5.1. Pojam i osobine neodređenog integrala Neka je data funkcija F(x). Osnovni zadatak diferencijalnog računa je da se

nađe izvod ili diferencijal! te funkcije, tj. f(x)=F'(x) ili f(x)dx=dF(x). Sada se postavlja inverzni problem: naći funkciju F(x) koja una kao izvod

datu funkciju f(x) ih kao diferencijal f(x)dx. Funkcija F(x) sa naznačenim osobinama, se zove neodređeni integral diferencijala f(x) ili primitivna funkcija funkcije f(x). Prema tome integralni i diferencijalni račun su međusobno inverzne operacije. Integracija je postupak iznalaženja primitivne (prvobitne) funkcije na osnovu izvoda ili diferencijala te funkcije. Da je funkcija F(x) primitivna funkcija funkcije f(x) simbolički se piše ∫f(x)dx - F(x). a čita se neodređeni integral funkcije f(x). Funkcija f(x) se naziva integral ili podintegralna funkcija, a f(x)dx je podintegralm izraz. Promjenljiva x se naziva integraciona promjenljiva. Znak integracije je izduženo slovo S koji pokazuje da naznačena operacija ima sličnosti sa sumiranjem. Pošto se sve funkcije koje imaju isti izvod razlikuju samo za jednu proizvoljnu konstantu C, tj. ako je F'(x)=f(x), tada je i [F(x)+C]'=f(x), funkcija F(x)+C je najopšiija funkcija koja ima kao izvod funkciju f(x) ili kao direrencijai f(x)dx. konstanta C je neodređena i po njoj se i integral naziva neodređeni integral. Zbog proizvoljnosti, neodređenosti konstante C skup primitivnih funkcija funkcije funkcije beskonačan.

Primjer:

2 3 3 23 , 3

,x x x x

x dx x C jer je x C x

e dx e C jer je e C e

U cilju određivanja jedinstvene primitivne funkcije potrebno je poznavati tzv. početni uslov. Na primjer, ako za funkciju f(x) = 2x treba odrediti primitivnu funkciju koja prolazi kroz tačku A(1,2), tada postoji samo jedno jedino rješenje, a to je slijedeće: F(x) = x2 +1, jer je F(x) = 9

2xdx = x2 + C , a prema uslovu zadatka F(1) = 2, tj.1+C=2. Odakle slijedi daje C=1.

Iz definicije neodređenog inlegrala neposredno proizilaze slijedeće osnovne osobine:

1) Izvod neodređenog integrala jednak je podinlegralnoj funkciji, a diferencijal neodređenog integrala jednak je podintegralnom izrazu.

2) Neodređeni integral diferencijala funkcije jednak je sumi te funkcije i proizvoljne konstante:

∫dF(x) = F(x) + C Iz 1) i 2) osobine izlazi da se znaci d i ∫ poništavaju.3) Konstantni faktor podintegralne funkcije se može izvući ispred znaka

integrala.fkf(x)dx = kjf(x)dx

4) Integral zbira je jednak zbiru integrala.∫ (f,(x) + f2(x))dx = ∫f,(x)dx + ∫ [f2(x)dx

f x dx f x

d f x dx f x dx

5.2. Tablica osnovnih integrala Tablica osnovnih integrala se dobija na osnovu tablice izvoda

elementarnih funkcija dodavanjem proizvoljne konstante.

5

6

7

8

9

10

ln

xx aa dx C

a

x xe dx e C

sin cosxdx x C

cos sinxdx x C

2cos

dxtgx C

x

2sin

dxctgx C

x

5.3. Osnovni metodi integracije Integraciju nekog izraza koji se ne nalazi u tablicama osnovnih mlegrala

potrebno je pokušati svođenjem na osnovne integrale. Primjer

Ukoliko je nemoguće na gore opisani način tješiti integralni zadatak, rada se koriste slijedeći metodi:

1) metod zamjene, 2} metod parcijalne integracije

32 2

332 2

2 5 3 4 3 42 5 3 4 5ln 3

2

xx xx x x x e dx dx

dx xdx e dx x x x e Cx x x x

5.3.1. Metod zamjene Neka je dat problem ∫f(x)dx

(1) Koji se ne rješava pomoću osnovnih integrala. Uvođenjem odgovarajuće zamjene promenljive i diferencijala pod znakom

integralax = ρ (t) dx = ρ' (t)dt

gdje je p(t) neprekidna funkcija s neprekidnim izvodom, integral (1) postaje

∫f(ρ (t) ρ '(t) dt. (2)

Cilj je da se integral (2) može rješiti pomoću osnovnih intervala. Tada je dobijeno rješenje funkcija od novo uvedene integracione promenljive t, koji na kraju treba zamjeniti prvobitnom integracionom promjenljivom x.

Primjer:

1

2

2

2 1 1 2

2

2

1. 1

11

1

2)

2

21 1 1

2 2 2

3)1

1

ln ln 11

4)1

n

nn tn n

x

x x

x

x

x

x

x

x

a bx dx n

a bx t

bdx dt

dtdx

b

a bxta bx dx t dt C C

b b n n

e xdx

x t

xdx dt

dtxdx

e xdx e dt e C e C

dt

tt u

dt du

dt duu C t C

t u

edx

d

e t

e dx dt

e

d

1 1 1ln 1 ln 1

1 1 1 1x xt dt

dx dt dt dt t t C e e Ct t t

5.3.2. Metod parcijalne integracije Metod parcijalne integracije se najčešće primjenjuje kada je podimegralna

funkcija u obliku proizvoda. Ova metod je posledica pravila diferencijacije proizvoda Neka su u(x) i v(x) funkcije koje imaju neprekidne izvode, onda je

d(uv) - udv + vdu iliudv = d(uv) - vdu

Integracijom prethodne relacije se dobija ∫udv = uv - ∫vdu.

(3)

jednačina (3) predstavlja formulu za parcijalnu integraciju. Cilj ovog metoda je da se integral lijeve strane pogodnom podjelom podintcgralnog izraza na u i dv svede na prostiji za rješavanje.

Primjer:

1.

2. ln

ln

ln ln ln

3. cos

cos

sin

1 cos cos sin

sin

sin

cos

x

x

x

x x x x x x

x

x

x

x x x

x

xe dx

u x dv e dx

du dx v e

e dx xe e dx xe e dx xe C

xdx

u x dv dx

dxdu v x

x

xdx x x dx x x x C

e xdx

u x dv e dx

du xdx v e

e xdx e x e xdx

e xdx

u x dv dx

du

2 sin sin cos

x

x x x

xdx v e

e xdx e x e xdx

Zamjenom relacije (2) u relaciju (1) dobija se∫ex cos xdx = e x cos x + e x sin x - ∫e x cos xdx,

odakle je ∫excos xdx ∫ex (cos x + sin x) + C

Osim ovih metoda postoji niz postupaka za integraciju. Integralni račun svakako je teži od diferencijalnog računa. To važi i za mnoge druge inverzne operacije. Dok su diferencirali elementarnih funkcija i same elementarne funkcije, integral takvih jednostavnih funkcija kao što su:

nema rješenje u obliku elementarnih funkcija ili njihovih kombinacija

1

2

3

1 sin 1,

log 1

xili

x x x

5.4. Pojam i osobine određenog integrala

Neka je f(x) definisana i ograničena pozitivna funkci]a u intervalu [a,b]. Oblast ravni ograničena dijelom grafika funkcije y=f(x) nad intervalom [a,b], pravama x=a, x=b i intervalom [a,b] ose 0x, predstavlja krivolinijski trapez ABCD. Postavlja se zadatak određivanja površine krivolinijskog trapeza ABCD.

Ako se podjeli interval (a,b). proizvoljno na n podintervala tačkama podjelaa = x0, x1, x2 xn-1, xn = b.

gdje jeX0 < X1 < X 2 ………< Xn-1 < Xn

Tada se dobijaju podintegrali različitih dužina. Dužine se označavani redom sa

Δx1, Δx2 .... Δxn..

tj. x1 - xo = Δx1; x2 - x1= Δx2; …. Δxk – xk-1 = Δxk . . . xn –xn-1 = Δxn

Neka su m-. m2 mk,.., mn najmanje vrijednosti funkcije, a M-. M2 Mk.......Mn najveće vrijednosti funkcije u podintervalima

[x0, x1] , [x1, x2], .... [xk-1,xk], ... . [xn-1, xn], Neka se posmatraju slijedeći zbirovi:1 1 2 2

1

1 1 2 21

... ...

...

n

k k n n i ii

n

k k n n i ii

P m x m x m x m x m x

P M x M x M x M x M x

Suma naziva donja integralna suma, a suma gornja integralna suma

SLIKA; 5-1

predstavlja površinu stepenasto opisanog poligona oko krivolinijskog trapeza ABCD, a

predstavlja površinu stepenasto upisanog poligona u krivolinijski trapez ABCD. Ako se sa P označava površina krivolinijskog trapeza ABCD, tada važi nejednakost:

tj. površina traženog krivolinijskog trapeza se nalazi između površine stepenasto upisanog i slepenasto opisanog poligona za svaku podjelu intervala [a,bj. Ako se broj podintervala stepenasto upisanog i opisanog poligona u krivolinijski trapez ABCD konvergirali konačnoj i određenoj zajedničkoj vrijednosti, površini krivolinijskog trapeza ABCD, a njihova granična vrijednost je

P P

P P

P P P

lim limx xP P P