5. krilo u subsonici - unizg.hr• aerodinamička apscisa napadnog ruba (aerodynamic apses of...
TRANSCRIPT
5-1
5. KRILO U SUBSONICI
5.1 Opće postavke
5.1.1 Oblik i parametri krila
41Λ
b
x
y( )yx0
( )yc
z
yφ
x
rcrc
tc
rα
tα
z
∞V
rt cc λ=
LEΛ
Slika 5-1. Parametri krila
Parametri krila (wing):
• raspon krila (wing span) b
• vitkost (aspect ratio) SbA
2
=
• korijena i vršna tetiva (root and tip cord) tc
• suženje krila (taper ratio) r
t
cc
=λ
• strijela napadnog ruba (leading edge sweep angle) LEΛ
• strijela vezanog vrtloga (sweep angle of bound vortex) 41Λ
• strijela srednje linije (midchord sweep angle) mΛ
• strijela izlaznog ruba (trailing edge sweep angle) TEΛ
• uvijanje krila razlika kutova (twisting angle) rt αα − (na slici negativan)
5-2
• dihedral kut φ
Pored ovih geometrijskih veličina definiraju se i računske veličine. Dajemo odmah jednadžbe
primijenjene na trapezno krilo:
• aerodinamička apscisa napadnog ruba (aerodynamic apses of leading edge)
( ) ( )6
tan1
212 2
00
LEb
Abdyycyx
Sx Λ
⋅++
=⋅= ∫ λλ
• srednja aerodinamička tetiva (aerodynamic midchord)
( )
+
+⋅== ∫ λλ
11
322 22
0
2 rb
Acdyyc
Sc
Napadni kut krila je kut između brzine u beskonačnosti i korijene tetive. Ako krilo nije uvijeno
onda su tetive u svakom presjeku paralelne, pa je napadni kut u presjeku y isti kao u korijenom
presjeku rα . Ako je krilo uvijeno onda je kut uvijanja krila ( )yα∆ kut između tetive u presjeku y i
korijene tetive, a u presjeku y bit će napadni kut ( )yr αα ∆+ .
U općem slučaju profil može biti različit od presjeka do presjeka pa su njegove značajke
( ) ( )yya 00 ,α funkcije od mjesta presjeka.
5.1.2 Aerodinamički koeficijenti krila
Međutim ako profil ili vektor neporemećene brzine nisu isti onda moramo integrirati po razmahu
krila da bi dobili otpor, uzgon i moment koji djeluju na krilo.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∫∫
∫∫
∫∫
⋅=⋅=
⋅=⋅=
⋅=⋅=
∞=
∞=
∞=
2
0
222
01
2
0
22
01
2
0
22
01
22
22
22
bb
b
bb
b
b
d
b
b
dyycycVdyMM
dyycycVdyLL
dyycycVdyDD
l
l
ρ
ρ
ρ
Vidimo da su nam potrebni aerodinamički koeficijenti profila da bi smo odredili aerodinamičke sile
i moment koji djeluju na krilo.
5-3
5.2 Krilo u nestlačivoj struji zraka
5.2.1 Utjecaj krajeva krila
Prvo ćemo se pozabaviti fizičkom slikom optjecanja konačnog krila. Promatrajmo napadni rub krila
(slika 5-2). Zbog pozitivnog napadnog kuta na donjoj strani krila imamo nad tlak, a na gornjoj pod
tlak. Jasno je da zrak s donje strane koji se nalazi u nad tlaku ima tendenciju da preko rubova krila
dođe na gornju stranu gdje manji tlak. Zato zrak na donjoj strani ima jednu bočnu komponente od
sredine krila prema kraju, a sa gornje strane od kraja prema sredini.
gornja strana
donja strana
napadni rub
napadni rub
izlazni rub
nad tlak
pod tlak
Slika 5-2
Promatrajmo sad izlazni rub. Na izlaznom rubu u svakoj točki s gornje strane zrak ima jednu
komponentu od kraja prema sredini krila i obrnuto s donje strane od sredine prema kraju krila. To
znači da u svakoj točki izlaznog ruba pored izlazne brzine imamo i jedan mali vrtlog koji leži na toj
strujnici (slika 5-2). Ti vrtlozi imaju (gledano u izlazni rub) pozitivan smjer na desnoj polovini i
obrnuto negativan smjer na lijevoj polovini izlaznog ruba. Oni čine vrtložnu plahtu iza krila
(downwash). Od krajeva krila prema sredini poprečna brzina zraka se smanjuje pa su vrtlozi koji
5-4
silaze na izlaznom rubu krila najjači na vrhu krila i slabe po intenzitetu prema sredini krila. Ti
vrltozi djeluju jedan na drugog pa se posle nekog prijeđenog puta iza krila, vrtložne niti s desne
polovice izlaznog ruba udružuju u jedna pozitivni vrtlog, a vrtložne niti s lijeve polovice u jedan
negativni vrtlog. Tako slika optjecanja krila u subsoničnom optjecanju ima oblik kao na slici 5-3.
krilo
vrtložna plahta
vrtlogvrtlog
izlazni rub
Slika 5-3
I u slučaju krila u subsoničnom letu kao i u slučaju krila u supersoničnom letu zbog ovih optjecanja
oko krajeva krila bit će aerodinamički koeficijenti uzgona krila manji od aerodinamičkih
koeficijenata profila, ali će isto tako i aerodinamički koeficijent otpora krila biti manji od
aerodinamičkog koeficijenta profila.
5.2.2 Prandtlov model
U presjeku 0>y oko profila postojat će cirkulacija zraka Γ sa središtem na prvoj četvrtini tetive.
U bliskom presjeku dyy + cirkulacija će biti izmijenjena Γ−Γ d . Iz šnite krila između y i dyy +
na desnoj polovini krila ( 0>y ) izlazi jedna vrtložna nit Γd kada je napadni kut 0>α . Isto tako na
suprotnoj strani krila 0<y ulazi jedna vrtložna nit Γd . Tako vrtlog od lijevog kraja krila raste do
najveće vrijednosti u korijenu krila da bi opet opadao do desnog kraja krila. S lijeve strane utiču
vrtložne niti, a s desne strane ističu, ako je napadni kut pozitivan i suprotno.
5-5
Od presjeka do presjeka cirkulacija se mijenja tj. ona je funkcija presjeka ( )yΓ . Ta
cirkulacija je ista na lijevoj strani ( )y−Γ kao na desnoj strani ( )y+Γ , a mijenja znak ovisno o
napadnom kutu. Kada je napadni kut pozitivan intenzitet glavnog vrtloga (cirkulacija Γ ) je
negativna i obrnuto. Iza krila stvara se površina vrtložnih niti. Svaka vrtložna nit leži na strujnici
koja polazi iz izlaznog ruba krila.
x
∞V
α
ΓΓ Γ−Γ d
y dyy +
z
x
y
( )dyyd Γ′=Γ
Slika 5-4
Intenzitet jedne vrtložne niti koja izlazi iz ruba krila na mjestu y
dyd Γ′=Γ
gdje je ( )yΓ′ gustoća vrtloga. Problem određivanja aerodinamičkih koeficijenata svodi se na
određivanje funkcije ( )yΓ . tj. na određivanje promjene cirkulacije po razmahu krila. U ovom
Prandtlovom modelu imamo jedan vezani vrtlog (bound vortex) na prvoj četvrtini tetive krila, koji
je okomit na brzinu iz beskonačnosti i slobodne vrtloge (free-trailing vortex) ili vrtložne niti koje
polaze od vezanog vrtloga i leže na strujnicama. One čine vrtložni trag krila, ili vrtložnu plahtu.
5-6
ΓdΓd
Vezani vrtlog
Vrtložne niti ili slobodni vrtlozi
Slika 5-5
U Prandtlovom modelu promatrano krilo može biti bilo kojeg oblika, ali geometrijsko
mjesto prve četvrtine tetiva mora biti pravac okomit na ravan napadnog kuta. Tako je na slici 5-6
nacrtano eliptično krilo. Ako je krilo eliptično krilo, znači da se veličina tetive mijenja po
eliptičnom zakonu
( )2
21
−=
bycyc r
ali geometrijsko mjesto 41 tetive mora biti okomito na ravan napadnog kuta kao na slici 5-6.
b
x
x
y
4c
4c3
Slika 5-6
U presjeku y , jedna bilo koja nit na mjestu η , stvara brzinu (slika 5):
( ) ( )yd
yddw
−Γ′
=−Γ
=ηπη
ηπ 44.
5-7
y
x
η
∞V
dwηdd Γ′=Γ
Slika 5-7
Od svih vrtložnih niti, ili od vrtložne plahte koju čine te vrtložne niti, u presjeku y pojavit će se
brzina
∫− −
Γ′=
2
241 b
bind y
dwη
ηπ
Ta brzina je okomita na raspon krila i na neporemećenu brzinu. Zbog te dopunske brzine mijenja se
slika optjecanja u presjeku y jer je brzina optjecanja profila zbroj indwV rr+∞ , tj. na brzinu iz
beskonačnosti treba dodati tu "induciranu brzinu" (slika 5-8). Prema teoriji profila α je kut između
neporemećene brzine i tetive profila. Međutim zbog poremećaja w brzina optjecanja profila je
izmijenjena, pa je napadni kut profila u presjeku izmijenjen.
Ako s rα označimo kut između korijene tetive krila i brzine u beskonačnosti, u presjeku y
treba ga povećati za ( )yα∆ zbog uvijanja krila (kut između lokalne tetive i korijenske tetive), a
zatim ga promijeniti za ∞V
warctg . Kako je odnos ∞Vw mali broj bit će taj kut jednostavno:
( )∞
−∆+Vwyr αα .
w cαα ∆+r∞V
∞Vw
∞
−∆+Vw
r αα
Slika 5-8
5-8
Zato u presjeku y profil ima koeficijent uzgona
( ) ( ) ( ) ( )
−−∆+=
∞
yV
ywyyac 00 αααl
gdje su 0a i 0α poznate značajke profila, koje su općenito od presjeka do presjeka različite tj.
( ) ( )yya 00 ,α . To znači da se u tom presjeku stvara aerodinamička sila (po jedinici raspona) okomita
na vektorski zbroj indwV rr+∞ , a po intenzitetu:
−−∆+⋅⋅
∞
∞∞00
2
12
αααρ
VwacV .
S druge strane ta aerodinamička sila (po jedinici raspona) prema teoremu Kutta - Žukovski mora
biti jednaka produktu Γ∞∞Vρ . Izjednačavanjem te dvije veličine dobivamo:
−−∆+⋅=Γ
∞
∞∞∞∞ 00
2
2αααρρ
VwacVV r ,
( )000
22ααα −∆+⋅=
⋅+Γ ∞
racVwac
ili poslije zamjene w u ovisnosti od promjene cirkulacije po razmahu
( ) ( )00
2
2
0
241
2ααα
ηηη
π−∆+⋅
⋅=
−Γ′
⋅⋅
+Γ ∞−∫ r
b
b
acVydac
To je tzv. Prandtlova jednadžba.
5.2.3 Osnovno i dopunsko opterećenje
Uočimo da se ova jednadžba može podijeliti na dvije jednadžbe ako stavimo da je
( ) ( ) ( )yyy ab Γ+Γ=Γ
s tim da )(ybΓ predstavlja opterećenje zbog uvijanja krila i zakrivljenosti profila te zadovoljava
jednadžbu
( ) ( )00
2
2
0
241
2αα
ηηη
π−∆⋅
⋅=
−Γ′
⋅⋅
+Γ ∞−∫
acVydac b
b
bb
a ( )yaΓ predstavlja opterećenje ne uvijenog krila i ne zakrivljenog profila, samo zbog napadnog
kuta (konstantnog po razmahu) te zadovoljava drugu jednadžbu
( )α
ηηη
π⋅
⋅=
−Γ′
⋅⋅
+Γ ∞−∫ 24
12
02
2
0 acVydac b
b
aa
5-9
Upotrijebili smo riječ "opterećenje" zato što iz teoreme Kuta Žukovskog u presjeku y imamo silu po
jedinici raspona (N/m) u presjeku y
Γ= ∞∞VF ρ
Prema tome polu-krilo kao konzola ima kontinuirano aerodinamičko opterećenje koje je
proporcionalno cirkulaciji u presjeku y . Potrebno je cirkulaciju pomnožiti s neporemećenom
brzinom i gustoćom zraka da bi dobili opterećenje. U nekim problemima želimo znati koliki je
aerodinamički koeficijent u nekom presjeku u kome je poznata cirkulacija Γ . Njega određujemo iz
jednadžbe
lccVV ⋅=Γ ∞∞∞∞ 2
2ρρ
Odakle je
∞
Γ=
cVc 2l
5.2.4 Glauertovo rješenje
Rješenje integralne Prandtlove jednadžbe tražimo u obliku Fourierovog reda
∑∞=
=∞=Γ
n
nn nAbV
1sin2 ϑ ,
ϑ
2b
y
ϑπ −
Slika 5-9
5-10
gdje je kut ϑ varijabla određena jednadžbom
ϑcos2by = .
Na desnom kraju krila 0=ϑ , u sredini (korijenu) krila je 2πϑ = , a na lijevom kraju πϑ = . Kad y
raste od lijevog kraja ( od 2b− ) do desnog kraja (do 2b+ ) Glauertova varijabla opada od π do 0.
Jasno je iz fizikalne slike problema da funkcija ( )ϑΓ mora biti parna tj.
( ) ( )ϑπϑ −Γ=Γ
Kako je
( )−
=−=−neparnonzanparnonzan
nnnnnϑϑ
ϑπϑπϑπsinsin
sincoscossinsin
možemo koristiti samo neparne članove reda da bi imali istu cirkulaciju na lijevoj ( ϑπ − ) kao na
desnoj strani krila ( )ϑ . Samo u tom slučaju bit će svi članovi reda isti na desnoj i lijevoj strani krila.
Zato je bolje pisati
∑=
∞=Γm
kk nAbV
1
sin2 ϑ
gdje je 12 −= kn . Npr.
( )K++++=Γ ∞ ϑϑϑϑ 7sin5sin3sinsin2 4321 AAAAbV
U smjenu za glavni vrtlog uveli smo faktor ∞bV2 koji daje dimenziju cirkulacije, tako da su
koeficijenti kA bez dimenzija. Da bi razlikovali vrijednost Glauertove promjenljive ϑ na mjestu y
na kome promatramo induciranu brzinu, od vrijednosti na mjestu niti, Glauertovu promjenljivu za
η označit ćemo sa ϕ . S tim oznakama u jednadžbi
( ) ∫− −
Γ=
2
241 b
b ydyw
ηπ
bit će poslije zamjene promjenljivih ( ∑=
∞=Γm
kk dnnAbVd
1
cos2 ϑϑ )
∑ ∫∑ ∫=
∞
=∞ −
−=−
=m
kk
m
k
k dnnAVdnbnAbVw
1 01
0
coscoscos
coscoscos
22
41 π
π ϑϕϕϕ
πϑϕϕϕ
π
Kako je
πϑϑϕ
ϑϕϕπ
sinsin
coscoscos
0
ndn=
−∫
dobivamo izraz za induciranu brzinu od cijele plahte vrtložnih niti
5-11
∑=
∞−=m
kk
nnAVw1 sin
sinϑϑ
Znak - govori da je inducirana brzina suprotnog smjera od z osi, a njen smjer smo već uzeli u obzir
u integralnoj jednadžbi. Poslije zamjene dobivene vrijednosti za induciranu brzinu u integralnu
jednadžbu
( )000
22ααα −∆+⋅=
⋅+Γ ∞ acVwac
dobivamo:
( )001
0
1 2sinsin
2sin2 ααα
ϑϑϑ −∆+⋅=⋅
⋅+ ∞
=∞
=∞ ∑∑ acVnnAVacnAbV
m
kk
m
kk
ili
( )00
1
0
2sinsin
2sin2 ααα
ϑϑϑ −∆+=⋅
+∑
=
acAnacnnb k
m
k
12 −= kn .
Ova jednadžba se rješava u općem slučaju numerički. Izaberu se m presjeka. Svakom presjeku j
odgovara set poznatih vrijednosti jϑ jjjjj ac ααϑ ∆,,,, 00 za koji možemo napisati gornju
jednadžbu:
( )jjjj
k
m
k j
jjj
acA
nacnnb 0
0
1
0
2sinsin
2sin2 ααα
ϑϑ
ϑ −∆+=⋅
+∑
=
Kada napišemo tu jednadžbu za svaki presjek mj ,,2,1 K= dobit ćemo m takvih jednadžba iz kojih
možemo odrediti m konstanti mAAA ,,, 21 K . S poznatim konstantama bit će funkcija ( )ϑΓ na
primjer za četiri presjeka na polukrilu ( 4=m ):
( )ϑϑϑϑ 7sin5sin3sinsin2 4321 AAAAbV
+++=Γ
∞
.
Obično se uzima 4=m ili 5=m , jer je Fourierov red jako konvergentan.
5.2.5 Bazno i dopunsko opterećenje
Te jednadžbe
( )jjrjj
k
m
k j
jjjj
acA
nacnnb 0
0
1
0
2sinsin
2sin2 ααα
ϑϑ
ϑ −∆+=⋅
+∑
=
možemo rješavati takve kakve su, ili možemo problem razbiti na dva dijela:
5-12
• prvo, tražimo tzv. bazno opterećenje zbog uvijenog krila i zakrivljenog profila kad nema
napadnog kuta korijenske tetive, a zadane su nam funkcije: uvijanje krila ( )yα∆ i
zakrivljenost profila ( )y0α .
( )jjjj
baznok
m
k j
jjjj
acA
nacnnb 0
0
1
0
2sinsin
2sin2 αα
ϑϑ
ϑ −∆=⋅
+∑
=
S tim koeficijentima bmbb AAA K,, 21 određujemo baznu cirkulaciju
∑=
∞=Γm
kkbbazno nAbV
1
sin2 ϑ ,
( 12 −= kn ), a ona određuje specifično bazno opterećenje po razmahu
baznob V
dydF
Γ= ∞∞ρ
Tako dobivamo opterećenje krila kada je napadni kut krila jednak nuli. Ako nema uvijanja
krila, niti zakrivljenosti profila, onda nema ni baznog opterećenja krila.
• drugo, za dopunsko opterećenje zbog napadnog kuta krila α :
rjj
kd
m
k j
jjjj
acA
nacnnb α
ϑϑ
ϑ ⋅=⋅
+∑
= 2sinsin
2sin2 0
1
0
Kako se napadni kut ne mijenja po rasponu, svi koeficijenti reda su proporcionalni
napadnom kutu rkdkd AA α⋅=
2sinsin
2sin2 0
1
0 jjkd
m
k j
jjjj
acA
nacnnb =⋅
+∑
= ϑϑ
ϑ
pa će i cirkulacija biti proporcionalna napadnom kutu kao i specifično opterećenje.
rdr
d
m
kkddopunsko nAbV ααϑ α
α
Γ=⋅
Γ
=Γ ∑=
∞
444 3444 21 1
sin2
Konačno je ukupno specifično opterećenje
( ) ( )αρρρ αdbdopunskobazno VVVdydF
Γ+Γ⋅=Γ+Γ⋅=Γ= ∞∞∞∞∞∞
5-13
5.2.6 Aerodinamički koeficijenti
∞V α
w
dFdL
dDV
indα
Slika 5-10
Na isječak krila dy djeluje elementarna aerodinamička sila
dyVdF Γ= ∞ρ
koja je prema teoremi Žukovskog okomita na brzinu wVV rrr+= ∞ . Tu elementarnu silu razlažemo na
dvije komponente: dD u pravcu brzine iz beskonačnosti i dL okomito na nju. Intenziteti tih
komponenata bit će:
dywVwdyVdFdD
dyVVVdyVdFdL
indi
ind
Γ=Γ==
Γ=Γ==
∞∞
∞∞∞
∞
ρρα
ρρα
sin
cos
Vidimo da postoji elementarna komponenta otpora kao posljedica promjene pravca brzine
optjecanja u presjeku krila. Taj otpor nazivamo inducirani otpor jer je on induciran vrtložnim
nitima. i zato mu obično dodajemo indeks "i"
Integracijom po rasponu dobivamo
( )
( ) ( )∫
∫
−∞
−∞∞
Γ=
Γ=
2
2
2
2
b
bi
b
b
dyyywD
dyyVL
ρ
ρ
Ako u ove jednadžbe izvršimo smjenu varijable y sa ϑ i istodobno unesemo ovisnost cirkulacije od
ϑ u obliku reda bit će
5-14
∫ ∑∑
∫ ∑
⋅
⋅
⋅=
⋅=
∞=
=
∞=
=∞∞∞
∞=
=∞∞∞
0¸
11
0
1
sin2
sinsin
sin2
sin2
sin2
π
π
ϑϑϑϑϑρ
ϑϑϑρ
dbnAnnAVbVD
dbnAbVVL
n
kk
n
kki
n
kk
Poslije sređivanja
∫ ∑∑
∫∑
⋅
=
⋅=
∞=
=
∞=
=
∞∞
∞=
=
∞∞
π
π
π
ϑϑϑρ
ϑϑϑρ
dnAnnAbV
D
dnAbV
L
n
kk
n
kki
n
kk
11
22
0 1
22
sinsin22
sinsin22
a zatim dijelimo sa referentnom silom SV2
2∞∞ρ da bi dobili aerodinamičke koeficijente
∫ ∑∑
∫∑
⋅
⋅=
⋅⋅=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
π
π
ϑϑϑ
ϑϑϑ
0 11
0 1
sinsin2
sinsin2
dnAnnAAC
dnAAC
n
kk
n
kkD
n
kkL
i
Kako je
=≠
=⋅∫ 1210
sinsin0 n
ndn
πϑϑϑ
π
bit će
1AACL ⋅= π
∑∞=
=
⋅=n
kkD nAAC
i1
2π
Ova jednadžba za koeficijent induciranog otpora može se staviti u oblik
+⋅⋅=⋅= ∑∑
=
=
∞=
=
ni
k
kn
kkD A
AnAAnAACi
221
221
1
2 1ππ
πAeCC L
Dp
2
= .
gdje je tzv. Oswaldov koeficijent
∑∞=
=
+
=k
k
k
AAn
e
2
2
1
1
1
5-15
5.2.7 Eliptično krilo
Razmotrimo slučaj kao na slici 10 eliptičnog neuvijenog krila ( 0=∆α ), konstantnog profila
( 00 iαa konstante). Za pravu elipsu geometrijsko mjesto 41 tetive nije pravac. Zato svaku tetivu
( )yc povučemo na dolje tako da 4c bude na y osi. Takav oblik krila ima strijelu 041 =Λ , a
duljinu tetive c ovisno o mjestu presjeka y ima eliptičnu promjenu:
ϑsin2
12
rr cb
ycc =
−=
( )yc
( )yc y
Slika 5-11
gdje je 0c tetiva u korijenu krila. Na ovo krilo možemo primijeniti Prandtl.Glauertovu teoriju i ono
se može analitički riješiti. Opća jednadžba za slučaj ne uvijenog krila ima oblik
( )00
1
0
2sinsin
2sin2 αα
ϑϑϑ −=⋅
+∑
=
acAnacnnb k
m
k
12 −= kn .
Površina eliptičkog krila je bcS r4π
= , pa je vitkost
rr cb
bcb
SbA
ππ44 22
=== ,
a duljina tetive u presjeku ϑ je ϑsinrcc =
5-16
( )0r0
k1k
r0
2caAn
2cannb2 ααϑ
ϑϑϑϑ −=⋅
+∑
=
sinsin
sinsinsin .
Podijelimo jednadžbu sa 2rc
( ) ( ) ϑααϑπ sinsin 00
n
1kk0 anAnaA −=+∑
∞=
=
Da bi ta jednadžba bila točna za sve vrijednosti kuta ϑ mora biti
( ) ( )0010 ααπ −=+ aAaA
032 ===== KK kAAA
ili
( )0
001 aA
aA+−
=π
αα
To znači da je za eliptično krilo cirkulacija po rasponu krila
( )ϑ
παα
sin20
00
aAa
bV+−
=Γ ∞
ili
2
0 21
−Γ=Γ
by
To je eliptični raspored cirkulacije gdje je
( )0
000 2
aAa
bV+−
=Γ ∞ παα
Inducirana brzina u slučaju eliptičkog krila
11 sin
sin AVnnAVwn
kk ∞
∞=
=∞ == ∑ ϑ
ϑ
što znači da je ona jednaka po rasponu, a proporcionalna kutu 0αα − . Konačno iz ove jednadžbe
slijedi da je u slučaju eliptičnog krila∞
=VwA1 , što znači da je 1A jednako promjeni napadnog kuta
u presjeku krila.
Zamjenom vrijednosti koeficijenta za 1A i 02 === mAA L u jednadžbe za aerodinamičke
koeficijente, te poslije sređivanja dobivamo
( )
π
αα
Aa
aCL
0
00
1+
−=
5-17
πACC L
Di
2
=
To znači da je za eliptično krilo Oswaldov koeficijent 1=e .
5.2.8 Program i primjer
Napravili smo program kojim određujemo dopunsko opterećenje trapeznog krila prema
jednadžbama:
2sinsin
2sin2 0
1
0 jjkd
m
k j
jjjj
acA
nacnnb =⋅
+∑
= ϑϑ
ϑ
1ϑ2ϑ
3ϑ
4ϑ
5ϑ
1c 2c 3c 4c 5c
Slika 5-12
gdje smo stavili da je αkk AA −= . Uzmimo pet presjek a za vrijednosti Glauertove varijable ϑ od
2π do 0.
( )142
2−−= jj
ππϑ
Gornju jednadžbu možemo napisati matrično
5-18
=
⋅
5
2
1
5
2
1
555251
252221
151211
B
BB
A
AA
aaa
aaaaaa
K
K
K
K
KK
KKKKK
KKKKK
KK
KK
gdje je
( ) ( )j
jjjjkj
nacnnba
ϑϑ
ϑsin
sin2
sin2 0+=
20j
jj
caB =
Za ovako izabrane vrijednosti bit će za 5=j
0sin0sin
sinsin
5
5 nn=
ϑϑ
Primjenom Lopitalovog pravila taj razlomak ima vrijednost
nnnn=
⋅=
0cos0cos
sinsin
5
5
ϑϑ .
Zato se koeficijent jka za 5=j računa prema jednadžbi
( )2
sin2 02 jjjkj
acnnba += ϑ
Taj program u MATLABu pod imenom Prandtl.m nalazi se na direktoriju disketa. Kao primjer
uzeli smo pravokutno neuvijeno ( ) 0=∆ yα i nezakrivljeno ( ) 00 =yα krilo:
raspon mb 15=
tetiva mc 5.1=
profil ploča π20 =a
Odrediti raspored cirkulacije i opterećenja po razmahu i aerodinamičke koeficijente
Raspored cirkulacije po rasponu dobit ćemo iz jednadžba
( ) ( )∑=
=∞=Γ
mn
njnj nAbV
1
sin2 ϑα
a mi ćemo nacrtati funkciju slika 4-12
( )∑=
=∞
⋅=Γ mn
njn
j nAbV 1
sin2 ϑα
Dobiveni su koefficijenti:
5-19
004.0,0019.0,0065.0,0253.0,1606.0=nA
i izračunava gradijent koeficijenta uzgona αLC i 2αDC prema jednadžbama
04.51 =⋅= AACL πα
878.01
22 =⋅= ∑
∞=
=
n
kkD
AnACi
πα
Slika 5-13
5.3 Metoda noseće linije
Glavni je uvjet primjene Prandlovog modela da geometrijsko mjesto točaka koje se nalaze na prvoj
četvrtini tetive bude pravac okomit na ravna simetrije krila xz. Drugim riječima kažemo da strijela
041 =Λ . Ukoliko iz bilo kojih razloga želimo krilo koje ne ispunjava taj uvjet potrebna nam je
druga metoda. Zato je razvijena tzv. metoda noseće linije ili Weisingerova metoda.
5-20
5.3.1 Princip metode noseće linije (Weissinger)
Ako u Glauertov model ili u model strelastog krila (slika 13) promatramo dva susjedna presjeka
onda na granici između njih izlazi jedna vrtložna nit
ii Γ−Γ=∆Γ +1
Tu jednu nit (slika lijevo) možemo zamisliti kao rezultantu dvaju vrtloga: vrtloga s lijeve strane
granice i vrtloga s desne strane granice. Time smo prekinuli vezani vrtlog na granici. Vrtlog koji
dolazi s lijeve strane iΓ odlazi u beskonačnost, a iz beskonačnosti dolazi 1+Γi i nastavlja se protezati
po jednoj četvrtini tetiva. iΓ koji odlazi u beskonačnost i 1+Γi koji dolazi iz beskonačnosti protežu se
istom putanjom niti ∆Γ (slika 5-14desno).
x
y
iΓjC1+Γi
∆Γ x
y
jC 1+Γi
1+ΓiiΓ
iΓ
Slika 5-14
Ako tako svaku nit promatramo kao rezultantu dva vrtloga onda dobivamo model na slici 5-15.
y
iΓjC
x
Slika 5-15
5-21
Polu-krilo podijelimo na m segmenta kao na slici 14. Svakom segmentu pridružimo jedan Π vrtlog
intenziteta iΓ čiji centralni dio leži na 41 tetiva tog segmenta, a bočni kraci su u pravcu brzine leta
(ili na površini segmenta)
5.3.2 Brzina inducirana П vrtlogom
Postavimo koordinatni sustav tako da je os x u pravcu i smjeru neporemećene brzine, a os y u
pravcu raspona krila. To znači da je ort xnr u pravcu i smjeru neporemećene brzine. Ishodište može
biti u vrhu krila ili u vrhu glavnog vrtloga. Vrtlog bilo kojeg segmenta "i" inducira u bilo kojoj
kontrolnoj točki "j" brzinu ijVr
. Podijelimo П vrtlog na tri djela od beskonačnosti u pravcu
neporemećene brzine do točke A, od A do B i od B do beskonačnosti u pravcu neporemećene brzine
kao na slici 15. Vrtlog Γ je na sva tri djela konstantan. Ort x osi xnr je ort neporemećene brzine
C
A
B
2rr
2hy
x
Bϑ
Slika 5-16
Treći dio od B do beskonačnosti u točki C inducira brzinu (vidi poglavlje o Biot -
Savartovom zakonu) koja je u pravcu i smjeru orta znr (ort vektorskog produkta neporemećene
brzine i vektora BC ).
( )1cos4 2
2 +⋅Γ
= Bz hnV ϑ
πrr
Prema jednadžbama
,sincos
222
22
hnrnrnrrn
zBzx
Bxrrrr
rr
==×=⋅
ϑϑ
bit će
5-22
( )1cos4 22
22 +
⋅Γ×
= Bx
hhrnV ϑ
π
rrr.
Kako je
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222
22
2
2
22
2
22
1cos11
cos1sinsin
cos1cos11cos
rnrrrrhh xBBB
B
B
BBrr⋅−
=−
=−
=−
−=
+ϑϑϑ
ϑϑϑϑ ,
bit će konačno
( )222
22 4 rnrr
rnVx
xrr
rrr
⋅−×Γ
=π
Analogno tome bit inducirana brzina od prvog dijela П vrtloga od beskonačnosti do točke A
( )111
11 4 rnrr
rnVx
xrr
rrr
⋅−×Γ
−=π
gdje je 1r udaljenost točke C od točke A, kao što je 2r udaljenost točke C od točke B. Ona je
suprotnog znaka jer je vrtlog na tom dijelu suprotnog smjera.
Za srednji dio П vrtloga inducirana brzina u točki C iznosi prema Biot-Savartovom zakonu
( )BAz hnV ϑϑ
πcoscos
4 00 −
⋅Γ
−=rr
Označimo vektor ABr =0r , onda je prema slici 17
.
coscos
rrrrn
rhnrrrrrrrrrr
1
21z
00z21
B2020
A1010
rr
rrr
rrr
rr
rr
××
=−
−=×=⋅=⋅
ϑϑ
C
A
B0rr
0h2rr
1rr
BϑAϑ
x
y
Slika 5-17
5-23
Pomoću tih relacija gornju jednadžbu za 0Vr
transformiramo u vektorski oblik
−⋅
×
×Γ=
⋅−
⋅××Γ
=
⋅−
⋅Γ××
=2
2
1
102
1
21
2
20
1
10
001
21
20
20
10
10
01
210 4
14
14 r
rrrr
rrrr
rrr
rrr
rhrrrr
rrrr
rrrr
hrrrrV
rrr
rr
rrrrrr
rr
rrrrrr
rr
rrr
πππ
Iz ove jednadžbe se može eliminirati vektor 0rr . Zamjenom u ovu jednadžbu da je 210 rrr rrr
−=
dobivamo:
( )
( )
( )
( )212121
21
22
21
21
222
21
21
2121222
21
2
2
1
12
1
21
2
2
1
12
1
0
cos1
cos1sin
coscossin1
rrrrrrrr
rrrr
rrrr
rrrrrr
rr
rr
rrrr
rr
rr
rrr
rr
rr
rr
rrrr
rr
r
⋅++
=
++
=
−+
=
+−−=
−⋅
×
−=
−⋅
×
ϑ
ϑϑ
ϑϑϑ
S ovom transformacijom jednadžbu za induciranu brzinu 0Vr
može se staviti u oblik
( ) 21212121
210 4
rrrrrrrr
rrV rrrr
r×
⋅++Γ
=π
Konačno П vrtlog Γ inducira u točki C brzinu wr koja je zbroj triju brzine od tri dijela П vrtloga
( )( )( )
( ) ( )222
2
212121
2121
111
1
444 rnrrrn
rrrrrrrrrr
rnrrrnw
x
x
x
xrr
rr
rr
rr
rr
rrr
⋅−×Γ
+⋅+×+Γ
+⋅−
×Γ−=
πππ
Tako je inducirana brzina proporcionalna intenzitetu П vrtloga
Γ⋅= Bwrr
gdje je vektor
( )( )( )
( ) ( )
⋅−
×+
⋅+×+
+⋅−
×−=
222
2
212121
2121
111
1
41
rnrrrn
rrrrrrrrrr
rnrrrnB
x
x
x
xrr
rr
rr
rr
rr
rrr
π
Podsjetimo se da su u ovoj jednadžbi vektori: CAr =1r i CBr =2
r . U prilogu je napravljena funkcija
u MATLABu pivrtlog.m koja izračunava vektor Br
. Ulazni podatci za tu funkciju su koordinate
točaka A, B, C, a u funkciji je stavljeno da je ort trećeg dijela П vrtloga u pravcu i smjeru x osi.
5.3.3 Određivanje intenziteta П vrtloga Γ1 , Γ2 , ... , Γm
Optjecanje krila zamjenjujemo sa m П vrtloga mΓΓΓ ,,, 21 K , ali njihovi intenziteti su još nepoznati.
Da bi ih odredili trebaju nam m rubnih uvjeta.
5-24
• Planarno krilo sa simetričnim profilom
Ako je oblik krila ravanski, tj. sve tetive leže u jednoj ravni kažemo da je krilo planarno .
Inducirana brzina u točki C na udaljenosti h bit će h2π
Γ , a kako je intenzitet vrtloga određen
jednadžbom:
2c
4c
c
∞V
α
αsin∞V
cπΓ
Γ
Slika 5-18
αρ
ρ 0
2
2acVV ∞∞
∞∞ =Γ
α0ac2
V∞=Γ
bit će inducirana brzina u točki C
h4Vacw 0
πα∞=
Ako je točka C udaljena od vrtloga π2
a2ch 0= onda je u njoj inducirana brzina α∞=Vw , što znači
da je u točki C na udaljenosti π2
a2ch 0= ispunjen rubni uvjet, jer kad se vektorski zbroji ova
inducirana brzina s neporemećenom brzinom dobiva se rezultanta paralelna tetivi.. Tako
zaključujemo da je kod simetričnog profila rubni uvjet ispunjen na udaljenosti π220ac od noseće
linije, a to znači da kontrolne točke treba postaviti na udaljenosti od napadnog ruba kao na slici 5-
19.
π2240acc
⋅+ .
5-25
U slučaju planarnog krila normale svih segmenata su okomite na ravan krila. Imamo ukupno m П
vrtloga mΓΓΓ ,,, 21 K . Svaki od njih inducira brzinu ijwr u točki jC .
iijij Bw Γ=rr
Tako će svih m iΠ vrtloga inducirati u točki jC ukupnu induciranu brzinu jwr
∑=
Γ=m
iiijj Bw
1
rr
0Λ
SΛ
CΛ
4rc
π220acr
rc
tc
4tc
π220act
C
12
2b
Slika 5-19
Sve inducirane brzine su okomite na ravan krila, pa se ova vektorska jednadžba svodi na skalarnu
jednadžbu
∑=
Γ⋅=m
iiijj Bw
1
Zbroj ukupne inducirane brzine od svih П vrtloga jw u kontrolnoj točki jC i normalna
komponenta brzine iz beskonačnosti αsin∞V , mora biti jednak nuli prema rubnom uvjetu u toj
točki
5-26
α
∞V
jC
ijw
iΓ
Slika 5-20. Planarno krilo
αsin1
∞=
−=Γ∑ VBm
iiij
Takvu jednadžbu možemo napisati za svaku kontrolnu točku, a to znači m jednadžba za m
nepoznatih П vrtloga koje možemo napisati u matričnom obliku gdje je J jedinični stupac:
JB αsin∞−=Γ⋅ V
Iz ove jednadžbe bit će
( )JB 1 ⋅−=Γ −∞ αsinV .
Zgodno je uvesti bezdimenzionalnu cirkulaciju G
( ) ( ) ∞∞
Γ=
Γ=
VbVbG
2sin2α
α
• Uvijeno krilo
U ovom slučaju svaki segment je u drugoj ravnini, ali svaki segment i dalje ima profil jedne ploče
(stepenasto uvijanje). I dalje važi rubni uvjet u kontrolnoj točki. Za razliku od planarnog krila,
svaka kontrolna točka ima svoj ort normale jnr koji je okomit na ravan tog segmenta. Obično je
uvijanje krila proporcionalno razmahu i opada od korene tetive prema vršnoj tetivi, tako da je
napadni kut u presjeku
ykr −=αα
5-27
gdje je 2b
k tr αα −= . Napadni kut krila mjerimo na korenoj tetivi krila duž koje je postavljena x os
kordinatnog sustava
( ) ( )yy ααα ∆+= ∞
gdje je yk ⋅−=∆α .
• Dihedral krilo
Ako imamo i dihedral kut φ bit će komponente orta normale na segment (prema lit. [7])
( ) ( ) [ ] [ ]φαφφαφα coscossincossin100 ⋅∆⋅∆−=⋅⋅∆= Txyj LLn
U pravcu te normale rubni uvjet mora biti zadovoljen
0=⋅+⋅ ∞∑ jm
jij nVnw rrrr
ili
( ) ∞=
⋅−=Γ⋅∑ VnBn j
m
iiijj
rrrr
1
I u ovom slučaju imamo m jednadžba iz kojih možemo odrediti m nepoznatih П vrtloga
mΓΓΓ ,,, 21 K .
• Zakrivljeni profil krila
Kada profil krila ima zakrivljenost onda više nemamo rubni uvjet da je inducirana brzina u točki na
43 tetive jednaka normalnoj komponenti brzine iz beskonačnosti. U tom slučaju treba izvršiti
diksretizaciju i po tetivi (dvostruka podjela krila), da bi mogli svaki segment opet zamijeniti s
pločom i na njoj promatrati П vrtlog na četvrtini njene tetive i kontrolnu točku na 43 njene tetive u
kojoj mora biti ispunjen rubni uvjet. Time prelazimo u tzv. 3D panelne metode.
5.3.4 Aerodinamički koeficijenti krila
Promatramo presjek ds okomit na geometrijsko mjesto 41 tetive. U tom presjeku profil je optjecan
iz beskonačnosti brzinom 41cosΛ∞V . Druga komponenta je okomita na presjek i nema
aerodinamičkog efekta. Prema teoremi Žukovskog u presjeku djeluje elementarna aerodinamička
sila
5-28
41Λdy
ds
x
iDd ′idD
Slika 5-21
( ) dssVdF 41 ⋅ΓΛ= ∞∞ cosρ
koja je okomita na zbroj komponente brzine 41cosΛ∞V i inducirane brzine w u tom presjeku. (slika
22) . U ravnini presjeka razlažemo elementarnu aerodinamičku silu Fdr
na Ld ′r
okomito na
komponentu brzine 41cosΛ∞V i iDd ′r
u pravcu te brzine.
dFdL
iDd ′
w
41cosΛ∞V
Slika 5-22
( ) dsswV
wdFDd
dyVdsVdFLd
i ⋅Γ=Λ
=′
⋅Γ=⋅ΓΛ=≈′
∞∞
∞∞∞∞
ρ
ρρ
41
41
cos
cos
Kako je elementarni uzgon dL okomit na 41cosΛ∞V i na element ds on je paralelan s ravninom
simetrije krila dLLd ≡′ ,
5-29
∫−
∞∞ Γ=2
2
b
b
dyVL ρ
Iz ovih jednadžba bit će koeficijent uzgona
( )( )
∫∫
− ∞∞∞
−∞∞
Γ=
Γ
=2
22
2
2 2
2
b
b
b
bL dy
Vy
SSV
dyyVC
ρ
ρ
Koristimo oznaku 2bV
G⋅Γ
=∞
α za bezdimenzionalni gradijent cirkulacije, a to znači da je
αGVb∞=Γ
2
S tom oznakom bit će
( ) ( )∫∫∫∫ ⋅====
−− ∞
∞
− ∞
1
0
1
1
1
12
2
2 22222 ydGAydGAydbV
GVbb
AdyV
yS
Cb
bL
αα
Γ
U slučaju konačnih razlika bit će m
by 2=∆ , pa je
mbyy 12==
∆∆ . Zato je
m
GAC
m
jj
L
∑== 1
α
Elementarni otpor moramo razložiti na otpor 41cosΛ′= ii DddD u pravcu brzine iz beskonačnosti
∞V i komponentu okomiti na ravan simetrije krila (u pravcu raspona krila) 41sinΛ′iDd . Ova druga
se poništava s istom takom komponentom na drugoj polovici krila.
∫∫∫∫ ∞−
∞−
∞−
==⋅=′=2
0
2
2
2
241
2
241' 2coscos
bb
b
b
b
b
bi dywdywdswDdD ΓρΓρΛΓρΛ
Koeficijent induciranog otpora bit će
( )∫∫∫∫
∫∞∞∞
∞
∞∞∞∞∞
∞
===Γ
=Γ
=1
0
1
0
1
02
2
02
2
0
2244
2
2ydG
VwAydG
VwAydb
VGVb
Vw
bAdy
VVw
SSV
dywC
b
b
Dind αααρ
ρ
∑∑= ∞= ∞
==m
jj
jm
jj
jindD G
Vw
mA
mG
Vw
AC11
1 αα
U jednadžbi za inducirani otpor pojavljuje se inducirana brzina. To je inducirana brzina na 41
tetive i ona određuje inducirani kut u presjeku
5-30
∞
=Vwind
indα
U slučaju trapeznog krila kroz tu točku prolaze svi centralni dijelovi od П vrtloga od te polovine
krila na kojoj je točka, što znači da induciranu brzinu stvaraju samo njihovi kraci, a od suprotne
polovine krila kompletni П vrtlozi induciraju brzinu. Zato smo napravili novu rutinu trag.m koja u
točkama na sredini svakog segmenta a na 41 tetive računa induciranu brzinu od krakova П vrtloga.
Ulazni parametri su opet isti: koordinate točaka A i B (vrhovi П vrtloga) i koordinate točke u kojoj
želimo induciranu brzinu. S tom rutinom određujemo vrijednosti inducirane brzine na toj polovici
krila a sa rutinom pivrtlog.m određujemo inducirane brzine od suprotne polovice krila
∑=
Γ⋅=m
iiijj Dw
1
U ovoj jednadžbi ijD je inducirana od krakova jediničnog П vrtloga na polovini krila gdje je
segment "j"segmentu ili od kompletnog jediničnog П vrtloga s druge polovice krila. Dijeljenjem
ove jednadžbe sa brzinom iz beskonačnosti i ako se poslužimo bezdimenzionalnim gradijentom
vrtloga ( ) α∞
Γ=
VbG
2 dobivamo
∑ ∑= =∞∞
=⋅=Γ
⋅=m
ij
m
iiij
iij
j gGDbV
DVw
1 12αα ,
gdje smo uveli oznaku
∑=
=m
iiijj GDbg
12.
Zamijenimo ovaj rezultat u gornju jednadžbu
∑= ∞
=m
jj
jindD G
Vw
mAC
1
α
Dobit ćemo
m
GgA
m
GgAC
m
jjj
m
jjj
indD
∑∑== === 121 α
αα
Zato što je koeficijent induciranog otpora proporcionalan kvadratu napadnog kuta iz bekonačnosti
uvodimo oznaku 2αDC za taj koeficijent proporcionalnosti
22ααDindD CC =
gdje je
5-31
m
GgAC
m
jjj
D
∑=
⋅= 1
2α
5.3.5 Primjer
Zadano je strelasto krilo
mb 10= , mc 2= 1=λ 20 45=Λ
Naći funkciju LC
cl i usporediti izračunate vrijednosti s izmjerenim.
α 0 3.5 6 11.5 17.5 26 36.5 47 64 67.5
LCcl 0.986 1.014 1.05 1.07 1.06 1.06 1.05 1.05 0.808 0.723
Rješenje
U ovom slučaju površina krila je cbS ⋅= . U programu su izračunati koeficijenti po jednadžbama
( )
( ) ∑∫∫∫=∞
∞
∞
∞
∞
∞ ===Γ
Γ
= m
jj
bbL G
Gm
yGd
G
dyV
GVbbc
cVGVb
dyVS
cVCc
1
1
0
2
0
2
0
24
22
4
2
α
α
l
Slika 5-23
5-32
Program je napisan u MATLABu. Zove se Weissinger.m za planarno krilo. Nalazi se u
direktoriju disketa. Za zadane ulazne podatke dobiveni su rezultati
Na slici 2.3-8 prikazana je funkcija
∑=
= m
jj
L G
GmCc
1
l
i izmjeren točke. Izračunati su aerodinamički koeficijenti
618.020.3
2 ==
α
α
D
L
CC
5.4 Utjecaj stlačivosti zraka - teorija malih poremećaja
5.4.1 Parcijalna diferencijalna jednadžba potencijala malih poremećaja brzina
Polazeći od općih jednadžba izentropskog neviskoznog optjecanja zraka kao stlačivog fluida
( )
constp
pgraddtVd
Vdiv
=
−=
=
γρ
ρ
ρr
r0
isto kao za ravansko strujanje možemo izvesti prostornu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu
potencijala poremećene brzina ( )zyx ,,φ .
( ) ( ) ( ) 0222222
2
222
2
222
2
222 =
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂∂
+∂∂
−+∂∂
−+∂∂
−vx
uvxz
wuzy
vwz
awy
avx
au φφφφφφ
wvu ,, su komponente poremećene brzine u polju oko krila, a φ je potencijal optjecanja krila tj.
xu
∂∂
=φ
yv
∂∂
=φ
zw
∂∂
=φ
Ako smo x os postavili u pravcu i smjeru neporemećene brzine ∞V , a sa wvu ˆ,ˆ,ˆ označili poremećaje
komponenata brzine koje je stvorilo optjecanje krila onda su
wwvv
uVu
ˆˆ
ˆ
==
+= ∞
jer prije optjecanja krila nisu postojale druge dvije komponente. Namjesto potencijala poremećene
brzine ( )zyx ,,φ , uvodimo potencijal poremećaja brzina ( )zyx ,,φ̂
5-33
xu
∂∂
=φ̂ˆ
yv
∂∂
=φ̂ˆ
zw
∂∂
=φ̂ˆ
što znači da je potencijal premećene brzine u polju oko krila
xV
x ∂∂
+=∂∂
∞φφ ˆ
yy ∂∂
=∂∂ φφ ˆ
zz ∂∂
=∂∂ φφ ˆ
Zamjenom ovih vrijednosti za potencijal brzine u parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala
poremećene brzina φ , te ako pretpostavimo
• da su poremećaji brzina wvu ˆ,ˆ,ˆ male veličine u odnosu na neporemećenu brzinu ∞V i
• da je Ma različit od 1,
poslije zanemarivanja malih veličina drugog i višeg reda dobivamo
( ) 0ˆˆˆ
1 2
2
2
2
2
22 =
∂∂
+∂∂
+∂∂
−zyx
Ma φφφ ,
tzv. lineariziranu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu potencijala poremećaja brzina.
Koeficijent tlaka dobivamo iz linearizirane Eulerove jednadžbe koju smo izveli u poglavlju
4.3.5.
2
222 ˆˆˆˆ2
∞∞
++−−=
Vwvu
VuC p
U teoretskim razmatranjima obično zanemarimo drugi dio na desnoj strani kao malu veličinu višeg
reda, onda je
xVC p ∂
∂−=
∞
φ̂2
međutim u numeričkim proračunima ta zanemarivanje ne treba vršiti jer su poremećaji brzine u
blizini napadnog ruba nezanemarljivi. Kad je određen koeficijent tlaka, koeficijent uzgona i
induciranog otpora stvoreni raporedom tlaka po površini krila određuju se jednadžbama:
∫ ∫∫−−∞
⋅=⋅==2b
2bp
2b
2bL dydxC
S1dyc
S1
SqLC l
∫ ∫∫−−∞∞
⋅−=−==2b
2bp
2b
2bdiDi dydzC
S1dyc
Sq1
SqDC
5-34
5.4.2 Utjecaj stlačivosti
U slučaju tankog krila pod malim napadnim kutom potencijal poremećaja brzina zadovoljava
parcijalnu diferencijalnu jednadžbu
( ) 0ˆˆˆ
1 2
2
2
2
2
22 =
∂∂
+∂∂
+∂∂
− ∞ zyxMa φφφ
i rubni uvjet (slika 24)
ϑϑφφ tantanˆˆ
∞∞ ≈
∂∂
+=∂∂ V
xV
z
Ako u parcijalnoj diferencijalnoj jednadžbi izvršimo smjenu
βxx =1
x
y
y
b0c
0Λ
β0
0Λ
=Λtanarctan
β0c
1x
Slika 5-24. Lijevo - zadani oblik krila, desno - preslikano krilo
a druge dvije varijable zadržimo iste i potencijal poremećaja zadržimo isti, dobit ćemo Laplassovu
diferencijalnu jednadžbu za potencijal ( )zyx ,,ˆ1φ
5-35
0ˆˆˆ2
2
2
2
21
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zyxφφφ
Prilikom ove transformacije x koordinata je pomnožena sa faktorom β1 . Zbog toga u novim
koordinatama krilo ima oblik kao na slici 5-24 - desno (povećane tetive) odnosno profil preslikanog
krila bit će izdužen (manje relativne debljine) kao na slici 5-25. Taj oblik krila zvat ćemo preslikani
oblik krila i preslikani profil krila. Koordinate zyx ,,1 definiraju preslikani prostor, a to znači da
svakoj točki jednog prostora odgovara točka drugog prostora. Te odgovarajuće točke imaju isto y i
z, a apscise su povezane jednadžbom βxx =1 . U odgovarajućim točkama potencijal φ̂ brojno je
isti kao i koordinata z, pa prema tome ista je i derivacija z∂
∂φ̂ (na slici 5-24 lijevo i desno u
odgovarajućim točkama, a na slici 25 gore i dolje u odgovarajućim točkama).
∞V
x
z
∞V
1x
z
ϑ
1θ
Slika
5-25
U preslikanom prostoru potencijal zadovoljava Laplassovu jednadžba, to znači da je u preslikanom
prostoru optjecanje nestlačivo ako je ispunjen i rubni uvjet, tj. ako je z∂
∂φ̂ jednako 1V ϑtan∞ gdje 1ϑ
5-36
kut tangente na gornjoj ili donjoj površini krila. (slika 5-25 dolje). U zadanom prostoru (slika 5-25
gore) imamo ispunjeni rubni uvjet ϑφ tanˆ
∞=∂∂ V
zMeđutim rubni uvjet neće biti ispunjen u
preslikanom prostoru jer je ϑϑ ≠1 . Iz jednadžbe preslikavanja βxx =1 slijedi
ϑββϑ tantan ===dxdz
dxdz u
1
u1 .
Kad ovaj rezultat zamijenimo u ispunjeni rubni uvjet
ϑφ tanˆ
∞=∂∂ V
z
dobivamo
βϑφ 1V
ztanˆ
∞=∂∂
što znači da u preslikanom prostoru nije ispunjen rubni uvjet da je z∂
∂φ̂ jednako 1V ϑtan∞ . Da bi u
preslikanom prostoru profil imao isti nagib tangente, moramo preslikati neki drugi profil iz zadanog
prostora. Taj drugi profil treba imati povećanu debljinu u istom omjeru kao što se duljina tijekom
preslikavanja povećava, tj obije dimenzije β1 puta kao na slici 5-26.
x
x 1x
1x
z
z
z
z
Slika 5-26
Krilo koje ima preslikani oblik a isti profil, nazivamo nulto krilo. Ono je optjecano
nestlačivom strujom zraka u preslikanom prostoru. U odgovarajućim točkama zadanog krila i
5-37
nultog krila imamo isti potencijal φ̂ . Parametre nultog krila označavamo indeksom 1. Sa slike
vidimo da nulto krilo ima vitkost i strijelu koji su u odnosu na vitkost i strijelu zadanog krila:
βAA =1 ( )βΛΛ 0
10tantan =
a profil ima isti, pa je 0a nultog krila isto kao zadanog krila. U odgovarajućim točkama zadanog i
nultog krila, bit će koeficijent tlaka:
zadanog krila xV
C p ∂∂
−=∞
φ̂2
nultog krila 1
1
ˆ2xV
C p ∂∂
−=∞
φ
Zato što su u odgovarajućim točkama potencijali isti, a koordinate βxx =1 bit će
β1p
p
CC =
Već smo rekli da je nulto krilo u nestlačivoj struji zraka pa je nspp CC =1 , ali na krilu koje ima
izmijenjenu vitkost βAA =1 i izmijenjene strijelu ( )βΛΛ 0
10tantan = , a profil isti. Iz jednadžbe za
koeficijent uzgona zadanog krila
( )[ ]∫ ∫−
=2
2
,1 b
bpL dydxyxC
SC
i nultog krila
( )[ ]∫ ∫−
=2b
2b111p
11L dydxyxC
S1C ,
poslije zamjene i prelaska na novu varijablu 1x bit će
( ) ( ) ( )[ ]ββ
βββ
12
2111
1
2
21
11
1
,11,1 Lb
bp
b
b
pL
CdydxyxCS
dyxdyxC
SC =
=
= ∫ ∫∫ ∫
−−
pa je
βα
α1L
L
CC =
gdje je gradijent α1LC određen za nestlačivu struju zraka oko nultog krila koje ima promijenjenu
vitkost βAA =1 i promijenjenu strijelu ( )βΛΛ 0
10tantan = . Analogno tome dobivamo i
5-38
β1Di
DiC
C =
5.5 Strelasto krilo
Za krila bez strijele granica praktične uporabe je kritični Machov broj profila. Međutim strelasta
krila mogu letjeli s brzinom koja je veća od kritičnog Machovog broja profila, pa se zato strelasta
krila široko u uporabi. Objasnimo zašto strijela krila 041 ≠Λ povećava kritičan Machov broj.
Pretpostavimo krilo beskonačnog razmaha i istog profila u svim presjecima. Optjecanje takvog krila
je ravansko. Na slici 26 lijevo imamo krilo bez strijele ( 041 =Λ ). Zamislimo da smo tom krilu dali
brzinu Wr
na desno. Ako zanemarimo trenje, ništa se neće promijeniti u slici optjecanja. To znači da
je ta slika optjecanja ista kao da je krilo u miru optjecano brzinom WUrr
− . A takav slučaj imamo
na slici lijevo gdje je krilo sa strijelom 041 ≠Λ optjecano brzinom ∞Vr
. Tako zaključujemo da je u
slučaju strijelastog krila slika optjecanja određena komponentom brzine nVr
u presjeku okomitom na
glavni vrtlog (GM jedne četvrtine tetiva) i profilom u tom presjeku. U oba slučaj (na lijevoj i
desnoj strani slike 11) Machov broj ∞M je isti, ali dok na lijevoj strani treba biti crMaMa <∞ , na
desnoj strani treba biti crMaMa <Λ∞ 41cos ili
∞V
∞V
∞U
W
W−
41cosΛ= ∞VVn
41Λ
presjek okomitnaglavni vrtlog
Slika 5-27
41cosΛ<∞
crMaMa
To je razlog primjene strelastog krila