Szögfüggvények néhány azonossága

Belátunk itt néhány olyan igazságot, melynek nagy hasznát veszed lépten-nyomon. Persze csak akkor,

ha ismered őket.

A legfontosabb ez, már ha egyáltalán lehet fontossági sorrendet felállítani köztük:

Gondoljunk az egységkörre! Abból világosan látszik, hogy kivétel nélkül, minden szögre igaz:

Egyszerűen csak lássuk meg az ábrán a derékszögű háromszöget, melynek befogói a és a

által meghatározott szakaszok, és az átfogója az egység kör sugara, az . Ekkor egyszerűen a

Pitagorász tételből adódik, hogy

∎

Egyébként ezt már láthattuk a szögfüggvények bevezetésénél is, de csak hegyes szögekre. Vagy lehet,

hogy általánosan is? Már nem emlékszem. Házi feladat, hogy belásd korábbi ismereteid alapján

általánosan, hogy

Előbb lásd be hegyes szögre! Ezt csak le kell puskáznod a c. fejezetből. És ott is a

házi feladatból, mert ott is házi volt.

A most következőeket addíciós tétel néven emlegetik, hiszen összeadás, van az

argumentumban:

Egyszerűen leolvashatjuk ezek helyességét is az ábráról: (na persze, ha nem vagy tisztában a

szögfüggvényekkel, akkor hiába is nézed az ábrát. Előbb tanuld meg őket!)

Felhasználtuk azt, hogy ha egy szög száraira merőlegeseket állítunk ugyanolyan elforgatással, akkor a merőlegesek metszés pontjában az eredeti szöggel egyező nagyágú szöget kapunk.

Az ábra sajnos csak hegyes szögekre ad alátámogatást az addíciós állításokhoz, azonban egy kis

gondolkodással rájöhetünk, hogy a többi három síknegyedben értelmezett szögek is mind

visszavezethetőek az első síknegyedbe. De belátható általánosan is a skaláris és vektoriális szorzás

azonosságait felhasználva is. Az legyen házi feladat! Ha nem érted, akkor írj nekem, majd elmondom.

Szögek különbségeinek szögfüggvényeihez, azt használjuk fel, hogy a szinusz páratlan, a koszinusz

páros függvény. Azaz a negatív argumentum előjele a függvény együtthatója lesz szinusz esetén, és

elnyelődik koszinusz esetén:

Ugyanis gondoljunk ezekre imígyen, felhasználva az imént belátottakat:

∎

Tangensekhez és kotangensekhez szükség lesz a házi feladat elvégzése során tanultakra:

Tehát először is fejezzük ki őket a szinusz és koszinusz segítségével! Végig érvényes a kikötés, hogy

.

De a jobb oldal hőseit, már ismerjük más alakban is. Helyettesítsük őket aszerint:

És most azt is ki kell kötnünk, hogy és . Mert elosztunk a koszinusz ikrekkel:

Egyszerűsítünk mindenhol külön-külön:

Vegyük észre, hogy ez még egyszerűbben írható, hiszen hemzseg a tangensektől:

S lám ez is volt az állítás. Aki ezt nem érti, annak bizony Zolika a neve!

Ugyanezt műveljük a kotangenssel is. Itt végig kikötjük, mint csahost a karóhoz, hogy:

S itt is újdonsült ismerőseinkkel helyettesítjük őket:

Újabb partközelbe evickéltetett hajó nyugalomba helyezése, kikötés:

Nem olyan nehéz megjegyezni, azzal a szögfüggvény duplázattal osztunk, mely amúgy is a nevezőben

van a jelenleg vizsgált szögfüggvény hányados alakjában. Vagyis a tangensnél kosz-kosz-szal, a

kotangensnél szin-szin-nel osztunk:

Egyszerűsít:

És ez meg úgy tele van kotangenssel, mint a rohadás:

Ami az állítás is volt.

∎

Írjunk a -k helyére mínusz -át és ezeket kapjuk:

Ezeknek a belátogatása legyen házi feladat. Csak a tangens és kotangens páratlan függvény mivoltát

kell gátlástalanul kihasználnod. Ha ez is meghaladja a képességeidet, akkor méltán kiérdemelted a

Zolika nevet.

Lássunk most szögek összegének/különbségének függvényei helyett maguknak a szögfüggvényeknek

a különbségeit! Ehhez csak annyit kell elfogadnunk, hogy bár mely két szám kifejezhető egy másik

valamely kettő összege és különbsége ként. Pl.:

Misem természetesebb ennél, tekintve, hogy ha -et és -t ismerem, akkor kifejezhetem eme két

másikat, -t és -t is. Méghozzá egyértelműen. Ami annyit tesz, hogy nem csak olyan bugyuta állítás

ez, mint ahogyan Zolika gondolná:

Adjuk össze a két egyenletünket, jobboldalt a jobboldalhó, baloldalt a baloldalhó:

Azaz

Ha pedig kivonjuk őket egymásbú:

Azaz

És most kezdjünk hozzá végre, mert ezekkel már meg tudjuk oldani a ránk várókat is!

A következőeket akarnók belátni:

Ezért vettem előre a különbségeket, mert azokon még tovább fogunk rágódni. Vannak ezenkívül még

azonosságok, de azokra most nem lesz szükség.

Akkor kezdjük sorban. Nyilván az említett , -t írjuk át -val és -val megtrükközve, majd alakítsuk

vissza a leegyszerűsödött kifejezéseket!

Tovább helyettesítve az immár vérünkké vált azonosságokkal:

A zárójelet felbontva:

És most helyettesítsük vissza az eredeti változókat!

Na, ugye!

∎

A következő:

Az azonosságokkal az addíciós tételek szerint:

Hámozzuk ki a héjából:

És pakoljuk vissza az eredeti változókat:

∎

A soron következő:

Azaz:

Vagyis:

Visszatejesítve:

Oh yeah! ∎

És az utolsó:

Na, vajh mi jő most:

∎

Csámcsogás, némi általános szabály felismerése végett Itt a bizonyítások vége. És most az ígéretnek megfelelően csámcsorásszunk egy kicsit a szinuszok

különbségén, és a koszinuszok különbségén!

Ezekszerint, ha egy feladatban azt látjuk, hogy

Akkor átrendezve nullára:

Viszont erről tudjuk, hogy ez éppen így is írható:

És ez nagyon jó, mert ez annyit tesz, hogy vagy az egyik tényező, vagy a másik tényező nulla:

Azaz:

Azaz a két szög összege és különbsége is páros egész többszöröse kell legyen.

A szinuszokra pedig, ha azt állítja az egyenlet, hogy:

Átpakolva nullára:

Ami, mint már számunkra is ismert, azonos azzal, hogy:

Vagyis valamelyik tényező a szorzatban nulla kők légyen:

A az nem bír nulla lenni, akárhogyan is igyekszik, mert ő , és nem nulla. Ezekből az gyüve ki, hogy:

Azaz:

Szavakkal a két kérdéses argumentum különbsége páros, összege páratlan többszöröse legyen -nek!

Ezeket az ismereteket 1 egynletekben használhatjuk ki.

------------------------------------

Olyan feladat is elfordulhat, mely szerint valamely szög koszinusza egyenlő egy másik szög

szinuszával. Ilyen alakban:

Ehhez azt érdemes tudni, hogy a koszinusz és a szinusz függvények egymáshoz képest éppen „pi per

kettő”-vel vannak eltolva. Azaz:

Tessék ezt belátni az addíciós tételekkel kifejtve! Ami miatt ez nagyon kényelmessé teszi a létet, az

az, hogy ilyenkor átjátszhatjuk az egyik szögfüggvényt a másikra, azaz álruhába bujtathatjuk. És így

hírszerzőként beküldve az ellenséges vonalak mögé, már is alkalmazhatjuk azt, amit az előbb

tanultunk arra, mikor szinusz volt mindkét oldalon, vagy koszinusz mindkét oldalon. Lássunk erre egy-

1 Az elnevezés háromszögtanra utal. Azonban azonbelül kimondottam szögfüggvények egyenleteit,

egyenlőtlenségeit értjük alatta.

két példát! Ezzel mintegy pótolva azt is, hogy az előzőekre, melyekre ezeket visszavezetjük, nem

néztünk példát.

Mely valós számokra van megoldása következő egyenletnek?

Kényelmesebb, ha koszinuszra cseréljük le a szinuszt, és nem fordítva, mert egyszerűbb arra

emlékezni, hogy a koszinuszok egyenlősége akkor állhat fenn, ha a két argumentum összege, és

különbsége is páros többszöröse -nek. Így tehát:

Írjuk egyszerűbben azt a zárójeles különbséget!

Sőt még ennél egyszerűbben is, hiszen a törteket már össze tudjuk vonni, mert remélhetően ismerjük

a közös nevezőre hozás módját:

És most jön az, hogy a két argumentum különbsége és összege legyen a periódushossz többszöröse:

Vagyis:

Emeljünk ki -et:

És a másik eset:

Bontsuk ki a zárójelet:

Így a teljes megoldás:

Vagy

Ilyen gyönyörűséges ez az egész. Nincs miért félni tőle. Vedd észre, hogy a második sor, azaz

bizonyos többszörösei visszaadják az elsősort, azaz bizonyos többszöröseit is. Így elegendő

lenne a második sort megadni a megoldáshoz. De nem baj, ha egy megoldáshalmazban többször

szerepelnek ugynazok az elemek.

A valós számok halmazán keressük a megoldásokat!

Mint mondtam a koszinuszra átjátszás egyszerűbb, mert akkor az argumentumok összege és

különbsége is egyaránt periódus többszörös. Ezért most csak azért is szinuszra játsszuk át! Akkor

viszont vigyázni kell, mert ekkor az argumentumok különbsége továbbra is , de az

argumentumok összege viszont ! Tehát:

Azaz:

És ezt most így hagyom, mert nincs kedvem pofozni rajta.

És ezt is így hagyom. Így a teljes megoldás:

Vagy:

Itt viszont tényleg kell mind a két sor eredmény, mert nincsenek egybeesések.

------------------------------

Az is igaz, hogy a tangens és kotangens is átjátszható egymásba:

Tangensre és kotangensre meg majd látunk példát a c. fejezetben.

Addig is tudd, hogy ott milyen összefüggés alapján lehet egyszerűen megoldásokat keresni!

A következő házi feladatokon kívül még házi feladat a feladatgyűjteményedből előkotorni

problémákat, és megoldani őket. Ellenőrzésre használj ábrázoló programot! Pl. a GeoGebra nevűt, az

nagyon könnyen használható és értelmes sokoldalú alkalmatosság. Van hozzá több oldalas használati

utasítás, olvasd el azt is. Úgy olyasmit is megtudsz róla, amiről nem is gondoltad volna, hogy része a

programnak. Sőt a további tanulmányaidnak is jó előkészítő terep.

Az addíciós tételek speciális alakja:

Lásd be ezeket! (segítő gondolat: helyettesítéssel egyszerű.)

Bizonyítsd be, hogy

(segítő gondolat: add össze, ill. vond ki egymásból a következő két egyenletet:

---------------------------------------------

Végül maradt még egy kis elvarratlan gondolatfonál. A pitagorászi számhármasok kapcsán említődött

egy derékszögű háromszög melynek oldalait -vel kifejezve adtuk meg. Ezt magyarázom most itt el.

Az egyik addíciós tételünkből ez jött ki:

Ez tehát arra a gondolatra visz, hogy rajzoljunk egy háromszöget. Melynek -val szemben lévő

befogója a szög melleti befogója pedig . Sőt, ebből még az átfogót is meg tudjuk

adni:

Azonban a jobboldal éppen egy tejes négyzet,2 :

Vonjunk gyököt testvériesen mindkét oldalból:

De oldalhossz lévén a negatívra nem vagyunk kíváncsiak, így csak:

Tehát ez az átfogó.

És most már csak lazán mindenhol -t írunk a helyett, és elérkeztünk oda ahonnan a pitagoraszi

számhármasokhoz vezető ötlet indul. Körbeértünk.

Az ábrán a háromszög oldalai:

A -re áttérve pedig:

Innen visszalapozhatsz a pitagoraszi számhármasokhoz, és kezdheted megérteni, amiről akkor azt

hitted, hogy nem fogod.

2 Ami olcsóbb, mint a kakaós négyzet.

És ha már felrajzoltuk a háromszöget, tárgyaljunk meg még valamit:

Félszög tangensével kifejezett szögfüggvények

Egyszerűen leolvashatjuk az előző ábráról:

Ezt már láttuk:

Azonban ezt nem láttuk még leírva:

Vegyük észre, hogy a és a minden szögre értelmezve vagyon eme kifejezések szerint is,

mert a nevezőjük, az mindig pozitív, azaz sosem lehet nulla semmilyen valós szögre. Ahol

a tangens nincs értelmezve, ott éppen végtelen nagy az értéke. Ekkor az illető szinusz, vagy koszinusz

szögfüggvény, akinek a nevezőjében van, határértékkel számítható.

De miként azt már el is várjuk a tangens és kotangens függvényektől, ők nem lesznek minden -ra

értelmezve, mert a nevezőjükre van bizonyos nullaveszély. Így itt lesznek kizárt értékek. Hogy

melyek ezek, azt derítsd ki te! Ne feledd, hogy a tangens periodikus, így végtelen sok ilyen kizárt

érték van! Mindet add meg! Látod-e, hogy mindez mily szép, jó, és egyszerű?

∎∎