5.1 extremos de-funciones_de_varias_variables

Introducción al Cálculo Infinitesimal. I.T.I. de SISTEMAS.

Funciones reales de varias variables reales.-

5.1.- Extremos de funciones de dos variables reales.-

Consideramos una función ( )f ,x y continua y diferenciable en una cierta región R de su dominio.

Sabemos que = z ( )f ,x y se representa gráficamente por una superficie y nos proponemos estudiar los puntos de la función que dan el valor máximo o mínimo, bien en una región R determinada, bien en todo su dominio.

DEFINICIONES Y CONCEPTOS.

Dado un punto P = ( ,x0 y0 ) de R:

Definición 1. Diremos que el punto P es un máximo absoluto de f(x,y) en R si para cualquier punto (x,y) de R, se cumple ≤ ( )f ,x y ( )f ,x0 y0 Definición 2. Diremos que el punto P es un mínimo absoluto de f(x,y) en R si : ≤ ( )f ,x0 y0 ( )f ,x y para cualquier punto (x,y) de R.

Teorema 1. Toda función continua, definida en una región R cerrada y acotada, alcanza un valor máximo absoluto y otro mínimo absoluto en dicha región. Definición 3. Diremos que el punto P es un máximo relativo de f(x,y) en R si ≤ ( )f ,x y ( )f ,x0 y0 para valores (x,y) próximos a ( ,x0 y0). Definición 4.

Diremos que el punto P es un mínimo relativo de f(x,y) en R si ≤ ( )f ,x0 y0 ( )f ,x y para valores (x,y) próximos a ( ,x0 y0).

Siempre que nos planteemos calcular los extremos de una de estas funciones, debemos empezar por calcular los extremos relativos puesto que los absolutos estarán entre ellos. Definición 5. Se llama punto crítico de ( )f ,x y a todo punto solución del sistema: fx = ( ),x y 0 ; fy = ( ),x y 0

Geométricamente estos puntos tienen una sencilla interpretación. Como recordamos, el plano tangente se escribe: = − z z0 + fx ( ) − x x0 fy ( ) − y y0 por lo que en aquellos puntos en que se anulan las derivadas parciales [ Gradiente = (0,0)], el plano tangente a la superficie será de la forma: = z z0; es decir será horizontal. En resumen, los puntos críticos son aquellos puntos de la superficie

que admiten plano tangente horizontal y consiguientemente son los puntos que cumplen la condición necesaria de extremo.

Veamos el cálculo de los puntos críticos de una función dada.

En definitiva se trata de resolver un sistema de ecuaciones, lo que a veces resulta complicado puesto que en general no son ecuaciones lineales.> restart:

f:=(x,y)->x^4-3*x^2*y+3*y-y^3; print(`DERIVADAS PARCIALES`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); Puntos_criticos:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y}): Puntos_Criticos:=map(allvalues,{Puntos_criticos});

:= f → ( ),x y − + − x4 3 x2 y 3 y y3

DERIVADAS PARCIALES

:= fx → ( ),x y − 4 x3 6 x y

:= fy → ( ),x y − + − 3 x2 3 3 y2

:= Puntos_Criticos { }, , ,{ }, = y 1 = x 0 { }, = x 0 = y -1 { }, = y12

= x12

3 { }, = y12

= x −12

3

Hemos visto cómo determinar con Maple los puntos críticos sin ponerle condiciones, es decir considerando todo el dominio de ( )f ,x y . Con frecuencia necesitamos analizar sólo un recinto de dicho dominio por lo que al resolver el sistema crítico hemos de imponerle la condición de que sólo queremos las soluciones dentro del recinto, como hacemos en el ejemplo que sigue donde tomamos el recinto rectangular definido por los valores de x comprendidos entre -2 y 0 mientra que los de y lo están entre -1 y 0.

> Puntos_Criticos := fsolve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0},{x,y},{x=-2..0,y=-1..0});

:= Puntos_Criticos { }, = x 0 = y -1.000000000

Localización de los extremos de f(x,y). Los extremos de una función = z ( )f ,x y en una región R se alcanzan en:

a) En los puntos críticos interiores a la región.

b) En la frontera de la región.

Si no tenemos fijada una región, se entiende que hay que buscar los extremos en todo su dominio por lo que ya no hablaremos de fronteras.

Nosotros, este capítulo, nos vamos a centrar en el cálculo de puntos críticos en todo el dominio de la función que nos den.

Además de los puntos Máximos y Mínimos existen otros puntos que, siendo críticos, ni son máximos ni son mínimos; son los llamados puntos de silla.

Vamos a caracterizar cada una de las opciones, máximo, mínimo o punto de silla. En todo estos los casos, el plano tangente será horizontal; es decir nosotros dispondremos de funciones diferenciables que admiten derivadas parciales contínuas que igualadas a cero dan lugar a puntos críticos.

> with(plots,display):> print(`Un ejemplo de MAXIMO`);

Superficie:=plot3d(-(x^2+y^2),x=-1..1,y=-1..1,style=patchnogrid): PlanoT:=plot3d(0,x=-0.6..0.6,y=-0.6..0.6,color=yellow): display(Superficie,PlanoT);

Un ejemplo de MAXIMO

Las curvas de nivel ayudan:> Superficie:=plot3d(-(x^2+y^2),x=-1..1,y=-1..1,style=patchcontour

):

PlanoT:=plot3d(0,x=-0.6..0.6,y=-0.6..0.6,color=yellow): display(Superficie,PlanoT); with(plots):tr:=contourplot(-(x^2+y^2),x=-1..1,y=-1..1, contours=[-0.0001,-0.001,-0.01,-.1,-.2,-.3,-.4],scaling=constrained): display(tr);

Observa que en un entorno de un punto máximo, el plano tangente siempre está por encima de la superficie.> print(`Un ejemplo de MINIMO`);

Superficie:=plot3d(x^2+y^2,x=-1..1,y=-1..1,style=patchcontour): display(Superficie,PlanoT); with(plots):tr:=contourplot((x^2+y^2),x=-1..1,y=-1..1, contours=[0.0001,0.001,0.01,.1,.2,.3,.4],scaling=constrained): display(tr);

Un ejemplo de MINIMO

Observa que en un entorno de un punto mínimo, el plano tangente siempre está por debajo de la superficie.> print(`Un ejemplo de PUNTO de SILLA`);

Superficie:=plot3d((x^2-y^2),x=-1..1,y=-1..1,style=patchcontour): PlanoTan:=plot3d(0,x=-1.2..1.2,y=-1.2..1.2,color=yellow): display(Superficie,PlanoTan); with(plots):tr:=contourplot((x^2-y^2),x=-1..1,y=-1..1, contours=[-.1,-.2,-.3,-.4,.1,.2,.3,.4],scaling=constrained): display(tr);

Un ejemplo de PUNTO de SILLA

Observa que el plano tangente a la superficie por un punto de silla atraviesa a la superficie

de modo que en unas zonas está por encima de ella y en otras por debajo.

La posición relativa de la superficie y el plano tangente a ella en un entorno de un punto crítico, me dice si tal punto es un máximo, un mínimo o un punto de silla.

Ahora seguimos calculando puntos críticos.

Ejercicio.Determina los puntos críticos de las siguientes superficies:1) f (x,y) = + + − − 2 x2 y2 4 x 6 y 3

2) f (x,y) = x ( )sin + x y

3) f (x,y) = 1 - ( ) + x2 y2

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟

13

> restart: f:=(x,y)->2*x^2+y^2+4*x-6*y-3; print(`DERIVADAS PARCIALES`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); Puntos_criticos:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y}): Puntos_Criticos:=map(allvalues,{Puntos_criticos});

:= f → ( ),x y + + − − 2 x2 y2 4 x 6 y 3DERIVADAS PARCIALES

:= fx → ( ),x y + 4 x 4 := fy → ( ),x y − 2 y 6

:= Puntos_Criticos { }{ }, = x -1 = y 3> restart:

f:=(x,y)->x*sin(x+y); print(`DERIVADAS PARCIALES`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); Puntos_criticos:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y}): Puntos_Criticos:=map(allvalues,{Puntos_criticos});

:= f → ( ),x y x ( )sin + x yDERIVADAS PARCIALES

:= fx → ( ),x y + ( )sin + x y x ( )cos + x y := fy → ( ),x y x ( )cos + x y

:= Puntos_Criticos { }{ }, = y π _Z1~ = x 0Las soluciones de este ejercicio son ( ,0 π K) con K cualquier número entero, por lo tanto tiene infinitos puntos críticos.

> restart: f:=(x,y)->1 - (x^2+y^2)^(1/3); print(`DERIVADAS PARCIALES`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); Puntos_criticos:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y}): Puntos_Criticos:=map(allvalues,{Puntos_criticos});

:= f → ( ),x y − 1 ( ) + x2 y2 ( ) / 1 3

DERIVADAS PARCIALES

:= fx → ( ),x y −23

x

( ) + x2 y2 ( ) / 2 3

:= fy → ( ),x y −23

y

( ) + x2 y2 ( ) / 2 3

:= Puntos_Criticos { }En este caso el Maple no se define. El motivo es que la función no admite derivadas parciales, no hay plano tangente en dicho punto pero en él hay un máximo haciendo pico.

Definición 6. Un punto puede ser crítico cuando siendo la función continua en él , no exista una o ninguna de sus derivadas parciales.

Es lo que ocurre en el ejemplo que acabamos de hacer, no admite plano tangente..> with(plots,display):

Superficie:=plot3d([x,y,1 - (x^2+y^2)^(1/3)],x=-1..1,y=-1..1,style=patchcontour):display(Superficie);

Volvamos al primer ejemplo en el que el punto crítico era el (-1,3). Vamos a ver que al ser un mínimo, el plano tangente en las proximidades siempre está por debajo de la superficie.> restart:with(plots,display):

f:=(x,y)->2*x^2+y^2+4*x-6*y-3;

print(`DERIVADAS PARCIALES`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); Puntos_criticos:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y}): Puntos_Criticos:=map(allvalues,{Puntos_criticos});

:= f → ( ),x y + + − − 2 x2 y2 4 x 6 y 3DERIVADAS PARCIALES

:= fx → ( ),x y + 4 x 4 := fy → ( ),x y − 2 y 6

:= Puntos_Criticos { }{ }, = y 3 = x -1> m:=D[1](f)(-1,3):

n:=D[2](f)(-1,3): c:=f(-1,3): print(`PLANO TANGENTE`); Z:=c+m*(x+1)+n*(y-3); Superficie:=plot3d({Z(x,y),f(x,y)},x=-2..0,y=2..4,style=patchcontour): display(Superficie);[display]:

PLANO TANGENTE := Z -14

Volvamos a los puntos de silla y veremos cómo el plano tangente lo atraviesa.> restart:with(plots,display):

f:=(x,y)->x^2-y^2; print(`DERIVADAS PARCIALES`);

fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); Puntos_criticos:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y}): Puntos_Criticos:=map(allvalues,{Puntos_criticos}); m:=D[1](f)(0,0): n:=D[2](f)(0,0): c:=f(0,0): print(`PLANO TANGENTE`); Z:=c+m*(x)+n*(y); Superficie:=plot3d({Z(x,y),f(x,y)},x=-2..2,y=-2..2,style=patchcontour): display(Superficie);[display]:

:= f → ( ),x y − x2 y2

DERIVADAS PARCIALES := fx → ( ),x y 2 x

:= fy → ( ),x y −2 y := Puntos_Criticos { }{ }, = x 0 = y 0

PLANO TANGENTE := Z 0

Definición 7. Llamamos HESSIANO de la función ( )f ,x y al determinante de la matriz:

= H ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

( )fxx ,x y ( )fxy ,x y( )fyx ,x y ( )fyy ,x y

Ejemplo1

.Siendo f(x,y) = + y x2 4 x y2, calcular todos los elementos/conceptos estudiados hasta ahora.

> restart:with(plots,display):with(linalg):

Warning, new definition for normWarning, new definition for trace> f:=(x,y)->y*x^2+4*x*y^2;

print(`DERIVADAS PRIMERAS`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); Puntos_criticos:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y}): Puntos_Criticos:=map(allvalues,{Puntos_criticos}); print(`DERIVADAS SEGUNDAS`); fxx:=D[1](fx);fxy:=D[1](fy); fyx:=D[2](fx); fyy:=D[2](fy); H:=matrix(2,2,[fxx(x,y),fxy(x,y),fyx(x,y),fyy(x,y)]); h:=matrix(2,2,[fxx,fxy,fyx,fyy]): Delta:=det(h):HESSIANO:=Delta(x,y);

:= f → ( ),x y + y x2 4 x y2

DERIVADAS PRIMERAS

:= fx → ( ),x y + 2 y x 4 y2

:= fy → ( ),x y + x2 8 y x := Puntos_Criticos { }{ }, = x 0 = y 0

DERIVADAS SEGUNDAS := fxx → ( ),x y 2 y

:= fxy → ( ),x y + 2 x 8 y := fyx → ( ),x y + 2 x 8 y

:= fyy → ( ),x y 8 x

:= H ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

2 y + 2 x 8 y + 2 x 8 y 8 x

:= HESSIANO − 16 y x ( ) + 2 x 8 y 2

Criterio para analizar los puntos críticos. Condición suficiente de máximo o mínimo relativo.

Sea f(x,y) una función continua que admite derivadas parciales de primer y segundo orden en una cierta región de su dominio que contiene al punto crítico P = (a,b), entoces:

Si H > 0 y fxx(a,b) > 0, (a, b) es un mínimo relativo. Si H > 0 y fxx(a,b) < 0, (a, b) es un máximo relativo.

Si H < 0, (a,b) es un punto de silla.

Si H = 0, este criterio no da información y habremos de recurrir a comparar la posición relativa entre la superficie y el plano tangente en el punto crítico en un entorno suficientemente pequeño del punto crítico. Esto lo haremos más adelante.

Ejemplo 1.Siendo f(x,y) = + + − − 2 x2 y2 4 x 6 y 3, calcular sus puntos críticos y analizar su naturaleza.

> restart:with(plots,display):with(linalg):Warning, new definition for normWarning, new definition for trace> f:=(x,y)->2*x^2+y^2+4*x-6*y-3;

print(`DERIVADAS PRIMERAS`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); Puntos_criticos:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y}): Puntos_Criticos:=map(allvalues,{Puntos_criticos}); print(`DERIVADAS SEGUNDAS`); fxx:=D[1](fx);fxy:=D[1](fy); fyx:=D[2](fx); fyy:=D[2](fy); H:=matrix(2,2,[fxx(x,y),fxy(x,y),fyx(x,y),fyy(x,y)]); h:=matrix(2,2,[fxx,fxy,fyx,fyy]): Delta:=det(h):HESSIANO:=Delta(x,y);

:= f → ( ),x y + + − − 2 x2 y2 4 x 6 y 3DERIVADAS PRIMERAS

:= fx → ( ),x y + 4 x 4 := fy → ( ),x y − 2 y 6

:= Puntos_Criticos { }{ }, = y 3 = x -1DERIVADAS SEGUNDAS

:= fxx 4 := fxy 0 := fyx 0 := fyy 2

:= H ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

4 00 2

:= HESSIANO 8

A la vista del resultado, la función dada tiene un mínimo relativo en el punto ( -1,3 ).

Ejemplo 2.

Determinar los extremos tanto absolutos como relativos de la función: f = − + − x4 2 x2 y y y3

.

> restart:with(plots,display):with(linalg):Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace> f:=(x,y)->x^4-2*x^2*y+y-y^3;

print(`DERIVADAS PRIMERAS`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); Puntos_criticos:=solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,x<infinity},{x,y}): Puntos_Criticos:=map(allvalues,{Puntos_criticos}); P:=Puntos_Criticos: print(`DERIVADAS SEGUNDAS`); fxx:=D[1](fx);fxy:=D[1](fy); fyx:=D[2](fx); fyy:=D[2](fy); H:=matrix(2,2,[fxx,fxy,fyx,fyy]); HESSIANO:=det(H); Delta:=HESSIANO(x,y);

:= f → ( ),x y − + − x4 2 x2 y y y3

DERIVADAS PRIMERAS

:= fx → ( ),x y − 4 x3 4 x y

:= fy → ( ),x y − + − 2 x2 1 3 y2

Puntos_Criticos :=

{ }, , ,{ }, = y13

= x −13

3 { }, = x 0 = y13

3 { }, = x 0 = y −13

3 { }, = y13

= x13

3

DERIVADAS SEGUNDAS

:= fxx → ( ),x y − 12 x2 4 y := fxy → ( ),x y −4 x := fyx → ( ),x y −4 x := fyy → ( ),x y −6 y

:= H ⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥

fxx fxyfyx fyy

:= HESSIANO − fxx fyy fxy fyx

:= Δ − − 6 ( ) − 12 x2 4 y y 16 x2

Ahora podemos aplicar el criterio. Lo hemos programado para que nos de el punto, el valor del hessiano y el de fxx.

> {P[1], subs(P[1],[Delta, fxx(x,y)])}; {P[2], subs(P[2],[Delta, fxx(x,y)])}; {P[3], subs(P[3],[Delta, fxx(x,y)])}; {P[4], subs(P[4],[Delta, fxx(x,y)])};

{ },{ }, = y13

= x −13

3⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,

-323

83

{ },{ }, = x 0 = y13

3⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,8 −

43

3

{ },{ }, = x 0 = y −13

3⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,8

43

3

{ },{ }, = y13

= x13

3⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥,

-323

83

De modo que:

( 0,1

3 ) es un máximo relativo, (0,−

1

3) es mínimo relativo y los restantes son puntos de silla.

Y su gráfico:> plot3d([x,y,f(x,y)],x=-2..2,y=-2..2,style=patchcontour,axes=boxe

d);

Ahora haremos el estudio gráfico.

> Superficie:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-1..1,y=-1..1): display(Superficie,axes=framed,orientation=[131,60]);

Recordemos los puntos críticos y su posición sobre la superficie.Puntos_en_superficie :=

, , ,⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥, ,−

13

313

527

⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥, ,0 −

13

3 −29

3⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥, ,0

13

329

3⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥⎥, ,

13

313

527

Vamos a centrarnos en los extremos, el máximo y el mínimo.

>

>

Ahora con los puntos de silla.

>

Hemos visto que la función tiene un máximo un mínimo y dos puntos de silla, pero qué hay de los extremos absolutos.

La función era f = − + − x4 2 x2 y y y3

Si por ejemplo x ---> infinito, la función se hace infinitamente grande y si y --> infinito la función se hace infinitamente pequeña, por lo tanto carece de extremos absolutos.

Ejercicios.1.- Dada la función = ( )f ,x y − + − x4 3 x2 y 3 y y3 , determinar y clasificar sus puntos críticos. ¿Tiene extremos absolutos?2.- Determinar los extremos relativos de la función = ( )f ,x y − + − 1 x3 4 x y 2 y2 .3.- Determinar los extremos tanto absolutos como relativos de = ( )f ,x y − − 6 x y x3 y3 .4.- Determinar los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y)= Ln( + + 1 x2 y2) . 5.- Determinar según los valores del número real A, los extremos relativos de la función f(x,y)=

− + x3 y3

34 A2 ( ) + x y .

6.- Determinar los extremos tanto absolutos como relativos de f(x,y) = e( )x y

+ x2 y2 . Nota:

Atención al punto (0,0).

FIN:

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