5 operaciones entre conjuntos6
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DIAGRAMAS DE VENN Un conjunto también se puede representar gráficamente mediante figuras geométricas como círculos, rectángulos o curvas cerradas marcando con un punto dentro de ellas el sitio que ocupará cada elemento. La letra mayúscula que simboliza el conjunto se escribe por fuera de la figura.
Por ejemplo,
Estas gráficas son llamadas diagramas de Venn, pues fue este matemático quien utilizó esta forma para representar conjuntos.
UNION DE CONJUNTOS A U B La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que están en A, en b o en ambos. La unión de A con B se denota por A U B.
Ejemplo:
Si A = {x | x es número par menor que 10} y B = {O, 1, 3, 4} determinar AU B.
Solución:
En la unión de A y B debemos incluir todos los elementos de A los elementos de B. A = {0, 2, 4, 6, 8} y
B = {0, 1, 3, 4}
Luego:
A U B = {0, 1, 2. 3, 4, 6, 8}
EJEMPLOS DE UNION DE CONJUNTOS
Sean A = {0,2,4},
B = {1,3,9}, C = {1,5,25} y D = {1, 3,9,5,15,45};
Halla los conjuntos que se indican.
a. A U B = { }
b. AUD = { }
c. AUC={ }
d. DUA = { }
e,CUD =
f,CUB =
Utiliza los resultados del anterior ejercicio y halla los siguientes conjuntos.
a. AUBUC={ }
b. (AUB)UD = { }
c. (DUC)U(AUB) = { }
d. (AUD)UD = { }
1, ¿Sabías que los ríos de los llanos y de la selva se diferencian entre ellos y otros por ser blancos o negros? Los blancos nacen en las cordilleras mientras que los negros nacen en las planicies del llano y de la selva.
A un tour que pasa por los ríos negros. Vichada e Inírida y por el río Arauca, que es blanco, se inscribieron 46 personas en total, distribuidas de la siguiente manera. Analiza la figura y responde cada pregunta.
a. ¿Cuántas personas planean visitar los tres ríos?
b. ¿Cuántas irán sólo al río Vichada?
c. ¿Cuántas visitarán los ríos Inírida y Arauca, pero no el río Vichada?
d. ¿Cuántas desean conocer los ríos Vichada y Arauca?
e. ¿Cuántas quieren ir a los ríos Inírida o Arauca?
f. ¿Cuántas personas se inscribieron para ir solo al río Inírida o al río Arauca?
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INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS (A n B)
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que están a la vez en A y en B. La intersección de los conjuntos A y B se denota por A n B.
Ejemplo:
Si A ={1. 3. 5. 7}. B = {2, 3. 5. 8 }; y C = {1, 2. 4} calcular: a, A n B b, (B n C) U (A n B)
Solución:
A n B = (3. 5) ;
b) (B n C) U (A n B) =
Así: B n C = {2} y A n B = {3, 5}
Luego: (B n C) U (A n B) = {2, 3, 5}
EJERCICIOS de intersección:
1, Sean: A = {0,2,4}, B= {l,3,9},
C={1,5,25} y
D = {1, 3, 9, 5,15,45}; halla los conjuntos que se indican.
• a. AnB = { }
• b. BnC={ }
• c. BnD = { }
• d. CnD={ }
• e. DnA = { }
• 2, Usa los resultados del anterior ejercicio y encuentra los siguientes conjuntos.
• a. AnBnC={ }
• b. (DnB)nD= { }
• c. (DnC)n(CnB)= { }
• d. (AnD)n(BnD)= { }
•
Problemas: intersección
1, Un restaurante ofrece a sus
clientes, platos con dos tipos de
pescado: de mar y de río. En total
tiene 140 platos distintos, algunos
de ellos con ambos tipos de
pescado, 50 con sólo pescado de
río y 60 con sólo de mar.
a. ¿Cuántos platos contienen
ambos tipos de pescado?
b. ¿Cuántos platos contienen
alguno de los dos pescados?
140 - (50 + 60) = 140 - 110 = 30 En total hay 140 platos con alguno de los dos tipos de pescado (los elementos de la
unión).
DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS A -B
La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que, pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B. La diferencia de A y B se escribe A-B.
Ejemplo:
Si A = (x | x es número par menor que 10) y B = (2, 3, 4] calcular A - B. Solución:
Por extensión A = {0, 2, 4, 6, 8} y B = {2, 3, 4}. Buscamos los elementos de A que están en B y encontramos el 2 y el 4. Por tanto A - B está formado por los elementos de A que no son comunes con B.
Luego: A - B = (0, 6, 8)
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO A'
Dado el conjunto A referido a un conjunto universal U, el complemento de A es el conjunto formado por los elementos que no están en A.
Se nota A' y simbólicamente. A' = U - A = |x [ x £ A]
• Ejemplo:
• Si U = {x | x es número dígito} y A = {1, 3, 5, 7, 9} hallar A'.
• Solución:
• Por extensión U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A' está formado por los elementos de U que no pertenecen al conjunto A
• Luego: A' ={ 0, 2, 4, 6, 8} o A' = {x | x es dígito par}.
•
Problema: •Algunos bailes típicos de
Colombia son el pasillo (Santander y Cundinamarca) y el bunde (Tolima). En una academia 22 estudiantes practican pasillo y 8 pasillo y bunde. Si en total hay 23 que practican únicamente bunde y 90 estudiantes inscritos en toda la escuela, responde cada pregunta.
• a. ¿Cuántas personas practican únicamente pasillo? • b. ¿Cuántas practicar
bailes distintos al pasillo y al bunde? • c. En el cuaderno, realiza
un diagrama de Venn que represente la situación y sombrea el área que corresponde al complemento de la unión de los conjuntes de las personas que practican pasito y bunde.