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5. Die Maxwell'schen Gleichungen5.1. Der Verschiebungsstrom
bisher:rotE = 0 divD =
rotH = j divB = 0
Die Kontinuitätsgleichung (Ladungserhaltung) fordert:
divj = 0
Wenn aber rotH = j dann muss gelten = 0 ,
da div rot0
H = divj .
Es fehlt offensichtlich ein Term, der diesen Widerspruch korrigiert.
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Postulat: rotH = j D
div rotH = divj div D = 0
divj = 0
Bedeutung:
D = 0EP erzeugt ein Magnetfeld
D = VerschiebungsstromdichterotH = Stromdichte + Verschiebungsstromdichte
d Pd t
: wird durch Ladungsträgerbewegung verursacht,
d Ed t
: ist ein neuer Effekt (wesentlich für Wechselstrom).
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Magnet wird an Spule heran bewegt-> Induktion einer Spannung
= ∫Fläche derRingspule
B⋅d f
d
d t=∮E⋅d r
Änderung des Flusses erzeugt elektrisches Feld
Richtung von E ist durch die Lenz'sche Regel (entgegen der Ursache) gegeben.j = σ E da eine Spannung in einem Leiter einen Strom verursacht
j erzeugt Magnetfeld Hs
Hs und HM sind entgegengesetzt gerichtet―> Abstoßung
5.2. Das Faraday'sche Induktionsgesetz
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Um Strom zu erzeugen, muss Arbeit geleistet werden.
∮E⋅d r ist positiv (festgelegt durch Skizze)ddt =
ddt∫B⋅d f negativ
∮E⋅d r =d
d t= −
ddt∫B⋅d f
U r 1 − U r 2 =−∫r1
r2
E⋅d r
Induzierter Strom verursacht Spannungfrüher: Spannung verursacht Strom
Faraday`sches Induktionsgesetz
induzierte Spannung hat anderes Vorzeichen als früher
U i =∮E⋅d r =
Grund:
22. September 1791 Newington Butts † 25. August 1867 bei Hampton Court
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Anwendung des Stokes'schen Satzes
∮E⋅d r =∫ rotE ⋅d f =−ddt∫
B⋅d f
Die differenzielle Form besitzt nicht die vollständige Information.Zeitliche Änderungen von B verursachen einen Wirbel von E, aber auch die Fläche kann zeitlich veränderlich sein.
ddt∫
B⋅d f
Stromerzeugung (Dynamo, Generator)1866/7 technische Realisierung durch Siemens
rotE =−B
rotE =−B
Experimenteller Befund:
ist richtig (Generator)
wäre nicht ausreichend, aus∫ B df ist dies nicht zu sehen.
Ernst Werner von Siemens 13. Dezember 1816 in Lenthe bei Hannover; † 6. Dezember 1892 in Berlin
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5.3. Das System der Maxwell'schen Gleichungen
rotH = j D divD=
Statik: alle Zeitableitungen Null, j = 0Stationäre Ströme: alle Zeitableitungen Null, j ≠ 0
D = 0E P E D = E
B = µ0H M H Näherungen B = µH
j = j E j =E
Kontinuitäts-Gleichung folgt direkt aus den Maxwell'schen Gleihungen:
rotH = j D div j = 0
Kraft: Lorentz-Kraft
F = qE qv×B
Materialgleichungen:
rotE =−B divB = 0
Achtung:Den Inhalt dieser Seite sollten Sie zur Prüfung wissen. Er ist absolut notwendig (aber nicht hinreichend).
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●Die Maxwell'schen Gleichungen wurden zwischen 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. ●
●Sie beschreiben in einer geschlossenen Form die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie deren Wechselwirkung und bilden die theoretische Grundlage der Elektrodynamik und der Elektrotechnik. ●Die Maxwell'schen Gleichungen beinhalten:● das Ampère'sche Gesetz,● das Faraday'sche Gesetz● das Gauß'sche Gesetz
Das Zusammenfassen dieser Gesetze in eine einheitliche Theorie und die Erkenntnis der Notwendigkeit des Maxwell'schen Verschiebungsstromes aus theoretischen Überlegungen stellt eine der herausragendsten Leistungen dar.1931, zum hundertsten Jahrestag von Maxwells Geburt, beschrieb Einstein das Werk Maxwells als „das Tiefste und Fruchtbarste, das die Physik seit Newton entdeckt hat“.
James Clerk Maxwell13. Juni 1831 in Edinburgh † 5. November 1879 in Cambridge
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5.4. Energie(erhaltungs)satz
Subtraktion der Gleichungen
Maxwell'sche Gleichungen
E⋅rotH −H⋅rotE = j⋅E E⋅D H⋅B
Es gilt:
−div E×H = E⋅rotH −H⋅rotE
−div E×H = j⋅EJoule'sche Wärme
E⋅D H⋅B
Falls D = ε E und B = µ H(falls nicht: siehe Landau/Lifschitz: Elektrodynamik der Kontinua VIII)
rotH = j D ∣ ⋅E SkalarproduktrotE =−B ∣ ⋅H
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−div E×H = E⋅E µH⋅H
elektromagnetische Energiedichte:
w = wel wmag =12E⋅D
12H⋅B
w div E×H =− Energiesatz der Elektrodynamik
−div E×H =
2ddt
E⋅E µ2
ddt
H⋅H
= 12
ddt
E⋅D 12
ddt
H⋅B
da ddt
H⋅H = H⋅H H⋅H = 2H⋅H
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Definition: Poynting-Vektor
S = E×H
Für Nichtleiter σ = 0 -> ν = 0
w divS = 0
Die Energiedichte kann sich nur ändern, wenn ein Energiestromes fliesst.—> Poynting-Vektor = Energiestromdichte in Richtung des Energieflusses
ν ≠ 0 Elektromagnetische Energie kann in Wärme umgewandelt werden Damit existiert kein Erhaltungssatz für elektromagnetische Energie.
Energieerhaltungssatz
In isotropen optischen Medien ist der Poynting-Vektor parallel zum Wellenvektor. In anisotropen optischen Medien, zum Beispiel in doppelbrechenden Kristallen, gilt dies im allgemeinen nicht.
(Der Poynting-Vektor beschreibt 3 der 10 unabhängigen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitätstheorie.)
John Henry Poynting9. September 1852 in Monton † 30. März 1914 in Birmingham
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5.5. Die Wellengleichung
●Radiowellen -> Licht -> Röntgen -> Gamma-Strahlung sind elektromagnetische Wellen●
●Voraussetzungen für die Herleitung der Wellengleichung:● µ, ε sind zeitliche und räumliche skalare Konstanten● ρ = 0 keine freien Ladungen● σ = 0 keine Leiter (nicht leitfähig)
aus Maxwell: D = E , B = µH
rotH = E divE = 0
rotE =−µ H divH = 0
E = µ∂
2 E
∂ t 2=
1
c2
∂2E
∂ t2
1
c2= µ
- eine der Gleichungen mit rot nehmen und rot rot bilden
rot rotE =−µ rot H =−µE
E = grad divE0
− rot rotE
Lichtgeschwindigkeit in Medien mit ε, µ}
Vakuum c1c2= 0 µ0
Wellengleichung
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Lösung einer linearen, partiellen Differenzialgleichung;allgemeine Lösung ist eine ebene Welle
E r ,t = E0 ei k⋅r− t ReE : physikalisch sinnvoll
E0 selbst kann komplex sein: E0x =∣E 0
x∣⋅ei x , E0y =∣E 0
y∣⋅ei y , E0z =∣E0
z∣⋅ei z
∣E 0x∣= Re E 0
x2 Im E0x2
Damit gilt ausführlich Re E
E z r , t =∣E 0z∣cosk⋅r− t z
E x r , t =∣E 0x∣cosk⋅r− tx
E y r ,t =∣E0y∣cosk⋅r− t y
E = µ∂
2 E∂ t 2
=1c2
∂2E∂ t2
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Überprüfen unseres Lösungsansatzes: E = E0 ei k⋅r− t
E = ∇2E =−k 2E
Damit folgt für unsere Wellengleichung
E =1
c2E
∂∂ tE =−iE ∂
∂ xE =i k x
E
∇⋅E = i k⋅E
k 2−2
c2 E = 0
−k 2E =1c2-2E
Wir suchen eine nichttriviale Lösung mit E ≠ 0
k 2=
2
c2 = c∣k∣ für beliebige Vektoren k ,E0
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Bedeutung von ω:
Der Kosinus ist eine periodische Funktion, die Periode ist τ:
= 2 f =1
Frequenz
Kreisfrequenz ω: =2
= 2 f
Re E xz. B. x-Komponente
E x r , t =∣E 0x∣cosk⋅r− tx
Bedeutung von k:
Wir wählen ein
cosk x x− tx
Die Wellenlänge λ ergibt sich aus kx λ = 2 π
k x=2
falls k in x-Richtung
k = k x ,0 ,0
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Allgemein gilt:∣k∣= k =
2
= c k ⇒ 2 f = c2
Warum wird die obige Lösung ebene Welle genannt?
f = c
Für konstante Zeit t: k gegeben
k⋅r = const.
Ebenengleichung
ist ein konstanter Vektor auf der Ebene, der in Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt.
e =kk
1 lineare Gleichung für x, y, z
E = E0 ei k⋅r− t
Ebene Wellen
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t = beliebig: E ist konstant auf einer Ebene, die sich mit Geschwindigkeit c in Richtung k bewegt.
k⋅r = k⋅r 0= t
unendlich ausgedehnterLichtstrahl
k r0= t r 0=
kt = c t
da r0∥ k
Eine ebene Welle ist eine Welle, deren Wellenfronten Ebenen konstanter Amplitude sind,die sich geradlinig ausbreiten.
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Durch Überlagerung von ebenen Wellen lassen sich beliebige andere Wellen darstellen. Die Superposition ist möglich, da die Maxwell'schen Gleichungen lineare DGL sind, so dass die Summe von Lösungen wieder eine Lösung ist.
E r ,t =∫E0 k ei k⋅r− t d3k
E0(k) ist die Amplitude, welche von Richtung und Frequenz abhängen kann.
Welchen Charakter (transversal oder longitudinal) haben die Wellen?Es gilt immer noch ε = skalar = const. und ρ = 0.
Ebene Wellen sind transversale Wellen, das elektrische Feld schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
divE =∇⋅E = i k⋅E = 0
Allgemeine Lösung:
k⋅E = 0 E ⊥ zur Ausbreitungsrichtung
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● Röntgen hielt seine Strahlen noch für longitudinales Licht.● Falls ε ein Tensor anisotropes Medium (nicht kubischer Einkristall) Wellen haben longitudinale Anteile —> Doppelbrechung● ρ ≠ 0 (z. B. Ionosphäre)
--> longitudinale Schwingungen --> „Plasma-Schwingungen“
k E = 0 i. Allg. k nicht senkrecht zu E
div E = i k⋅E =
Wellen werden charakterisiert durch:● Amplituden: |E0
x|, |E0y|, |E0
z|
Nur zwei sind unabhängig, da , in Ausbreitungsrichtung ist die Amplitude Null.● Wellenlänge λ und Frequenz f● 2 Phasen● Polarisation (linear, zirkular, elliptisch)
Bemerkungen
E⋅k = 0
Wilhelm Conrad Röntgen 27. März 1845 in Lennep (heute Stadtteil von Remscheid) † 10. Februar 1923 in MünchenNobelpreis Physik 1901
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E = E0xe x E0
ye y
feste Richtung von E (Polarisations-Richtung)
tan =∣E 0
y∣
∣E 0x∣
E y=∣E0y∣cosk⋅r− t
E x=∣E 0x∣cosk⋅r−t
xE0
x
Phasen αx = αy
Polarisation elektromagnetischer Wellen
a) linear polarisiert mit k || z
E x r , t =∣E 0x∣cosk⋅r− tx
E y r , t =∣E0y∣cosk⋅r− t y
yE0y
E = ∣E0x∣ex∣E0
y∣ e y orts- und zeitunabhängig
cos k⋅r− t
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b) zirkular (Phasen αx – αy = ± π/2)
E = E cosk x− t e x∓sin k z−t
E-Vektor durchläuft einen Kreis vom Radius E mit Winkelgeschwindigkeit ω in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
c) elliptisch: beliebige Phasendifferenz,
∣E 0x∣ ≠ ∣E 0
x∣
∣E 0x∣=∣E 0
y∣= E
für fester Raumpunkt = Parameter-Darstellung
=−
2Kreis =
2x
Blickrichtungim pos. z
k ausEheu
zk
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Wie sieht das H-Feld aus?
rot E=−µ H
rot H=E
rot rot H= rot E=−µH
rot rot H=grad div H0
− H
H=µ∂2 H
∂ t2=
1
c2
∂2 H
∂ t 2
mit der ebenen Welle als Lösung
H r ,t = H 0 ei k⋅r− t mit =c∣k∣
wegen div H=0 k⋅H=0 H⊥k Ausbreitungsrichtung
Zusammenhang zwischen E und H:
rot E=−µH i k×E=i µ H
H=1µ
k×E ⇒ H⊥k und H ⊥ E
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Für den Betrag von |H| gilt damit:
∣H∣=∣k∣∣E∣µ
=∣E∣µc=∣E∣µ
µ= µ∣E∣
Für die Energiestromdichte erhalten wir:
S=E× H=E× k×Eµ = 1µ
E×k×E
Es gilt: A×B×C =B A⋅C −C A⋅B
S=1µ
[k E 2 −E k⋅E 0
]=kµ
E2=
kµ
e E 2=
1c µE 2e
E 2 heißt hier Re E ⋅Re E
E⋅D=E D= µ H µ H=µH 2=H B=H⋅B
⇒wel=wmag=12
w w=12 E⋅D H⋅B
S=e1
µ cE⋅D=e c E⋅D = e cw
Elektromagnetische Energie strömt mit Lichtgeschwindigkeit in Ausbreitungs-richtung der Welle.
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Definition: Brechungsindex n
c=1
=
1
rr
1
00
=cvakn
n=rr
Meta-materialien = Material mit negativem Brechungindex1964 sagte der sowjetische Physiker Victor Veselago die Existenz von Materialien mit negativen Brechzahlen voraus. Würde die Herstellung eines solchen Materials gelingen, könnte man damit Linsen herstellen, deren Auflösungsvermögen weit besser wäre als das von Linsen aus gewöhnlichen optischen Werkstoffen.
Forschern um Srinivas Sridhar von der Northeastern University in Boston gelang es, einen Verbundwerkstoff herzustellen, der ein feines Gitter aus Metalldrähten enthält, das für Mikrowellen eine negative Brechzahl zeigt.
Im Oktober 2003 hat eine Gruppe um Yong Zhang in Colorado entdeckt, dass Kristalle aus einer Legierung von Yttrium, Vanadium und Sauerstoff eine negative Brechzahl für Lichtwellen eines großen Frequenzbereichs aufweisen. Der Kristall besteht aus zwei ineinander geschachtelten Kristallgittern mit symmetrischen optischen Achsen. Die negative Lichtbrechung tritt aber nur in einem gewissen Winkelbereich des Einfallswinkels auf.
Der Brechungsindex n ist das Verhältnis zwischen der Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum und seiner Geschwindigkeit c im jeweiligen Medium.
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Ein halb in Wasser getauchter Bleistift erscheint geknickt, weil der Brechungsindex von Wasser höher ist als der von Luft.
In einem negativ brechenden Medium wird der Bleistift scheinbar komplett aus dem Medium heraus geknickt.
Wenn Licht von einem Medium mit niedrigem Brechungsindex n in eines mit höherem Index übergeht, wird es zur Normalen hin gebrochen.
Wenn Licht von einem Medium mit positivem Brechungsindex in eines mit negativem Index übergeht, wird es komplett zurück zu derselben Seite der Normalen gebrochen.
Ein Objekt, das sich in einem Medium mit positivem Index vom Beobachter entfernt, erscheint infolge des Doppler-Effektes röter.
In einem Medium mit negativem Index erscheint ein sich entfernendes Objekt blauer.
Eigenschaften von normalen und negativ brechenden Medien
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Ein geladenes Objekt, das sich in einem positiv brechenden Medium schneller als die darin geltende Lichtgeschwindigkeit bewegt, erzeugt einen Kegel aus Cerenkov-Strahlung in Vorwärtsrichtung.
In einem negativ brechenden Medium weist der Kegel rückwärts.
In einem Medium mit positivem Index wandern die Berge und Täler eines elektromag-netischen Pulses in dieselbe Richtung wie der gesamte Puls und die Energie.
In einem negativ brechenden Medium wandern die Einzel-schwingungen entgegengesetzt zum Gesamtpuls und zur Energie.
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Ein elektrisches Feld (grün) erzeugt eine geradlinige Bewegung der Elektronen (rot).
Ein Magnetfeld (violette Pfeile) induziert eine kreisförmige Bewegung der Elektronen.
normales Material
Geradlinige Ströme (rote Pfeile) fließen in parallel angeordneten Drähten
Kreisförmige Ströme fließen in Spaltringresonatoren; diese können auch quadratisch sein.
Metamaterial Realisierung eines Metamaterial
Die Drähte und Resonatoren müssen kleiner als die Wellenlänge der elektro-magnetischen Strahlung sein.
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Eine rechteckige Platte aus Material mit negativem Brechungsindex wirkt als Superlinse. Das von dem Objekt (links) ausgehende Licht (blaue Linien) wird an der Oberfläche der Linse gebrochen und vereinigt sich innerhalb der Platte zu einem spiegelverkehrten Bild. Beim Austritt aus der Platte wird das Licht erneut gebrochen und erzeugt ein zweites Bild (rechts). Bei einigen Metamaterialien enthält das Bild sogar Details, die kleiner sind als die verwendete Wellenlänge.
Anwendungen von Materialien mit negativem Brechnungsindex
Superlinse Tarnkappe (für Mikrowellen)
Vor kurzem gelang die Realisierung einer (2D) Tarnkappe für Mikrowellen. Das Objekt ist für MW einer bestimmten Frequenz unsichtbar. Ähnliches wurde auch schon für rotes Licht durch ein gitterartiges Material aus Silber erreicht, das mit Löchern von 100 nm einen Brechungsindex von -0,6 bei 780 nm Wellenlänge besitzt.
„Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies“, D. Schurig et al., Science (2006): 314, 977 - 980
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Ändert sich beim Durchgang zu einem anderen Medium die Wellenlänge λ oder die Frequenz f?
Die Frequenz bleibt konstant, da E ~ eiωt. Um die Randbedingungen für alle Zeiten t zu erfüllen, muss deswegen gelten ωinnen = ωaußen.--> λ ändert sich, da w=ck gilt erhalten wir
cvak k vak=c k (im Stoff z.B. Glas)k =nk vak
=vakn
Wellenlänge wird kürzer, n > 1
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●Widerstandstypen:● Ohmscher Widerstand● Wechselstromwiderstände (Kapazitäten, Induktivitäten, Impedanz)● Wellenwiderstand bei Hohlleitern (wichtig für Anpassung damit es nicht zu Reflexionen kommt, z.B. Netzwerke 50 Ω)
Der Wellenwiderstand charakterisiert, wie sich eine Welle in einem Medium fortpflanzt. Bildlich entspricht dies der Härte oder Weichheit, die das Medium der sich ausbreitenden Welle entgegensetzt.
k×E=µ Hk E=µH
EH=µ
k=µc=
µ
µ= µ
Def. Wellenwiderstand: Z=EH= µ
Vakuum: Z 0= µ0
0
=377
Aus dem Zusammenhang zwischen E und H erhalten wir:
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5.6. Wellen in Materie (mit Absorption): Telegrafengleichung
E= E0ei k⋅r− t
E x=E0xcosk⋅r− tx
●Da die Energiedichte proportional zum Quadrat der elektrischen Feldstärke ist, muss sich die Amplitude ändern, wenn Absorption auftritt. ●Welche Voraussetzung bei der Herleitung der Wellengleichung ändert sich in Materie?● µ, ε konstante Skalare● ρ = 0 auch erfüllt● σ = 0 ist nicht erfüllt. Wichtig ist die Frequenzabhängigkeit, entscheidend ist die Leitfähigkeit bei der Frequenz der sich ausbreitenden Welle, so kann σ(ω=0) = 0, aber σ(ωLicht) ≠ 0.
rot E=−B
rot H= EE
rot rot E=−µ rot H=−µ EE da rot rot=grad div−
E=1
c2
∂2 E
∂ t 2µ
∂ E∂ t
Telegrafen-Gleichung
Bisher hatten wir ebene Wellen als Lösung der Wellengleichung.
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Analogie aus der Mechanik:Die erste Zeitableitung gibt eine Geschwindigkeit, Reibungskräfte sind proportional zur Geschwindigkeit. Reibung = Dämpfung einer Bewegung
∂E∂ t
Absorption
Die Telegrafengleichung ist nicht mehr Zeit invariant, d.h. die Symmetrie (t -> – t) ist zerstört. Absorption ist ein irreversibler Prozess.
E r , t = E 0ei k⋅r− t
∂ E∂ t
~ −i E∂ E∂ x
~ i k xE E−k 2 E
Einsetzen des Ansatzes gibt eine Bedingung, wann der Ansatz eine Lösung ist:
−k 2 E=−2
c2E−iµ E
E=1
c2
∂2 E
∂ t 2µ
∂ E∂ t
Die Lösung der Telegrafengleichung wird wieder durch einen ebenen Wellen Ansatz gesucht.
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Damit erhalten wir rein formal einen komplexen Wellenvektor k. Anstatt eines komplexen k, führen wir einen komplexen Brechungsindex ñ ein.
k = k vak n
n=ni
E = E0ei e⋅r k vak n− t
= E0e−e⋅r k vak
Amplitude
e i e⋅r k vak n− t
Nur die nichttriviale Lösung mit E ≠ 0 ist von Interesse:
k 2=
2
c2 i µ
k =2
c2 i µ=i
Um die Ausbreitungrichtung der Welle zu bezeichnen führen wir einen Einheitsvektor e in Ausbreitungsrichtung ein.
Die Amplitude nimmt mit exponentiell mit der Ausbreitung (wachsendes r) ab.Die Absorption bewirkt also eine gedämpfte Schwingung.
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≠0 j= E v=j⋅E.
Der Imaginärteil des komplexen Brechungsindex steht für die Absorption (kvakκ) und kann als Absorptionskoeffizient α interpretiert werden.(Im Allgemeinen ist der Absorptionskoeffizient = 2 kvakκ, da die Intensität proportional zum Betrag des Poyntingvektors |S| ist.)
Die Ursache der Dämpfung liegt in der Leitfähigkeit.
Es fließt ein Strom bei bei der Frequenz der elektromagnetischen Welle. Der Stromfluss ist immer mit Joule'scher Wärme verbunden.Die Umwandlung von elektromagnetischer Energie in Wärme zeigt sich in der exponentiell kleiner werdenden Amplitude der Schwingung.
Wenn ein Material bestimmte Frequenzen absorbiert, ist es in diesem Bereich immer leitfähig für einen Wechselstrom mit diesen Frequenzen.
z.B. Glasfilter: grünes Glas - absorbiert rotes Licht und ist in diesemFrequenzbereich auch leitfähig.
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n =1
2 r µrr2µr22 µr
2
202
für0 nr µr
=1
2 −r µrr2µr22 µr
2
20
2
für0 =0
● Wurzel einer komplexen Zahl ist mehrdeutig, gewählt wird die Lösung für die ● σ = 0 für ω -> 0 ist.● n(ω) heißt Dispersion, starke Abhängigkeit von σ(ω), ε(ω) und eventuell µr(ω).
Die Absorption ist also direkt mit dem komplexen Brechungindex verbunden. Dieser kann auch direkt aus der Dielektrizitätskonstante abgeleitet werden. Damit wird die elektromagnetische Wechselwirkung direkt mit einer Materialeigenschaft in Beziehung gesetzt.
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Historisches: Warum eigentlich Telegrafengleichung?
Wilhelm Weber und Carl Friedrich Gauß führten 1833 Versuche mit einem elektromagnetischen Telegrafen durch. Im selben Jahr gelang ihnen die erste telegrafische Nachrichtenübertragung vom Physikgebäude in der Göttinger Innenstadt zur Göttinger Sternwarte. Zur Nachrichtenübertragung dienen positive oder negative Spannungspulse, die durch gezieltes Umpolen und Auf- und Abbewegen einer Induktionsspule erzeugt werden. Der entscheidende Durchbruch kam 1837 mit dem von Samuel Morse konstruierten und 1844 verbesserten Schreibtelegrafen.Mit der Verlegung von Seekabeln wurde 1839 begonnen. Nach mehreren Fehlschlägen wurde die erste Verbindung zwischen Europa und Nordamerika 1857/58 eingerichtet.
Wilhelm Weber24. Oktober 1804 in Wittenberg† 23. Juni 1891 in Göttingen
Johann Carl Friedrich Gauß30. April 1777 in Braunschweig† 23. Februar 1855 in Göttingen
Samuel Finley Breese Morse27. April 1791 in Charlestown† 2. April 1872 in New York
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5.7. Strahlung eines schwingenden Dipoles
Ebene Wellen kommen aus ∞ und gehen nach ∞. Was ist ihre Ursache? Wie enstehen elektromagnetische Wellen?Es sind Quellen notwendig: Antenne, Lichtquelle
Für Quellen gilt: ≠0 wegen divj=0 j≠0
Die Quelle soll sich in Koordinatenursprung bei r = 0 befinden.Außerdem soll wie bisher gelten:
rot H= E
div H=0
rot E=−µHdiv E=0
Damit gilt die Wellengleichung ohne Absorption.
Hertz hat einen Trick gefunden, wie man eine Lösung für findet, um dann auf im Ursprung zurück zuschließen(Insofern genial, da andere Wege meist nur auf die Fernfelder weit weg von der Antenne kommen.)
E und H
und j
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Hertzscher HilfsvektorZ : H=rot Z
r≠0 : rot rot Z=E
E=1
rot rot Zzeitlich konstantes Feld
Annahme: für eine ungeladene Antenne (ρ = 0) sei das zeitlich konstantes Feld ≡ 0
E=1
rot rot Z=1[grad div Z−Z ]
Aus den Maxwellschen Gleichungen und dem Hertzschen Hilfsvektor erhalten wir
rot E =− H =− rot Z = rot −µ Zgrad
E=−µ Zgrad
mit beliebigem φ, da rot grad φ ≡ 0.
1
grad div Z−1 Z=−Zgrad
Heinrich Rudolf Hertz 22. Februar 1857 in Hamburg† 1. Januar 1894 in Bonn
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nun wird φ so gewählt, dass gilt 1
grad div Z=grad
Z= µ Z=1
c2Z
Man löse nun diese Gleichung für Z und berechne H und E aus
H=rot Z E=−µ Z1
grad div Z
Eine Lösung wäre natürlich: Z= Z 0ei k⋅r− t ,
aber diese Lösung erlaubt keinen Rückschluss auf j in der Quelle.
Kugelwellen als Ansatz von Hertz: Z r , t = Z 0ei t−k r
r
Kugelwellen sind Lösung, falls ω = ck. Die Amplitude von Z (nicht E oder H) ist konstant, falls
t=k r rt=
k= c
Die Amplitude ist konstant auf einer Kugel, deren Radius mit Lichtgeschwindigkeit wächst.
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Beweis: In Kugelkoordinaten gilt:
=∂
2
∂ r2
2r∂∂ rWinkelableitungen
Die Winkelableitungen spielen keine Rolle, da unser Ansatz Z nicht von Winkeln abhängt.
∂∂ rZ=−
1rZ
1r−ik Z 0 e
i t−kr =−1rik Z∂
2
∂ r 2Z=
1
r2Z
1r
1rik Zik 1rik Z = 1
r 2Z1rik
2
Z
⇒Z=1
r2Z1rik
2
Z−2r 1rik Z=[ 1rik−
2r ]1rik Z= 1
r2Zik 2 Z−
1
r2Z=−k 2 Z
Damit erhalten wir:Z=−k2 Z
1
c2Z=−2
c2Z
Z=1
c2Z ist erfüllt, falls =ck
Z r , t = Z 0ei t−k r
r
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Berechnung von H: H=rot Z=i rot Z
Es gilt:
H= −i Z 0×grad1rei t−k r
= −i Z 0×[−rr3 ei t−kr
1r
grad ei t−kr ]Für den Term mit grad ei(ω t - k r) gilt:
∂∂ x
ei t−k r =ei t−k r
−ik ∂ x2 y2z2
∂ x=−ik ei t−k r 1
22x
x2 y2z 2=−ikr
ei t−k r x
grad ei t−k r ~r
Z r , t = Z 0ei t−k r
rrot V= rot V−V×grad
r= x2 y2z2
H=i0Z 0×[ rr3
i k r
r 2 ]ei t−k r =i0Z0×[ rr 3
i r
r3
r 2 ]e i t−k r
Erstes Glied wichtig für r < λ: Nahfeld, NahzoneZweites Glied wichtig für r > λ: Fernfeld, Fernzone
Damit erhalten wir für das Magnetfeld:
155
1. Nahzone: Um auf j in der Antenne zu schließen: r0 e−ikr=e
−i2
r
≈e0≈1
und nur erstes Glied für H: H=i Z 0 ×r
r3e i t
wenn wir ein harmonisch veränderliches Z0 einführen Z 0t = Z0e
i t
H=i Z 0t ×r
r3= Z 0t ×
r
r3
Nahzone ist nicht nur r < λ, sondern auch ω -> 0, da , d.h. wir suchen eine Lösung für niederfrequente Wechselströme, die obiges H liefern.
=2 c /
Erinnerung: Biot-Savart: Drahtstück dr' bei r' = 0 erzeugt ein Magnetfeld bei r.
d H r =I
4d r ' ×
r
r3 (sieht überraschend ähnlich aus!)
156
Jetzt kommen wir endlich zu einem Dipol:
Q−Q
d r ' p=Qd r 'mit Q t =Q0e
i t
p t =Qd r '=Q0ei t d r '
Ursache für zeitlich veränderliche Ladung in einem Volumen ist ein Strom der fließt Id r '=Q d r '=p t
Unsere Lösung entspricht einer mit Wechselstrom gespeisten Dipolantenne, falls
Z 0t =p t 4
bzw. Z 0=p
4Insgesamt gilt für das H-Feld:
H=ip0
4× [ rr3
ik
r2 r ]ei t−kr=i4
p0 ei t−kr × [ rr3
ik
r2 r ]pt = p0 e
i tp0e
i t−kr = p0e
it− kr =p t−
kr=p t−
rc
H=i
4p t− r
c × [ rr3ik
r2 r ]= 14p t− r
c × [ rr3ik
r2 r ]
157
2. Fernzone: ik=i1c~ ∂∂ t
1c nur zweites Glied
H r ,t =ik4p t−
rc ×
r
r2=
14 c
p t−rc ×
r
r2
H(t) wird verursacht durch einen Strom zu einem früheren Zeitpunkt Die Differenz zeigt Kausalität der Wellenausbreitung mit c.
t−rc
Berechnung von E:E=−µ Z
1
grad div Z
Z=p0
41re i t−kr
Als Übung für Ableitungen sehr zu empfehlen :-)
158
Als Lösung erhält man:
E=µ2 Z−1
4p0 [ 1
r3ik
r2 ]ei t−kr
−1
4 p0⋅r [−3
r
r3−2 ik
r
r 4 ]ei t−kr
−1
4 p0⋅r [ 1
r 3ik
r 2 ]− ik rr ei t−kr
Verschiedene Zonen:
Fernzone:
Mittelzone:
Nahzone:
k2
r~ 2
21r~
1r
k
r 2~
2
r 2~
1
r 2
~1
r3
d= Größe der Quelle
d≪≪r
d≪r~
d≪r≪
(für H war die Nahzone und Fernzone )~1
r 2~
1r
159
Im folgenden Teil wird nur die Fernzone diskutiert (Nah- und Mittelzone sind allerdings wichtig für Geophysik oder Nahfeldmikroskopie)
mit
Es gilt:
E r , t =µ2 Z−1
4
p0⋅r rr 3
k 2ei t−kr
k 2=
2
c2 =2 µ Z=
p0
4ei t−kr
r
E r ,t =
2 µ4
ei t−kr [ p0r⋅r
r 3 − p0⋅r r
r3 ]
r× p0×r = p0r⋅r −r r⋅p0
E r , t =µ2
4ei t−kr 1
r 3 [r× p0×r ]
160
Wie früher gilt: p t = p0 ei t p t−
rc= p0e
it−rc
= p0 ei t−kr
p t−rc=−2
p t−rc
Als Ergebnis für die Fernzone erhalten wir:
H r ,t =1
4 c p t− rc ×
r
r 2 E r , t =
41
r 3 r × r × p t−rc
Für elektromagnetische Wellen haben wir bereits einen Zusammenhang zwischen E und H hergeleitet.
E r ,t =µcH×rr=µc H×e
161
Nachfeld wird beeinflusst durch Ladungen und Ströme der Quelle. Die elektrischen Feldlinien bei der Quelle folgen den Schwingungen der Ladungen.
p t = p0 ei t
164
r⋅E=0r⋅H=0E⋅H=0} stehen senkrecht aufeinander
Winkelbeziehungen:
Für den Poynting-Vektor folgt:
S=E× H = c H×rr × H = c H⋅H rrA×B×C =B A⋅C −C A⋅B
∣S∣~
4
r2 sin2
S=
c1
162
r
r5 [ p t− rc×r ]
2
Die Energie verteilt sich auf immer größere Kugelflächen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.
p
165
Zusammenfassung● Elektromagnetische Wellen können durch eine Dipolantenne (schwingendes Ionenpaar = schwingender Dipol) erzeugt werden.● Die elektromagnetischen Felder nehmen für große Entfernungen mit 1/r ab. ● Die Ausbreitung der Wellen erfolgt mit Lichtgeschwindigkeit.● Längs der Dipolachse findet keine Abstrahlung ab, Maximum der Abstrahlung ist senkrecht zum Dipolmoment.
● H-Feld: Dipolmoment entlang der z-Achse, θ sei Winkel zur z-Achse - konzentrische Kreise um den Dipol - |H| wird mit sinθ schwächer (Null für θ=0,π)● E-Feld: tangential zu den Längenkreisen - Für θ=0,π ist E in der Fernzone Null, d.h. die Terme der Nah- und Mittelzone werden wichtig. Diese Terme sind die Ursache für das Abbiegen der elektrischen Feldlinien.
Magnetfelder sind mit den Wirbeln der elektrischen Felder und umgekehrt verknüpft.
http://www.mikomma.de/fh/eldy/hertz.html
166
Zusammenfassung● Eine Dipolantenne empfängt das elektrische Feld, Sender und Empfänger sollten parallel zueinander stehen,Das Magnetfeld kann über das Faraday'sche Induktionsgesetz genutzt werden (Ferritantenne, durch viele Wicklungen um einen Ferritkern kann die induzierte Spannung vergrößert werden.)Da die elektrische und magnetische Energiedichte gleich ist, sind diese Antennen gleichwertig.● Der Poyntingvektor gibt die Energieabstrahlcharakteristik. Die Energie verteil sich auf immer größere Kugelflächen, die sich mit c ausbreiten.
∣s∣~4
r 2sin2
Die Frequenzabhängigkeit in der 4. Potenz ist Ursache für die historische Entwicklung Langwelle -> Mittelwelle -> Kurzwelle -> UKW.
167
●Anwendungen/Bedeutung:●
● Atommodell● Röntgenbremsstrahlung● Synchrotronstrahlung = sehr breites,
kontinuierliches Spektrum vom infraroten über den sichtbaren Spektralbereich, ins ultraviolett bis tief in den Bereich der Röntgenstrahlung mit hoher Strahlungsintensität
Jede beschleunigte Ladung strahlt elektromagnetische Wellen ab.
Id r '=Q d r '=p t
Für eine Punktladung ρ=qδ(r-r0) ergibt sich:
I d r=∫j⋅d f d r=∫v⋅d V=∫qr−r0v⋅d V=qv=p t
pt = q v
168
● Freier-Elektronen-Laser (einer von 21 weltweit in 2006 ist in Rossendorf bei Dresden)
● Rayleigh-Streuung ist die Streuung elektromagnetischer Wellen an Teilchen, die klein im Vergleich zur Wellenlänge λ der Wellen sind. Der Streuquerschnitt ist proportional zur vierten Potenz der Frequenz.Blaues Licht wird stärker gestreut als rotes. Dieser Effekt ist für die blaue Farbe des Himmels bei hohem Sonnenstand, sowie für die rote Farbe bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang verantwortlich.