5 quinto cepas
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SSIISSTTEEMMAADDEEMMEEDDIICCIINNAANNGGUULLAARR
1. SISTEMA SEXAGESIMAL (SistemaIn gls): En este sistema consideramos al ngulode una vuelta dividido en 360 partes iguales y acada parte se le denomina un grado sexagesimal,
a cada grado se le divide en 60 partes iguales y acada parte se le denomina minuto sexagesimal, asu vez a cada minuto se le divide en 60 partesiguales y a cada parte se le denomina segundosexagesimal.
Notacin:1 Grado Sexagesimal: 11 Minuto Sexagesimal: 11 Segundo Sexagesimal: 1
Equivalencias:
1 = 60 = 36001 = 60
1 =360
v uelta1 1 vuelta = 360
2. SISTEMA CENTESIMAL (SistemaFr an cs): En este sistema consideramos alngulo de una vuelta dividido en 400 partes igualesy a cada parte se le denomina un gradocentesimal, a cada grado se le divide en 100 partesiguales y a cada parte se le denomina minuto
centesimal, a su vez a cada minuto se le divide en100 partes iguales y a cada parte se le denominasegundo centesimal.
Notacin:1 Grado Centesimal: 1go 1g1 Minuto Centesimal: 1mo 1m1 Segundo Centesimal: 1so 1s
Equivalencias:1g= 100m= 10 000s1m= 100s
1g=400
v uelta1 1 vuelta = 400g
3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR(Sistema Internacional): En este sistema launidad angular es el radin. Un radin se definecomo el ngulo central que subtiende en cualquiercircunferencia un arco de longitud igual al radio. (En
la figura adjunta el ngulo mide un radin). Eneste sistema el ngulo de una vuelta mide 2radianes.
1 vuelta = 2rad .
RELACIN ENTRE LOS TRESSISTEMAS DEMEDIDAS ANGULARESSiendo S, C y R los nmeros que representanlas medidas sexagesimal, centesimal y radialde un mismo ngulo, se relacionan de lasiguiente forma:
2
R
400
C
360
S
PPRRCCTTIICCAA
01. Los nmeros S y C representan lamedida de un ngulo en gradossexagesimales, y centesimalesrespectivamente, se relacionan as:S = 2x1 y C = 2x + 4
Hallar la medida de dicho ngulo en radianes.
A) rad2
B) rad3
C) rad4
D) rad5
E) rad6
02. Calcular la medida de un ngulo enradianes sabiendo que la diferencia de sunmero de grados centesimales con sunmero de grados sexagesimales es a susuma como dos veces su nmero deradianes es a 57
A) rad8
3 B) rad
4
3 C) rad
2
3
D) rad3 E) rad6
03. Un ngulo mide rad20
. Pero en grados
sexagesimales mide: 1x . Hallar xA) 78 B) 80 C) 82D) 86 E) 88
04. Si A, B y D son nmeros que expresan lamedida de un mismo ngulo en grados,minutos centesimales y radianes
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respectivamente; entonces el valor de:
D
B
200B
A1000M
es:
A) 90 B) 101 C) 109
D) 110 E) 360
05. Si S y C representan la medida de un
ngulo en grados sexagesimales ycentesimales respectivamente y adems:
S1= C1+ C2+ C3+ Entonces la medida de dicho ngulo enradianes, es:
A) /4 B) /6 C) /12
D) /15 E) /20
06. Si: S... Nmero de grados sexagesimales.
C... Nmero de grados centesimales
Adems: Sc = Cs . Hallar: 101
9
1
CS
A) 0,8 B) 0,9 C) 1,8D) 10 E) 1,6
07. Siendo el nmero de radianes de unngulo positivo, verifica la igualdad:
1183
.
Hallar , si .A)
9
32 B)64
9 C)32
9
D)16
9 E)9
64
08. Un ngulo en el sistema sexagesimal se
expresa por: 33x
588S . El valor de x
para que ste ngulo mida 200 grados
centesimales, debe ser:A) 5 B) 4 C) 3D) 6 E) N.A.
09. Siendo S y C los nmeros que representanla medida de un ngulo en gradossexagesimales y centesimalesrespectivamente cumplen la igualdad:
CC
CC
CC
SS
SS
SS
Hallar el nmero de radianes de dichongulo:
A)3600
441 B)3600
551 C)3600
361
D)3600
641 E)3600
241
10. Siendo S y C los nmeros que representanla medicin de un ngulo en grados
sexagesimales y grados centesimalesrespectivamente cumplen la igualdad:
CCCSSS
Hallar la medida radial de dicho ngulo:A) 1,9 rad B) 2,9 rad
C) 3,9 rad D) 4,9 rad
E) 0,9 rad
11. Del grfico mostrado hallar la m ABC
en radianes siendo O centro.
A) rad7
9 B) rad
7
5 C) rad
14
5
D) rad14
9 E) rad
3
2
A
B
CO
g
x
x
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12. Si, S,C y R representan la medicin de un
ngulo en los sistemas sexagesimal,centesimal y radial respectivamente ycumplen la siguiente igualdad:
R
10619
SC
SC
Calcular la medida radial de dicho ngulo.
A) rad2
B) rad C) 2rad
D) rad3
E) 3rad
13. Sabiendo que S, C y R son el nmero de
grados sexagesimales, centesimales yradianes de un ngulo.
Hallar: 3
SCR236E
Si adems: 3RC
200
S
180 333
A) 10 B) 30 C) 50
D) 80 E) 60
14. Del grfico mostrado hallar lam AOB en radianes:
A) rad5
B) rad3
C) rad9
D) rad18
E) rad
36
15. Si se cumple que:
50 40 30 smg5T0N6U
Hallar: U + N + TA) 10 B) 12 C) 14
D) 13 E) 8
16. Determinar R si se cumple:
CC
C
S
S
SCS
Si, S, C, R es lo convenido:
A)200
10 B)300
10 C)400
10
D)500
10 E)600
10
17. Reducir la expresin:
3 8SC
SC6
SC
SCN
A) 7 B) 5 C) 8D) 18 E) 32
18. Hallar el valor de y en radianes si:
A)45
15 B)
45
16 C)
13
12
D)45
18 E)
44
18
19. Si rad32
x y z, donde x, y e z son
nmeros enteros.
Calcular: x x5zyE
A) 5 B) 4 C) 2D) 3 E) 1
10y g60
rad1x7
x
A
B
O
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LLOONNGGIITTUUDDDDEEAARRCCOO
RREEAADDEEUUNNSSEECCTTOORRCCIIRRCCUULLAARR
LONGITUD DE ARCO
L: Longitud del arco ABr : Radio de la circunferencia: ngulo central que subtiende el arco
AB (medio en radianes)
L = r
REA DE UN SECTOR CIRCULAR
A la porcin de crculo limitada por dos radios se le
denomina sector circular. El rea (A) de dicha regin
se determina de la siguiente manera:
A =2
1rL
A =2
1r2
PPRRCCTTIICCAA
01. Calcular la longitud del arcocorrespondiente a un ngulo central de 80en una circunferencia de 18 m de radio.
A) m B) 2 C) 3D) 4 E) 8
02. En un sector circular, el ngulo central
mide 40g y el arco correspondiente mide8. Cunto mide el radio del sector?
A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50
03. En un sector circular, se cumple que elarco mide 3y el radio mide 6. Cul es lamedida sexagesimal del ngulo central?
A) 10 B) 20 C) 90D) 40 E) 60
04. De la figura, hallar: a/b
A) 1/2
B) 1
C) 1/4
D) 2
E) 0,3
05. Calcule el permetro de la regin
sombreada, siendo A y D centros, adems
AB = AD = 4u.
A) 4(1 + /3)
B) 4(1 + /4)
C) 4(1 + /6)
D) 2(1 + /6)
E) 2(1 + /3)
06. En un sector circular el radio mide 4 m y el
arco correspondiente mide 3m. Cul esel rea del sector?
A) 6m2 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
07. Calcular el rea de un sector circular cuyongulo central mide 40g y su radio mide 10m.
A) 8m2 B) 10 C) 40
D) 6 E) 4
08. De la figura mostrada calcular la longitud
de su radio en trminos de y L
A)L
2 B)
2
L C)
L2
2
D)2
L E)
L2
B
A
C
D
Oa
b
x x3
DA
B C
B
A
O
r
r
L
O
r
r
L
B
C
A
LradO
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RRAAZZOONNEESSTTRRIIGGOONNOOMMTTRRIICCAASS
EENNEELLTTRRIINNGGUULLOORREECCTTNNGGUULLOO
Se denomina razn trigonomtrica al cocienteque se establece entre las longitudes de dos delos lados de un tringulo rectngulo conrespecto a uno de sus ngulos agudos.Las R.T. son seis y se denomina: Seno,Coseno, Tangente, Cotangente, Secante yCosecante
a, b: catetos
c: hipotenusa
C.O.: Cateto Opuesto
C.A.: Cateto Adyacente
H: hipotenusa
Las R.T. de se definen:
c
a
H
.O.Csen
c
b
H
.A.Ccos
b
a
.A.C
.O.Ctg
a
b
.O.C
.A.Cctg
b
c
.A.C
Hsec
a
c
.O.C
Hcsc
TEOREMA DE PITGORAS:
c2 = a2 + b2
TEOREMA DEL COMPLEMENTO
Si: ).(T.RCo).(T.R 90
Ejemplos:
Sen 20 = Cos 70
6
ctg3
tg
Sec = Csc
2
RAZONES RECPROCAS:
1TgCtg
Tg
1Ctg
1CosSec
Cos
1Sec
1SenCsc
Sen
1Csc
TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES
PRCTICA
01. Del tringulo rectngulo mostrado, calcular
la tangente del mayor ngulo agudo.
A) 2,5 B) 2,4 C) 2,1D) 3 E) 3,5
02. Hallar el permetro del tringulo rectngulo
mostrado, sabiendo que:Tan = 3/4
A) 48 B) 96 C) 120D) 80 E) 192
03. Sabiendo que:24
7tan
2x3
2x2
x
40
60
30
k
k23k
45
k
2k k
45
53
37
k3
k5k4
a
b
c
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Evaluar la siguiente expresin:
4
cos
cottan
2cottan
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
04. Sabiendo que:22
22
ba
basen
Evaluar: ab(Sec Tan )A) 0 B) a2 C) b2D)a2 E)b2
05. Sabiendo que y son complementarios,adems se cumple: 16 Sen = Sec Evaluar la siguiente expresin:
15 Tan + Sec A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 19
06. Calcular el valor de: ( + ) en radianes,sabiendo que se cumplen:
Sen Cos 2= 0Sen .Csc 4= 1
A)3
B)18
5 C)9
4
D)2
E)6
07. Hallar y a partir de las siguientesigualdades:Tan (335) = Cot (90)
2- = 15A) 11 y 10 B) 15 y 13C) 20 y 19 D) 35 y 25E) 17 y 16
08. Hallar x de la siguiente igualdad:Tan (Sen x) .Cot (Cos 70) = 1
A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25
09. Si se cumple:Sen 5Cos 8= 0Tan .Cot 2= 1Evaluar la siguiente expresin:
Sen2(4+5) + Tan2(5+2) + Sen(3++2)A) 1,1 B) 2,1 C) 3,1D) 4,1 E) 5,1
10 Sabiendo que:3
3
xTan
A qu es igual?
xTan
6
A) 3 B)3
3 C) 0
D) 3 E) 3 +1
11. Hallar el valor de:
45tg345sec30ctg
60sec36
160csc
2
130sen
A24
342
A)12
1 B)12
7 C)12
5
D) 12 E)12
11
12. Indicar el valor simplificado de:
30Cos37Tan60Sen30Sen2
A) 0 B)2
1 C) 1
D)2
3 E)1
13. Del grfico mostrado, hallar: Tan,
sabiendo que:2
CDACBCAB
A) 3 B)2
3 C)
3
3
D)4
3 E)6
3
RREESSOOLLUUCCIINNDDEETTRRIINNGGUULLOOSS
RREECCTTNNGGUULLOOSS
A
B
C
D
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01. Del grfico mostrado, hallar: x entrminos de , y d.
A) d(Cot + Cot ) B) d Cot .Cot
C) CotCot
d
D) CotCot
d
E) d (CotCot)
02. En el grfico mostrado se tiene uncuadrado y una semicircunferencia. Hallarx en trminos de R y .
A) R (1Cos ) B) R (2Cos )C) R (3Cos ) D) R (1 + Cos )E) R (2 + Cos )
03. Hallar x siendo BAE y BCD sectorescirculares.
A) )13(2
B) 13
C) 132
D) 233
E)2
13
04. Hallar: xA) 1B) 3
C) 3
D)3
3
E)2
3
05. Hallar: Tan
A) 2
B)2
2
C) 22
D)4
2
E)8
2
06. Hallar BD
A)2
25 B)
3
25 C)
4
25
D)8
25 E)
6
25
07. Hallar: Sen
A)125 B)
1312 C)
21
D)3
24 E)
5
3
RRAAZZOONNEESSTTRRIIGGOONNOOMMTTRRIICCAASSDDEE
NNGGUULLOOSSEENNPPOOSSIICCIINNNNOORRMMAALL
A
B C
D
4
6
BA
C
x
Dd
2
A
B C
D
E
30
x
A
B C
DOR
x
P
M
EB
A D
C
2x
33
75
45
A
B
CD
2 24
37
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NGULOS EN POSICIN NORMAL:Se denomina de esta manera a aquellosngulos trigonomtricos cuyo lado inicial estsobre el semieje positivo de abscisas y suvrtice coincide con el origen del sistema decoordenadas rectangulares y su lado final seencuentra en cualquier parte del plano. En lafigura adjunta , y son ngulos en posicin
normal.
RAZONES TRIGONOMTRICAS DENGULOS EN POSICIN NORMAL:Sea P(x,y) un punto que pertenece al lado finaldel ngulo : ngulo en posicin
normal.OP = r: Radio vector.
Entonces las R.T. de se definen:
r
y
v ectorradio
ordenadasen
r
x
v ectorradio
abscisacos
x
y
abscisa
ordenadatg
y
x
ordenada
abscisactg
x
r
abscisa
v ectorradiosec
y
r
ordenada
v ectorradiocsc
NOTA : Los signos de las R.T. dependen de los
signos de la abscisa y la ordenada de P. (no
olvidar que el Radio vector es positivo)
NGULOS COTERMINALES:
Sabemos que si dos ngulos son coterminales
tienen los mismos elementos, adems que sudiferencia es un nmero entero de vueltas,
Si y soncoterminales= n(2), n Z .
Otra caracterstica de los ngulos coterminaleses que el valor de sus respectivas R.T. es el
mismo.Si y son ngulos coterminales entonces:
Sen = Sen Tg = Tg
Cos = Cos Ctg = Ctg
Sec = Sec Csc = Csc
NGULOS CUADRANTALES:Son aquellos ngulos en posicin normal cuyolado final coincide con alguno de los semiejes
del sistema de coordenadas rectangulares.
Todos los ngulos cuadrantales se representan:
Zn,2
n
n(90) , n Z
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE
NGULOS NEGATIVOS
A)
csc)csc(
sen)(sen
B
sec)sec(
cos)cos(
ctg)(ctg
tg)(tg
PRCTICA
01. Si sen =4/5; IV C.Calcular: A=sec Tan
A) 2 B) 3 C)2D) 1/2 E)1/2
02. Sabiendo que: Sen = 0,6 y pertenece al tercer cuadrante.Evaluar: Sec + Tan
A) 0 B)1/2 C) 1/2D) 2 E)2
03. El lado final de un ngulo en posicinnormal cuya medida es pasa por elpunto (2; 3)
Calcular:13
SecSen13
A) 7/2 B) 0 C) 1/2
)y,x(P
X
Y
O
X
Y
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D) 5/2 E)2
04. Sabiendo que:
338Cot215Csc
210Sen138Tan285SecA
3
32
336Tan195Csc
116Cos115Cot260SenB
33
Indicar los signos de A y BA) + y B) + y + C)y +D)y E) No tienen signos.
05. Si sen > 0 y cos < 0, entonces pertenece al:
A) I C B) II C C) III CD) IV C E) V C
06. Si perteneceal tercer cuadrante, indicarel signo de:
2Cos
3
2Tan
A) + B) C) + yD) + E) No tiene signo
07. Indicar el ngulo que no es coterminal a(10).
A)730 B) 1070 C) 350
D) 1420 E) 710
08. Si y son ngulos coterminales ycomplementarios. Hallar /, cuando220<
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origen de un sistema de coordenadasrectangulares y cuyo radio tiene como longitudla unidad. Sus elementos son:
O(0,0): origen.A(1,0): origen de arcos.B(0,1): origen de complementos.A(1,0): origen de suplementos.B(0,1): Sin nombre especial
P: Extremo del arco Tener en cuenta que si giramos en sentidoantihorario los ngulos (arcos) son positivos ynegativos en caso contrario.
Podemos observar que un ngulo determinaun nico punto P en la circunferenciatrigonomtrica, si dicho punto tiene porcoordenadas (x;y) entonces definimos las F.T. orazones trigonomtricas de , de la siguientemanera:
y1
y
radio
Pdeordenadasen
x1
x
radio
Pdeabscisacos
x
y
Pdeabscisa
Pdeordenadatg , x 0
y
x
Pdeordenada
Pdeabscisactg , y 0
x
1
Pdeabscisa
radiosec , x 0
y
1
Pdeordenada
radiocsc , y 0
LNEAS TRIGONOMTRICAS
Como la circunferencia trigonomtrica tiene deradio la unidad, las razones trigonomtricas se
pueden representar mediante segmentos derecta, a dichos segmentos (dirigidos) se lesdenomina Lnea Trigonomtricas.
Lnea Seno: Es el segmento perpendiculartrazado desde el extremo del arco al dimetroAA.
sen = P'P
sen = Q'Q
Lnea Coseno:Es el segmento perpendicular
trazado desde el extremo del arco al dimetroBB.
cos = P'P
cos = Q'Q
Lnea Tangente:
1. Por el origen de arcos trazamos unatangente geomtrica. (Eje de tangentes)
2. Prolongamos el radio que pasa por elextremo del arco hasta intersectar al eje detangentes.
3. El segmento comprendido entre el origen de
arcos y el punto de interseccin es la LneaTangente.
B
'B
A'A O
Y
X
)y,x(P
A'A O
P
'P
Q
'Q
Y
X
P
A'A
Q
R
X
Y
O
P
'P
Q 'Q
O
B
'B
Y
X
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tg = AP
tg = AR
tg = AQ
Lnea Cotangente:1. Por el origen de complementos trazamos
una tangente geomtrica (Eje deCotangentes).2. Prolongamos el radio que pasa por el
extremo del arco hasta intersectar al eje deCotangentes.
3. El segmento comprendido entre el origen decomplementos y el punto de interseccin esla Lnea Cotangente.
ctg = BP
ctg = BR
ctg = BQ
Lnea Secante:1. Trazamos una tangente geomtrica por el
extremo del arco hasta intersectar al eje X.
2. El segmento comprendido entre el origen decoordenadas y el punto de interseccin esla Lnea Secante.
sec = OP
sec = OR
sec = OQ
Lnea Cosecante:1. Trazamos una tangente geomtrica por elextremo del arco hasta intersectar al eje Y.
2. El segmento comprendido entre el origen decoordenadas y el punto de interseccin esla Lnea Cosecante.
csc = OP
csc = OQ
csc = OR
PPRRCCTTIICCAA
01. Seale la expresin de mayor valor en:A) sen40 B) sen64 C) sen96
D) sen114 E) sen160
02. Indicar verdadero (V) o falso (F) segncorresponda:I) sen 20 > sen 80II) sen 20 < cos 20III) sen 190 < sen 250
A) VFV B) FFV C) VVVD) FVV E) N.A.
03. En qu cuadrante(s) el seno decrecemientras el coseno crece?
A) I B) II C) III
P
Q
R
OX
Y
P
R Q O
Y
X
BQR P
X
Y
'B
gentestanCodeEje
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7/21/2019 5 Quinto Cepas
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D) IV E) II y III
04. Indicar verdadero (V) o falso (F) segncorresponda:I) cos 10 < cos 50II) cos 80 > sen 80III) cos 200 > cos 250
A) VFV B) FFV C) VVV
D) FVV E) N.A.
05. Indicar con (V) si es verdadero y con (F) sies falso las siguientes proposiciones:I) sen 130 > sen 150II) cos 105 > cos 120III) tg 50 < tg 200
A) VFV B) FFV C) VVVD) FVV E) VVF
06. Indicar verdadero (V) o falso (F) segncorresponda:I) sen 100 + cos 100 < 0II) sen 170 + cos 170 > 0
A) VV B) VF C) FVD) FF E) Faltan datos
07. Indicar el intervalo de m si:
2
1m3xsen
A) [3; 3] B) [3; 1/3] C) [1/3; 1/3]
D) [0; 3] E) [1/3; 1]
08. Hallar la diferencia del valor mximo ymnimo de la funcin definida en:
3
2xcos5f(x)
A) 10/3 B)4/3 C)1D) 4/3 E) 3
09. En la circunferencia trigonomtricamostrada, calcular el rea del tringulosombreado.
A) sen B) cos C) sen
2D) cos
2E) 1
10. En la circunferencia trigonomtricamostrada, calcular el rea del tringulosombreado.
A) sen
B) cos C) sen
2D) 2sen E) cos
2
11. El siguiente grfico es una circunferencia
trigonomtrica.
Evaluar:c).eb(
fda
A) Tan B) Cot C) Sec D) Csc E) 1
IIDDEENNTTIIDDAADDEESSTTRRIIGGOONNOOMMTTRRIICCAASS
Una identidad trigonomtrica es una igualdaden la que intervienen funciones trigonomtricasy que se verifican para todo valor permitido dela variable. Las identidades principales son:
A) Identidades Recprocas:
1xCscSen x 1xSecxCos
1xCtgxTg
B) Identidades de Cociente:
Y
XO
)b;a(
)f;e(
)d;c(
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
16/38
xCos
Sen xxTg ;
Sen x
xCosxCtg
C) Identidades Pitagricas:
1xCosxSen22
xSecxTg1 22
xCscxCtg122
PPRRCCTTIICCAA
01. Simplificar: R = ctgx .sen2xtgx.cos2xA) senx B) 0 C) senx.cosxD) 1 E) co2x
02. Simplificar:senxcscx
cosxsecxE
A) tgx B) tg2x C) tg3xD) 1 E) cox
03. Reducir: K = (tanx + cotx).cos2xA) tanx B) cotx C) 1D) cosx E) secx
04. Simplificar:cosxxcos2
xsen2senxE
3
3
A) tgx B) ctgx C) cosxD) senx E) 1
05. Simplificar:
xcos1
xsen1
senxcscx
cosxsecxK
2
2
A) 1 B) tgx C) ctgxD) senx E) cosx
06. Simplificar:secx.senx
tanx.senxcosxE
A) senx B)cscx C) 1D) tanx E) cosx
07. Simplificar:K = (senx +cosx +1)(senx + cosx1)
A) 2senx B)2cosxC) 2senx.cosx D) 2E) 1
08. Simplificar: ctgxcosx1
senxE
A) senx B) cosx C) secxD) 1 E) cscx
09. Simplificar: tgxtgxsecx
xtgxsecK
22
A) cosx B) senx C) secxD) tgx E) secx + tgx
10. Simplificar: csc.sec
ctgtg
E
A) 1 B) 2 C) senD) cos E) 1/2
11. Si tgx + senx = 2(1 + cosx); xIII C.Hallar: P = secx.cscx
A) 5/2 B)5/2 C) 5/3D)5/3 E) 5
12. La siguiente igualdad:
k2
xSen-1xCos
xSen1xCos
es una identidad, hallar k
A) Cos2x B) Senx Cosx C) Senx
D) Cos x E) Sen2x
13. La siguiente igualdad:
4 Sen2x + 3 Cos2x + 5 Sec2x + 7 Tan2x
= a Sen2x + b Tan2x + cEs una identidad. Hallar: a + b + c
A) 19 B) 20 C) 21D) 22 E) 23
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
17/38
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE
NGULOS COMPUESTOS
sencoscossen)(sen
sensencoscos)cos(
tg.tg1tgtg)(tg
PRCTICA
01. Simplificar: xcot)x
2(Cos
)4
x(Cos2
A) 0 B) 1/2 C) 1
D) 2 E) 3
02. Sabiendo que y son agudos.
Adems: Cos =7
1 y Cos =
14
13
Calcular: Cos ()
A) 1 B)2
1 C)
2
2
D)2
3 E)
4
1
03. Simplificar:
zCscz)Cos(x-zCotxCos
Sec yy )Cos(xyTanxSen
A) Sen x B) Cos x C) Tan xD) Cot x E) Sec x
04. Transformar a monomio:
Sen + 3 Cos
A) Sen (+ 60) B) Sen (+ 30)C) 2 Sen (+ 60 D) 2 Sen (+ 30)E) 2 Sen (60)
05. Simplificar.
2 Sen 20 + 3 Sen 10
A) Sen 20 B) Tan 10 C) Cos 10D) Tan 20 E) Cos 20
06. Simplificar:44Tan-46Tan
2Tan
A) 2 B) 1/2 C)1/2D)2 E) 1
07. Siendo ABCD un cuadrado y M puntomedio. Hallar: Tan
A) 1B) 2C) 3
D)3
1
E) 6
08. Del grfico mostrado; hallar: x
A) 3
B) 3C) 4
D) 6
E) 7
09. Del grfico mostrado; hallar: x
A) 4 3
B) 4 6
C) 3 6
D) 8 6
E) 6 3
10. Del grfico mostrado, hallar: Tan
A)2
1
B)3
1
C) 2D) 3E) 1/6
A B
C
D
E
x
2
6
4
A B
C
D
32
x
7
30
A B
C
D
E
3
2
1
A
B C
D
M
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
DEL NGULO DOBLE
cossen2)2(sen
22
sencos)2cos(
2tg1
tg2)2(tg
PRCTICA
01. Reducir:
senx1
xcos2x2senE
A) 2senx B) 2tgx C) 1D) 2 E) 2cosx
02. Si: Tan + Cot = 3Hallar: Csc 2A) 3 B) 3/2 C) 1/3D) 4 E) 2/3
03. Reducir:K=4Cos3Sen4Sen3Cos
A) Sen B) sen2C) sen4 D) sen8E) Sen 16
04. Reducir:A = 8 sen coscos2Cos4A) sen4 B) sen16C) sen64 D) sen8E) sen
05. Del grfico, calcular x
A) 3
B) 4
C) 3
D) 2
E) 6
06. Simplificar:
40cos222E A) cos 10 B) 1 C) 2D) 2cos 10 E) tg 10
07. Simplificar:
Tan
2Sec1
2Tan
A) Tan B) 1 + Tan C) 0 D) Sen E) Cos
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
DEL ANGULO MITAD
2
cos1)
2
(sen
2
cos1)
2cos(
cos1
cos1)
2(tg
PRCTICA
01. Calcular: Tan 26 30A) 1 B) 2 C) 1/2D) 1/3 E)1/2
02. Calcular: Tan 112 30
A) 1 2 B) 2 +1 C) 21
D) 21 E)2 3
03. Si: Cos = 1/8, adems
22
3.
Calcular2
cos
A)2/7 B)3/4 C)2/5
D)9
5 E)1/2
1
2
x
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
19/38
04. Si: Cos =0,75
III Cuadrante, Hallar: Sec2
A) 2 B) 2 C) 2 2
D)2 2 E) 2 + 1
05. Calcular: Tan 730 Cot 730
A) 4 + 2 3 B) 42 3
C) 2 3 3 D)42 3
E) 0
06. Simplificar:2xCot2xCsc
2
xTan
2
xCot
A) Cot x B) 1 C) Tan x
D) 2 E) Sec x
FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
DEL ANGULO TRIPLE
3sen4sen3)3(sen
cos3cos4)3cos( 3
3
3
tg31
tgtg3)3(tg
PRCTICA
01. Simplificar:
Cos3xxCos
xSen3xSen3
3
A) Cot x B) Sec x C) Csc x
D) Tan x E) Sen x
02. Simplificar:
Sen
Sen3Sen
Cos
Cos3Cos33
A) Cos B) Sen C) 1
D) 3 E) 0
03. Simplificar:
40Cos20Cos
40Cos20Cos 33
A) 3 B) 4 C) 4/3
D) 3/4 E) 3/2
04. Reducir: 2 Cos 6x Sen 3x + Sen 3x
A) Sen 6x B) 3 Sen 6x C) Sen
9x
D) Cos 9x E) 3 Cos 6x
05. La siguiente igualdad es una identidad:
kCosk2
Cos
3Cos
Sen
3Sen
Hallar: k
A) 0 B) 1 C) 2D) 4 E) 3
06. Simplificar:
Tan 3(2 Cos 21)(2 Cos2+1)TanA) Tan B) Cot C) 0D) Tan 3 E) Cot 3
07. Calcular:
Sec92Cos8
92 2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 6
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
20/38
TTRRAANNSSFFOORRMMAACCIINNDDEEUUNNAASSUUMMAAOO
DDIIFFEERREENNCCIIAAAAPPRROODDUUCCTTOO
Identidades para la suma o diferencia desenos y cosenos:
2
BAcos
2
BAsen2senBsenA
2
BAsen
2
BAcos2senBsenA
2
BAcos
2
BAcos2BcosAcos
2
BAsen
2
BAsen2BcosAcos
PRCTICA
01. Simplificar:
3CosCos
Sen-3Sen
A) Tan 2 B) Cot 2 C) Tan D) Cot E) 1
02. Calcular:(Sen 38 + Cos 68) Sec 8
A) 1 B) 2 C) 1/2D) 1/4 E)1/2
03. Sabiendo que: Cos 70 = kA qu es igual?Sen225 - Sen25
A)4
k B)
2
k C) k
D) 2k E) 4k
04. Simplificar:
y )Sec(x2ySen2xSen
y )Sen(3x3y )Sen(x
A) 2 B) 1/2 C) 4D) 1 E) 1/4
05. Simplificar:(Tan 2 + Tan)(Cos 3 + Cos)
A) 2 Sen 3 B) 2 Cos 3 C) Sen 3 D) Cos 3 E) 1
06. Simplificar:
Cos 55 + Cos 65 + Cos 175
A)2
1 B)
2
1 C)
2
3
D)2
3 E) 0
07. Simplificar:
x4Cosx3Cosx2Cos
x4Senx3Senx2Sen
Para: x = 5
A)2
1 B)
2
3 C) 2 3
D) 2 + 3 E) 1
08. Factorizar:
sen + sen 3sen 5+ sen 9
A) 4 sen 2cos 3sen 4B) 4 cos 2sen 3cos 4C) 4 sen 2sen 3sen 4D) 4 cos 2cos 3cos 4E) 4 sen 2cos 3cos 4
09. Factorizar:
sen 24 + sen 16sen 8
A) 4 cos 4 sen 8 cos 12B) 4 sen 4 sen 8 sen 12C) 4 cos 4 cos 8 sen 12D) 4 sen 4 cos 8 cos 12E) 4 cos 4 cos 8 cos 12
10. Reducir:
b2sena2Sen
)ba3(Cos)b3a(Cos
A) 2 Sen (a + b)
B) 2 cos (a + b)C) 2D) 2 Sen (ab)E) 2 Cos (ab)
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
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TRANSFORMACIN DE UN
PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
01. Reducir: E = 2cos2x.cosxcos3x
A) sen x B) cos x C) 10D) tg x E)cos x
02. Simplificar:L=sen6x.senx+cos5x.cos2xsen4x.senx
A) 0 B) cos x C) cos 3xD) cos 5x E) cos x
03. CalcularA
B, si:
sen11x.cos3xcos9x.sen5x=cosAx.senBxA) 1 B) 2 C) 3D) 6 E) 4
04. Calcular:
12
7sen.
12
11senJ
A) 1/2 B)1/2 C) 1/4D)1/4 E) 3/4
05. Calcular:M = sen 55.cos 5 + sen 35.sen 5
A) 3 B) 1/2 C) 32
D) 1 E) 2/3
06. Simplificar:
2xCos
xSen3xSen-3xCos5xCos
A) Cos 2x B) Cos 4x C) Cos 6xD) Cos 8x E) Cos 10x
07. Transformar a monomio:Sen 3 Cos + Sen 2Cos 4
A) Sen 5Sen B) Cos 5Sen C) Sen 5Cos D) Sen 5Sen 3E) Cos 5Cos
08. Simplificar:
70Sen10Sen280Cos
10Sen40Cos250Sen
A)2
1 B)
2
3 C) 1
D)2
2 E)
4
26
RREESSOOLLUUCCIINNDDEETTRRIINNGGUULLOOSS
OOBBLLIICCUUNNGGUULLOOSS
LEY DE SENOS:En todo tringulo cada lado es directamenteproporcional a los senos de los ngulosopuestos e igual a una constante que viene a
ser el dimetro de la circunferencia circunscrita
Del grfico, se cumple:
R2senC
c
senB
b
senA
a
Donde:R: circuncentro del ABC
NOTA: Cuando en un tringulo seconsideran 2 lados y 2 ngulos (incluyendola incgnita) se usa ley de senos.
LEY DE COSENOS:En todo tringulo el cuadrado de un lado es
igual a la suma de los cuadrados de los otrosdos, menos el doble del producto de dichoslados por el coseno del ngulo que estosforman
Acosbc2cba 222
Bcosac2cab 222
Ccosab2bac 222
NOTA:Cuando en un se consideran 3 ladosy un ngulo (incluyendo la incgnita) se usa laley de cosenos.
A
B
C
a
b
c
A
B
C
a
b
c
R
O
-
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22/38
GGEEOOMMEETTRRAAAANNAALLTTIICCAA
NNOOCCIIOONNEESSGGEENNEERRAALLEESS
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE LA RECTA:Dados los puntos P y Q de la recta numrica concoordenadas x1y x2, respectivamente, la distanciaentre P y Q que se denota con d(P, Q) se definecomo:
d(P, Q) = x2x1
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO:Sean los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2)
d(P, Q) = 22 )12()12( yyxx
DIVISIN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZNDADA:
Dado el segmento AB de coordenadas A(x1, y1) y
B(x2, y2). Las coordenadas del punto P(x, y) quedivide al segmento en una razn r dada
PB
AP=r
estn dadas por:
1
1
21
21
r
ryyy
r
rxxx
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:Si M, es el punto medio del segmento AB , sus
coordenadas se calculan por:x =
2
21 xx
y =2
21 yy
COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UNTRINGULO:Si: G(x, y) es el baricentro de un tringulo ABC,
tal que: A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3); entonces:
x =3
321 xxx
y =3
321 yyy
NGULO DE INCLINACIN:Se llama ngulo de inclinacin de una recta, alngulo formado por la parte positiva del eje X yla recta, cuando sta se considera dirigidahacia arriba.
En la figura, es la medida del ngulo deinclinacin de la recta L.
Tambin, es la medida del ngulo deinclinacin de la recta a.
Evidentemente, puede tener cualquier valorcomprendido entre 0 y 180, es decir, suintervalo de variacin est dado por:
0 < < 180
PENDIENTE DE UNA RECTA:
Se llama pendiente coeficiente angular deuna recta a la Tangente de su ngulo deinclinacin.La pendiente de unarecta se designacomnmente por laletra m. Por tanto,podemos escribir:
m = Tg .
Observaciones:La pendiente puede tomar todos los valoresreales.
a)Si es agudo, la pendiente es positiva.
m = Tg.
Y
X0
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
23/38
b)Si es obtuso, la pendiente es negativa.
m = Tg .c) Toda recta perpendicular al eje X no tiene
pendiente.d) La pendiente de una recta horizontal es
igual a cero.
TEOREMA: P1= (x1; y1) y P2= (x2; y2) son dospuntos diferentes cualesquiera de una recta, lapendiente de la recta es:
m =21
21
xx
yy
x1x2
ObservacinEl orden en que setoman las coordenadasno tiene importancia,ya que:
21
21
12
12
xx
yy
xx
yy
El estudiante debe evitar, en cambio, el error muyfrecuente de tomar las ordenadas en un orden y
las abscisas en el orden contrario, ya que estocambia el signo de m.NGULO ENTRE DOS RECTAS:Un ngulo cuya medida es formado por dosrectas est dado por la frmula:
Tg=12
1
12mm
mm
m1.m2-1CONDICIONES DE PARALELISMO:
La condicin necesaria y suficiente para que dosrectas sean paralelas es que sus pendientes seaniguales.
Si L1//L2m1= m2
CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD:La condicin necesaria y suficiente para que dosrectas sean perpendiculares entre s, es que el
producto de sus pendientes sea igual a -1.Si: L1 L2m1m2 = -1
PROYECCIN DE UN SEGMENTO
En un sistema de coordenadas cartesiano
rectangular, la proyeccin de un segmento AB ,de extremos A(x1, y1) y B(x2, y2), sobre el eje
OX se indica con el smbolo X =
ProyxAB , y la proyeccin sobre el eje OY ,
con el smbolo Y = ProyyAB .
Ambas proyecciones pueden calcularse por lasfrmulas:X = x2x1Y = y2y1
PUNTO COMUN O DE INTERSECCIN DEDOS CURVAS:Se determina por la resolucin simultnea desus dos ecuaciones.
PUNTO QUE PERTENECE A UNA CURVA:
Aquel que al reemplazar sus coordenadas en laecuacin de la curva la verifica o la satisface.
LUGAR GEOMTRICO, o grfica, de unaecuacin de dos variables es una lnea, recta ocurva, que contiene todos los puntos, y soloellos, cuyas coordenadas satisfacen laecuacin dada.
En donde:
m1: pendiente inicial
de L1.
m2: pendiente final de
L2.
1: recta inicial.
2: recta final.
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
24/38
LLAARREECCTTAA
CONCEPTO: Llamamos lnea recta al lugargeomtrico de los puntos tales que tomado dospuntos diferentes cualesquiera P1 = (x1; y1) yP2= (x2; y2) del lugar, el valor de la pendiente mcalculado por medio de la frmula:
21
21
xxyym
; x1x2
Resulta siempre constante.
FORMAS DE LA ECUACIN DE LA RECTA
A) FORMA PUNTO PENDIENTE:La ecuacin de la recta Lque pasa por elpunto P1 (x1, y1) y cuya pendiente es m,est dado por:
)xx(myy:L 11
B) FORMA CARTESIANA:La ecuacin de la recta Lque pasa por lospuntos P1(x1, y1), P2(x2, y2) est dado por:
)xx(xx
yyyy:L 1
12
121
C) FORMA PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN:La ecuacin de la recta L de pendiente m y quecorta al eje Y en el punto P1 (0, b) est dadopor:
bmxy:L
Donde:b: ordenada en el origenP: Punto cualquiera
D) FORMA SIMTRICA.La ecuacin de la recta L que corta a los
ejes de coordenadas X e Y en los puntosA(a, 0) y B(0, b) est dado por:
1b
y
a
x:L
Donde:a : abscisa en el origen a 0b : ordenada en el origen b 0
OBSERVACIONES:1. Si: m > 0, la recta es de la forma general
representada en la figura:
2. Si: m < 0, entonces la recta es de la forma
general representada en la figura:
3. Si: L // X m = 0
La ecuacin de la recta L es de la forma:L = (x ; y)/ y = c
4. Si: L // Y m no est definida.
La ecuacin de la recta L es de la forma:L = (x ; y) / x = c
FORMA GENERAL DE UNA RECTA
L
X
Y
L
X
Y
)b,0(B
)0,a(A
L
Y
X
L
X
Y
c cy
L
X
Y
c
cy
)y,x(P
)b,0(P1
Y
X
L
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
25/38
La ecuacin general de la recta L est dadopor:
L : Ax + By + C = 0 .
Con pendiente:B
Am
Donde: A, B, C son constantes con la condicin
que A, B y C no son simultneamente nulas.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1. RECTAS PARALELAS:Sean las ecuaciones generales de lasrectas:L1: Ax + By + C = 0L2: A1x + B1y + C1= 0Si: L1// L2mL1= mL2
2. RECTAS PERPENDICULARES
Sean las ecuaciones generales de lasrectas:L1: Ax + By + C = 0 yL2: A1x + B1y + C1= 0Si: L1 L2 mL1mL2=1
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTALa distancia no dirigida de un puntoP1(x1, y1) a una recta.L : Ax + By + C = 0 est dado por:
d(P1, L) =22
11
BA
CByAx
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS:La distancia dentre las rectas
L1: Ax + By + C1= 0
L2 : Ax + By + C2 = 0
Est dada por:22
21
BA
CCd
PRCTICA
01. Del grfico, calcular la pendiente de
L , siPERU es un rectngulo y PU = 2PE.
A) 1/2B) 1/3C) 1/4D) 2/3E) 3/4
02. Hallar el valor de a, de modo que lospuntos P(1, 1); Q(5, 2) ; R(a, 1) estnsobre la misma recta.
A) 9/5 B) 10/3 C) 11/3D) 13/3 E) 9/4
03. Sea L: x+y+=0 que pasa por A(a,0) y
B(0,b), si P(1,2) es punto medio de AB .Calcular: .
A) 4 B)2 C) 2D) 3 E) 6
04. Hallar el valor de a para que la rectaL1:ax+(a2)y+18=0 sea paralela a la rectaL2: 4x+3y+7=0.
A) 5 B) 6 C) 8D) 9 E) 10
05. Sean: L1: kx + (k1)y18 = 0;L2: 4x + 3y + 7 = 0
Rectas no verticales, calcular el valor de kpara que L1sea perpendicular a L2.A) 2/7 B) 3/7 C)3/7D)2/7 E) N.A.
06. Dado el tringulo de vrtices A(2,1),B(4,7) y C(6,3); hallar las ecuaciones delas medianas relativas a los lados
BCyAC .
A) 4x y + 9 = 0 x7y9 = 0B) x4y + 9 = 0 x + 7y + 9 = 0
C) x + 4y9 = 0 7x + y9 = 0D) 4x + y + 9 = 0 7xy9 = 0E) 4x y9 = 0 x7y + 9 = 0
07. Si L: 3x + 4y2 = 0, entonces la ecuacinde la recta perpendicular a L y que pasapor el punto (4,2), es:
A) 4x3y + 10 = 0 D) 4x3y10 = 0B) 4x + 3y10 = 0 E) 5x3y + 10 = 0C) 4x + 3y + 10 = 0
Y
X
)y,x(P 111
L 1L
-
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26/38
08. Calcular la distancia entre las rectasparalelas:L1: 3x4y + 8 = 0;L2: 6x8y + 9 = 0;
A) 1/10 B) 3/11 C) 1/4D) 7/10 E) 1/5
09. La ecuacin de la recta que es mediatriz
del segmento que une a los puntos A(7;4)y B(1;2).
A) 4x + 3y12 = 0B) 4x + 3y13 = 0C) 4x + 3y + 12 = 0D) 4x + 3y15 = 0E) 4x + 3y16 = 0
10. Un cuadrado tiene uno de sus lados en larecta L: x 3y + 2 = 0 y un vrtice en elpunto P(2,3). Hallar el rea de dichocuadrado.
A) 32 u2 B)2
5u2 C) 36 u2
D) 40 u2 E) 42 u2
11. Hallar la ecuacin de la recta que pasa porel punto P(4,6), de modo que su ordenadaen el origen es el doble de su abscisa en elorigen, siendo ambos positivos.
A) 2x + y14 = 0
B) x + 2y14 = 0C) x + y10 = 0D) 2x + 3y26 = 0E) xy + 2 = 0
UNT 2006II (rea A)12. La recta L1: y = mx + b pasa por el punto
(1,5) y es paralela a la rectaL2: 2x3y + 12 = 0.El valor de 4mb es:
A)7 B)3 C)1/2
D) 2 E) 5/2
13. Hallar el rea de la regin sombreada, siL1: xy + 6 = 0 yL2: x + y12 = 0
A) 162u2 B) 70u2 C) 81u2
D) 94u2 E) 56u2
I SUMATIVO (AbrilAgosto 2003)14. Los puntos A(2;3), B(4;6) y C(6;1) forman
el tringulo ABC. La ecuacin de la rectaque contiene a la altura relativa al lado AC,es:
A) y = 3x + 1B) y = 2x2C) y = x4D) y = 2x + 2E) y =x+1
I SUMATIVO (JUNIOSET. 2005)15. La ecuacin de la recta que pasa por la
interseccin de las rectas:2xy4 = 0
x + y5 = 0;y forma un ngulo de 45 con el eje X, es:
A) yx3 = 0 B) yx + 2 = 0C) yx + 1 = 0 D) yx1 = 0E) yx + 3 = 0
UNT 1996 (rea Letras)16. El rea del tringulo determinado por las
rectas: x = 2, y = 3, e; y = x2, en el planoes:
A) 6 u2 B) 12 u2 C) 4,5 u2D) 5,4 u2 E) 4,2 u2
I SUMATIVO (MAYOAGOSTO 2006)17. La ecuacin de la recta que pasa por
(0,4), perpendicular a la recta
y + 2 = )1x(21 , es:
A) 2yx + 4 = 0 B) 2x + y4 = 0C) 2xy4 = 0 D) yx4 = 0E) x + y4 = 0
LLAACCIIRRCCUUNNFFEERREENNCCIIAA
Definicin:Es el lugar geomtrico de un puntoP(x, y) del plano IR2, de tal manera que se
A
B
C
1L
Y
X
2L
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
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mueve mantenindose siempre igual a unacantidad constante r (r: radio) de un punto fijo Cdel plano denominado centro de la misma. Esdecir:
C = P(x,y) IR2/ d (C,P) = r
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
C : Centro de la circunferencia
CU: radio (CU = r)
BO : cuerdaAE : DimetroLN : Recta NormalLT : Recta Tangente
FORMAS DE LA ECUACIN DE UNACIRCUNFERENCIA
1. Forma Cannica: La ecuacin de unacircunferencia con centro en el origen decoordenadas y radio r > 0, es dado por:
: x2+ y2= r2
2. Forma Ordinaria: La ecuacin de unacircunferencia con centro en el punto C(h, k)y radio r > 0 es dado por:
: (xh)2+ (yk)2= r2
3. FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DEUNA CIRCUNFERENCIA.Sea la ecuacin de una circunferencia en suforma ordinaria.
: (xh)2+ (yk)2= r2
: x2+ y2 022 222
CBA
rkhkyhx
Luego, se deduce que la ecuacin de lacircunferencia se puede escribir en laforma:
: x2+ y2+ Ax + By + C = 0
Ahora, de sta ltima ecuacin de lacircunferencia al completar cuadrados. Lanueva ecuacin de la circunferencia:
:4
C4BA
2
By
2
Ax
2222
Presenta tres casos:
1) Si: A2+ B24C > 0. Entonces:
C =
2
B,
2
Ay r = C4BA
2
1 22
2) Si: A2+ B24C = 0. Entonces:
C =
2
B,
2
A
Represente un solo punto
3) Si A2+ B24C < 0. Entonces:La ecuacin representa a unacircunferencia imaginaria o unconjunto vacio.
-
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PRCTICA
UNT 2001 (CIENCIAS)01. Una circunferencia de radio 5 tiene su
centro en el punto de interseccin de lasrectas 2x + 3y = 13 y 5xy = 7. Entoncesla ecuacin de la circunferencia es:
A) (x3)2+ (y2)2= 25
B) (x2)2+ (y + 4)2= 25C) (x + 2)2+ (y3)2= 25D) (x2)2+ (y + 3)2= 25E) (x2)2+ (y3)2= 25
I SUMATIVO (OCT. 2009FEB.2010-C)02. La ecuacin de la circunferencia cuyos
extremos de su dimetro son los puntosP(2,3) y Q(4,5), es:
A) (x + 1)2+ (y4)2= 10B) (x1)2+ (y + 4)2= 10C) (x + 4)2+ (y1)2= 10D) (x4)2+ (y + 1)2= 10E) (x1)2+ (y4)2= 10
I SUMATIVO (ENEROABRIL 2005)03. Dada la ecuacin
x2+ y24x10y + 20 = 0de una circunferencia, el valor de su radio,es:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
III SUMATIVO (ABRILAGOSTO 2002)04. La longitud de la circunferencia:
2x2+ 2y210x + 6y15 = 0 es:A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4
I SUMATIVO (ABRILAGOSTO 2009)05. La ecuacin de la recta tangente a la
circunferencia x2+ y2+ 2x 2y = 23 en elpunto P(2,5) es:
A) 3x + 4y = 26 B) x + y = 2C) 3x + y = 6 D) 3x + 4y = 1
E) x + y = 6
06. Una circunferencia de ecuacinx2+y2+Dx+Ey+F=0, pasa por el origen decoordenadas y su centro es el punto(6,8). Hallar D+E.F
A)12 B) 16 C) 0D)10 E)16
07. Hallar la ecuacin de la circunferencia concentro en la recta L: x+y4=0 y pasa porlos puntos A(4,6) y B(2,6).
A) x2+ y2xy16 = 0B) x2+ y22xy16 = 0C) x2+ y26x16 = 0D) x2+ y26x2y = 0E) x2+ y26x2y16 = 0
08. Hallar la ecuacin de la circunferenciacuyo centro es el punto (3, 4) y estangente a la recta L: 3x+4y5=0.
A) (x + 3)2+ (y + 4)2= 36B) (x3)2+ (y + 4)2= 36C) (x + 4)2+ (y3)2= 36D) (x4)2+ (y + 3)2= 36E) (x +3)2+ (y4)2= 36
09. En la figura calcular la ecuacin de lacircunferencia, si L=(3,0) y A=(13,0)
A) (x+8)2 + (y6)2 =61 B) (x+8)2 + (y6)2 =8C) (x8)2 + (y+6)2 =61 D)(x8)2 + (y6)2 =81E) (x8)2 + (y6)2 =48
10. Hallar la ecuacin de la circunferenciacuyo centro est sobre el eje X y pasa porlos puntos A(1,3) y B(4,6).
A) (x73)2+ y2= 45B) (x5)2+ y2= 35C) (x + 7)2+ y2= 43D) x2+ (y7)2= 40E) x2+ (y + 7)2= 40
11. Hallar la ecuacin de la circunferencia quees tangente a las dos rectas paralelasL1: 2x + y5 = 0 y L2: 2x + y + 15 = 0y, a una de ellas, en el punto A(2,1)
A) (x + 2)2+ (y1)2= 20B) (x + 2)2+ (y + 2)2= 20C) (x + 1)2+ (y + 2)2= 20D) (x + 2)2+ (y + 1)2= 20E) N.A.
-
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LA PARBOLA
Definicin:Es el lugar geomtrico de un puntoP(x,y) del plano IR2, que se mueve de talmanera que equidista de una recta fija L(llamada Directriz) situada en el plano y de un
punto fijo F (llamado Foco) del plano IR2
y queno pertenece a la recta L. Es decir:
ELEMENTOS DE LA PARBOLA Foco Fes el punto fijo de la parbola. Vrtice Ves el punto medio del segmento
que une la directriz y el foco. Eje focal L1 es la recta perpendicular a la
directriz L.
Cuerda focal TU es el segmento que unedos puntos de la parbola y que pasa por elfoco.
Radio vector EF es el segmento que uneun punto de la parbola E y el foco F.
Lado recto CM es la cuerda focalperpendicular al eje focal.
LR = 4p
Excentricidades la razn constante entre ladistancia de un punto al foco y la distanciade dicho punto a la directriz.
ECUACIN CANNICA: Con vrtice en elorigen de coordenadas (0,0)
ECUACIN ORDINARIA:Con vrtice en el punto V(h, k) se reemplaza ax por (x h) y a y por (y k), obtenindose.(xh)2= + 4 p(yk); eje focal // eje Y
(yk)2= + 4 p(xh); eje focal // eje X
Desarrollando estas ecuaciones anteriores y
haciendo los cambios de variable, se tiene laecuacin general de la parbola:
x2+ Ax + By + C = 0 ; eje focal // eje Yy2+ Ay + Bx + C = 0 ; eje focal // eje X
ECUACIN DE LA TANGENTE A UNAPARBOLA
La tangente a la parbola y2= 4px en un puntocualquiera P1(x1,y1) de tangencia o contacto
tiene por ecuacin:
L : y1y = 2p(x + x1)
PRCTICA
01. La distancia del vrtice al foco de laparbola y2= 16x, es:
A) 7 u B) 6 u C) 5 uD) 4 u E) 3 u
02. La suma de las coordenadas del vrtice dela parbola de ecuacin:y2 + 4x6y+7 = 0 es:
A)7/2 B)5/2 C) 5/2D) 7/2 E) 9/2
x2= +4py y2= +4px= {P(x,y)IR2/d(P,L)=d(P,F)}
-
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03. Hallar la ecuacin de la circunferencia que
pasa por el vrtice y los extremos del ladorecto de la parbola x2=4y.
A) x2+ y2+ 3y = 0
B) x2+ y3+ 4y = 0C) x2+ y3+ 5y = 0D) x2+ y2+ 4x = 0
E) x2
+ y2
+ 5y = 0
04. Hallar la ecuacin de la parbola, si se da
su foco F(7,2) y la directriz : x5 = 0.
A) (y + 2)2= 4(x + 6)
B) (y2)2= 4(x6)C) (y + 2)2= 4(x6)D) (y2)2= 4(x + 6)
E) N.A.
05. Hallar la ecuacin de la parbola convrtice en V(3,1) y directriz la recta
: y =3
A) (x + 1)2= 8(y + 1) B) (x1)2= 8(y + 3)
C) (x3)2= 4(y + 1) D) (x3)2= 8(y + 1)E) N.A.
06. Hallar la ecuacin de la parbola que tieneel vrtice en V(3,5) y cuyos extremos del
lado recto son L(5,9) y R(5,1)
A) (y + 5)2= 8(x3)
B) (y + 5)2=8(x + 3)
C) (y5)2= 8(x + 3)
D) (y5)2=8(x3)
E) (y5)2=8(x + 3)
07. El vrtice de una parbola es V(3,2) y sudirectriz y + 1 = 0; entonces, la suma de lascoordenadas del foco de la parbola, es:
A) 2 B) 3 C) 5D) 7 E) 8
08. Hallar la ecuacin de la parbola cuyos
puntos extremos de su lado recto sonL(7,3) y R(1,3).A) (x4)2= 6(y3/2)
B) (x4)2=6(y9/2)C) (x4)2= 6(y + 9/2)D) (x4)2= 8(y9/2)
E) A y B
09. Hallar la ecuacin de la parbola con
directriz : x = 2, eje 1: y = 1 y que pasa
por el punto A(7,4).
A) (y1)2= 2(x5/2)B) (y1)2= (2x + 5/2)C) (y1)2= 18(x13/2)
D) (y1)2= 8(x13/2)E) A y C
10. Hallar la ecuacin de la parbola convrtice sobre la recta L1: x y + 1 = 0, dedirectriz horizontal, foco sobre la rectaL2: x + y + 3 = 0 y que pasa por A(5,6)A) (x + 3)2= 8(y + 2)B) (x5)2= 56(y6)C) (x3)2= 8(y2)D) (x5)2=56(y5)E) N.A.
11. Hallar la ecuacin de la parbola de ejehorizontal, que pasa por los puntos
A(1,3) y B(2,3) y cuyo lado recto mide 12unidades.A) (y3)2= 12(x + 1)B) (y + 3)2= 12(x + 1)C) (y3)2= 12(x2)D) (y3)2=12(x2)E) B y D
12. Se plantea hacer un arco parablico, coneje vertical y cuyos puntos de apoyo estn
separados por una distancia de 30 m. Si elfoco de la parbola debe estar a 8m dealtura, cul es la altura que debe tener elarco?A) 8,5 B) 10,5 C) 12,5D) 14,5 E) 9,5
LA ELIPSE
-
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La distancia entre las rectas directrices es:c
a2'DD
2
Como: e = c/a, tambin puede ser:e
a2'DD
Importante: ePM
PF
Pero: PM =1
2
xc
a
Reemp. y despejando PF = e
1
2
xc
a
PF = ae 1x
ECUACIN CANNICA:
Con centro en el origen de coordenadas C(0,0)
12b
2y
2a
2x 1
2b
2x
2a
2y
ECUACIN ORDINARIA:
Con centro en el punto C(h,k). Se reemplaza ax por (xh) y a y por (yk)2 en la ecuacincannica, resultando:
2b
2k)(y
2a
2h)(x
= 1; eje focal // eje X
2b
2h)(x
2a
2k)(y
= 1; eje focal // eje Y
Al desarrollar estas ecuaciones y al hacer loscambios de variables se obtiene la ecuacingeneral
Ax2+ By2+ Cx + Dy + E = 0
ECUACIN DE LA TANGENTE A UNAELIPSE
La Tangente a la elipse b2x2+ a2y2 = a2b2encualquier punto P1(x1, y1) de la curva, tiene porecuacin:
b2x1x + a2y1y = a2b2
ECUACIN DE LA CUERDA DE CONTACTO
Si desde un punto exterior P1(x1, y1) se trazantangentes a una elipse, el segmento de rectaque une los puntos de contacto se llama cuerdade contacto de P1para la elipse:
b2x2+ a2y2= a2b2
Su ecuacin est dado por:
b2x1x + a2y1y = a2b2
)b,0(B1
)b,0(B2
)0,a(V1
)0,a(V2
)a,0(V1
)a,0(V2
)0,b(B1
)0,b(B2
Y Y
X X
-
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PRCTICA
01. Hallar la ecuacin de la elipse con centro
en el origen, focos en el eje X, la longitud
del eje mayor igual a tres veces la longitud
del eje menor y que pasa por el punto
P(3;3).
A) x2+ 9y2= 90 B) x2+ 9y2= 81
C) x2+ 3y2= 30 D) y2+ 9x2= 90
E) 9x2+ 3y2= 30
02. La distancia entre las directrices
perpendiculares al eje X de una elipse es 9
y la longitud del eje focal es 6. Hallar la
ecuacin de la elipse.
A) 6x2+ 2y2= 27 B) 2x2+ 6y2= 30
C) 2x2+ 6y2= 27 D) 2x2+8y2= 72
E) 2x26y2= 27
03. Hallar la ecuacin de la elipse de la forma:
b2x2+ a2y2=a2b2, sabiendo que la distancia
entre sus directrices es 50/ 21 y su
excentricidad es 21 /5.
A) 25x2+ 4y2= 100 B) 8x2+ 5y2= 10
C) 4x2+ 5y2= 10 D)4x2 + 25y2 =
100
E) 4x2+ 25y2= 81
04. Hallar la ecuacin de la elipse de
excentricidad e= 2/3, centro en el origen
y cuyas directrices son: y = + 9.
A) 9x2+ 5y2= 180 B) 9x2+ 5y2= 18
C) 7x2+ 6y2= 18 D) 5x2+ 9y2= 180
E) 49x225y2= 81
05. Las rectas: x= + 8 son directrices de una
elipse, cuyo eje menor tiene una longitud
de 8. Hallar la ecuacin de la elipse:
A) x2+ 2y2= 32 B) 2x2+ y2= 32
C) x2+ 4y2= 64 D) x2+ 5y2= 25
E) 2x2+ 5y2= 30
06. Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos
y vrtices coinciden con los focos y
vrtices de lasparbolas
1: y2+ 4x12 = 0 y
2: y24x12 = 0
A) 5x2+ 9y2= 46 B) 9x2+ 5y2= 46
C) 9x2+ 5y2= 45 D) 5x2+ 9y2= 50
E) 5x2+ 9y2= 45
07. El punto P(2;3) est en la elipse, uno decuyos focos es F(2;0) y la directriz
correspondiente es: x + 8 = 0. Hallar el
valor de la excentricidad y la longitud del
lado recto de dicha elipse.
A) 1/2; 8 B) 1/3; 6 C) 1/2; 6
D) 1/4; 7 E) 2/3; 4
08. En la elipse: 149
22
yx
. El rea del
tringulo formado por un lado recto y los
segmentos que unen los extremos con el
centro de la elipse es:
A) 53
1u2 B) 5
3
2u2
C) 73
4u2 D) 5
3
3u2
E) 53
4u2
09. En la ecuacin de la elipse
E : 25x2+ 16y2= 400. Hallar el permetro del
tringulo F1F2P, siendo F1y F2 los focos y
-
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P un punto cualquiera distinto de los
vrtices.
A) 4 u B) 6 u C) 8 u
D) 16 u E) 24 u
10. Un satlite viaja alrededor de la Tierra en
una rbita elptica donde la Tierra es un
foco y la excentricidad es 1/3. La distancia
ms corta a la que se acerca el satlite a la
Tierra es 300 millas. Hallar la distancia
ms grande a la que se aleja el satlite de
la Tierra.
A) 500 millas B) 800 millas
C) 600 millas D) 900 millas
E) N.A.
11. El centro de una elipse tiene por
coordenadas (2;4). Si la distancia del
centro a los focos es de 3, su excentricidad
1/3 y la elipse es de eje vertical, hallar su
ecuacin.
A) 9(x4)2+ 8(y2)2= 648
B) 9(x2)2+ 8(y4)2= 648
C) 8(x2)2+ 9(y4)2= 648
D) 9(x5)2+ 4(y8)2= 324
E) (x2)2+ (y4)2= 1
12. El punto M(3,1) es un extremo del eje
menor de una elipse cuyos focos estn en
la recta y + 6 = 0. Hallar la ecuacin de la
elipse si e = 2 /2.
A) (x + 3)2+ 2(y + 6)2= 50
B) (x3)2+ 2(y5)2= 50
C) (x3)2+ 2(y + 5)2= 50
D) (x3)2+ 2(y + 6)2= 50
E) N.A.
13. Si una elipse con eje paralelo al eje X es
tangente a la circunferencia
: x2 + y26x + 4y12 = 0 y sus focos son
los puntos de la circunferencia. Hallar su
ecuacin.A) (x3)2+ 2(y + 2)2= 50
B) (x2)2+ (y3)2= 50
C) (x + 3)2+ (y2)2= 50
D) (x + 3)2+ (y + 2)2= 50
E) N.A.
14. Los focos de una elipse estn en las
rectas L1: 2x9y = 0 y L2: 2x y = 0. Eleje focal es la recta L2: y = 2. Hallar la
ecuacin de la elipse si el eje mayor mide
10.
A) 9(x + 5)2+ 25(y2)2= 225
B) 9(x5)2+ 25(y2)2= 225
C) 9(x5)2+ 25(y + 2)2= 225
D) 9(x + 5)2+ 25(y + 2)2= 225
E) N.A.
15. Hallar la ecuacin de la elipse que pasa
por P(1,5) y cuyos focos son F1(5,2) y
F2(3,2).
A) 9(x + 1)2+ 25(y2)2= 225
B) 9(x + 1)2+ 25(y + 2)2= 225
C) 25(x1)2+ 9(y2)2= 225
D) 9(x1)2+ 25(y2)2= 225
E) N.A.
LA HIPRBOLA
DEFINICIN:Es el lugar geomtrico de un punto (P) que se
mueve en un plano de tal manera que la
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
35/38
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos
(F1y F2) llamados focos, es siempre igual a una
constante positiva (2a).
GRAFICAMENTE:
ELEMENTOS:
L1y L2: Eje directriz
LF: Eje focal
LN: Eje normal
LAy LA: Asntotas
C: Centro
V1y V2: Vrtices
F1y F2: Focos
TU : Lado recto
IM : Cuerda focal
'DD : Dimetro
V1V2: Eje transverso
B1B2: Eje conjugado
F1F2: Eje focal
RELACIONES FUNDAMENTALES:
1. De la siguiente hiprbola:
Se tiene que:
Longitud del eje transverso: V1V2= 2a
Longitud del eje conjugado: B1B2= 2b
Longitud del eje focal(segmento focal): F1F2 = 2c
2. La relacin entre a, b y c, es:
3. EXCENTRICIDAD (e):
Se define as: a
ce
Como: c > a 1a
c
Luego: e > 1
La excentricidad de una elipse es menorque la unidad.
4. De la siguiente hiprbola:
c2 = a2 + b2
PF2PF1 = 2a
LF
LN LA
LA
-
7/21/2019 5 Quinto Cepas
36/38
La longitud del lado recto es:
a
bR'L'LR
2
2
Para demostrarla se sigue el mismoprocedimiento que se hizo en la elipse.
5. Se tiene la siguiente hiprbola.
DD=c
A2 2
Importante:PM
PF1 = e
Pero: PM = x1-c
a
2
Reemp. y
despejando
PF =
c
axe
2
1 PF = ex1a
ECUACIN CANNICA: Con centro en elorigen de coordenadas C(0,0)
1b
y
a
x2
2
2
2
1b
x
a
y2
2
2
2
ECUACIN ORDINARIA: Con centro en el
punto C(h,k).
Se reemplaza a x por xh y a y por (yk),
obtenindose.
1b
k)(y
a
h)(x
2
2
2
2
; eje focal // eje x
1b
h)(x
a
k)(y
2
2
2
2
; eje focal // eje y
Al resolver estas ecuaciones y al hacer loscambios de variables resulta la ecuacingeneral.
Ax2By2+ Cx + Dy + E = 0
ECUACIN DE LA TANGENTE A UNA HIPERBOLALa ecuacin de la tangente a la hiprbola
b2x2a2y2= a2b2, en cualquier punto P1(x1, y1)
de la curva es:
b2x1xa2y1y = a2b2
P(x1,y1)M
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Practica omiciliaria
01. La longitud del lado recto de una hiprbola
es m y la de su eje transverso en n,
determine la longitud de su eje conjugado.
A) 22 nm B) mn
C)n
m D)
m
n
E) 22 nm
02. Determine la ecuacin de la hiprbola
cuyos vrtices son: (0; 24) y (0; 24);
adems sus asntotas tienen por
ecuaciones x5
12y .
A) 1100
x
576
y 22
B) 1169
x
576
y 22
C) 1100
y
576
x 22
D) 1169
y
576
x 22
E) 1144
x
576
y 22
03. Calcule el rea de la regin triangular
determinada por la interseccin de la recta:
24y2x9 y las asntotas de la hiprbola:
19
y
4
x 22
A) 6u2 B) 8u2 C) 10u2
D) 12u2 E) 24u2
04. Las ecuaciones de las directrices de una
hiprbola son: 01x5 019x5 ; si
la excentricidad es9
16; determine la
longitud de sus lados rectos.
A) 32/3 B) 16/3 C) 8/3
D) 16/5 E) 32/5
05. Dada la hiprbola:
144y16x9 22
, su distancia focal mide:
A) 5 B) 16 C) 8
D) 10 E) 6
06. Dada la hiprbola: 15
y
4
x 22 , uno de
sus focos es:
A) (0; 5)
B) (0; 5 )
C) (2; 0)
D) ( 5 ;0)
E) (3; 0)
07. Dada la hiprbola: 3yx2 22 , Cunto
mide su eje transverso?
A) 3
B) 32
C) 6
D) 62
E)2
6
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08. Hallar la ecuacin de una hiprbola de
centro (1; 3), distancia focal igual a 18u y
una de sus directrices: y = 7.
A) 136
)1x(
45
)3y( 22
B) 136
)1x(45
)3y( 22
C) 145
)1x(
36
)3y( 22
D) 145
)1x(
36
)3y( 22
E) 145
)3x(
36
)1y( 22
09. Calcular la longitud del lado recto de la
hiprbola:
112
)2y(
36
)5x( 22
A) 2 B) 2,5 C) 3
D) 3,5 E) 4
10. Hallar la ecuacin de la hiprbola que pasa
por el punto (5;8), si sus vrtices son los
puntos (3; 0) y (3; 0)
A) 11yx3 22
B) 36yx4 22
C) 16y3x6 22
D) 14x2y 22
E) 53x3y2 22
11. Determine las ecuaciones de las asntotas
de la hiprbola: 36yx 22
A) xy B) x2y
C) x)2/1(y D) 1xy
E) 9xy
12. Hallar la ecuacin de la hiprbola
conjugada a la hiprbola que pasa por el
punto (3; 1), centro en el origen, eje
transverso sobre el eje X y una de sus
asntotas es 0y23x2
A) 9xy9 22
B) 9y9x2 22
C) 9x2y9 22
D) 9y2x9 22
E) 1x2y9 22
13. Halle la ecuacin de la hiprbola equiltera
con centro en el origen y que pasa por elpunto (5;3).
A) 16yx 22
B) 10yx 22
C) 8yx 22
D) 1yx 22
E) 20yx 22