5 teknik pengintegralan - handout
DESCRIPTION
MathTRANSCRIPT
-
TEKNIK PENGINTEGRALAN
Departemen MatematikaFMIPA IPB
Bogor, 2015
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 1 / 21
-
Topik Bahasan
1 Pendahuluan
2 Manipulasi Integran
3 Integral Parsial
4 Dekomposisi Pecahan Parsial
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 2 / 21
-
Pendahuluan
Manfaat Teknik Pengintegralan
Teknik-teknik pengintegralan memungkinkan kita:
menaksir luasan berbagai bentuk bidang datar,
menghitung atau mencari formula volume berbagai bentuk geometris,
menghitung ketinggian roket t menit setelah diluncurkan,memprediksi ukuran populasi penduduk dunia pada suatu waktu,
memperlambat pertumbuhan serangga dengan menambahkanserangga jantan yang mandul,
dsb.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 3 / 21
-
Pendahuluan
Teknik Integral
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 4 / 21
-
Pendahuluan
Ringkasan Formula Integral Taktentu
1.
xndx =xn+1
n+ 1+ C, n 6= 1
2.
sin x dx = cos x+ C
3.
cos x dx = sin x+ C
4.
sec2 x dx = tan x+ C
5.
csc2 x dx = cot x+ C
6.
sec x tan x dx = sec x+ C
7.
csc x cot x dx = csc x+ C
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 5 / 21
-
Pendahuluan
8.
tan x dx = ln |cos x|+ C
9.
cot x dx = ln |sin x|+ C
10. 1
xdx = ln |x|+ C
11.
exdx = ex + C
12.
axdx =ax
ln a+ C, a > 0, a 6= 1
13. 1
a2 x2= sin1
(xa
)+ C
14. 1
a2 + x2=
1a
tan1(x
a
)+ C
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 6 / 21
-
Manipulasi Integran
Manipulasi Integran
Manipulasi aljabar terhadap integran seringkali diperlukan sebelumdapat menggunakan teknik integral tertentu.
Beberapa teknik manipulasi aljabar:
Melengkapi kuadratMenambahkan "0"Mengalikan "1"Substitusi merasionalkan
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 7 / 21
-
Manipulasi Integran
Contoh (Manipulasi Integran)
Tentukan integral berikut:
1 Melengkapi kuadrat: 1
x2 + 2x+ 2dx SOLUSI
2 Menambah "0": 1
1+ exdx SOLUSI
3 Mengalikan "1": 1
1 cos xdxSOLUSI
4 Substitusi merasionalkan: 1
x
xdx H
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 8 / 21
-
Manipulasi Integran
Substitusi Merasionalkan
Integran yang melibatkan bentuk akar
n
ax+ b
seringkali dapat dibuat menjadi bentuk rasional dengan mengambilsubstitusi
u = n
ax+ b, atau
un = ax+ b, sehingga
nun1du = a dx (1)
Contoh
Tentukan 9
4
1x
xdx SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 9 / 21
-
Manipulasi Integran
Soal (Manipulasi Integran)
Lakukan manipulasi aljabar terhadap integran untuk menentukan integralberikut:
1
1+ x1 xdx, jawab: sin
1x
1 x2 + C
2
10
1x+ 3
xdx, jawab: 12 ln 8
3
2x+ 1x2 + 2x+ 5
dx, jawab: ln(x2 + 2x+ 5
) 12 tan1
( x+12
)+ C
4
11/2
12x x2
dx, jawab: 16
5
1x10 xdx, jawab:
19 ln
1 1x9 + C(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 10 / 21
-
Integral Parsial
Integral ParsialKapan Integral Parsial Digunakan?
Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik substitusi ganda.
Banyak digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsitransenden (logaritma, eksponensial, trigonometri beserta inversnya)
Fungsi transenden tertentu (tunggal, komposisi)Contoh:
ln x dx,
sin1 x dx,
cos (ln x) dx
Perkalian beberapa jenis fungsi (umumnya perkalian dengan fungsitransenden)Contoh:
xex dx,
x2 sin x dx,
ex cos x dx
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 11 / 21
-
Integral Parsial
Teknik Pengintegralan Parsial
ddx[f (x) g (x)] = f (x) g (x) + g (x) f (x)
f (x) g (x) dx+
g (x) f (x) dx = f (x) g (x)
f (x) g (x) dx = f (x) g (x)
g (x) f (x) dx (2)
Ambil u = f (x) du = f (x) dx, dv = g (x) dx v = g (x) .Akibatnya, (2) menjadi
u dv = uv
v du (3)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 12 / 21
-
Integral Parsial
Penentuan u dan dv
u dv = u v
v du
dv mudah diintegralkan (menjadi v),v du lebih mudah dibandingkan
u dv.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 13 / 21
-
Integral Parsial
Contoh (Integral Parsial)
Tentukan:
1
xex dx (perlu pemilihan u, dv yang tepat)2
x sin x dx3
x2ex dxSOLUSI
4
ex cos x dx
5 2
1 ln x dx (hanya ada 1 alternatif u, dv)SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 14 / 21
-
Integral Parsial
Soal (Integral Parsial)
Hitung integral (1 3)1
sin1 x dx, jawab: x sin1 x+
1 x2 + C2
e
xdx, ambil u =
x, lalu gunakan integral parsial3 Carilah kesalahan dalam pembuktian berikut, bahwa 0 = 1."Pada
(1/t) dt ambil u = 1/t dan dv = dt sehingga
du = 1/t2dt, v = t. Akibatnya,(1/t) dt = 1+
(1/t) dt atau
0 = 1." SOLUSI
4 Andaikan Gn = n(n+ 1) (n+ 2) (n+ n), perlihatkan bahwa
limn (Gn/n) = 4/e. Petunjuk: Tinjau ln (Gn/n) , kenali sebagaisuatu jumlah Riemann, dan gunakan hasil Contoh 1. SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 15 / 21
-
Dekomposisi Pecahan Parsial
Dekomposisi Pecahan Parsial
Masalah: pengintegralan fungsi rasional (nisbah dua fungsipolinomial) sejati:
r (x) dx = p (x)
q (x)dx
dengan derajat (pangkat tertinggi) p (x) < derajat q (x) .Bila derajat p (x) derajat q (x), lakukan pembagian sehinggadiperoleh sisa berupa fungsi rasional sejati.
Metode pengintegralan: Dekomposisi Pecahan Parsial dengan caramenguraikan (dekomposisi) fungsi pecahan rasional sejati r (x)menjadi jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 16 / 21
-
Dekomposisi Pecahan Parsial
Metode Dekomposisi Pecahan Parsial
p (x)q (x)
dx
Kasus 1: q (x) berupa hasil kali faktor linear yang berbeda,q (x) = (a1x+ b1) (a2x+ b2) . . . (akx+ bk),
p (x)q (x)
dx = A1(a1x+ b1)
dx+ A2(a2x+ b2)
dx+ + Ak(akx+ bk)
dx
Contoh dxx2 4 =
dx(x 2) (x+ 2) =
Ax 2dx+
Bx+ 2
dx
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 17 / 21
-
Dekomposisi Pecahan Parsial
p (x)q (x)
dx
Kasus 2: q (x) berisi hasil kali faktor linear yang berulang,q (x) = (ax+ b)r,
p (x)q (x)
dx = A1
ax+ bdx+
A2(ax+ b)2
dx+ + Ar(ax+ b)r
dx
Contoh 5x2 + 3x 2(x+ 2) x2
dx = A
x+ 2dx+
Bx
dx+ C
x2dx
SOLUSI
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 18 / 21
-
Dekomposisi Pecahan Parsial
p (x)q (x)
dx
Kasus 3: q (x) berisi faktor kuadratik yang tak teruraikan,q (x) = ax2 + bx+ c dengan b2 4ac < 0,
p (x)q (x)
dx = Ax+ B
ax2 + bx+ cdx
Contoh 2x+ 4(x2 + 1) (x 1)2
dx = Ax+ B
x2 + 1dx+
Cx 1dx+
D(x 1)2 dx
Jawab koefisien: A = 2, B = 1, C = 2, D = 1.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 19 / 21
-
Dekomposisi Pecahan Parsial
Soal (Integral Terkait Dekomposisi Pecahan Parsial)
Hitung integral berikut
1
3x2 + 3x
dx,
2
x2 + x 1x (x 1)2
dx,
3
x4x4 1dx,
4
169
x
x 4dx,
5
cos xsin2 x+ sin x
dx
6
1ex ex dx.
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 20 / 21
-
Dekomposisi Pecahan Parsial
Tentang Slide
Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)
Versi: 2015 (sejak 2009)
Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)
(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus Bogor, 2015 21 / 21
PendahuluanManipulasi IntegranIntegral ParsialDekomposisi Pecahan Parsial