5.1 自然對數函數:微分 5.2 自然對數函數:積分 5.3 反函數 5.4...

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歐歐歐歐 Logarithmic, Exponential, Logarithmic, Exponential, and Other Transcendental and Other Transcendental Functions Functions 5 5 對對對對 對對對對 對對對對 對對對對 對對對對對對對 對對對對對對對

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5.1 自然對數函數:微分 5.2 自然對數函數:積分 5.3 反函數 5.4 指數函數:微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數:微分 5.7 反三角函數:積分 5.8 雙曲函數. P.258. Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數. 5.6 反三角函數:微分. 反三角函數的定義 函數 定義域 值域 - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 5.1 自然對數函數:微分 5.2 自然對數函數:積分 5.3 反函數 5.4 指數函數:微分與積分 5.5 一般底數的指數函數和應用 5.6 反三角函數:微分

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Logarithmic, Exponential, and Logarithmic, Exponential, and Other Transcendental FunctionsOther Transcendental Functions

5 5 對數函數、指數函數對數函數、指數函數 和其他超越函數 和其他超越函數

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5.1 自然對數函數:微分5.2 自然對數函數:積分5.3 反函數5.4 指數函數:微分與積分5.5 一般底數的指數函數和應用5.6 反三角函數:微分5.7 反三角函數:積分5.8 雙曲函數

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5.6 反三角函數:微分反三角函數的定義

函數 定義域 值域y = arcsin x iff sin y = x –1 ≤ x ≤ 1 –π/2 ≤ y ≤π/2

y = arccos x iff cos y = x –1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤π

y = arctan x iff tan y = x –∞ < x <∞ –π/2 < y <π/2

y = arccot x iff cot y = x –∞ < x <∞ 0 < y <π

y = arcsec x iff sec y = x |x| ≥ 1 0 ≤ y ≤π, y≠π/2

y = arccsc x iff csc y = x |x| ≥ 1 –π/2 ≤ y ≤π/2, y≠0

P.258Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

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圖 5.29

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例 1 計算反三角函數計算下列各題的值。 a. arcsin(–½) b. arccos 0

c. d. arcsin(0.3)

解a. 由定義,從 y = arcsin(–½) 可得 sin y = –½ ,在區間[–π/2,π/2] 中, y 的正確答案是 – π/6 ,因此 arcsin(–½) = –π/6

b. 由定義,從 y = arccos 0 可得 cos y = 0 ,在區間 [0,π]

中, y 的正確答案是 y =π/2 ,因此 arccos 0 = π/2

P.259Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

3arctan

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例 1 (續)

c. 由定義,從     可得      ,在區間(–π/2,π/2) 中, y 的正確答案是 y =π/3 ,因此

d. 以計算機求出 arcsin(0.3) ≈ 0.305

P.259Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

3arctan 3tan y

33arctan

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反三角函數的性質

如果 – 1 ≤ x ≤ 1 並且 – π/2 ≤ y ≤ π/2 ,則有 sin(arcsin x) = x 和 arcsin(sin y) = y

如果 – π/2 < y < π/2 ,則有 tan(arctan x) = x 和 arctan(tan y) = y

如果 |x| ≥ 1 並且 0 ≤ y <π/2 或者 π/2 < y ≤π ,則有 sec(arcsec x) = x 和 arcsec(sec y) = y

其他反三角函數也有類似的性質。

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例 2 解方程式

P.259Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

4)32arctan(

x

2

1324

tan)]32(tan[arctan

x

x

x

原式

兩邊取正切

tan(arctan x) = x

解 x

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例 3 利用直角三角形

a. 已知 y = arcsin x , 0 < y <π/2 ,求 cos y 。b. 已知 y = arc ,求 tan y 。解a. 從 y = arcsin x ,可知 sin y = x ,所以以一個直角三角

形表示 x 和 y 的關係,如圖 5.30 所示。

(此結果亦適用於 – π/2 < y < 0 )。b. 以圖 5.31 中的直角三角形來看

P.260Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

2/5sec

21)cos(arcsincos xxy 斜邊鄰邊

21sectantan 25 鄰邊對邊arcy

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圖 5.30

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圖 5.31

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定理 5.16 反三角函數的導函數

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例 4 求反三角函數的微分

a.

b.

c.

d.

因為 e2x > 0 ,絕對值記號是多餘的。

P.261Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

22 41

2

)2(1

2)]2[arcsin(

xxx

dx

d

22 91

3

)3(1

3)]3[arctan(

xxx

dx

d

2

2/1

2

1

12

1

1

)2/1(][arcsin

xxxxx

xx

dx

d

1

2

1

2

1)(

2]sec[

442

2

222

22

xxx

x

xx

xx

eee

e

ee

eearc

dx

d

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例 5 一個可以化簡的導函數

微分 。

P.261Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

21arcsin xxxy

2

22

2

2

2

2

22/12

2

12

11

111

1

1)1)(2(2

1

1

1

x

xx

xx

x

x

xxxxx

y

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例 6 分析一個反三角函數的圖形分析 y = (arctan x)2 的圖形。解 先求導函數

可看出 x = 0 是唯一的臨界數。由一階導數檢定, x = 0對應的是一個相對極小,再由二階導數

反曲點出現在 2x arctan x = 1 處,可利用牛頓法求出 x

的近似值大概是 x ≈ ±0.765 。最後,由於

得知圖形以 y =π2/4 為水平漸近線,見圖 5.32 。

P.261Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

22 1

arctan2

1

1)(arctan2

x

x

xxy

2222

22

)1(

)arctan21(2

)1(

)2)(arctan2(1

2)1(

x

xx

x

xxx

xy

4)(arctanlim 22

xx

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圖 5.32 y = (arctan x)2 的圖形,以 y = π2/4 為水平漸近線。

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例 7 求攝影角度的最大值

攝影機的鏡頭對準一輻掛在牆上,上下高度 4 呎的畫,鏡頭的位置在畫的下緣之下 1 呎,如圖 5.33 所示。攝影

機應該距畫多遠才能使攝角最大?解 在圖 5.33 中,令 β 是攝角。 β=θ–α = arccot x/5 – arccot x 微分得到

由於當 x = 時, dβ/dx = 0 ,從一階導數檢定得知 β

會有最大值。因此, x ≈ 2.236 呎,而最大角 β≈ 0.7297

弧度 ≈ 41.81° 。 P.262Ch5 對數函數、指數函數和其他超越函數

)1)(25(

)5(4

1

1

25

5

1

1

)25/(1

5/122

2

2222 xx

x

xxxxdx

d

5

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圖 5.33 攝影機要距離牆壁 2.236 英呎才能得到最大的攝角 。

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基本函數的微分規則

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