5 flujo (1)
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flujoTRANSCRIPT
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Modelado de Sistemas de Potencia
Flujo de carga en Sistemas de
Potencia.
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CONTENIDO:
• Conceptos básicos.
• Planteo del problema del flujo de carga.
• Solución del flujo de carga.
• Método de Newton Raphson para la resolución del flujo de carga.
• Método Desacoplado rápido.
•Método de Gauss-Seidel.
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PROPÓSITO DEL FLUJO DE CARGA:
Determinación de voltajes, intensidades y
potencias activas y reactivas en distintos puntos
de una red eléctrica.
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HIPÓTESIS DE TRABAJO:
Sistemas en régimen, equilibrados, sinusoidales,
sin anomalías.
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Importancia de los flujos de carga
• Permite determinar los flujos de potencia activa y reactiva en una red eléctrica.
• Permite determinar los voltajes en las barras de una red eléctrica.
• Permite calcular las pérdidas en una red eléctrica.
• Permite estudiar las alternativas para la planificación de nuevos sistemas o ampliación de los ya existentes.
• Permite evaluar los efectos de pérdidas temporales de generación o de circuitos de transmisión.
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Importancia de los flujos de carga
• Permite evaluar los efectos de reconfigurar los circuitos de un SEP (por ejemplo ante la pérdida de una línea de transmisión).
• Permite evaluar las mejoras que se producen ante el cambio en la sección de los conductores de un SEP.
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Conceptos básicosProblema del flujo de carga
Ejemplo: Problema de flujo de carga para una red eléctrica de dos barras:
Vs0º
Vs -dadojX
Vr ?
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)
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Conceptos básicosPotencia compleja
Potencia compleja constanteentregada a la carga.
Carga P & Qconstantes.
Q = P tan
V
II
VIVS ˆ
sencos jVIVIjQPS
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Conceptos básicosProblema de flujo de carga
Relación no lineal!r
rrrs
rs
V
jQPjXVV
IVS
IjXVV
ˆ
ˆ
Vs 0
jX
Vr ?
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)I
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Conceptos básicosProblema de flujo de carga
Solución Analítica: (posible solo para casos muy simples)
r
rrrs V
jQPjXVV
)(ˆ)( rrrrs jQPjXVVV
rrrrs XQjXPVjVV 2)sen(cos
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
sen
cos 2
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Conceptos básicosProblema de flujo de carga
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
sen
cos 2
2222222 )()()sen(cos rrrrs XPXQVVV
rrrrsrr VQPXVVXQV 0)()2( 222224
senX
VVP rs
r
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Conceptos básicosProblema de flujo de carga
0)()2( 222224 rrrsrr QPXVVXQV senX
VVP rs
r
Datos:
008779.0
9112.0
0008.092.0
0008.092.0
)(1.0
)(4.08.0
2
1
22
24
H
H
HHVH
VV
puX
pujjQP
r
rr
rr
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Posibles soluciones
Vr comentario
+0.9545 -4.807 buena
+0.0937 -58.93 mala
-0.9545 +4.807 mala
-0.0937 +58.93 mala
Número de soluciones posibles:
!22
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Un procedimiento iterativo (Gauss Seidel)
r
rrrs
V
jQPjXVV
ˆ
El algoritmo:
1. Fijar el índice de iteración i en 0.
2. Probar con un valor inicial para Vr(i) (módulo y fase - usualmente V=1 =0)
3.Calcular
4. Calcular nuevo
5. Calcular
6. Si el criterio de convergencia no es satisfecho, fijar i=i+1 e ir a 3.
)(ˆ iV
jQPjXVV
r
rrrs
)(ˆ 1iVr
)()1( iViV rr
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Cálculo de las potencias de entrada
Ps, Qs = ?
Vs 0
jX
Vr
G Ps, Qs = ?
Pr, Qr - dado
(carga)I
4878080
8074807495450
4080
..
).sen().cos(.
..
ˆˆ
jjQP
j
jjQP
V
jQPVIVjQP
ss
ss
r
rrssss
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Transporte de potencia activa(Qr=0)
Pr
Vs 0
jXVr
Ps,Qs
Pr Vr Ps Qs
0.5 0.999 -2.87 0.5 0.025
1 0.995 -5.77 1 0.1
1.6 0.987 -9.33 1.6 0.26
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Qr
Vs 0
jXVr
Ps,Qs
Transporte de potencia reactiva(Pr=0)
Qr Vr Ps Qs
0.5 0.947 0 0 0.53
1 0.887 0 0 1.127
1.6 0.8 0 0 2
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Control de potencia activa y reactiva
rrs
rrrs
XPVV
XQVVV
sen
cos 2
)(
sen
rsrs
r
rsr
X
VVP
X
VVP
)(
)cos(
rsr
r
rsr
r
VVX
VQ
VVX
VQ
La potencia activa depende en forma proporcional de la diferencia entrelos ángulos de fase de los voltajes de las barras.
La potencia reactiva depende en formaproporcional de la diferencia entre losmódulos de los voltajes de las barras.
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Ejercicio
Realizar el cálculo de flujo de carga para el sistema de dos barras:
Vs 0
R+jXVr ?
Ps,Qs=? Pr,Qr dados
Pr=0.5pu, Qr=0.3pu, R=0.01pu, X=0.1 pu
(Vr=0.9677 -2.99º)
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Flujo de carga para dos barras inter-conectadas mediante una
línea de transmisión.
Línea de transmisión de 110kV
V1 V2 = 110kV
20MW10MVar
P1,Q1=?
Long. de linea 1-2 Resistenciar’[/km]
Reactanciax’[/km]
SusceptanciaShuntb’ [S/km]
60km 0.200 0.430 2.60
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Modelo de línea de transmisión.
i kikik jXR
2sjB
2sjB
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Balance de Potencia.
ikik jXR
G+T L
2/sy 2/sy
1 2
1V 2V
1P
1Q
'1P
'1Q
'2P
'2Q2P2P
20Q20P10P10Q
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01888.012110156
21322..0121
8.25
099174.0121
12
6
b
b
b
ZBb
Z
Xx
Z
Rr
Parámetros de líneas de transmisión.
SLbB
LxX
LrR
1566062
82560430
126020
*.'*
.*.'*
*.'*
MVAS
kVV
b
b
100
110
121100
11022
b
bb S
VZ
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Cálculo de balance de Potencia.
2
2V
'2P
'2Q2P2P
20Q20P
Demanda de Carga
1.0
2.0
2
2
Q
P
09056.000944.01.0'
2.0'
944.0
00944.02
01888.01
2
2022
22
20
2220
QQQ
PP
MVArQ
bVQ
![Page 25: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/25.jpg)
Cálculo de caída de tensión.
0336630039140
099174009056021322020
213220090560099174020
2
22
2
2221
..
)....(
)....(
''''
jV
j
V
V
rQxPj
V
xQrPVVV
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Voltaje de entrada
º.
.
..
..
861
37114
0336630039141
033663003914001
1
1
21
V
j
jj
VVV
![Page 27: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/27.jpg)
Cálculo de las pérdidas en la línea
MVArjMWS
jS
j
jS
Z
V
Z
VVIVS
se
se
se
sese
sese
031480
0103000480
2132200991740
03366300391402
2
..ˆ
..ˆ
..
..ˆ
ˆˆ
ˆˆ
![Page 28: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/28.jpg)
Generación.
G+T
2/sy
1
1V
1P
1Q
'1P
'1Q
10P10Q
100860
20480
090560
20
0103000480
1
1
2
2
.'
.'
.'
.'
..
Q
P
Q
P
jS se
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Generación.
G+T
2/sy
1
1V
1P
1Q
'1P
'1Q
10P10Q
09065001020100860
20480
010202
01888003971
2
039710336630039141
1011
11
2110
11
...'
.'
..
.
...
QQQ
PP
bVQ
VjV
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Resumen del balance de potencia
ikik jXR
G+T L
2/sy 2/sy
1 2
1V 2V
1P
1Q
'1P
'1Q
'2P
'2Q2P2P
20Q20P10P10Q
09065.0
2048.0
1
1
Q
P
00944.0
0048.0
loss
loss
Q
P
1.0
2.0
2
2
Q
P
![Page 31: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/31.jpg)
Carga, generación y modelado de la red en análisis de flujo de
carga.
![Page 32: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/32.jpg)
Modelado de los componentes del sistema.
• Líneas de transmisión - circuito Pi
• Transformadores - impedancia
• Generadores - Potencia activa constante
con capacidad de control (limitado) de voltaje
del primario (P = cte, V= cte).
• Cargas - Potencia compleja constante (P =
cte, Q= cte).
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Línea de transmisión.
i kikik jXR
2sjB
2sjB
i kikY
2sjB
2sjB
![Page 34: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/34.jpg)
Generadores y Cargas.
•Generadores
Potencia Activa - inyección constante
Potencia reactiva - regulación de voltaje
•Demanda de carga
Inyección constante de potencia activa y reactiva
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Flujo de carga & Balance de potencia
Carga
i
1
k
n
giS
diS
iS
1iS
ikS
inS
![Page 36: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/36.jpg)
Análisis Voltaje - Corriente versus
Análisis voltaje - potencia.
Carga
i
1
k
n
giI
diI
iI
1iI
inI
nk
kikdigii IIII
1
![Page 37: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/37.jpg)
Análisis Voltaje - Corrientey la Matriz Ybus
Carga
i
1
k
n
giI
diI
iI1iI
inI
injbus
shunti
n
iikii
ikik
businj
nk
kikdigii
IYV
YYy
kiYy
VYI
IIII
1
1
1
,
Vtierra=0
Sistema de ecuaciones lineales
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Análisis Voltaje - Potencia
i
1
k
n
giS
diS
1iS
ikS
inS
G
Inyección en la red
nk
kikdigii SSSS
1
iii IVS ˆ
nk
kkiki
nk
kkikii VyVVyVS
11
ˆˆ*
Sistema de ecuacionesno lineales
![Page 39: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/39.jpg)
Forma de las ecuaciones de flujo de carga.
nk
kkikii VyVS
1
ˆˆ
Voltaje en forma polar Voltaje en forma rectangular
Admitancia en forma polar Admitancia en forma rectangular
ijii eVV
ikjikik eyy
imi
reii jVVV
ikikik jbgy
![Page 40: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/40.jpg)
Forma polar de las ecuaciones de flujo de carga
nk
kikikikikkii
nk
kikik
jkii
jbgjVVS
jbgeVVS ik
1
1
)()sen(cos
)(
El voltaje está expresado en coordenadas polares, mientras que la admitancia está expresada en coordenadas rectangulares.
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Balance de potencia activa y reactiva.
i
1
k
n
giQ
diQ
1iQ
ikQ
inQ
G
i
1
k
n
giP
diP
1iP
ikP
inP
G
nk
kikdigii PPPP
1
nk
kikdigii QQQQ
1
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Ecuaciones de flujo de carga
nk
kikikikikki
calci
nk
kikikikikki
calci
bgVVQ
bgVVP
1
1
)cossen(
)sencos(
i=1,2,3...n
calci
spi
calci
spi
PP
balance de pot. activa y reactiva
especificadofunciones de voltajescomplejos desconocidos
![Page 43: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/43.jpg)
calci
spi
calci
spi
PP
Ecuaciones de flujo de carga
digispi
digisp
i
QQQ
PPP
Si la potencia activa o reactiva para la barra i no es especificada, la ecuación de balance de energía no puede ser definida.
(si la barra i no tiene generación o carga, la potencia especificada es igual a cero.)
Potenciales variables desconocidas:
iiii VQP ,,,
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Tipos de barras
• Barras de carga (PQ):
• No hay generación
• Potencia activa y reactiva
especificada
• Barras de generación (PV):
• Voltaje constante y especificado
• Potencia activa especificada
dispi
dispi
PP
spii
digispi
VV
PPP
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Número de incógnitas y número de ecuaciones
• Hipótesis: Sistema de n barras
Ng - cantidad de barras de generación y voltaje controlado
Nd - cantidad de barras de carga
n = Ng + Nd
![Page 46: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/46.jpg)
• Para cada barra de generación tengo:
• una ecuación de balance de potencia activa
• el voltaje de la barra especificado
• Para cada barra de carga tengo:
• una ecuación de balance de potencia activa
• una ecuación de balance de potencia reactiva
calci
spi PP
Número de incógnitas y número de ecuaciones
spii VV
calci
spi PP
calci
spi QQ
![Page 47: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/47.jpg)
Número de incógnitas y número de ecuaciones
• Cuatro variables por cada barra: iiii VQP ,,,
ecuaciones dcalci
spi NQQ
ecuaciones nPP calci
spi
incógnitas V
incógnitas
i d
i
N
n
Las potencias reactivas Qi de las barras de generación pueden ser calculadas una vez determinados los voltajes de las barras (módulos y fases)
![Page 48: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/48.jpg)
Barra flotante
• ¿Es posible especificar la potencia activa inyectada por todos los generadores y la potencia activa consumida por las cargas en forma independiente?
digipérdidas PPP
Las pérdidas RI2 no son conocidas inicialmente
![Page 49: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/49.jpg)
Barra flotante
• Una barra del sistema puede realizar el balance de potencia activa demandada y potencia activa consumida (BARRA FLOTANTE)
• ¿Es este criterio razonable?
• La potencia activa se transmite “bien” a través del sistema
![Page 50: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/50.jpg)
Barra flotante
• ¿Cómo se realiza el balance de potencia reactiva en el sistema?
• ¿Es posible utilizar una única barra para realizar el balance de reactiva en el sistema?
• La potencia reactiva no se transmite “bien” a través del sistema (produce caídas de tensión importantes)
• Cada barra PV realiza el balance de reactiva en forma local
![Page 51: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/51.jpg)
Modelado de sistemas de potencia.
Resolviendo el problema de flujo
de carga.
![Page 52: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/52.jpg)
Ejercicio: Ecuaciones de flujo de carga.
• Formar Matriz Ybus del sistema.
• Determinar tipos de barras.
• Listar variables conocidas y desconocidas.
• Escribir las ecuaciones de flujo de carga.
12
3
P=0.5V=1
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
![Page 53: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/53.jpg)
Ybus.
945
41410
51015
jjj
jjj
jjj
jBGY
![Page 54: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/54.jpg)
Tipos de barras.
Barra 1: Flotante (V1 y 1 dados)
Barra 2: Barra PQ (V2 y 2
desconocidos)
2 ecuaciones - balance de
potencia activa y reactiva.
Barra 3: Barra PV - 3 desconocido
(V3 especificado)
1 ecuación: balance de
potencia activa.
1 2
3
P=0.5V=1
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
![Page 55: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/55.jpg)
Ecuaciones.
)cos(4cos10148.0
cos
)sen(4sen51
sen
)sen(4sen105.1
sen
3232122
2
12222
232313
13333
323212
12222
VVVV
bVVQ
VVV
bVVP
VVV
bVVP
nk
kkkk
nk
kkkk
nk
kkkk
![Page 56: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/56.jpg)
Métodos para resolver las ecuaciones de flujo de carga.
• Ecuaciones de flujo de carga:
Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales.
• Métodos:
Método de Gauss-Seidel.
Método de Newton-Raphson.
Algoritmo de desacoplado rápido de flujo de
carga.
![Page 57: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/57.jpg)
Método de Newton Raphson.Idea básica.
1 4 6
?,0)(
,045)( 2
xxf
xxxf 60 x
![Page 58: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/58.jpg)
Método de Newton - Raphson.Ejemplo
,045)( 2 xxxf 60 x
xxdx
xdffxf
xdx
xdf
xdx
xdfxfxxf
x
xx
rr
r
710)(
)6()6(
52)(
0)(
)()(
6
¿Qué tan buena es esta aproximación?
![Page 59: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/59.jpg)
Método de Newton Raphson.Ejemplo
08.449.157.4
49.014.4/04.2
014.404.2)(
)57.4()57.4(
57.443.16
43.17/10
0710)(
)6()6(
57.4
6
xxx
x
xxdx
xdffxf
xxx
x
xxdx
xdffxf
oldnew
x
oldnew
x
![Page 60: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/60.jpg)
Método de Newton Raphson.Ejemplo
0)4(
408.008.4
08.016.3/24.0
016.324.0)(
)08.4()08.4(08.4
f
xxx
x
xxdx
xdffxf
oldnew
x
![Page 61: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/61.jpg)
Método de Newton-Raphson.Ejemplo
,045)( 2 xxxf 60 x
000.4002.0004.306.0002.44
002.4077.0157.3242.0079.43
079.4492.0142.4039.2571.42
571.4429.1000.700.10000.61
)( 1
rr xxdx
dfxfxr
![Page 62: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/62.jpg)
Método de Newton-Raphson.Resumen
El caso de una dimensión:,045)( 2 xxxf 60 x
xxx
dx
xdfxfx
xdx
xdfxfxxf
rr
xx
r
xx
rr
r
r
1
1)(
)(
0)(
)()(
![Page 63: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/63.jpg)
Sistemas de ecuaciones no lineales.
f1,...fn, son funciones dadas, x1,...xn, son incógnitas.
Sistema general de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas.
0),...,(
.........
0),...,(
0),...,(
1
12
11
nn
n
n
xxf
xxf
xxf
nf
f
f
F...
2
1
nx
x
x
x...
2
1
0)( xF
![Page 64: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/64.jpg)
Método de Newton-Raphson
Aproximación lineal por Taylor:
nn
nnnn
nn
nn
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
)(....
)()()(
...............
)(....
)()()(
)(....
)()()(
11
21
1
222
11
1
111
![Page 65: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/65.jpg)
Método de Newton-Raphson
Supongamos que tomamos una estimación inicial de la solución x=xr
0)(
....)(
)()(
...............
0)(
....)(
)()(
0)(
....)(
)()(
11
21
1
222
11
1
111
n
xxn
n
xx
nrn
rn
n
xxnxx
rr
n
xxnxx
rr
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
xx
xfx
x
xfxfxxf
rr
rr
rr
![Page 66: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/66.jpg)
Método de Newton-Raphson
Estimación del error x:
0
...
0
0
...
)(......
)(............
)(...
)()(
)(...
)()(
)(
...
)(
)(
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
n
n
nn
n
n
rn
r
r
x
x
x
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xfx
xf
x
xf
x
xf
xf
xf
xf
![Page 67: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/67.jpg)
Método de Newton-Raphson
n
nn
n
n
r
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xfx
xf
x
xf
x
xf
xJ
)(......
)(............
)(...
)()(
)(...
)()(
)(
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)(
...
)(
)(
)( 2
1
rn
r
r
r
xf
xf
xf
xF
nx
x
x
x...
2
1
Matriz Jacobiana Vector de apartamiento
estimador lineal del error
![Page 68: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/68.jpg)
Método de Newton-Raphson
)(
...
)(
)(
)(......
)(............
)(...
)()(
)(...
)()(
...2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
rn
r
r
n
nn
n
n
n xf
xf
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xfx
xf
x
xf
x
xf
x
x
x
estimador lineal del error
![Page 69: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/69.jpg)
Método de Newton-Raphson
nrn
r
r
rn
r
r
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.........2
1
2
1
1
12
11
Estimador mejorado del valor supuesto inicialmente
![Page 70: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/70.jpg)
Método de Newton Raphson.Aplicación al flujo de carga del sistema
de potencia
Elegir las variables de estado (x):
(a) Para barras PQ, elegir la magnitud del voltaje de barra y su ángulo de fase asociado.(b) Para barras PV, elegir el ángulo de fase (la magnitud del voltaje es fija)
Para barra flotante (referencia), tanto magnitud de voltaje como ángulo de fase son cantidades especificadas.
Vx
PQ&PVPQ
![Page 71: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/71.jpg)
Método de Newton Raphson.Aplicación al flujo de carga del sistema
de potencia
0)(
)()(
)(
)(
sp
sp
ispi
isp
i
QxQ
PxPxF
xQQ
xPPespecificado funciones de x desconocidas
nk
kikikikikki
spii
nk
kikikikikki
spii
bgVVQQ
bgVVPP
1
1
)cossen(
)sencos(
![Page 72: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/72.jpg)
Método de Newton Raphson.Aplicación al flujo de carga del sistema
de potencia
0)(
)()(
r
rr
xQ
xPxF
)()(0)()( rrrr xFxxJxxJxF
)(
)(r
r
xQ
xP
VJ
PQ&PVPQ
PQ&PVPQ
)(
)(
/ r
r
rr
rr
xQ
xP
VVLM
NH
![Page 73: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/73.jpg)
Método de Newton Raphson.Aplicación al flujo de carga del sistema
de potencia
)cossen(
)sencos(
ikikikikkik
iik
iiiriii
nk
ikk
ikikikikkii
iii
bgVVP
H
VbQH
gbVVP
H
2
1
![Page 74: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/74.jpg)
Método de Newton Raphson.Aplicación al flujo de carga del sistema
de potencia
)sencos(
)sencos(
ikikikikkik
iik
iiiriii
nk
ikk
ikikikikkii
iii
bgVVQ
M
VgPM
bgVVQ
M
2
1
![Page 75: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/75.jpg)
Método de Newton Raphson.Aplicación al flujo de carga del sistema
de potencia
ikk
ikik
iiiri
i
iiii
ikk
ikik
iiiri
k
iiii
HV
QVL
VbQV
QVL
MV
PVN
VgPV
PVN
)(
)(
)(
)(
2
2
![Page 76: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/76.jpg)
Método de Newton Raphson.Aplicación al flujo de carga del sistema
de potencia
PQ&PVPQ
)(
)(
/ r
r
rr
rr
xQ
xP
VVLM
NH
)(
)(
/
1
r
r
rr
rr
xQ
xP
LM
NH
VV
Vxx rr 1
![Page 77: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/77.jpg)
Método de Newton Raphson.Aplicación al flujo de carga del sistema
de potencia
Características del método:
1. Velocidad de convergencia ‘cuadrática’ (el número de cifras significativas se duplica luego de cada iteración)
2. Confiable, no sensible a la elección de la barra flotante.
3. Solución precisa obtenida luego de 4-6 iteraciones.
4. J debe ser re-calculada e invertida luego de cada iteración. (J es una matriz esparsa, tiene estructura simétrica, pero los valores no son simétricos)
![Page 78: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/78.jpg)
Método de Newton RaphsonEjemplo
12
3
V=1, =0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Resolver el problema de flujo de carga usando el método de NR:
![Page 79: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/79.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
1 2
3
V=1, =0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8Barra 1: Flotante (V1 y 1 dados)
Barra 2: Barra PQ
(V2 y 2 desconocidos)
2 ecuaciones - balance de
potencia activa y reactiva.
Barra 3: Barra PV - 3 desconocido
(V3 especificado)
1 ecuación: balance de
potencia activa.
![Page 80: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/80.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
222322
323332
222322
2
3
2
232
945
41410
51015
LMM
NHH
NHH
Q
P
PV
J
jjj
jjj
jjj
jBGY
![Page 81: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/81.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
)cos(4cos1014cos
)sen(4sen5sen
)sen(4sen10sen
3232122
21
2222
2323131
3333
3232121
2222
VVVVbVVQ
VVVbVVP
VVVbVVP
nk
kkkk
nk
kkkk
nk
kkkk
![Page 82: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/82.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
0,0,0,1,1,1 03
02
01
03
02
01 VVV
00cos140cos1101114
)cos(4cos1014
00sen140sen151)sen(4sen5
00sen140sen1101)sen(4sen10
3232122
22
2323133
3232122
VVVVQ
VVVP
VVVP
![Page 83: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/83.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
nk
kikikikikki
spii
nk
kikikikikki
spii
bgVVQQ
bgVVPP
1
1
)cossen(
)sencos(
8.0
0.1
5.1
08.0
00.1
05.1
2
3
2
Q
P
P
![Page 84: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/84.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
0001400000000
000000090004
0000000400014
144
494
414
2
3
2
232
22232322
32322
333232
232322
22
2
3
2
232
...
...
...................
)sen(
)sen()cos(
)cos(
Q
P
PV
J
VQVVP
VVVQVV
PVVVQ
Q
P
P
V
J
![Page 85: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/85.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
0714.00000.00000.0
0000.01273.00364.0
0000.00364.00818.01J
8.0
0
5.1
0714.00000.00000.0
0000.01273.00364.0
0000.00364.00818.0
/ 22
3
2
VV
0571.0
0727.0
0864.0
/ 22
3
2
VV
![Page 86: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/86.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
9429.00571.011
0727.00727.00
0864.00864.00
2
202
02
12
303
13
202
12
V
VVVV
Esto completa la primer iteración.Ahora re-calculamos las potencias de la barra con los nuevos valores de las variables de estado:
![Page 87: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/87.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
0727.0,0864.0,0,1,9429.0,1 13
12
11
13
12
11 VVV
6715.0)cos(4cos1014
9608.0)sen(4sen5
4107.1)sen(4sen10
3232122
22
2323133
3232122
VVVVQ
VVVP
VVVP
1285.0
0392.0
0893.0
6715.08.0
9608.00.1
4107.15.1
2
3
2
Q
P
P
![Page 88: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/88.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
7742115975041071
597507106872383
4107172383117213
144
494
414
2
3
2
232
22232322
32322
333232
232322
22
2
3
2
232
...
...
...
)sen(
)sen()cos(
)cos(
Q
P
PV
J
VQVVP
VVVQVV
PVVVQ
Q
P
P
V
J
![Page 89: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/89.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
0861.00022.00086.0
0022.013707.00369.0
0086.00369.00876.01J
1285.0
0392.0
0893.0
0861.00022.00086.0
0022.013707.00369.0
0086.00369.00876.0
/ 22
3
2
VV
0119.0
021.0
075.0
/ 22
3
2
VV
![Page 90: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/90.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
9316.09429.00119.09429.0
07485.00021.00727.0
09385.00075.00864.0
2
212
12
22
313
23
212
22
V
VVVV
Esto completa la segunda iteración.Ahora re-calculamos las potencias de la barra con los nuevos valores de las variables de estado:
![Page 91: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/91.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
07485.0,09385.0,0,1,9316.0,1 23
22
21
23
22
21 VVV
7979.0)cos(4cos1014
9995.0)sen(4sen5
4987.1)sen(4sen10
3232122
22
2323133
3232122
VVVVQ
VVVP
VVVP
0021.0
0005.0
0013.0
7979.08.0
9995.00.1
4987.15.1
2
3
2
Q
P
P
![Page 92: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/92.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
3529116257049871
625706596867363
4987177363948812
144
494
414
2
3
2
232
22232322
32322
333232
232322
22
2
3
2
232
...
...
...
)sen(
)sen()cos(
)cos(
Q
P
PV
J
VQVVP
VVVQVV
PVVVQ
Q
P
P
V
J
![Page 93: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/93.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
0895.00024.00097.0
0024.01313.00370.0
0097.00370.00888.01J
1285.0
0392.0
0893.0
0895.00024.00097.0
0024.01313.00370.0
0097.00370.00888.0
/ 22
3
2
VV
00020.0
00002.0
00012.0
/ 22
3
2
VV
![Page 94: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/94.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
9314.09316.00002.09316.0
7486.000002.007485.0
09397.000012.009385.0
2
222
22
32
323
33
222
32
V
VVVV
Esto completa la tercera iteración.El método ha convergido ya que el vector de apartamiento es casi cero.
![Page 95: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/95.jpg)
Método de Newton-RaphsonEjemplo
07486.0,09397.0,0,1,9314.0,1 33
32
31
33
32
31 VVV
8.0)cos(4cos1014
1)sen(4sen5
5.1)sen(4sen10
3232122
22
2323133
3232122
VVVVQ
VVVP
VVVP
0
0
0
2
3
2
Q
P
P
![Page 96: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/96.jpg)
Desacoplado rápido del flujo de carga (FD)
Desacoplando las ecuaciones
VVLQVVLM
HPVVNH
Q
P
VVLM
NH
//
/
/
PQ&PV
PQ
![Page 97: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/97.jpg)
Desacoplado rápido del flujo de carga (FD)
Desacoplando las ecuaciones
QVVL
PH
/
PQ&PV
PQ
Las ecuaciones están desacopladas pero los coeficientes de las matrices H y L son interdependientes: H depende del módulo del voltaje, L depende del ángulo de fase. Este esquema requiere evaluación de las matrices en cada iteración.
![Page 98: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/98.jpg)
Simplificaciones de Stott & Alsac
1. Las diferencias entre los ángulos de fase de barras típicas del sistema son usualmente pequeñas:
2. Las susceptancias de línea Bikson mucho mayores que las conductancias de línea Gik:
3. La potencia reactiva inyectada en cualquier barra es mucho menor que la potencia reactiva que circularía si todas las líneas que parten de esa barra se corticircuitaran al neutro del sistema:
1 )cos( ki kiki )sen(
)cos()sen( kiikkiik BG
iiii BVQ2
![Page 99: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/99.jpg)
Elementos JacobianosPotencia activa
kikiik
ikikikikkiik
iiiiii
iiiriii
VbVH
bgVVH
VbVH
VbQH
)cossen(
2
![Page 100: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/100.jpg)
Elementos JacobianosPotencia reactiva
kikiik
ikikikikkiik
iiiiii
iiiriii
VbVL
bgVVL
VbVL
VbQL
)cossen(
2
![Page 101: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/101.jpg)
Modificaciones posteriores
QVVVBV
PVBV
/''
' PQ&PV
PQ
VQVVVB
VPVB
//''
/'
PQ&PV
PQ
![Page 102: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/102.jpg)
Modificaciones posteriores
PQ&PV
PQ
VQVVVB
VPVB
//''
/'
PQ&PV
PQ
VQVB
VPB
/''
/'
Desacoplado rapidode las ecuaciones.
![Page 103: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/103.jpg)
Método de desacoplado rápidoCaracterísticas
PQ&PV
PQ
VQVB
VPB
/''
/'
1. B’ y B’’ son matrices esparsas reales.
2. B’ y B’’ son aproximaciones del Jacobiano con gradiente constante. (El resultado final es el correcto!)
3. Aunque FD requiere más iteraciones, la solución se puede obtener mucho más rápido.
4. FD es más robusto que NR (puede encontrar soluciones donde NR falla)
5. Problemas potenciales en redes con R>X.
![Page 104: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/104.jpg)
Método de desacoplado rápidoEjemplo
12
3
V=1, =0
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8
Resolver el problema de flujo de carga usando el método FD:
![Page 105: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/105.jpg)
Método de desacoplado rápidoEjemplo
1 2
3
P=1, V=1
j0.1
j0.2 j0.25
1.5+j0.8Barra 1: Flotante (V1 y 1 dados)
Barra 2: Barra PQ
(V2 y 2 desconocidos)
2 ecuaciones - balance de
potencia activa y reactiva.
Barra 3: Barra PV - 3 desconocido
(V3 especificado)
1 ecuación: balance de
potencia activa.
![Page 106: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/106.jpg)
Método de desacoplado rápidoEjemplo
22222
3
2
3332
2322
33
22
945
41410
51015
VbVQ
bb
bb
VP
VP
jjj
jjj
jjj
jBGY
/
/
/
![Page 107: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/107.jpg)
Método de desacoplado rápidoEjemplo
33
22
3
2
3
2
33
22
3
2
3332
2322
33
22
1273003640
0364008180
94
414
VP
VP
VP
VP
bb
bb
VP
VP
/
/
..
..
/
/
/
/
![Page 108: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/108.jpg)
Método de desacoplamiento rápidoEjemplo
0,0,0,1,1,1 03
02
01
03
02
01 VVV
1
51
0014015145
001401101410
033
022
2323133
3232122
.
/
/
sensen)sen(sen
sensen)sen(sen
VP
VP
VVVP
VVVP
Apartamiento de potencia activa
![Page 109: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/109.jpg)
Método de desacoplado rápidoEjemplo
0727300727300
0863600863600
072730
086360
1
51
1273003640
0364008180
303
13
202
12
3
2
3
2
..
..
.
.
.
..
..
![Page 110: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/110.jpg)
Método de desacoplado rápidoEjemplo
22222 VbVQ / 222 14 VVQ /
222 07140 VQV /.
93660063410
0634108878007140
8878010878080
0878041014
02
12
2
22
3232122
22
..
...
./)..(/
.)cos(cos
VV
V
VQ
VVVVQ
Apartamiento depotencia reactiva
![Page 111: 5 flujo (1)](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/558a02c1d8b42a88118b46ba/html5/thumbnails/111.jpg)
Método de desacoplado rápidoEjemplo
072700864001936601 13
12
11
13
12
11 .,.,,,., VVV
931440000040074860093970000050000060
93144000042007486093960000570000700
0931470005070074810093920005820008270
931860061970074390093410043190098640
93660887800727300863600015001223232
......
......
......
......
......
VQPP