131

U ovoj glavi pokazano je kako se problem dvodimenzionalne i trodimenzionalne elastičnosti

može numerički riješiti metodom konačnih elemenata. Predstavljen je matrični koncept

MKE, osnovni elementi koji se nalaze i u bibliotekama softverskih paketa koji rješavaju

problem elastičnosti metodom konačnih elemenata, kao i način formiranja globalne matrice

krutosti sistema.

5.1 Matrica krutosti pravougaonog KE sa četiri čvora

Jedan od pristupa da se numerički riješi problem određivanja napona i deformacija tanke

ploče na slici 5.1(a) čije analitičko rješenje nije poznato je da se traži približno rješenje

pretpostavljajući polja pomjeranja na cijelom domenu koje će približno zadovoljiti jednačine

ravnoteže. Drugi pristup je da se ploča podijeli na ograničen broj poddomena (konačnih

elemenata, slika 5.1(b)) i da se polje pomjeranja na cijelom domenu aproksimira serijom

jednostavnijih funkcija na poddomenima.

MKE za dvodimenzionalnu i trodimenzionalnu elastičnost

132

Na slici 5.2(a) prikazan je jedan pravougaoni KE kojim je diskretizovan domen ploče. Konačni

element je preko zajedničkih čvorova vezan za ostale KE. Uticaj susjednih konačnih

elemenata zamjenjuje se silama u čvorovima, slika 5.2(b). U čvorovima KE može djelovati i

vanjsko opterećenje.

Da bi se opisalo ponašanje cijelog tijela pod dejstvom opterećenja, izvest će se prvo

jednačine koje opisuju ponašanje KE kojima je tijelo diskretizovano pod dejstvom

opterećenja. Veza između sila koje djeluju u vrhovima KE i pomjeranja izvest će se uz pomoć

principa o minimumu ukupne potencijalne energije sistema. Radi jednostavnosti, usvojit će

se da su dimenzije KE , a poslije će se dobijeni rezultati generalisati za KE

proizvoljnih dimenzija. Neka je ishodište koordinatnog sistema u geometrijskom središtu KE.

Da bi se procijenila vrijednost deformacionog rada za konačni element potrebno je

F1

F2

F1

F2

Slika 5.1 Tanka ravna ploča pod dejstvom opterećenja (a) i podjela geometrijskog domena na mrežu pravougaonih KE (b)

(a) (b)

B

C D

A

Slika 5.2 Pravougaoni konačni element (a) i sile u čvorovima konačnog elementa (b)

B

C D

A

B

B

B

B

B

B

B

B

(b) (a)

133

pretpostaviti polje pomjeranja na domenu konačnog elementa. Pretpostavit će se da se polje

pomjeranja i u i pravcu mijenja prema sljedećim jednačinama:

Osam konstanti i ( ) u prethodnim jednačinama mogu se izraziti preko

komponenti vektora pomjeranja i u čvorovima KE. Naprimjer, za čvor A vrijedi:

, , i i uvrštavanjem ovih vrijednosti u jednačine

(5.1) slijede dvije jednačine,

Na isti način se za tri preostala čvora mogu napisati po dvije jednačine tako da se iz osam

jednačina mogu odrediti osam nepoznatih konstanti i . Nakon određivanja ovih osam

konstanti komponente vektora pomjeranja i mogu se na domenu KE izraziti u funkciji

pomjeranja u čvorovima na sljedeći način:

Funkcije nazivaju se interpolacione funkcije jer služe za interpolaciju

vrijednosti polja pomjeranja unutar KE. Osobina interpolacione funkcije je takva da je

jednaka nuli u svim čvorovima osim u čvoru gdje je jednaka jedinici. Naprimjer, za

koordinate tačke A interpolaciona funkcija je

ima vrijednost

jedan, dok u tačkama B , C , i D vrijednost ove funkcije je jednaka nuli.

Na osnovu jednačina (5.3) za polja pomjeranja, dilatacije i klizanja su:

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

134

Potencijalna energija deformacije određena jednačinom (2.26) svodi se za slučaj ravnog naponskog stanja, za koji vrijedi , na sljedeći izraz:

Uvrštavanjem u prethodnu jednačinu izraza za napone, koji su za slučaj linearno elastičnog

tijela i ravnog naponskog stanja određeni jednačinama (2.39), potencijalna energija

deformacije može se izraziti samo u funkciji dilatacija i klizanja:

U skladu sa jednačinom (2.37) izvod potencijalne energije deformacije po pomjeranju

jednak je sili koja djeluje u čvoru A,

Na osnovu izraza (5.8) slijedi:

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

135

Na osnovu izraza (5.4)-(5.6) iz izraza (5.10) slijedi:

Imajući u vidu da je , gdje je debljina ploče (odnosno KE), nakon integracije

jednačine (5.11) dobija se

Ponavljanjem prethodnog postupka, parcijalni izvod potencijalne energije deformacije po

pomjeranju je

odnosno

Ponavljanjem postupka za preostala tri čvora KE dobija se dodatnih šest jednačina koje se zajedno sa jednačinama (5.9) i (5.14) mogu pisati u matričnom obliku na sljedeći način:

(5.11)

(5.12)

(5.13)

(5.14)

136

C

gdje je

i matrica krutosti konačnog elementa u odnosu na definisani

koordinatni sistem prikazan na slici 5.2(b), a koja daje vezu između pomjeranja čvorova KE i

sila koje djeluju u tim čvorovima.

Primjena pravouganog četverougaonog KE biće prikazana na sljedećem primjeru.

Primjer 5.1

Potrebno je izračunati pomjeranje napadne tačke sile intenziteta koja djeluje na

tanku konzolnu ploču debljine čija geometrija i opterećenje su dati na slici 5.3(a).

Modul elastičnosti materijala ploče i Poissonov koeficijent .

Geometrijski domen ploče diskretizovat će se sa 4 pravougaona konačna elementa koji imaju

ukupno 9 čvorova, slika 5.3(b). Konačni elementi su međusobno u vezi preko čvorova, a

čvorovima 1, 2 i 3 je spriječeno pomjeranje kako bi se time aproksimirao granični uslov po

pomjeranjima na ukliještenom dijelu konzole. Da bi se primijenio princip o minimumu

ukupne potencijalne energije sistema, potencijalna energija deformacije će se računati kao

zbir potencijalnih energija deformacije konačnih elemenata, ,

odakle za parcijalni izvod po pomjeranju vrijedi:

(5.16)

(5.15)

Neupisani elementi matrice su

simetrični u odnosu na glavnu

dijagonalu

137

Svi KE na domenu ploče su jednakih dimenzija kao i KE na slici 5.2 tako da se može iskoristiti

matrica krutosti u sistemu jednačina (5.15). Kada se u sistem jednačina (5.15) uvrste

vrijednosti debljine ploče, modula elastičnosti i Poissonovog koeficijenta ovaj sistem se može

pisati u sljedećem oblik:

5.4 1.95 -3.3 -0.15 -2.7 -1.95 0.6 0.15

1.95 5.4 0.15 0.6 -1.95 -2.7 -0.15 -3.3

-3.3 0.15 5.4 -1.95 0.6 -0.15 -2.7 1.95

-0.15 0.6 -1.95 5.4 0.15 -3.3 1.95 -2.7

-2.7 -1.95 0.6 0.15 5.4 1.95 -3.3 -0.15

-1.95 -2.7 -0.15 -3.3 1.95 5.4 0.15 0.6

0.6 -0.15 -2.7 1.95 -3.3 0.15 5.4 -1.95

0.15 -3.3 1.95 -2.7 -0.15 0.6 -1.95 5.4

Da bi se iskoristio prethodni sistem jednačina potrebno je da se za svaki konačni element

identifikuju odgovarajući brojevi (globalnih) čvorova sa slovima koja označavaju čvorove u

prethodnim jednačinama. Naprimjer, na osnovu slike 5.4 za konačni element broj 1

(lokalnom) čvoru A odgovara (globalni) čvor broj 1, čvoru B odgovara čvor 4, itd.

Na osnovu veze između globalnih i lokalnih čvorova sistem jednačina (5.17) za KE 1 ima

sljedeći oblik:

4 m

4 m

F

4 2

3 1

9

4

6

5

3

2

1

8

7

F

(a) (b)

Slika 5.3 Dimenzije i opterećenje konzolne ploče (a) i diskretizacija ploče mrežom konačnih elemenata (b)

(5.17)

138

5.4 1.95 -3.3 -0.15 -2.7 -1.95 0.6 0.15

1.95 5.4 0.15 0.6 -1.95 -2.7 -0.15 -3.3

-3.3 0.15 5.4 -1.95 0.6 -0.15 -2.7 1.95

-0.15 0.6 -1.95 5.4 0.15 -3.3 1.95 -2.7

-2.7 -1.95 0.6 0.15 5.4 1.95 -3.3 -0.15

-1.95 -2.7 -0.15 -3.3 1.95 5.4 0.15 0.6

0.6 -0.15 -2.7 1.95 -3.3 0.15 5.4 -1.95

0.15 -3.3 1.95 -2.7 -0.15 0.6 -1.95 5.4

Za KE 2 sistem jednačina (5.17) ima oblik:

5.4 1.95 -3.3 -0.15 -2.7 -1.95 0.6 0.15

1.95 5.4 0.15 0.6 -1.95 -2.7 -0.15 -3.3

-3.3 0.15 5.4 -1.95 0.6 -0.15 -2.7 1.95

-0.15 0.6 -1.95 5.4 0.15 -3.3 1.95 -2.7

-2.7 -1.95 0.6 0.15 5.4 1.95 -3.3 -0.15

-1.95 -2.7 -0.15 -3.3 1.95 5.4 0.15 0.6

0.6 -0.15 -2.7 1.95 -3.3 0.15 5.4 -1.95

0.15 -3.3 1.95 -2.7 -0.15 0.6 -1.95 5.4

Za 3 sistem jednačina (5.17) ima oblik:

5.4 1.95 -3.3 -0.15 -2.7 -1.95 0.6 0.15

1.95 5.4 0.15 0.6 -1.95 -2.7 -0.15 -3.3

-3.3 0.15 5.4 -1.95 0.6 -0.15 -2.7 1.95

-0.15 0.6 -1.95 5.4 0.15 -3.3 1.95 -2.7

-2.7 -1.95 0.6 0.15 5.4 1.95 -3.3 -0.15

-1.95 -2.7 -0.15 -3.3 1.95 5.4 0.15 0.6

0.6 -0.15 -2.7 1.95 -3.3 0.15 5.4 -1.95

0.15 -3.3 1.95 -2.7 -0.15 0.6 -1.95 5.4

(5.18)

(5.19)

(5.20)

Slika 5.4 Veza između lokalnih i globalnih čvorova mreže konačnih elemenata.

4 2

3 1

9

4

6

5

3

2

1

8

7

B

C D

A 4

5 2

1

1

139

Za KE 4 sistem jednačina (5.17) ima oblik:

5.4 1.95 -3.3 -0.15 -2.7 -1.95 0.6 0.15

1.95 5.4 0.15 0.6 -1.95 -2.7 -0.15 -3.3

-3.3 0.15 5.4 -1.95 0.6 -0.15 -2.7 1.95

-0.15 0.6 -1.95 5.4 0.15 -3.3 1.95 -2.7

-2.7 -1.95 0.6 0.15 5.4 1.95 -3.3 -0.15

-1.95 -2.7 -0.15 -3.3 1.95 5.4 0.15 0.6

0.6 -0.15 -2.7 1.95 -3.3 0.15 5.4 -1.95

0.15 -3.3 1.95 -2.7 -0.15 0.6 -1.95 5.4

Treba primijetiti da su u sistemu jednačina (5.18) do (5.21) u matricama vektor kolonama

pomjeranja i opterećenja komponente ovih vektora u globalnom sistemu. Obzirom da su

lokalne koordinate i koje su vezane za konačni element paralelne osama i globalnog

koordinatnog sistema matrica transformacija je jedinična matrica.

U skladu sa principom o minimumu ukupne potencijalne energije, ili Castiglianovoj teoremi,

izvod ukupne potencijalne energije sistema po pomjeranju jednak je sili u pravcu tog

pomjeranja. Za usvojenu diskretizaciju u datom problemu postoji 9 čvorova i u svakom čvoru

dva stepena slobode, tako da se mogu pisati za svaki čvor sljedeći izrazi:

gdje je , što ukupno čini 18 jednačina sa 18 nepoznatih komponenti vektora

pomjeranja u 9 čvorova.

Za formiranje sistema jednačina (5.22) iskoristit će se matrice krutosti pojedinih KE.

Naprimjer, izraz u prvoj jednačini u sistemu jednačina (5.18) sa lijeve strane predstavlja

parcijalni izvod potencijalne energije deformacija po pomjeranju ,

. Ovaj izraz čini

doprinos u prvoj jednačini sistema jednačina (5.22) za . Sistem jednačina (5.22) pisan u

matričnoj formi dat je izrazom (5.23) a doprinos iz prve od jednačina sistema (5.18) unesen

je u izraz (5.23) vodeći računa da elementi matrice krutosti KE 1 koji se množe sa

odgovarajućom komponentom vektora pomjeranja dodaju elementima globalne matrice

krutosti koji se množe sa istom komponentom vektora pomjeranja u globalnoj matrici

krutosti. Naprimjer, element u matrici krutosti u izrazu (5.18) koji se nalazi u trećoj vrsti i

sedmoj koloni matrice krutosti iznosi . Izraz sa lijeve strane u trećoj vrsti

sistema jednačina (5.18) odnosi se na parcijalni izvod

i ovaj element treba dodati

(5.21)

(5.22)

140

globalnoj matrici krutosti u sedmu vrstu koja se odnosi na jednačinu

. Element

množi se u sistemu jednačina (5.18) sa komponentom pomjeranja . Ovom komponentom

se u globalnoj matrici krutosti množe elementi u desetoj vrsti tako da se element

dodaje elementu . Na isti način se i ostali elementi matrice krutosti KE 1 sabiraju sa

odgovarajućim elementima globalne matrice krutosti.

5.4 1.95 0.6 0.15 -3.3 -0.2 -2.7 -1.95

1.95 5.4 -0.2 -3.3 0.15 0.6 -2 -2.7

0 -0.2 5.4 -2 -2.7 1.95 -3.3 0.15

0.15 -3.3 -2 5.4 1.95 -2.7 -0.2 0.6

-3.3 0.15 -2.7 1.95 5.4 -2 0.6 -0.15

-0.2 0.6 1.95 -2.7 -2 5.4 0.15 -3.3

-2.7 -2 -3.3 -0.2 0.6 0.15 5.4 1.95

-2 -2.7 0.15 0.6 -0.2 -3.3 1.95 5.4

Sabiranjem matrica krurosti ostala tri KE dobija se sljedeći sistem jednačina:

5.4 1.95 0.6 0.15 0 0 -3.3 -0.15 -2.7 -1.95 0 0 0 0 0 0 0 0

1.95 5.4 -0.15 -3.3 0 0 0.15 0.6 -1.95 -2.7 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -0.15 10.8 0 0.6 0.15 -2.7 1.95 -6.6 0 -2.7 -1.95 0 0 0 0 0 0

0.15 -3.3 0 10.8 -0.15 -3.3 1.95 -2.7 0 1.2 -1.95 -2.7 0 0 0 0 0 0

0 0 0.6 -0.15 5.4 -1.95 0 0 -2.7 1.95 -3.3 0.15 0 0 0 0 0 0

0 0 0.15 -3.3 -1.95 5.4 0 0 1.95 -2.7 -0.15 0.6 0 0 0 0 0 0

-3.3 0.15 -2.7 1.95 0 0 10.8 0 1.2 0 0 0 -3.3 -0.15 -2.7 -1.95 0 0

-0.15 0.6 1.95 -2.7 0 0 0 10.8 0 -6.6 0 0 0.15 0.6 -1.95 -2.7 0 0

-2.7 -1.95 -6.6 0 -2.7 1.95 1.2 0 21.6 0 1.2 0 -2.7 1.95 -6.6 0 -2.7 -1.95

-1.95 -2.7 0 1.2 1.95 -2.7 0 -6.6 0 21.6 0 -6.6 1.95 -2.7 0 1.2 -1.95 -2.7

0 0 -2.7 -1.95 -3.3 -0.15 0 0 1.2 0 10.8 0 0 0 -2.7 1.95 -3.3 0.15

0 0 -1.95 -2.7 0.15 0.6 0 0 0 -6.6 0 10.8 0 0 1.95 -2.7 -0.15 0.6

0 0 0 0 0 0 -3.3 0.15 -2.7 1.95 0 0 5.4 -1.95 0.6 -0.15 0 0

0 0 0 0 0 0 -0.15 0.6 1.95 -2.7 0 0 -1.95 5.4 0.15 -3.3 0 0

0 0 0 0 0 0 -2.7 -1.95 -6.6 0 -2.7 1.95 0.6 0.15 10.8 0 0.6 -0.15

0 0 0 0 0 0 -1.95 -2.7 0 1.2 1.95 -2.7 -0.15 -3.3 0 10.8 0.15 -3.3

0 0 0 0 0 0 0 0 -2.7 -1.95 -3.3 -0.15 0 0 0.6 0.15 5.4 1.95

0 0 0 0 0 0 0 0 -1.95 -2.7 0.15 0.6 0 0 -0.15 -3.3 1.95 5.4

41047,2/100

9 40,59 95,18 30,38 15,070,070,06 60,06 15,05 70,25 95,14 0,04 0,0

09 95,19 40,58 15,08 60,070,070,06 15,06 30,35 95,15 70,24 0,04 0,0

0 9 30,39 15,08 8,108 0,07 30,37 15,06 70,26 95,1 5 20,15 0,04 70,24 95,1

09 15,09 60,08 0,08 8,107 15,07 60,06 95,16 70,25 0,05 60,64 95,14 70,2

0 90,090,08 30,38 15,07 40,57 95,16 0,06 0,05 70,25 95,1 4 60,04 15,0

090,090,08 15,08 60,07 95,17 40,56 0,06 0,05 95,15 70,24 15,04 30,3

09 60,09 15,08 70,28 95,170,070,06 8,106 0,05 60,65 0,04 0,04 0,0

09 15,09 30,38 95,18 70,270,070,06 0,06 8,105 0,05 20,14 0,04 0,0

09 70,29 95,18 20,18 0,07 70,27 95,1 6 60,66 0,05 6,215 0,04 60,64 0,0

09 95,19 70,28 0,08 60,67 95,17 70,260,06 20,15 0,05 6,21 4 0,04 20,1

090,090,08 70,28 95,17 60,07 15,060,060,05 60,65 0,04 8,104 0,0

090,090,08 95,18 70,27 15,07 30,360,060,05 0,05 20,14 0,04 8,10

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

vuvuvuvuvuvu

=

(5.23)

=

(5.24)

141

Sistem jednačina (5.24) može se riješiti nakon primjene geometrijskih graničnih uslova.

Čvorovi 1, 2 i 3 nalaze se na mjestu uklještenja konzole tako da su komponente vektora

pomjeranja . Reakcije veze u ovim čvorovima, to jest, sile

su nepoznate i mogu se odrediti iz prvih šest jednačina nakon što

su poznati vektori pomjeranja u čvorovima. Vanjske sile u čvorovima 4 9 su jednake nuli

osim komponente sile (slika 5.3). Primjenom pomenutih graničnih uslova

preostaje da se riješi sljedeći sistem jednačina (koji je markiran u izrazu (5.24)):

10.8 0 1.2 0 0 0 -3.3 -0.15 -2.7 -1.95 0 0

0 10.8 0 -6.6 0 0 0.15 0.6 -1.95 -2.7 0 0

1.2 0 21.6 0 1.2 0 -2.7 1.95 -6.6 0 -2.7 -1.95

0 -6.6 0 21.6 0 -6.6 1.95 -2.7 0 1.2 -1.95 -2.7

0 0 1.2 0 10.8 0 0 0 -2.7 1.95 -3.3 0.15

0 0 0 -6.6 0 10.8 0 0 1.95 -2.7 -0.15 0.6

-3.3 0.15 -2.7 1.95 0 0 5.4 -1.95 0.6 -0.15 0 0

-0.15 0.6 1.95 -2.7 0 0 -1.95 5.4 0.15 -3.3 0 0

-2.7 -1.95 -6.6 0 -2.7 1.95 0.6 0.15 10.8 0 0.6 -0.15

-1.95 -2.7 0 1.2 1.95 -2.7 -0.15 -3.3 0 10.8 0.15 -3.3

0 0 -2.7 -1.95 -3.3 -0.15 0 0 0.6 0.15 5.4 1.95

0 0 -1.95 -2.7 0.15 0.6 0 0 -0.15 -3.3 1.95 5.4

Rješavanjem prethodnog sistema jednačina dobijaju se komponente vektora pomjeranja u

čvorovima:

Reakcije veze u čvorovima 1, 2 i 3 na mjestu uklještenja slijede iz prvih 6 jednačina sistema

(5.24):

=

(5.25)

142

Nakon što su poznate komponente vektora pomjeranja, iz jednačina (5.4) – (5.6) mogu se

odrediti komponente deformacija, odnodno naponi iz konstitutivnih relacija.

Usvojena diskretizacija prostornog domena na samo četiri KE nije dovoljna da kvalitetno

opiše polje pomjeranja i napona u ploči. Da bi se postigli tačniji numerički rezultati potrebno

je geometrijski domen ploče podijeliti na znatno veći broj konačnih elemenata.

U prethodnom primjeru moglo se vidjeti da se mnoge matematske operacije, kao i postupak

formiranja globalne matrice krutosti na osnovu matrica krutosti KE ponavljaju. Ovo čini

primjenu MKE pogodnom za programiranje nekim od računarskih programskih jezika.

Posebno je važno da se postupak formiranja osnovnih jednačina za primjenu MKE može

iskazati u matričnoj formi što također predstavlja prednost prilikom programiranja. U

narednom poglavlju date su osnovne jednačine MKE u matričnoj formi.

5.2 Matrični koncept MKE

Izraz (2.28) za ukupnu potencijalnu energiju sistema može se napisati u sljedećem

matričnom obliku:

gdje su matrica komponenti napona,

matrica komponenti deformacija, matrica

komponenti vektora zapreminskih sila, matrica komponenti vektora

površinskih sila, i matrica komponenti vektora pomjeranja.

Konstitutivne relacije (2.16) mogu se izraziti u matričnom obliku

gdje je matrica elastičnosti

(5.26)

(5.27)

143

Imajući u vidu da je transponovan proizvod dvije matrice jednak proizvodu transponovanih

matrica koje se množe obrnutim redom, to jest, , i da za simetričnu

matricu vrijedi relacija , izraz (5.26) može se pisati u sljedećem obliku:

Komponente matrice deformacija definisane su preko komponenti vektora pomjeranja

jednačinama (2.4) – (2.7) i mogu se u matričnom obliku pisati na sljedeći način:

gdje je matrica operatora:

Komponente vektora pomjeranja na domenu KE opisuju se izrazom

gdje su: matrica interpolacionih funkcija

simetrično

(5.29)

(5.28)

(5.30)

(5.29)

(5.28)

(5.31)

(5.29)

(5.32)

(5.29)

144

sa komponentama , matrica kolona diskretnih vrijednosti zavisnih varijabli

(stepeni slobode) u čvorovima KE

a je broj čvorova KE. Naprimjer, za ravanski četverougaoni KE sa dva stepena slobode

kretanja po čvoru . Primjer komponenti matrice

interpolacionih funkcija za dvodimenzionalni problem može se vidjeti u sistemu

jednačina (5.3) gdje je, naprimjer,

, ili

.

Uvršavanjem izraza (5.30) i (5.32) u jednačinu (5.29) dobija se sljedeći izraz:

odnosno

gdje su matrica deformacija, , a matrica krutosti KE,

Minimiziranje izraza (5.36) u odnosu na komponente vektora pomjeranja u čvorovima slijedi:

(5.33)

(5.29)

(5.34)

(5.29)

(5.35)

(5.28)

(5.36)

(5.28)

(5.37)

(5.28)

(5.38)

(5.28)

145

gdje se matrica vektor kolona komponenti sila u čvorovima KE računa iz izraza

5.3 Ravanski četverougaoni linearni KE

Na slici 5.1(b) prikazana je diskretizacija geometrije ravanskog problema sa pravougaonim

KE. Očigledno je da sa ovakvim elementima nije dobro aproksimirana geometrija. Jedan od

načina da se bolje aproksimira geometrija je da se smanji veličina KE. Efikasniji pristup je da

se koriste ravanski četverougaoni KE kao što je to prikazano na slici 5.5(b) gdje je očigledno

da je sa ovim KE mnogo bolja aproksimacija geometrije problema.

Na slici 5.6 prikazan je četverougaoni konačni element sa četiri čvora. Jedan od načina da se

izvede matrica krutosti ovog elementa je da se izvrši preslikavanje geomtrije KE iz ravni

na ravan u jednostavniji oblik. Preslikavanje određeno jednačinama

(5.39)

(5.28)

F1

F2

F1

F2

Slika 5.5 Tanka ravna ploča pod dejstvom opterećenja (a) i podjela geometrijskog domena na mrežu četverougaonih KE sa četiri čvora

(a) (b)

(5.40)

146

preslikava geometrijski domen četverougaonog KE sa četiri čvora u ravni na pravougaoni

(kvadratni) element sa četiri čvora u ravni sa granicama domena ograničenim pravama

i , slika 5.6. Koordinate i nazivaju se i prirodnim koordinatama.

Funkcije

imaju osobinu da su jednake jedinici u jednom od čvorova elementa, dok su u ostalim

čvorovima jednake nuli.

Polje pomjeranja na domenu KE može se opisati istim interpolacionim funkcijama:

1

4 3

2

1 2

3 4

Slika 5.6 Preslikavanje geometrijskog domena četverougaonog elementa na pravougaoni element

(5.41)

(5.42)

147

Da bi se izračunala matrica krutosti data izrazom (5.37) potrebno je izvesti integraciju izraza u

prirodnim koordinatama. Za dvodimezionalni KE debljine vrijedi relacija ,

gdje je determinanta Jacobianove matrice

Izraz (5.37) sada se može pisati:

Da bi se mogla izvesti integracija u izrazu (5.44) potrebno je matricu deformacija

izraziti u funkciji prirodnih koordinata . U matrici deformacija se nalaze parcijalni izvodi

interpolacionih funkcija po koordinatama (vidjeti izraz 5.31). Parcijalni izvodi

interpolacionih funkcija se mogu izraziti u funkciji prirodnih koordinata na sljedeći način:

gdje se iz sistema jednačina (5.45) mogu izračunati

i

.

Podintegralne funkcije u jednačini (5.44) mogu biti komplikovane te se iz toga razloga vrši

numerička integracija u ovom jednačinama od koje je najzustupljenija Gaussova metoda

integracije (ili Gaussove kvadraturne formule).

Prilikom izvođenja matrice krutosti elementa korištene su iste interpolacione funkcije za

preslikavanje geometrijskog domena KE i opis polja pomjeranja na domenu KE. Ovakvi

elementi kod kojih se koriste iste interpolacione funkcije za preskivanja geometrijskog

domena KE i opis polja pomjeranja na KE zovu se izoparametarski KE.

Ravanski trougaoni KE sa tri čvora, koji se često nalazi u standardnim bibliotekama MKE

softverskih paketa, prikazan je na slici 5.7. Polje pomjeranja za ovaj element opisano je

sljedećim linearnim funkcijama:

(5.44)

(5.28)

(5.45)

(5.28)

(5.43)

(5.28)

(5.46)

(5.28)

148

Dilatacije i klizanja na domenu ovog

elementa su konstantni,

,

, i

.

Dakle, za ovaj element postoji

diskontinuitet komponenti deformacija na

granicama KE. Trougaoni KE sa tri čvora

daje u opštem slučaju lošije rezultate od

četverougaonog elementa sa četiri čvora i

rijetko se koristi.

Da bi se što kvalitetnije opisala deformacija duž KE uvode se i KE kod kojih je promjena

deformacije u elementu kvadratna, kubna ili još višeg reda. Kod ovih elemenata red

polinoma kojim se aproksimira polje pomjeranja takođe raste, a time i broj stepeni slobode

kretanja elementa, odnosno matrica krutosti elementa. U narednom poglavlju dat je opis

načešće korištenih ravanskih KE višeg reda.

5.4 Ravanski konačni elementi višeg reda

U slučaju kada su granice geometrijskog domena problema koji se rješava zakrivljene linije ili

površine, KE ograničen pravim linijama ne može da dobro opiše geometriju problema. Iz tog

razloga poželjno je imati i KE koji su sposobni da dobro prate krivolinijske konture domena.

Jedan od takvih KE sa devet čvorova koji pored čvorova u vrhovima ima i čvorove na

sredinama strana i jedan čvor u sredini elementa prikazan je na slici 5.8.

1

3

2

Slika 5.7 Ravanski KE sa tri čvora

1

4 3

2

1 2

3 4

Slika 5.8 Preslikavanje geomtrijskog domena četverougaonog KE sa devet čvorova na pravougaoni domen

5

6

7

8 9

5

9

7

8 6

149

Konačni element ima u svakom čvoru po dva translatorna stepena slobode kretanja, što

znači da ima ukupno 18 stepeni slobode. Interpolacione funkcije za KE sa devet čvorova su

dok je geometrija elementa opisana preko prirodnih koordinata jednačinama

odnosno, polje pomjeranja je za slučaj izoparametarskog elementa opisano pomoću istih

funkcija

gdje su i koordinate čvorova u globalnom koordinatnom sistemu, a i pomjeranja

čvorova u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema.

Važno je primijetiti da ovaj KE osim što bolje aproksimira krivolinijske granice domena

aproksimira i polje pomjeranja polinomima višeg reda što daje prednost u odnosu na

četverougaoni KE sa četiri čvora. Ovaj element, kao i ostali KE sa interpolacionim funkcijama

višeg reda, daje tačnije rezultate od linearnih elemenata. Ako bi se tražio nedostatak ovih

elemenata u odnosu na linearne elemente to je što su matrice krutosti mnogo veće kod

ovakvih elemenata tako da u opštem slučaju zahtjevaju i više računarskog vremena. Ipak, u

opštem slučaju, ovi elementi su mnogo efektivniji od linearnih elemenata. Elementi višeg

reda koji su često u upotrebi su i pravougaoni KE sa 8 čvorova i trougaoni KE sa šest čvorova,

slika 5.9. KE sa osam čvorova je posebno pogodan u slučaju kada su prisutne deformacije

usljed savijanja.

(5.47)

(5.48)

(5.49)

150

Na sljedećem primjeru može se procijeniti i tačnost pojedinih KE.

Primjer 5.2

U primjeru je analizirana brzina konvergencije pojedinih KE ka tačnom rješenju problema

datog na slici 5.10. Problem je analiziran kao model ravnog naponskog stanja sa trougaonim

KE sa tri čvora, trougaonim KE sa šest čvorova, i četverougaonim KE sa 8 čvorova.

Na slici 5.11(a) prikazan je numerički proračun (ADINA softverom) maksimalnog pomjeranja

tačke na slobodnom kraju ploče za uniformne mreže različitih stepeni slobode kretanja i

različite vrste KE. Na slici se vidi da oba KE višeg reda, trougaoni KE sa 6 i čeverougaoni KE sa

8 čvorova, daju veoma dobre rezultate i sa grubim mrežama. Trougaoni KE sa tri čvora

pokazuje veoma sporu konvergenciju prema tačnom rješenju.

Na slici 5.11(b) date su vrijednosti greške numeričkog proračuna maksimalnog pomjeranja za

mreže sa različitim brojem stepeni slobode kretanja. Oba elementa višeg reda daju grešku

manju od 2.5% već za mreže sa 20 čvorova (40 stepeni slobode kretanja), dok trougaoni KE

za isti broj čvorova pravi grešku oko 45%, a potrebno je preko 500 čvorova da bi greška pala

ispod 2.5%.

debljina ploče je 0.02 m 8 m

2 m

Slika 5.10 Konzolna tanka ploča

Slika 5.9 Ravanski četverougaoni KE sa osam (a) i trougaoni KE sa šest čvorova (b)

1

4 3

2 5

6

7

8

(a) (b)

2

3

4

5

6

1

151

5.5 Osnosimetrični konačni elementi

U poglavlju 2.8.3 date su jednačinama (2.43) veze između komponentnih deformacija i

komponenti vektora pomjeranja i jednačinama (2.44) konstitutivne relacije za slučaj

osnosimetričnog problema.

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

0 100 200

v1

0-4

(m

)

Broj stepeni slobode

Trougaoni KE sa 3 čvora

Trougaoni KE sa 6 čvorova

Četverougaoni KE sa 8 čvorova 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 40 80 120 160 200

Gre

ška (

%)

Broj stepeni slobode

Trougaoni KE sa 3 čvora

Trougaoni KE sa 6 čvorova

pravougaoni KE sa 8 čvorova

Slika 5.11 Numerički rezultati za pomjeranje (a) i greška numeričkog proračuna (b) za različite KE

(a) (b)

O

Slika 5.12 Osnosimetrični problem sa mrežom KE (a) i osnosimetrični KE (b)

(a) (b)

152

Za izvođenje matrice krutosti osnosimetričnih KE potrebno je pretpostaviti polje pomjeranja

na domenu KE. Polje pomjeranja je funkcija i koordinata, i

izražava se u funkciji stepeni slobode pomjeranja u čvorovima KE. Naprimjer, za slučaj

pravougaonih KE na slici 5.12(a) i 5.12(b) u svakom čvoru KE ima dva stepena slobode

(naprimjer, za čvor broj 3 stepeni slobode su i ). Konačni elementi koji se koriste za

problem ravnog naponskog i ravnog deformacionog stanja koriste se i za osnosimetrične

probleme.

Matrica krutosti KE formira se na osnovu izraza (5.37) gdje za osnosimetrične KE vrijedi

:

Za osnosimetrične KE također postoji veličina u izrazu (5.39) za vektor kolone komponenti

sila u čvorovima:

tako da se ova veličina obično izostavlja pri formiranju matrice krutosti i matrice vektor

kolone opterećenja jer se u izrazu (5.38) krati.

Primjer 5.3

Cilindar na slici 5.13(a) nalazi se pod unutrašnjim pritiskom od . Unutrašnji i

vanjski poluprečnik cilindra je i . Visina cilindra je .

Ravnima cilindra i spriječeno je kretanje u pravcu ose. Materijal cilindra ima

modul elastičnosti i Poissonov koeficijent . Potrebno je numerički

izračunati polje pomjeranja i napon i uporediti numeričke rezultate sa analitičkim rješenjem.

Analitičko rješenje za polje pomjeranja i napona je (Timoshenko i Goodier, 1970):

(5.50)

(5.28)

(5.52)

(5.28)

(5.51)

(5.28)

153

Na slici 5.13(b) prikazan je osnosimetričan model problema. Simbolima klizača označeni su

granični uslovi na mjestima gdje je spriječeno pomjeranje u pravcu ose. Domen je

podijeljen u radijalnom pravcu sa 5 osnosimetričnih KE sa osam čvrorova. Podjela domena u

pravcu je nebitna jer su u tom pravcu sve varijable konstantne.

Problem se može riješiti i kao problem ravnog deformacionog stanja sa geometrijskim

domenom kao na slici 5.13(c), jer su dilatacije u pravcu ose jednake nuli, slika 5.13(c).

Obzirom na simetriju problema modelirana je samo četvrtina domena (slika 5.13(c)), mada je

bilo moguće modelirati i bilo koji isječak domena. Ovaj model imao je u radijalnom i

cirkularnom pravcu po 5 KE sa osam čvorova.

Na slikama 5.14(a) do 5.14(d) prikazani su uporedo numerički i analitički rezultati proračuna

polja radijalnog pomjeranja , normalnog napona u radijalnom pravcu , normalnog

(cirkularnog) napona , i normalnog napona u pravcu ose simetrije . Na slikama se vidi

da oba numerička modela daju sa izabranom gustoćom mreže gotovo identične rezultate

visoke tačnosti.

O

Slika 5.13 Cilindar pod pritiskom (a), model osnosimetričnog problema (b) i model ravnog deformacionog stanja (c)

(a) (b) (c)

154

5.6 Trodimenzionalni konačni elementi

Na slici 5.15 prikazani su neki od standardnih trodimenzionalnih KE. Na slikama 5.15(a) i

5.15(b) su heksaedarski KE sa 8 i 20 čvorova, a tetraedarski KE sa 4 i 10 čvorova su prikazani

na slikama 5.15(c) i 5.15(d). Elementi imaju tri stepena slobode kretanja po čvoru što znači

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

10

5u

r (m

)

r (m)

Analitičko rješenje

MKE osnosimetrični KE

MKE ravno def. stanje

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

(M

Pa)

r (m)

Analitičko rješenje

MKE osnosimetrični KE

MKE ravno def. stanje

0

1

2

3

4

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

z

(M

Pa)

r (m)

Analitičko rješenje

MKE osnosimetrični KE

MKE ravno def. stanje

Slika 5.14 Numerički i analitički rezultati proračuna radijalnog pomjeranja (a), normalnog napona u radijalnom pravcu (b), normalnog (cirkularnog) napona (c), i normalnog napona u pravcu ose simetrije (d)

(b) (a)

(d) (c)

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

r

(M

Pa)

r (m)

Analitičko rješenje

MKE osnosimetrični KE

MKE ravno def. stanje

155

da, naprimjer, heksaedarski element sa 20 čvorova ima 60 stepeni slobode kretanja koliki je i

red matrice krutosti ovog elementa.

Za izoparametarski KE sa 8 čvorova (slika 5.16) interpolacione funkcije izražene preko

prirodnih koordinata , i se mogu pisati u sljedećem obliku:

a za opis geometrije KE i polja pomjeranja vrijede relacije:

(5.53)

Slika 5.15 Heksaedarski KE sa 8 čvorova (a) i 20 čvorova (b), i tetraedarski KE sa 4 čvora (c) i deset čvorova (d)

(a) (b)

(c) (d)

156

Kod primjene trodimenzionalnih KE vrijedi isto pravilo kao i kod ravanskih KE. Konačni

elementi višeg reda su tačniji od linearnih KE. Konačni element sa 27 i 20 čvorova daje

rezultate visoke tačnosti mada analiza ovim elementom zahtijeva i veće računarsko vrijeme.

Ovi elementi daju također i najbolje rezultate u slučaju kada su pravougaoni. Heksaedarski

element sa 20 čvorova se preporučuje i za slučaj trodimenzionalnih tijela sa stijenkama

izloženih savijanju. Standardni heksaedarski KE sa 8 čvorova i tetraedarski KE sa 4 čvora se

ne preporučuju za dijelove konstrukcije gdje su dominantni efekti savijanja.

5.7 Kriteriji konvergencije MKE rješenja

Kao i kod svakog numeričkog postupka postavlja se pitanje, da li s povećanjem stepena

diskretizacije, to jest, u ovom slučaju sa smanjivanjem veličine KE, numeričko rješenje teži

(5.54)

(5.55)

1

2 3

4

5

6 7

8

1

2 3

4

5

6

7

8

Slika 5.16 Preslikavanje geometrijskog domena heksaedarskog KE sa osam čvorova i oznake čvorova

157

tačnom (analitičkom) rješenju. Konvergencija rješenja zavisi od vrste konačnog elementa koji

se koristi, odnosno od polinoma kojim se aproksimira polje nezavisno promjenjive.

Da bi rješenje varijacionom fomulacijom MKE bilo konvergentno dovoljno je da budu

ispunjeni tzv. kriteriji kompatibilnosti i kompletnosti. U primjeni su i neki KE koji ne

zadovoljavaju pomenute kriterije konvergencije. Iako konvergencija s njima nije

zagarantovana često se postižu rezultati visoke tačnosti, koji brzo konvergiraju (obično ne

monotono) prema analitičkom rješenju.

Kriterij kompatibilnosti podrazumijeva da polje zavisne varijable, kao i izvodi ove varijable do

za jedan red manji od izvoda varijable koji se pojavljuju u integralnoj formulaciji jednačina

elementa, unutar elementa i duž njegovih granica koje dijeli sa susjednim elementima

moraju biti neprekidni.

Prilkom izvođenja jednačina ravnoteže za konačne elemente zavisne varijable su bile

komponentna pomjeranja, a najveći izvodi komponenti pomjeranja bili su prvi parcijalni

izvodi ovih pomjeranja koji su se javljali u komponentama matrice deformacije (dilatacije i

klizanja). Prema tome, u skladu sa kriterijom kompatibilnosti potrebno je da samo polje

pomjeranja unutar domena elementa i na njegovim granicam bude neprekidno.

Prilikom izvođenja jednačina konačnih elemenata za štap i gredu i formiranja matrice

krutosti sistema, usvojeno je da dva susjedna konačna elementa dijele zajednički čvor tako

da je uslov kompatibilnosti bio automatski zadovoljen.

Za četverougaoni KE prikazan na slici 5.6 polje pomjeranja između čvorova 1 i 2 za

komponentu dobije se na osnovu prve od jednačina (5.42) za :

Iz prethodne jednačine se vidi da se polje pomjeranja na granici KE određenoj sa čvorovima 1

i 2 mijenja linearno od vrijednosti do . Obzirom da je polje pomjeranja i susjednog KE

koji dijeli čvorove 1 i 2 opisano istom funkcijom uslov kompatibilnosti je automatski

zadovoljen.

Kriterij kompletnosti podrazumijeva da pretpostavljeno polje zavisne varijable kao i izvodi

ove varijable do reda jednakog izvodu varijable koji se pojavljuju u integralnoj formulaciji

jednačina elementa moraju osigurati i mogućnost da ova varijabla i njezini izvodi budu

konstantni na elementu kada veličina elementa teži nuli.

U slučaju pomjeranja kao zavisne varijable, kriterij kompletnosti se svodi na zahtjev da

pretpostavljeno polje pomjeranja mora osigurati da se ne događa deformacija elementa ako

tijelo ne doživljava deformaciju pri kretanju (kreće se kao kruto tijelo), i da omogućuje

konstantnu deformaciju na polju KE. Naprimjer, kriterij kompletnosti za slučaj ravanskog

(5.56)

158

trougaonog KE prikazanog na slici 5.7 čije polje pomjeranja je određeno jednačinama (5.46),

je ispunjen jer koeficijenti i osiguravaju da se može opisati kretanje elementa kao

krutog tijela, dok koeficijenti i osiguravaju mogućnost konstantne deformacije

(

.