5 3 extremos condicionados vv
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Introducción al Cálculo Infinitesimal.
I.T.I. de SISTEMAS.
Funciones reales de varias variables reales.-
5.3.- Extremos condicionados: Problema general.-
Consideramos una función ( )f ,x y tal que sus puntos han de cumplir la condición
≤ ≤ ≤ ≤ ( )g ,x y 0 y nos emplearemos en determinar los puntos que hacen que ( )f ,x y sea
máximo o mínimo sometidos a tal condición.
Este problema nos plantea el cálculo de los valores extremos de z = f (x,y) (punto a mayor y
menor altura de una superficie) , tales que cumplan: ≤ ( )g ,x y 0, que es un recinto cerrado
extraido del dominio de f.
El ejercicio lo vamos a resolver en dos etapas:
1º) Estudio del INTERIOR del recinto: g(x,y) < 0.
2º) Estudio de la FRONTERA del recinto: g (x,y) = 0.
Para llevar a cabo el estudio del INTERIOR, procederemos en primer lugar a calcular los
puntos críticos y someteremos al criterio del Hessiano exclusivamente aquellos puntos
situados exactamente en el interior del recinto. De esa forma obtendremos los máximos y
mínimos que en él hay.
Para analizar la FRONTERA, procedemos a buscar los valores extremos de f(x,y) con la
condición g(x,y)=0 , bien por sustitución, bien por los Multiplicadores de Lagrange.
Una vez conocidos los valores extremos que tiene f en la región o recinto ≤ g 0 , buscamos el Page 1
mayor de los máximos que será el máximo absoluto y el menor de los mínimos que será el
mínimo absoluto. Los extremos del interior que no alcancen a ser absolutos, quedan como
extremos relativos.
No olvidemos que si f es una función acotada en el cerrado ≤ g 0, necesariamente ha de
haber al menos un valor máximo absoluto y otro mñnimo absoluto.
Hagamos un ejemplo.
EJEMPLO 1.
Consideramos la función = = = = ( )f ,x y − − − − + + + + + + + + 2 x2
y y2
5 y buscaremos sus extremos en una
región de su dominio, por ejemplo en un círculo de centro el origen de coordenadas y
radio una unidad: ≤ ≤ ≤ ≤ + + + + x2
y2
1.
Como f es una función continua en un dominio cerrado y acotado, tenemos la seguridad de
que alcanzará en él valores máximo y mínimo absolutos.
Introducimos los datos: ( )f ,x y y la frontera ( )g ,x y = + − x2
y2
1.
> f:=(x,y)->2*x^2-y+y^2+5;
g:=(x,y)->x^2+y^2-1;
:= f → ( ),x y − + + 2 x2
y y2
5
:= g → ( ),x y + − x2
y2
1
Hacemos el dibujo de la función f y le añadimos la región del dominio donde queremos
optimizarla, en este caso es un círculo de centro el origen y radio unidad.
>
Page 2
Para ver la parte de la superficie que hemos de analizar, procedemos a levantar el cilindro
proyectante de la región sobre la superficie y nos mostrará la frontera que provoca, una curva
en el espacio donde, además de en el interior de la región, puede alcanzar ( )f ,x y sus
extremos.
>
Page 3
Le quitamos la superficie para ver mejor la frontera, una curva en el espacio.
>
Curva frontera.Page 4
>
Ahora el interior, un trozo de la superficie.
>
Page 5
Por fin ambas juntas, interior y frontera.
>
Hagámoslo:
1º) Estudiamos el interior del dominio.
Calculamos sus puntos críticos y tenemos cuidado de tomar sólo los que se encuentren,
estrictamente, en el interior.
> fx:=D[1](f);
fy:=D[2](f);
solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0},{x,y});
:= fx → ( ),x y 4 x
:= fy → ( ),x y − + 1 2 y
{ }, = y1
2 = x 0
El punto efectivamente está en ≤ ≤ ≤ ≤ + + + + x2
y2
1.
> 0^2+(1/2)^2<1;
< 1
41
> Puntos_criticos:=[0,1/2];
:= Puntos_criticos
,0
1
2Page 6
> print(`DERIVADAS SEGUNDAS`);
fxx:=D[1](fx);fxy:=D[1](fy); fyx:=D[2](fx); fyy:=D[2](fy);
FXX:=fxx(0,1/2);
FXY:=fxy(0,1/2):FYX:=fyx(0,1/2):FYY:=fyy(0,1/2):
HESSIANO:=FXX*FYY-2*FXY;
DERIVADAS SEGUNDAS
:= fxx 4
:= fxy 0
:= fyx 0
:= fyy 2
:= FXX 4
:= HESSIANO 8
A la vista de que el Hessiano es positivo y fxx también, tenemos un mínimo.
2º) Estudiamos la frontera del dominio.
Aquí es donde aplicamos el proceso de optimización por el Método de Lagrange.
> F:=(x,y)->f(x,y)+lambda*g(x,y);
:= F → ( ),x y + ( )f ,x y λ ( )g ,x y
>
:= Eq1 = + 4 x 2 λ x 0
:= Eq2 = − + + 1 2 y 2 λ y 0
:= Eq3 = + − x2
y2
1 0
Sol { }, , = x 0 = y 1 = λ-1
2{ }, , = λ
-3
2 = y -1 = x 0 { }, , = y
-1
2 = λ -2 = x
1
23, , ,{ :=
{ }, , = y-1
2 = λ -2 = x −
1
23 }
Entresacamos los puntos; es decir los valores del par (x,y). ( λ no interesa).
>
:= P , , ,[ ],0 1 [ ],0 -1
,
1
23
-1
2
,−
1
23
-1
2
>
:= Puntos_C , , , ,[ ],0 1 [ ],0 -1
,
1
23
-1
2
,−
1
23
-1
2
,0
1
2
>
Page 7
Puntos a estudiar | Valor de f |
[0, 1] | 5 |
[0, -1] | 7 |
[1/2*3^(1/2), -1/2] | 29/4 |
[-1/2*3^(1/2), -1/2] | 29/4 |
[0, 1/2] | 19/4 |
>
:= Puntos_opt
, ,
, ,0
1
2
19
4
, ,
1
23
-1
2
29
4
, ,−
1
23
-1
2
29
4
Tiene mínimo absoluto en el interior interior [ ,01
2] con valor f =
29
4 y dos máximos en
la frontera [ ,1 3
2−
1
2] y [ ,−
1 3
2−
1
2] ambos con valor f =
29
4 .
Por último los representamos.
>
EJEMPLO 2.
Determinar los extremos tanto absolutos como relativos de la función f(x,y) =
− − − − + + + + x
3
3y x
2 y2
2 en la región de su dominio limitada por ; ; ; ≤ ≤ ≤ ≤ 0 x ≤ ≤ ≤ ≤ 0 y ≤ ≤ ≤ ≤ x 1 ≤ ≤ ≤ ≤ y 2 .
>
> f:=(x,y)->x^3/3+y^2/2-x^2*y;
Page 8
:= f → ( ),x y + − 1
3x
31
2y
2x
2y
Representamos la superficie en la región dada.
> plot3d([x,y,f(x,y)],x=0..1,y=0..2,axes=framed,orientation=[3
5,65]);
Representamos la región para estudiar el interior.
> plot([[0,0],[0,2],[1,2],[1,0]],x=-0.1..1.3,y=-0.1..2.3,scali
ng=constrained);
Page 9
1º) Estudiamos el interior de la región.
- calculamos sus puntos críticos y tenemos cuidado de que se encuentren, estrictamente, en el
interior.
>
:= fx → ( ),x y − x2
2 x y
:= fy → ( ),x y − y x2
, ,{ }, = y 0 = x 0 { }, = y 0 = x 0 { }, = x1
2 = y
1
4
De los puntos obtenidos , sólo el ( ,1
4
1
2) está en el interior.
>
:= Puntos_criticos
,
1
4
1
2
DERIVADAS SEGUNDAS
:= fxx → ( ),x y − 2 x 2 y
:= fxy → ( ),x y −2 x
:= fyx → ( ),x y −2 x
:= fyy 1
Page 10
:= FXX-1
2
:= HESSIANO1
2
>
:= f_punto_critico19
192
.09895833333
Se trata de un máximo con el valor que aparece arriba..
2º) Estudiamos la frontera de la región.
- Para ello, iremos determinando los tramos de la frontera:
1º) = x 0 con ≤ 0 y ≤ ? 2 ; 2º) = x 1 con ≤ 0 ? ≤ y 2; 3º) = y 0 con ≤ 0 ? ≤ x 1 ;4º) = y 2 con
≤ 0 ? ≤ x 1
Analicemos la cara 1.
>
:= cara11
2y
2
Page 11
:= dercara1 y
:= ceros_der 0
:= f1_de_cero 0
:= f1_de_dos_ 2
La cara 2
>
:= cara2 + − 1
3
1
2y
2y
:= dercara2 − y 1
:= ceros_der 1
:= f2_de_cero1
3
:= f2_de_uno-1
6
:= f2_de_dos_1
3
La cara 3
>
Page 12
:= cara31
3x
3
:= dercara3 x2
:= ceros_der ,0 0
:= f3_de_cero 0
:= f3_de_uno1
3
La cara 4.
>
Page 13
:= cara4 + − 1
3x
32 2 x
2
:= dercara4 − x2
4 x
:= ceros_der ,0 4
:= f4_de_cero 2
:= f4_de_uno1
3
>
Page 14
Ya por fin elegir los valores extremos:
>
:= Maximo 2
:= Minimo-1
6
RESUMEN:
Máximo absoluto en ( 0,2) , Mínimo absoluto en ( 1,2) y máximo relativo en ( ,1
4
1
2).
EJEMPLO 3.
Determinar los extremos tanto absolutos como relativos de la función f(x,y) = − x2
y2en la
región de su dominio limitada por
≤ − − x y 1 0 , ≤ 0 + x 1 , ≤ + − x y 1 0.
> restart:with(plots):
> f:=(x,y)->x^2-y^2;
:= f → ( ),x y − x2
y2
> print("SUPERFICIE"); Page 15
plot3d([x,y,f(x,y)],x=-2..2,y=-2..2,axes=framed);
print("REGION");
inequal({x-y-1<=0,x+1>=0,x+y-1<=0},x=-1.3..1.3,y=-2.3..2.3);
"SUPERFICIE"
"REGION"
Page 16
Estudio del interior.
>
:= fx → ( ),x y 2 x
:= fy → ( ),x y −2 y
{ }, = x 0 = y 0
>
DERIVADAS SEGUNDAS
:= fxx 2
:= fxy 0
:= fyx 0
:= fyy -2
:= FXX 2
:= HESSIANO -4
El punto (0,0) es un PUNTO de SILLA.
Frontera.
Cara = x −1 con ≤ −2 y , ≤ y 2.
>
Page 17
:= cara1 − 1 y2
:= dercara1 −2 y
:= ceros_der 0
>
:= f1_de_menos_uno -3
:= f1_de_cero 1
:= f1_de_dos_ -3
Cara − − x y 1 = 0 <=> = y − x 1 con ≤ −1 x, ≤ x 1.
>
Page 18
:= cara2 − x2
( ) − x 12
− 2 x 1
:= dercara2 0
:= ceros_der y
>
:= f2_de_menos_dos -3
:= f2_de_dos -3
Cara + − x y 1=0 con ≤ −2 y, ≤ y 2.
>
Page 19
:= cara3 − ( )− + y 12
y2
− + 2 y 1
:= dercara3 -2
:= ceros_der
>
:= f3_de_menos_uno -3
:= f3_de_uno -3
>
Page 20
CONCLUSIONES: Máximos absolutos en ( 1,0) y (-1,0) y mínimos absolutos en (-1,2) y
(-1,-2), además de un punto de silla en (0,0).
Ejercicios.
1.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) = + − − + x3
y3
3 x 12 y 20 ,
en el recinto limitado por: ≤ 0 x ; ≤ 0 y ; ≤ + x y 3.
2.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) = + − x3
y3
27 ( ) + x y , en el
recinto limitado por : ≤ 0 y; ≤ + x y 8; ≤ − y x 8.
3.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) =
+ − − x2
2 y2
2 x y 2 ( ) − x 13 , sobre la región plana definida por: ≤ 0 x; ≤ x 2; ≤ 0 y ; ≤ y 1.
4.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) = + − + + x2
y2
x y x y ,
sobre la región limitada por ≤ x 0 ; ≤ y 0 ; ≤ −3 + x y.
5.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) = − + y3
3 y x2
3 y , sobre
la región plana definida por: ≤ −2 x; ≤ x 2; ≤ −1 y ; ≤ y 1
6.- Calcular los extremos tanto absolutos como relativos de
= z + + − + + 3 x2
3 y2
2 x y 8 x 8 y 4 ; sobre la región del primer cuadrante definida por
≤ + x2
y2
4.
7.- Tenemos una piscina rectangular de 4 metros de larga por 2 de ancha. Si fijamos un
sistema de coodenadas en uno de sus vértices, la profundidad la mide la función h(x,y)= Page 21
x
1
3y
1
3 donde (x,y) son las coordenadas de cada punto. Qué profundidad máxima tiene la
piscina y en qué punto la alcanza.
8.- El pirata Ciber tiene su base en una isla de diseño cuyo contorno está dado por: ≤ −2 x ;
≤ x 2; ≤ −3 y; ≤ y 1 y su altura sobre el nivel del mar la proporciona la función h(x,y)=
+ − + + 4 2 x3
6 x 3 y2
y3 donde x e y son las coordenadas de cada punto. Se pide:
1º) Punto más alto del interior de la isla donde tiene su campamento. Punto más bajo del
interior donde tiene las mazmorras y los puntos de silla donde esconde sus tesoros.
2º) Puntos más altos del acantilado, donde sitúa la vigilancia y puntos a nivel del mar, donde
desembarca.
FIN
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