5. スペクトル解析 （Spectrum analysis）

• 5.1 フーリエ級数

Fourier series

• 5.2 フーリエ変換

Fourier

Transform

• 5.3 パワースペクトル

Power spectrum

• 5.4 離散データのフーリエ展開

For discrete time series

– ナイキスト周波数とエイリアジング

Nyquist

frequency and aliasing

• 5.5 スペクトルと相関関数

Spectrum and correlation function

• 5.6 スペクトルの推定法と推定誤差

• 5.6 クロススペクトルとコヒーレンシー

• 5.7 スペクトル解析の例

applications

5.1 フーリエ級数

Fourier series• 周期性を持った波は、どんなに複雑なもので

も、たくさんの単純な波の足し合わせででき ている。

→

単純な波に分解できる。

http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/report/katati/katati_5.htm

周波数1

周波数2

周波数3Sin 3

1

2

Cos

1

2

3

フーリエ級数による表現は、、、

各周波数ごとの波の振幅

周波数1 2 3

S

C

スペクトル

5.1 フーリエ級数

http://jc.maxwell.jp/physicalmath/fourier/index.html

例題）矩形波をフーリエ級数で表せ

-π π

n項目

1項目まで

3項目(n=5)まで

6項目(n=11)まで

緑が再現波形

GibbsGibbs現象現象関数の不連続点では短波長成分の寄与が顕著になる

第1項から第10項までの和

11項から100項までの和

塵も積もれば山（崖）となる、、、

Contribution from high-frequency termsとびだし

複素フーリエ級数

5.2 フーリエ変換・積分

C(f)

周期信号

非周期信号

連続 フーリエ級数展開

フーリエ変換

信号離散スペクトル

連続スペクトル

周期無限大

5.3 パワースペクトルpower spectrum

フーリエ変換フーリエ変換の強度

フーリエ逆変換

スペクトル！波に分解→それぞれの振幅

パワースペクトルpower spectrum

Power spectrum density

エネルギースペクトル

単位時間当たり

5.4 離散データのフーリエ級数展開Fourier transform for discrete data series

この間は関数が一定であるとして積分を置き換える

繰り返すものとして考える(端を「そろえる」必要)

⊿t

2⊿t

エイリアジング

aliasing

⊿tのサンプリングで表現できる最も短い波長は2⊿tナイキスト振動数（Nyquist

frequency）

fn = 1/ 2⊿tωn

=2πfn

=π/ ⊿t

t 0

エイリアジング

Nyquist

frequency

実際にはこのようなスペクトルが得られてしまう

1.5

エイリアジング周期

例題） T0=1.2の波をdT=1 でサンプルしたら？

潮汐成分の残ったデータを⊿t＝24hで読み取る場合、

2⊿t＝48h以下の周期

の信号はエイリアジングを起こす。

エイリアジング

aliasing

自己共分散関数

スペクトル

フーリエ変換

フーリエ逆変換

ウィーナーヒンチンの関係Wiener-Khinchin

relation

Auto-correlationfunction

spectrum

Fourier transform

5.5 スペクトルと相関関数

例題)白色雑音の相関関数とパワースペクトルは？

日野(1977)

生データ

Raw data

自己相関correlation

複素フーリエ成分Fourier component

スペクトルspectrum

Fast Fourier Transform : FFT(Cooley-Tukey法)

Blackman-Tukey法

Maximum Entropy Method : MEM「情報エントロピーを最大にするようにスペクトルを決定する」方法。ラグの大きいところでの自己相関関数の推定を、情報エントロピーを増加させないように逐次的に選ぶ。

スペクトルの推定法 Estimation of spectrum

相関法

直接法

直接法相関法MEM

松山・谷本（2005）

40－60ヶ月

自己共分散関数

スペクトル

フーリエ変換

スペクトルとクロススペクトルspectrum and cross-spectrum

相互相関関数

クロス・スペクトル

Auto-correlation spectrum

Cross-correlation cross-spectrum

スペクトルの誤差推定

スペクトル解析の実例

スペクトルの傾き

-5/3乗則

３次元乱流－3乗則

２次元乱流

スペクトル解析の実例

風に流れがどのように応答するか？

風

流れ

７日

流れcurrent

風wind

Current lagsthe wind by1-1.5 days

High coherence

まとめ

• 時系列は幾つかの波に分解できる。パワース ペクトルを計算することにより周期帯（周波 数帯）での変動の強弱を調べることができる。

• 不連続な変動を近似する場合、短波長成分が 顕著に現れる（Gibbs Effect）

• ナイキスト周波数より高周波の信号は折りた たみ効果により低周波スペクトルを汚染する。

（エイリアジング）

• 相関関数とパワースペクトルは等価である。