимпиады,которыйпроходилнаПорталеинтернет-олимпиад«2х2».Выможетеиспользоватьэтиматериалыдляпроведенияолимпиадноготренингаусебявклассеилисосвоимребенком.Вброшюресодержатсяусловиязадачдляраспечаткиивыдачидетям,атакжеподробныерешениявсехзадач.Такжедлякаждойзадачиприведеныподробныекритерииоцениванияиметодическиерекомендации.Школы,организованнопроводящиенашиинтернет-олимпиадыдлясвоихшкольников,получаютотнасподробнуюстатистикусвоихучениковинаборметодическихрекомендаций,которыеиспользуютвучебнойработе.Есливыхотитеорганизованнопровестиинтернет-олимпиадувсвоейшколе,напишитенампоадресу:admin@olimpiada2х2.ru

Сайтепроведенияинтернет-олимпиад:olimpiada2x2.ru

Адресдлясвязи:admin@olimpiada2х2.ru



ПрохождениеолимпиадыОлимпиадасостоитиз2туровпо6задачвкаждом.Нарешениекаждоготураотводится2астрономическихчаса(120минут).Вкаждойзадачеуказанонаибольшееколичествобаллов,котороеможнонабратьзаэтузадачу.Вовторойчастиброшюрыдлякаждойзадачиприведеныподробныерешения,критерииоцениванияиметодическиеуказания.

Желаемуспехов!



УсловиязадачIтур

Задача1.«Просуммучисел»(7баллов)

Сумма2015натуральныхчиселравна2017.Чемуможетбытьравноихпроизведение?Вариантыответов:1,2,3,4,2015,2016,2017Задача2.«Таблицаумножения»(5баллов)

Какоеизэтихчиселчащедругихвстречаетсявтаблицеумножениядляоднозначныхчисел?Вариантыответов:49,81,48,24,35 Задача3.«Игральныекубики»(7баллов)

Наодномигральномкубикеколичествоточекнаграняхпринимаетвсезначенияот1до6.Приэтомобщеечислоточекналюбыхдвухпротивоположныхграняхравно7.Сашасклеиластолбикизтрехтакихкубиковинашлаобщеечислоточекнавсехвидимыхграняхполученногостолбика(столбикиз3кубиковможноподниматьсостолаипереворачивать,точкинаграниневидны,толькоеслиграньприклеенакдругойграни).Какоенаибольшеечислоонамоглаполучить?

Пояснениекзадаче:Вответвведитенаибольшеизвозможныхчисел,которыемоглаполучитьСашаврезультатеподсчетавсехвидимыхточекстолбцаиз3кубиков.



Задача4.«Ребус»(9баллов)Колянаписалребус:М+А+Й=АЙ,гдеодинаковыебуквыобозначаютодинаковыецифры,аразныебуквы—разныецифры.Сколькоразличныхрешенийимеетэтотребус?Задача5.«Бумажныйквадрат»(5баллов)

Сашасвернулапополамквадратныйкусокбумагииполучилапрямоугольник,потомонасвернулаполученныйпрямоугольниксновапополамиполучилаквадрат.ТеперьСашаразрезалаполученныйквадратрезакомпопрямойнадвечасти.Насколькочастейприэтоммограспастьсяисходныйбумажныйквадрат?Вариантыответа:1,2,3,4,5Задача6.«Часовая»(9баллов)

Восколькоразнадоувеличитьскоростьминутнойстрелкимеханическихчасов,неизменяяприэтомскоростьчасовойстрелки,чтобыминутнаястрелкасталаобгонятьчасовуюстрелкув25разчаще.Правильныйответ:в23раза



IIтур

Задача1.«Процентная»(5баллов)

ЗарплатаНиколаязапрошедшийгоддваждывырасталана40%,аценынапродуктызапрошедшийгодупалина20%.НасколькопроцентовбольшепродуктовтеперьсможеткупитьНиколайпосравнениюспрошлымгодом,есливсюзарплатуонтратитнапродукты?Задача2.«Телефонныйдиск»(6баллов)

Никитарасставилпокругу6натуральныхчисел,аСашазаметила,чтокаждоечисловкругеравнолибосумме,либоразностидвухсвоихсоседей.КакоеколичестворазличныхнатуральныхчиселмогиспользоватьНикитавкруге?Вариантыответов:1,2,3,4,5,6Задача3.«Ребус»(4балла)

Малышнаписалнадоскеверныйпримернавычитание,апотомпришелКарлсонистернекоторыецифры,нарисоваввместонихзвездочки.Надоскепоявиласьзапись:*3*-*2=905.ВосстановитепримерМалыша,вответзапишитеуменьшаемоеивычитаемое.

Пояснениекзадаче:Подзвездочкамимогутскрыватьсяразличныецифры.



Задача4.«Спички»(5баллов)

Переложитеоднуспичкутак,чтобыравенствосталоверным.Вответзапишитеверноеравенство.Дляпримеранакартинкепоказанонаписаниевсехцифр.Задача5.«Разрезалка»(6баллов)

УМишиестьклетчатыйквадрат4х4.Мишахочетегоразрезатьнанесколькопопарноразличныхпрямоугольниковполиниямсетки.НакакоенаибольшееколичестворазличныхпрямоугольниковможноразрезатьквадратМишиполиниямсетки?

Пояснениекзадаче:Прямоугольникиявляютсяразличными,еслионинесовпадаютприналожении.Резатьможнотолькополиниямсетки,тоестьтольковдольграницквадратиков1х1.



Задача6.«Комбинаторнаягеометрия»(9баллов)

Наплоскостиотметили15точекисоединиликаждуюпаруточекотрезком.Какоенаибольшееколичествоизэтихотрезковможетпересекатьпрямая,котораянепроходитничерезоднуизотмеченныхточек?

Пояснениекзадаче:Вответвведитенаибольшеечислоотрезков.



УсловиязадачикритерииоцениванияIтур

Задача1.«Просуммучисел»(7баллов)

Сумма2015натуральныхчиселравна2017.Чемуможетбытьравноихпроизведение?Вариантыответов:1,2,3,4,2015,2016,2017Правильныйответ:3;4

Решение:Посколькувсечисланатуральные,тосумма2015такихчиселнеменьше2015,ноихсуммаравна2017.Тоестьмыдолжнывзятьнаборединициеще2017-2015=2единицымыдолжныраспределитьмеждучисламивнашемнаборе.Значит,среди2015чиселлибо2014единици1тройка,либо2013единици2двойки.Впервомслучаеихпроизведениеравно3,авовторомслучае—4.

Критерииоценивания:

Закаждыйиз7пунктовответавэтойзадачеученикмогполучить+1балл,-1баллили0баллов.Еслиученикнеуказывалответвпункте,онполучал0балловзаданныйпункт.Еслиученикверноуказывалответвпункте,онполучал+1баллзаданныйпункт.Еслиученикневерноуказывалответвпункте,онполучал-1баллзаданныйпункт.Завсюзадачуученикмогполучитьот-7до+7баллов.

Методическиеуказания:

Неполныйбалл–повторитьтемы:«натуральныечисла»и«конструктивы».Разберитесдетьмиразличныечисловыеконструкции,связанныесовсемиарифметическимидействиями.



Задача2.«Таблицаумножения»(5баллов)

Какоеизэтихчиселчащедругихвстречаетсявтаблицеумножениядляоднозначныхчисел?Вариантыответов:49,81,48,24,35Правильныйответ:24

Решение:Числа49,81могутбытьпредставленыединственнымобразомввидепроизведениядвуходнозначныхчисел:49=7•7и81=9•9.Вариантыответова)иб)являютсяневерными,таккакчисла48и35могутбытьпредставленыдвумяразнымиспособамиввидепроизведениядвуходнозначныхчисел:48=6•8=8•6и35=5•7=7•5,приэтомчисло24можетбытьпредставлено4различнымиспособами:24=4•6=6•4=3•8=8•3.Правильныйвариантответа-г).

24можетбытьпредставлено4различнымиспособами:24=4•6=6•4=3•8=8•3.Правильныйвариантответа-г).


5баллов—учениквыбралединственныйправильныйответ.

0баллов—ученикнеуказалответиливыбралнеправильныйответизпредложенныхвариантов.


Неполныйбалл–повторитьтаблицуумножения,поговоритьомногозначностивзадачах.



Задача3.«Игральныекубики»(7баллов)

Наодномигральномкубикеколичествоточекнаграняхпринимаетвсезначенияот1до6.Приэтомобщеечислоточекналюбыхдвухпротивоположныхграняхравно7.Сашасклеиластолбикизтрехтакихкубиковинашлаобщеечислоточекнавсехвидимыхграняхполученногостолбика(столбикиз3кубиковможноподниматьсостолаипереворачивать,точкинаграниневидны,толькоеслиграньприклеенакдругойграни).Какоенаибольшеечислоонамоглаполучить?

Пояснениекзадаче:Вответвведитенаибольшеизвозможныхчисел,которыемоглаполучитьСашаврезультатеподсчетавсехвидимыхточекстолбцаиз3кубиков.

Правильныйответ:Наибольшеечисло,котороемоглаполучитьСашаравно54

Решение:Суммавсехточекнаодномигральномкубикеравна21,значитнатрехкубикасумматочекравна63.Мы«потеряли»4грани,двеизкоторыхявляютсяпротивоположнымигранямисреднегокубикавстолбце,тоестьнаэтихграняхвместе7точек.Ещемы«потеряли»пооднойграниукрайнихкубиков,накаждомизкоторыхещехотябыпо1точке.Вместемыпотеряли,какминимум,7+1+1=9точек,поэтомунаибольшеечисло,котороемоглаполучитьСаша,равно63-9=54.


7баллов—ученикввёлвполедляответачисло54.

0баллов—всеостальныеслучаиответа.




Неполныйбалл–разобрать,чтотакое«игральныйкубик»,какнанесеныточкинагранииразобратьпримерынасуммычиселприбросаниинесколькихкубиков,присклейкеразныхконструкцийизигральныхкубиков.



Задача4.«Ребус»(9баллов)

Колянаписалребус:М+А+Й=АЙ,гдеодинаковыебуквыобозначаютодинаковыецифры,аразныебуквы—разныецифры.Сколькоразличныхрешенийимеетэтотребус?

Правильныйответ:Этотребусимеет8решений

Решение:Посколькувлевойчастистоитсумматрехразличныходнозначныхчисел,тоэтасумманепревышаетчисла9+8+7=24,тоестьАскрываетцифру1или2(букваАнеможетскрыватьнуль,таккакчислоАЙнеможетначинатьсясцифры0,какилюбоедругоечисло).ПустьА=2,тогдамаксимальнаясуммавлевойчастиравенстваравна9+2+8=19(буквыМиЙскрываютразныецифры),тогдаА=1—противоречие,этотслучайневозможен.Значитостаетсяединственныйслучай—А=1.Ребуспреобразуется:М+1+Й=1Й.ТеперьвычтемизобеихчастейисходногоравенстваЙ,получимребус:М+1=10,поэтомуМ=9,аЙ—любаяцифракроме1и9,таккак1и9мыуже«использовали»дляАиМсоответственно.Поэтомуэтотребусимеет8решений(8вариантовдляЙ).





Неполныйбалл–повторитьсчетвпределахста.Составитьразличныепримерысбуквамивместоцифриразобрать,какиемогутполучатьсяответы.Обратитьвнимание,чтобываютребусысбуквами,укоторыхнесколькорешений,абываюттакие,укоторыхнетрешений.



Задача5.«Бумажныйквадрат»(5баллов)

Сашасвернулапополамквадратныйкусокбумагииполучилапрямоугольник,потомонасвернулаполученныйпрямоугольниксновапополамиполучилаквадрат.ТеперьСашаразрезалаполученныйквадратрезакомпопрямойнадвечасти.Насколькочастейприэтоммограспастьсяисходныйбумажныйквадрат?Вариантыответа:1,2,3,4,5Правильныйответ:2;3;4;5

Решение:Наоднучастьквадратраспастьсянемог,таккакмыразрезалисвертокна2части,значит,иквадратбылразрезанхотябына2части.Пункт1неверен.Всеостальныепунктыверны.Примерыразрезовприведенынарисунке.


Закаждыйиз5пунктовответавэтойзадачеученикмогполучить+1балл,-1баллили0баллов.Еслиученикнеуказывалответвпункте,онполучал0балловзаданныйпункт.Еслиученикверноуказывалответвпункте,онполучал+1баллзаданныйпункт.Еслиученикневерноуказывалответвпункте,онполучал-1баллзаданныйпункт.Завсюзадачуученикмогполучитьот-5до+5баллов.


Неполныйбалл–повторитьтему«разрезания».Провестисдетьмипрактическуюработупоуказаннойтеме.



Задача6.«Часовая»(9баллов)

Восколькоразнадоувеличитьскоростьминутнойстрелкимеханическихчасов,неизменяяприэтомскоростьчасовойстрелки,чтобыминутнаястрелкасталаобгонятьчасовуюстрелкув25разчаще.Правильныйответ:в23раза

Решение:Часоваястрелкаделаетзасутки2оборота,аминутная24оборота.Значит,засуткиминутнаястрелкаобгонитчасовую24-2=22раза.Еслиускореннаяминутнаястрелкабудетобгонятьчасовуюв25разчаще,тоонаобгонитеезасутки22•25=550раз,значит,минутнаястрелкасделаетзасутки552оборота.Аобыкновеннаяминутнаястрелкаделаеттолько24оборотазасутки.552:24=23.Тоестьминутнаястрелкадолжнаускоритьсяв23раза.


9баллов—учениквыбралединственныйправильныйответ.

0баллов—ученикнеуказалответиливыбралнеправильныйответизпредложенныхвариантов.


Неполныйбалл–повторитьтемы:«движение»и«часы»,разобратьзадачинадвижениепокругу,вкоторыхприсутствуютситуацииобгона.

Всегозапервыйтуролимпиадыученикмогнабратьмаксимум42балла.



IIтур

Задача1.«Процентная»(5баллов)

ЗарплатаНиколаязапрошедшийгоддваждывырасталана40%,аценынапродуктызапрошедшийгодупалина20%.НасколькопроцентовбольшепродуктовтеперьсможеткупитьНиколайпосравнениюспрошлымгодом,есливсюзарплатуонтратитнапродукты?Правильныйответ:Николайсможеткупитьна145%больше.

Решение:ЗагодзарплатаНиколаяувеличиласьв1,4•1,4=1,96раза,приэтомценынапродуктыупалина20%исоставили0,8отпервоначальнойцены.ТоестьНиколайсможеткупитьв1,96:0,8=2,45разабольшепродуктов,тоестьна(2,45-1)•100%=145%больше.





Неполныйбалл–повторитьтему«процентыичасти».



Задача2.«Телефонныйдиск»(6баллов)

Никитарасставилпокругу6натуральныхчисел,аСашазаметила,чтокаждоечисловкругеравнолибосумме,либоразностидвухсвоихсоседей.КакоеколичестворазличныхнатуральныхчиселмогиспользоватьНикитавкруге?Вариантыответов:1,2,3,4,5,6Правильныйответ:2;3;4

Решение:Понятно,чтоодночислоНикитаиспользоватьнемог,таккакониспользовалнатуральныечислаирасставлятьоднинулипокругумынеможем,адругихрешенийуравненийХ+Х=ХилиХ-Х=Хнет.Ответа)неверен.Никитамогиспользоватьтолькодваразличныхчисла,например:-3-3-6-3-3-6.Тогдалюбоечисло6равносуммесвоихсоседей,алюбоечисло3равноразностисвоихсоседей.Пунктб)верен.ТакжеНикитамогиспользовать3различныхчисла:-2-5-7-2-5-7.Число7вэтойрасстановкеравносуммесвоихсоседей,ачисла2и5равныразностисвоихсоседей.Пунктв)верен.ТакжеНикитамогиспользовать4различныхчисла:-2-5-7-2-5-3.Число2=5-3,5=7-2,7=2+5,2=7-5,5=2+3,3=5-2.Пунктг)верен.Докажем,чтоНикитанемогиспользоватьбольше4различныхчисел.Возьмемнаибольшееилиодноизнаибольшихчиселвкруге-х.Пустьегососедиэточислаzиy:_zxy_.Тогдаzиyравныразностисвоихсоседей,таккакчисланатуральныеиихсоседхявляетсянаибольшим.Поэтомурядомсzстоитy,арядомсyстоитz:yzxyz.Тоестьсредиэтихпятичиселнеболее3различных(zиyмогутещеисовпадать),остаетсяшестоечисло,поэтомувсеговкругенаходитсянеболее4различныхчисел,пунктыд)ие)неверны.


Закаждыйиз6пунктовответавэтойзадачеученикмогполучить+1балл,-1баллили0баллов.Еслиученикнеуказывалответвпункте,онполучал0балловзаданныйпункт.Еслиученикверноуказывалответвпункте,онполучал+1балл



заданныйпункт.Еслиученикневерноуказывалответвпункте,онполучал-1баллзаданныйпункт.Завсюзадачуученикмогполучитьот-6до+6баллов.


Неполныйбалл–повторитьтему«конструктивы».Можноразобратьзадачинарасстановкичиселвряд,покругуприразличныхусловиях.Поговоритьозаписяхчиселбуквами.



Задача3.«Ребус»(4балла)

Малышнаписалнадоскеверныйпримернавычитание,апотомпришелКарлсонистернекоторыецифры,нарисоваввместонихзвездочки.Надоскепоявиласьзапись:*3*-*2=905.ВосстановитепримерМалыша,вответзапишитеуменьшаемоеивычитаемое.

Пояснениекзадаче:Подзвездочкамимогутскрыватьсяразличныецифры.

Правильныйответ:937-32=905

Решение:Последняяцифруменьшаемогоравна7,таккаконаравнасуммепоследнихцифрвычитаемогоиразности(еслиэтасуммаоднозначна).Значит,мывосстановилиоднуизпропущенныхцифр:*37-*2=905.Такжемыможемнайтипервуюцифрууменьшаемого,онаравна9,таккакуменьшаемоенеменьшеразности.Перваяцифраразностиравна9,мывосстановилиужедвецифры:937-*2=905.Понятно,чтоперваяцифравычитаемогоравна3.Мыполностьювосстановилипример:937-32=905.


Приоцениванииданногозаданияотдельнооценивалисьдваответа:уменьшаемоеивычитаемое.Заверноуказанноеуменьшаемоеученикполучал3балла,азаверноуказанноевычитаемое—1балл.Всегозазадачуученикмогполучитьот0до4баллов.


Неполныйбалл–повторитьсчетвпределахтысячи,повторитьсчетстолбиком.Составитьразличныепримерысозвездочкамивместоцифриразобрать,какиемогутполучатьсяответы.Обратитьвнимание,чтобываютребусысозвездочками,укоторыхнесколькорешений,абываюттакие,укоторыхнетрешений.



Задача4.«Спички»(5баллов)

Переложитеоднуспичкутак,чтобыравенствосталоверным.Вответзапишитеверноеравенство.Дляпримеранакартинкепоказанонаписаниевсехцифр.Правильныйответ:9-6=3

Решение:Нужнопереложитьоднуспичкуизвычитаемого8,сделавего6,вуменьшаемое3,сделавего9.Верныйпример:9-6=3.


Приоцениванииданногозаданияотдельнооценивалисьтриответа:уменьшаемое,вычитаемоеиразность.Заверноуказанноеуменьшаемоеиливычитаемоеученикполучалпо2балла,азаверноуказаннуюразность—1балл.Всегозазадачуученикмогполучитьот0до5баллов.


Неполныйбалл–повторитьсчетвнатуральныхчислах,наспичкахсдетьмиразобратьразныезадачинадополнение,переложениеиудалениеспичек.



Задача5.«Разрезалка»(6баллов)

УМишиестьклетчатыйквадрат4х4.Мишахочетегоразрезатьнанесколькопопарноразличныхпрямоугольниковполиниямсетки.НакакоенаибольшееколичестворазличныхпрямоугольниковможноразрезатьквадратМишиполиниямсетки?

Пояснениекзадаче:Прямоугольникиявляютсяразличными,еслионинесовпадаютприналожении.Резатьможнотолькополиниямсетки,тоестьтольковдольграницквадратиков1х1.

Правильныйответ:Квадрат4х4можноразрезатьнеболеечемна5различныхпрямоугольников.

Решение:Существуетвсегопоодномуразличномупрямоугольникуплощади1,2и3клетки,этоквадрат1х1,прямоугольник-домино1х2ипрямоугольник-тримино1х3.Такжесуществуетровно2различныхпрямоугольникаплощади4клетки—этоквадрат2х2ипрямоугольник1х4.Такжесуществуетровноодинпрямоугольникплощади5клеток,егостороныравны1и5.Заметим,что1+2+3+4+4+5=19>16,тоестьмынесможемразрезатьквадрат4х4дажена6самыхмаленькихпоплощадиразныхпрямоугольников,поэтомуможно



разрезатьнеболеечемна5различныхпрямоугольников.Приведемсоответствующийпример.





Неполныйбалл–повторить,чтотакое«прямоугольник».Такжеможновыполнитьразличныеразрезанияквадратанапрямоугольники,чтобыдетиполучилипрактическийопытвзадачахнаразрезания.



Задача6.«Комбинаторнаягеометрия»(9баллов)

Наплоскостиотметили15точекисоединиликаждуюпаруточекотрезком.Какоенаибольшееколичествоизэтихотрезковможетпересекатьпрямая,котораянепроходитничерезоднуизотмеченныхточек?

Пояснениекзадаче:Вответвведитенаибольшеечислоотрезков.Правильныйответ:Наибольшееколичествоотрезков,которыеможетпересекатьпрямая,равно56

Решение:Любаяпрямаяделитвсеточкинадвегруппы,пусть,например,соднойстороныпрямойлежит4точки,асдругойоставшиеся11точек.Вэтомслучаепрямаябудетпересекатьвсеотрезки,концыкоторыхлежатпоразныестороныотпроведеннойпрямой,тоестьвданномпримерепрямаябудетпересекать4•11=44отрезка.Тогдапрямаябудетпересекатьнаибольшееколичествоотрезков,когдасоднойсторонылежит7точек,асдругой8,вэтомслучаепрямаяпересечет7•8=56отрезков—этонаибольшееколичествоотрезков,котороепересечетискомаяпрямая.





Неполныйбалл–повторитьэлементыгеометрии,которыеизвестныдетям.Провестипрактическуюработупотеме«точки,прямые,отрезки».Повторитьилипройтитему«началакомбинаторики»,разобрать«правилоумножения»и«правилосложения»прирешениикомбинаторныхзадач.

Всегозавторойтуролимпиадыученикмогнабратьмаксимум35баллов,азавсюолимпиаду77баллов.

5 класс вариантolimpiada2x2.ru/uploads/autumn/5_class.pdf · 2016-07-15 ·...

Documents