5 - limite e continuidade função real de várias variáveis
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Disciplina: Cálculo 2 (C2) Professor: Valério Matos Assunto(s): Limite e continuidade de função real de duas variáveis
Limite e continuidade de função real de duas variáveis 1/2
LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO REAL DE DUAS VARIÁVEIS
Definição (01): Diz-se que x;y se aproxima de 00 ;yx se a distância entre eles tende para zero, independentemente do percurso feito por x;y , sendo a distância entre tais pontos dada por
202
000 yyxx;yxx;y
Definição (02): Sejam 200 R ;yxP e 0r . A bola aberta de centro 00;yx e raio r é
definida por r;yxx;yyxrPB 002 ;;; R .
Definição (03): Um ponto 200 R;yx é ponto de acumulação de 2RD se para toda bola
aberta centrada em 00;yx contenha pelo menos um ponto de D distinto de 00;yx . O conjunto dos
pontos de acumulação de D é chamado de derivado cuja notação é ' D . Um ponto em D que não é ponto de acumulação é chamado de isolado.
Definição (04): Sejam RR: 2Df uma função e 00;yx um ponto de acumulação de D .
Diz-se que o limite de f em 00;yx é L quando para cada 0 , dado arbitrariamente, for possível
obter 0 , o qual depende de e 00;yx , tal que
se Dx;y e 000 ;yxx;y então Lx;yf .
Definição (05): Sejam RR 2: Df e D;yx 00 . Diz-se que f é contínua em 00 ;yx se uma das seguintes alternativas ocorrer: (i) 00;yx é ponto isolado de D ; (ii) 00;yx é ponto de acumulação de D e
00
00
lim ;yxfx;yf;yxx;y
.
Diz-se que f é contínua em D se f é contínua em todos os pontos de D . Se f é uma função de três variáveis então f é contínua e 000 ;z;yx se
000
00
lim ;z;yxfx;y;zf;yxx;y
.
Proposição (06): Sejam 2, RYX e Ra . Então (i) 0X e 0X se, e somente se 0;0X ;
(ii) XaaX ;
(iii) Desigualdade triangular: YXYX ;
[Desigualdade em R : yxyx para todos Ryx, ];
(iv) Xx 1 e Xx 2 com 21; xxX ;
(iv) 21 xxX com 21; xxX ;
Nota: 22
21 xxX .
Teorema (unicidade do limite) (07): Sejam RR 2: Df e 00;yx um ponto de acumulação de D . Se
1
00
lim Lx;yf;yxx;y
e
200
lim Lx;yf;yxx;y
então 21 LL .
Disciplina: Cálculo 2 (C2) Professor: Valério Matos Assunto(s): Limite e continuidade de função real de duas variáveis
Limite e continuidade de função real de duas variáveis 2/2
Teorema (08): Sejam RR 2: Df e D;yx 00 um ponto de acumulação de D . Então
Lx;yf
;yxx;y
00
lim se, e somente se,
0lim00
Lx;yf;yxx;y
.
Teorema (09): Sejam RR 2: Df , RR 2: Dg e 00;yx um ponto de acumulação de D . Se yxgyxf ;; para todo 00; ;yxDyx então
x;ygx;yf
;yxx;y;yxx;y 0000
limlim
.
Teorema (propriedades do limite) (10): Sejam RR 2: Df , RR 2: Dg e 00;yx um ponto de acumulação de D . Se
Lx;yf
;yxx;y
00
lim e
Mx;yg;yxx;y
00
lim então
(i)
MLx;ygx;yf;yxx;y
00
lim ;
(ii)
MLx;ygx;yf;yxx;y
00
lim
(iii)
LMx;ygx;yf;yxx;y
00
lim ;
(iv)
M
Lx;ygx;yf
;yxx;y
00
lim desde que 0M .
Teorema (do confronto) (11): Sejam RR 2: Df , RR 2: Dg , RR 2: Dh e
00;yx um ponto de acumulação de D . Se x;yhx;ygx;yf para r;yxx;y 000
e
Lx;yhx;yf;yxx;y;yxx;y
0000
limlim então
Lx;yg;yxx;y
00
lim .
Teorema (12): Sejam RR 2: Df , RR 2: Dg e 00;yx um ponto de acumulação
de D . Se
0lim00
x;yf;yxx;y
, Mx;yg com r;yxx;y 000 , sendo 0r e
0M então
0lim00
x;ygx;yf;yxx;y
.
Proposição (composição de funções) (13): Sejam RR 2: Df e RR Eg : tais que EDf . Sejam ' 0 DX e ' 0 EY . Se 0YXf para todo 0XX , 0
0
lim YXfXX
e
LYgYY
0
lim então a função composta fg , definida por XfgXfg , tem limite em
0X e vale LXfgXX
0
lim .
Corolário (14): Sejam RR 2: Df , RR I: e RR I: duas curvas parametrizadas passando pelo ponto ' 0 DX , isto é, 000 Xtt para algum R0t .
Suponha que ttXtttt
00
limlim0
e 0Xt , 0Xt para todo 0tt .
Se tftftttt
00
limlim
então f não tem limite em 0X .