5. control pid clásicohistóricamente, ya las primeras estructuras de control usaban las ideas del...

5. Control PID Clásico

Virginia MazzoneIACI - DCYT - UNQ

Panorama:

Estructura PID

Ajuste empírico

Método de oscilación de Ziegler-Nichols

Métodos basados en la respuesta al escalón (curva de reacción)

Compensadores en atraso-adelanto

PLCs

Virginia MazzoneIACI - DCYT - UNQ 5. Control PID Clásico

Introducción

En este capítulo examinamos una particular estructura decontrol que es casi universalmente utilizada en la industria. Setrata de la familia de controladores de estructura fija llamadafamilia de controladores PID.

Estos controladores han mostrado ser robustos yextremadamente beneficiosos en el control de muchasaplicaciones de importancia en la industria.

PID significaProporcional,IntegralDerivativo.


Introducción

Históricamente, ya las primeras estructuras de control usabanlas ideas del control PID. Sin embargo, no fue hasta el trabajode Minorsky de 1922, sobre conducción de barcos,1 que elcontrol PID cobró verdadera importancia teórica.

Hoy en día, a pesar de la abundancia de sofisticadasherramientas y métodos avanzados de control, el 1controladorPID es aún el más ampliamente utilizado en la industriamoderna, controlando más del 95% de los procesosindustriales en lazo cerrado.2

1Minorsky, «Directional stability of automatically steered bodies», Journalof the American Society of Naval Engineering, Vol. 34, p. 284, 1922.

2K.J. Åström & T.H. Hägglund, «New tuning methods for PID controllers,»Proceedings of the 3rd European Control Conference, p.2456–62.


Estructura PID

Consideramos el lazo básico de control SISO

� ��h h--

6

- -+

−K (s) Planta

R(s) E(s) U(s) Y (s)

P: acción de control proporcional, da una salida delcontrolador que es proporcional al error, es decir,u(t) = KP e(t), o

Kp(s) = Kp

donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Uncontrolador proporcional puede controlar cualquier plantaestable, pero posee desempeño limitado y error enrégimen permanente (off-set).


Estructura PID

I: acción de control integral: da una salida delcontrolador que es proporcional al error acumulado, lo queimplica que es un modo de controlar lento.

u(t) = Ki

∫ t

0e(τ)dτ Ki(s) =

Ki

s

La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cerocuando la señal de error e(t) es cero. Por lo que seconcluye que dada una referencia constante, operturbaciones, el error en régimen permanente es cero.


Estructura PID

PI: acción de control proporcional-integral, se definemediante

u(t) = Kpe(t)+Kp

Ti

∫ t

0e(τ)dτ KPI(s) = Kp

(1+

1Tis

)donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta laacción integral.Con un control proporcional, es necesario que exista errorpara tener una acción de control distinta de cero. Conacción integral, un error pequeño positivo siempre nosdará una acción de control creciente, y si fuera negativo laseñal de control será decreciente. Este razonamientosencillo nos muestra que el error en régimen permanenteserá siempre cero.


Estructura PID

PD: acción de control proporcional-derivativa, sedefine mediante

u(t) = Kpe(t)+KpTdde(t)

dtKPD(s) = Kp +sKpTd

donde Td es una constante de denominada tiempoderivativo. Esta acción tiene carácter de previsión, lo quehace más rápida la acción de control, aunque tiene ladesventaja importante que amplifica las señales de ruido ypuede provocar saturación en el actuador. La acción decontrol derivativa nunca se utiliza por sí sola, debido a quesólo es eficaz durante períodos transitorios.


Estructura del PID

PID: acción de control proporcional-integral-derivativa,esta acción combinada reune las ventajas de cada una delas tres acciones de control individuales. La ecuación deun controlador con esta acción combinada se obtienemediante

u(t) = Kpe(t)+Kp

Ti

∫ t

0e(τ)dτ +KpTd

de(t)dt

y su función transferencia resulta

KPID(s) = Kp

(1+

1Tis

+Tds)


Ajuste empírico de controladores PID

Debido a su difundido uso en la práctica, presentamos acontinuación varios métodos de ajuste empírico decontroladores PID, basados en mediciones realizadas sobre laplanta real. Estos métodos, referidos como clásicos,comenzaron a usarse alrededor de 1950.

Hoy en día, es preferible para el diseñador de un PID usartécnicas basadas en modelo, como las que describiremos enlos Capítulos 6 y 10 del presente curso.

Los métodos clásicos de ajuste que presentaremos sonEl método de oscilación de Ziegler-NicholsEl método de la curva de reacción de Ziegler-NicholsEl método de la curva de reacción de Cohen-Coon



Este método es válido sólo para plantas estables a lazoabierto. El procedimiento es el siguiente:

R(s)

−Kp Planta

U(s) Y (s)

1 Aplicar a la planta sólo control proporcional con gananciaKp pequeña.

2 Aumentar el valor de Kp hasta que el lazo comience aoscilar. La oscilación debe ser lineal y debe detectarse enla salida del controlador (u(t)).

3 Registrar la ganancia crítica Kp = Kc y el período deoscilación Pc de u(t), a la salida del controlador.

4 Ajustar los parámetros del controlador PID de acuerdo alCuadro ??.



Kp Tr Td

P 0,50Kc

PI 0,45KcPc

1,2

PID 0,60KcPc

2Pc

8

Es importante saber cuál es la estructura (estándar, serie oparalelo) del PID al que se aplica el ajuste propuesto porZiegler y Nichols. Existe cierta controversia respecto a cuál fuela estructura originalmente usada por Ziegler y Nichols; lasreglas dadas aquí se proponen para la estructura estándar.


Desempeño con el método de oscilación de Z-N

Notar que el modelo intrínsecamente obtenido en elexperimento es sólo un punto de la respuesta en frecuencia,que corresponde a fase −180◦ y magnitud K−1

c , dado que eldiagrama de Nyquist cruza el punto (−1,0) cuando Kp = Kc .

Para analizar el efecto del ajuste de control proporcionado porel método de oscilación de Ziegler-Nichols consideremos unaplanta general con función transferencia

G0(s) =k0e−sτ0

γ0s+1; γ0 > 0. (1)

La Figura 1 muestra la respuesta del lazo cerrado con uncontrolador PID ajustado mediante el método de oscilación deZiegler-Nichols para distintos valores de x = τ0/γ0. El eje detiempos se representa normalizado en unidades de t/τ0.


Figura: Respuesta a lazo cerrado de la planta (1) con PID ajustadomediante el método de oscilación de Ziegler-Nichols

Vemos que el ajuste es muy sensible al cociente τ0/γ0. Otralimitación es que se require forzar en la planta una oscilaciónque puede ser peligrosa o inconveniente en muchos casos.


Ejemplo

Considerar el modelo de una planta dado por:

G0(s) =1

(s+1)3

Determinar los parámetros de un controlador PID utilizando elmétodo de oscilación de Z-N. Obtener un gráfico de larespuesta a una entrada escalón unitario y a una perturbaciónde entrada escalón unitario.Solución: Primero debemos calcular la ganancia crítica Kc yla frecuencia crítica ωc . Dichos valores deben satisfacer

KcG0(jω0) =−1 ⇔ Kc =−(jωc +1)3,

de donde obtenemos Kc = 8 y ωc =√

3. El período crítico esentonces Pc =

2π

ωc' 3,63. Utilizando la tabla obtenemos:

Kp = 0,6Kc = 4,8; Ti = 0,5Pc = 1,81; Td = 0,25Pc = 0,45


Ejemplo

De esta forma la función transferencia a lazo abierto resulta:

G0(s)K (s) = KpTds2 +s+ 1

Ti

s(s+1)3 =2,16s2 +4,8s+2,652

s(s+1)3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

Controlador PID ajustado con Z−N (método de oscilación)

Tiempo [s]

Sal

ida

de la

pla

nta

Figura: Salida del sistema controlado con un PID, con referenciaescalón unitario en t = 0 y perturbación de entrada escalón unitarioen t = 10.


Método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols

Muchas plantas en la práctica pueden describirsesatisfactoriamente con un modelo de la forma (1). Este modelopuede obtenerse mediante el siguiente procedimiento:

1 Llevar manualmente la planta a lazo abierto a un punto deoperación normal manipulando u(t). Supongamos que laplanta se estabiliza en y(t) = y0 para u(t) = u0.

2 En un instante inicial t0 aplicar un cambio escalón en laentrada, de u0 a u∞ (el salto debe estar entre un 10 a 20%del valor nominal.

3 Registrar la respuesta de la salida hasta que se estabiliceen el nuevo punto de operación. La Figura 3 muestra unacurva típica.

4 Calcular los parámetros del modelo (1) de las fórmulas

k0 =y∞−y0

u∞−u0, τ0 = t1− t0, γ0 = t2− t1. (2)


Método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols

y0

y(t)y∞

t[s]

Máxima pendiente tangente

t0 t1 t2

Figura: Respuesta al escalón (curva de reacción) en lazo abierto dela planta


Los parámetros del controlador PID propuestos por Ziegler yNichols a partir de la curva de reacción se determinan delCuadro 1.

Kp Tr Td

Pγ0

K0τ0

PI0,9γ0

K0τ03τ0

PID1,2γ0

K0τ02τ0 0,5τ0

Cuadro: Parámetros de controladores PID según el método de lacurva de reacción de Ziegler-Nichols


Desempeño con el método de la CR de Z-N

Consideramos nuevamente la planta genérica (1) para analizarel desempeño obtenido con el ajuste de Ziegler-Nichols a partirde la curva de reacción.

Figura: Respuesta a lazo cerrado de la planta (1) con PID ajustadode la curva de reacción vía Ziegler-Nichols


Método de la curva de reacción de Cohen-Coon

La Figura 4 muestra que el ajuste de Ziegler y Nichols para lacurva de reacción es muy sensible a variaciones de τ/γ0.Cohen y Coon desarrollaron una tabla modificada para mejoraresta limitación usando datos del mismo ensayo.

Kp Tr Td

Pγ0

K0τ0

(1+

τ0

3γ0

)PI

γ0

K0τ0

(0,9+

τ0

12γ0

)τ0(30γ0 +3τ0)

9γ0 +20τ0

PIDγ0

K0τ0

(43+

τ0

4γ0

)τ0(32γ0 +6τ0)

13γ0 +8τ0

4τ0γ0

11γ0 +2τ0

Cuadro: Parámetros de controladores PID según el método de lacurva de reacción de Cohen-Coon


Desempeño con el método de la CR de C-C

La Figura 5 muestra la respuesta de lazo cerrado con el ajusteCohen-Coon. Aunque aún es sensible a x = τ/γ0, la respuestaes mucho más homogénea que con el ajuste Ziegler-Nichols.

Figura: Respuesta a lazo cerrado de la planta (1) con PID ajustadode la curva de reacción vía Cohen-Coon


Ejemplo

Consigeremos la planta del ejemplo anterior G(s) =1

(s+1)3 ,

obtenemos la respuesta al escalón y los parámetros

t0 = 0 u0 = 0 y0 = 0

t1 = 0,86 u∞ = 1 y∞ = 1

t2 = 4,6

k0 = 1 τ0 = 0,86 γ0 = 3,74

Z-N C-CKp = 3,91 Kp = 6,04Ti = 1,72 Ti = 1,93Td = 0,43 Td = 0,30


Ejemplo

Respuesta al escalón a lazo cerrado


Modificaciones de los esquemas de control PID

En los sistemas de control básicos vistos hasta ahora, si laentrada de referencia es un escalón, debido a la presencia deltérmino derivativo en la acción de control, la variablemanipulada u(t) contendrá una función impulso (una delta). Enun controlador PID real, en lugar del término derivativo TDsemplearemos:

TdsτDs+1

(3)

donde τD, denominada constante de tiempo derivativa,normalmente es elegida tal que 0,1≤ τD ≤ 0,2. Cuanto máspequeña es τD, mejor es la aproximación entre el término“derivativo filtrado” de (3) y el ”derivativo” Tds, es decir soniguales en el límite


Modificaciones de los esquemas de control PID

Es decir

l«ımτd→0

uPID(t) = Kpe(t)+Kp

Ti

∫ t

t0e(τ)dτ +KpTd

de(t)dt

Con la inclusión de un polo evitamos utilizar acciones decontrol grandes en respuesta a errores de control de altafrecuencia, tales como errores inducidos por cambios deset-point (referencia) o mediciones de ruido. El argumentoclásico por el cual se elige τD 6= 0 es, además de asegurar uncontrolador propio, para atenuar ruido de alta frecuencia. Casitodos los controladores industriales PID definen a τD como unafracción fija de Td , en lugar de tomarlo como un parámetroindependiente de diseño.


Ejemplo

Analicemos nuevamente el Ejemplo, pero tomando ahora comofunción transferencia del controlador PID a

KPID(s) = Kp

(1+

1Tis

+Tds

τDs+1

)(4)

Por lo que la función transferencia a lazo abierta resulta ser

Go(s)C(s) =Kp(Td + τD)s2 +(1+ τD

Ti)s+ 1

Ti

s(τDs+1)Go(s)

Con el mismo desarrollo anteriormente explicado obtenemoslos mismos parámetros del PID aplicando el método deoscilación de Z-N. Tomando a τD = 0,1 y Td = 0,045, la funcióntransferencia a lazo abierto resulta

Go(s)C(s) =52,8s2 +109,32s+58,93

s(s+22,2)(s+1)3


Discretización de PID

Discretización de Euler

Recordemos que e(kT ), ek , de esta forma

��

��

��

��

��

��

��

��

��

e(t)

t

ekek−1

· · ·

T

1 2 k −10 k

de(t)dt≈ ek −ek−1

Ty

∫ t

0e(τ)dτ ≈

k−1

∑i=0

T ei

De esta forma la expresión del PID discreto queda:

uk = Kp

[ek +

TTi

k−1

∑i=0

ei +Td

T(ek −ek−1)

]



Para evitar guardar k −1 valores del error, calculamos

uk−1 = Kp

[ek−1 +

TTi

k−2

∑i=0

ei +Td

T(ek−1−ek−2)

]si restamosuk−uk−1 =Kp (ek −ek−1)+

KpTTi

ek−1+KpTd

T(ek −2ek−1 +ek−2)

por lo tanto

uk =

(Kp +

KpTd

T

)︸︷︷︸

q0

ek +

(KpTTi−Kp−2

KpTd

T

)︸︷︷︸

q1

ek−1 +KpTd

T︸︷︷︸q2

ek−2 +uk−1

Así

KPID(z) =U(z)E(z)

=q0 +q1z−1 +q2z−2

1−z−1



Bilineal o Tustin:Comsideremos la aproximación de la integral

∫ t

0e(τ) dτ ≈

k

∑i=0

Tei −ei−1

2

��

��

��

��

��

��

��

��

��

e(t)

t

ekek−1

· · ·

T

1 2 k −10 k

De esta forma resulta

uk =

(Kp +

Kp

2Ti+

KpTdT

)︸︷︷︸

q0

ek +

(KpT2T1

−2KpTd

T−Kp

)︸︷︷︸

q1

ek−1+KpTd

T︸︷︷︸q2

ek−2+uk−1

KPID(Z ) =U(z)E(z)

=q0 +q1z−1 +q2z−2

1−z−1


Ejemplo

Consideremos la planta cuyo modelo nominal viene dado por

G0(s) =1

s+1e−0,1s

Utilizando el ajuste de Z-N, con k0 = 1, τ0 = 0,1 y γ0 = 1obtenemos

Kp = 12 Ti = 0,2 Td = 0,05

Considerando T1 = 0,1 seg. y T2 = 0,05 seg., los controladoresdiscretizados resultan

Aprox. Euler Aprox. Tustin

K1(z) =18−18z−1 +6z−2

1−z−1 K1(z) =48−21z−1 +6z−2

1−z−1

K2(z) =24−33z−1 +12−2

1−z−1 K2(z) =54−34,5z−1 +12−2

1−z−1


Compensadores en Atraso-Adelanto

Una idea muy cercana a la del control PID es la decompensación en atraso-adelanto. La función transferenciade estos compensadores es de la forma

K (s) =τ1s+1τ2s+1

.

-e6

σ

jω

0x

τ2−1 τ1

−1

Si τ1 > τ2 el compensador esuna red de adelanto.

-

6

σ

jω

0e x

τ1−1 τ2

−1

Si τ1 < τ2 el compensador esuna red de atraso.



Las redes de atraso y adelanto permiten modificarlocalmente la respuesta en frecuencia de la planta,respectivamente agregando o restando fase, dentro delrango de frecuencias comprendido entre el cero y el polodel compensador.El compensador final en un diseño dado podía construirsecomo la cascada de varias redes de atraso o adelanto. Deesta forma el diseño se subdividía en etapas, en cada unade las cuales se modificaban porciones específicas de larespuesta en frecuencia de la planta.Estos compensadores eran muy fácilmente ajustados enforma gráfica utilizando los diagramas de Bode o Nyquist.



La red de adelanto aumenta la fase del sistema dentro de unrango limitado de frecuencias.

−3

10−2

10−1

100

101

102

103

10

0

2

4

6

8

10

12

14

.

Magnitud

Hz

db

−3

10−2

10−1

100

101

102

103

10

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

.

Fase

Hz

degrees

Diagrama de Bode de una red de adelanto.Virginia MazzoneIACI - DCYT - UNQ 5. Control PID Clásico


La red de atraso disminuye la fase del sistema dentro de unrango limitado de frecuencias.

−3

10−2

10−1

100

101

102

103

10

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

.

Magnitud

Hz

db

−3

10−2

10−1

100

101

102

103

10

323

327

331

335

339

343

347

351

355

359

363

. Hz

degreesFase

Diagrama de Bode de una red de atraso.Virginia MazzoneIACI - DCYT - UNQ 5. Control PID Clásico


Re

Im

Compensado

Sin Compensar

−1 0

Magnitud

Fase

Sin compensar

Compensado

−90

−180

−270

0dB

Efecto de compensación por adelanto en una planta de tipoG0(s) = 1

s(α1s+1)(α2s+1) en diagrama de Nyquist (izquierda) yBode (derecha).


PLCs (Controladores de Lógica Programable)

Los PLCs son una forma muy habitual de implementar controladoresPID en la industria.

Un PLC es, en pocas palabras, unaPC dedicada con puertos de entraday salida para comunicarse con el pro-ceso a controlar. Contiene una CPU,memoria, y circuitos de entrada y sali-da.

Históricamente, los PLCs surgieron a fines de los años 1960s parareemplazar complicados sistemas de control basados en relés.Bedford Associates propuso a una fábrica de automóviles algollamado MODICON (Modular Digital Controller — controlador digitalmodular), que luego daría lugar al primer PLC comercial, elMODICON 084.


PLCs (Controladores de Lógica Programable)

Un PLC funciona ejecutando un programa en un ciclo deoperación continuo. Este ciclo de operación consiste,esencialmente, de 3 pasos importantes:

1 Muestrear los circuitos de entrada,2 Ejecutar un programa,3 Actualizar los circuitos de salida.

Un controlador como un PID se implementa en un algoritmoparte del programa del PLC, y está generalmente disponiblecomo parte de una librería de algoritmos. La forma del PIDimplementada depende de la marca y modelo de PLC.Algunas de estas marcas:

ABB

Festo/BeckElectronic

Honeywell

Modicon/Gould

Rockwell/Allen-

Bradley

Schneider

Siemens


Ejemplo: bloque PID en el PLC-5 de Allen-BradleyTiene 4 formas disponibles:

1 PID con acción derivativa en la salida, forma estándar

u = Kc

([1+

1Tis

]e+

[Td s

1+ Td16 s

]y

)+bias

2 PID con acción derivativa en el error, forma estándar

u = Kc

([1+

1Tis

]+

[Td s

1+ Td16 s

])e+bias

3 Variación de 1, forma paralela

u =

[Kp +

Ki

s

]e+

Kd s

1+ Kd16Kp

s

y +bias

4 Variación de 2, forma paralela

u =

Kp +Ki

s+

Kd s

1+ Kd16Kp

s

e+bias


Más sobre PLCs. . .

Para mayor información sobre PLCs ver por ejemplohttp://www.plcs.net

http://www.plcopen.org

En IACI, los PLCs se estudian en profundidad enLaboratorio de Automatización I y II,

ambas fuertemente recomendadas!


http://www.plcs.net

http://www.plcopen.org

5. control pid clásicohistóricamente, ya las primeras estructuras de control usaban las ideas del...

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