5.1-teorema del binomiojkjhadsj k
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Teorema del Binomio
Universidad de Concepcion
Agosto de 2014
Factorial y Coeficiente binomial
DefinicionDenotaremos por n! al producto de los n primeros numerosnaturales, es decir,
n! := 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n.
Observacion
1. Por conveniencia 0! := 1.
2. n! = (n − 1)! · n, ∀n ∈ N.
Ejemplo
1. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120; 2. 6! = 5! · 6 = 120 · 6 = 720.
Factorial y Coeficiente binomial
DefinicionDenotaremos por n! al producto de los n primeros numerosnaturales, es decir,
n! := 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n.
Observacion
1. Por conveniencia 0! := 1.
2. n! = (n − 1)! · n, ∀n ∈ N.
Ejemplo
1. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120; 2. 6! = 5! · 6 = 120 · 6 = 720.
Factorial y Coeficiente binomial
DefinicionDenotaremos por n! al producto de los n primeros numerosnaturales, es decir,
n! := 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n.
Observacion
1. Por conveniencia 0! := 1.
2. n! = (n − 1)! · n, ∀n ∈ N.
Ejemplo
1. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120; 2. 6! = 5! · 6 = 120 · 6 = 720.
Factorial y Coeficiente binomial
DefinicionDenotaremos por n! al producto de los n primeros numerosnaturales, es decir,
n! := 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n.
Observacion
1. Por conveniencia 0! := 1.
2. n! = (n − 1)! · n, ∀n ∈ N.
Ejemplo
1. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120;
2. 6! = 5! · 6 = 120 · 6 = 720.
Factorial y Coeficiente binomial
DefinicionDenotaremos por n! al producto de los n primeros numerosnaturales, es decir,
n! := 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n.
Observacion
1. Por conveniencia 0! := 1.
2. n! = (n − 1)! · n, ∀n ∈ N.
Ejemplo
1. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120; 2. 6! = 5! · 6 = 120 · 6 = 720.
Factorial y Coeficiente binomial
DefinicionSean n, k ∈ N ∪ {0} con k ≤ n. Se define el coeficiente binomialpor
(nk
)=
n!
k!(n − k)!.
Ejercicio
Calcular
(73
),
(100100
),
(240
)y
(501
).
Factorial y Coeficiente binomial
DefinicionSean n, k ∈ N ∪ {0} con k ≤ n. Se define el coeficiente binomialpor (
nk
)=
n!
k!(n − k)!.
Ejercicio
Calcular
(73
),
(100100
),
(240
)y
(501
).
Factorial y Coeficiente binomial
DefinicionSean n, k ∈ N ∪ {0} con k ≤ n. Se define el coeficiente binomialpor (
nk
)=
n!
k!(n − k)!.
Ejercicio
Calcular
(73
),
(100100
),
(240
)y
(501
).
Coeficiente binomial
Proposicion
∀n, k ∈ N ∪ {0}, con k ≤ n se tiene que
1.
(n0
)=
(nn
)= 1
2.
(n1
)= n
3.
(nk
)=
(n
n − k
)4.
(nk
)+
(n
k − 1
)=
(n + 1k
).
Coeficiente binomial
Proposicion
∀n, k ∈ N ∪ {0}, con k ≤ n se tiene que
1.
(n0
)=
(nn
)= 1
2.
(n1
)= n
3.
(nk
)=
(n
n − k
)4.
(nk
)+
(n
k − 1
)=
(n + 1k
).
Coeficiente binomial
Proposicion
∀n, k ∈ N ∪ {0}, con k ≤ n se tiene que
1.
(n0
)=
(nn
)= 1
2.
(n1
)= n
3.
(nk
)=
(n
n − k
)4.
(nk
)+
(n
k − 1
)=
(n + 1k
).
Coeficiente binomial
Proposicion
∀n, k ∈ N ∪ {0}, con k ≤ n se tiene que
1.
(n0
)=
(nn
)= 1
2.
(n1
)= n
3.
(nk
)=
(n
n − k
)
4.
(nk
)+
(n
k − 1
)=
(n + 1k
).
Coeficiente binomial
Proposicion
∀n, k ∈ N ∪ {0}, con k ≤ n se tiene que
1.
(n0
)=
(nn
)= 1
2.
(n1
)= n
3.
(nk
)=
(n
n − k
)4.
(nk
)+
(n
k − 1
)=
(n + 1k
).
Teorema del binomio
TeoremaSean a, b ∈ R y n ∈ N se tiene que
(a + b)n =n∑
k=0
(nk
)an−kbk .
Teorema del binomio
Observacion
1 Si n = 0 el teorema igual funciona.
2 El desarrollo de (a + b)n tiene n + 1 terminos
(a+b)n =(n0
)anb0+
(n1
)an−1b1+. . .+
(n
n − 1
)a1bn−1+
(nn
)a0bn.
Por ejemplo si n = 4 se tiene que
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
3 La suma de los exponentes de a y b en cada termino es n.
Teorema del binomio
Observacion
1 Si n = 0 el teorema igual funciona.
2 El desarrollo de (a + b)n tiene n + 1 terminos
(a+b)n =(n0
)anb0+
(n1
)an−1b1+. . .+
(n
n − 1
)a1bn−1+
(nn
)a0bn.
Por ejemplo si n = 4 se tiene que
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
3 La suma de los exponentes de a y b en cada termino es n.
Teorema del binomio
Observacion
1 Si n = 0 el teorema igual funciona.
2 El desarrollo de (a + b)n tiene n + 1 terminos
(a+b)n =(n0
)anb0+
(n1
)an−1b1+. . .+
(n
n − 1
)a1bn−1+
(nn
)a0bn.
Por ejemplo si n = 4 se tiene que
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
3 La suma de los exponentes de a y b en cada termino es n.
Teorema del binomio
4 Los terminos equidistantes del centro son iguales.
5 El termino que ocupa el lugar k + 1 en el desarrollo de(a + b)n esta dado por
tk+1 :=
(nk
)an−kbk .
Teorema del binomio
4 Los terminos equidistantes del centro son iguales.
5 El termino que ocupa el lugar k + 1 en el desarrollo de(a + b)n esta dado por
tk+1 :=
(nk
)an−kbk .
Teorema del binomio
4 Los terminos equidistantes del centro son iguales.
5 El termino que ocupa el lugar k + 1 en el desarrollo de(a + b)n esta dado por
tk+1 :=
(nk
)an−kbk .
Teorema del binomio
Ejercicio
1. Encontrar el cuarto termino del desarrollo (x − 2)20.
2. Determine el o los terminos centrales de (x + 1√x
)15.
3. Determinar, si existe, el termino que contiene x25
y en eldesarrollo de (
x2y
4− 2x
y
)17
.