51164525 ingenieria economica

Universidad Nacional de San Cristbal de Huamanga

Facultad de Ingeniera Qumica y Metalurgia

Ing Humberto Hernndez Arribasplata

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata

Ayacucho - Per

1999

INTRODUCCION

El presente texto de Ingeniera Econmica, es el resultado de la experiencia docente y profesional desarrollada a lo largo de 20 aos de trabajo, condensado en los diferentes apuntes tratados en clases con los alumnos de la EF P de Ingeniera Qumica de la Facultad de Ingeniera Qumica y Metalurgia de la Universidad Nacional de San Cristbal de Huamanga; adems, durante este tiempo conjuntamente se aprendi que es importante tener un conocimiento bsico sobre economa aplicada. An en estos nuevos tiempos con mayor razn por estar frente a una economa globalizada mundial, que exige que los profesionales del rea de ingeniera tengan la capacidad de producir productos de calidad y a precios competitivos.La Ingeniera Econmica es un tema trascendente; su esencia es la toma de decisiones basada en comparaciones de los valores de las vas alternas de accin respecto a sus costos y los impactos sociales. Las decisiones varan desde las inversiones individuales al presupuesto de capitales corporativos, y se producen en todos los niveles de las organizaciones, tanto en el sector privado como el pblico de la economa de un pas. Las herramientas utilizadas para la toma de decisiones son indicadores que permiten medir la rentabilidad de las diferentes alternativas econmicas y/o los impactos sociales que producirn dichos proyectos; para el clculo de estos indicadores y su aplicacin en la toma de decisiones se debe tener en cuenta el valor del dinero en el tiempo, el costo de oportunidad del capital, la tasa social de descuento, la inflacin, el riesgo, la incertidumbre, entre otros.En el presente texto de Ingeniera Econmica se trata cuatro temas fundamentales: Costos e Ingresos, Tasas de Inters y Relaciones Dinero- Tiempo, Depreciacin y Criterios aplicados a las Decisiones de Inversin. En cada uno de ellos se presentan los conceptos bsicos, las frmulas para su cuantificacin y la ilustracin correspondiente a travs de ejemplos especficos.

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Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata Espero que el presente texto sea de utilidad para aquellas personas, que en su campo profesional tengan que tomar decisiones bsicamente de carcter econmico.

Ayacucho, abril de 1999

Humberto Hernndez Arribasplata

INDICEPg.

CAPITULO I COSTOS E INGRESOS1.1. Costos 41.2. Resumen de clasificacin de costos 51.3. Costos unitario 51.4. Determinacin de costos variables por tems

61.5. Determinacin de costos fijos por tems 91.6. Ingresos 101.7. Anlisis y determinacin del punto de equilibrio 101.8 Utilidades 121.9. Ejemplo 121.10. Problemas resueltos 131.11. Bibliografa 29

CAPITULO II TASAS DE INTERES Y RELACIONES DINERO-TIEMPO2.1. Generalidades 302.2. Valor del dinero a travs del tiempo

302.3. Tasa de inters 312.4. Intereses 342.5. Notacin y diagramas de flujo de efectivo 392.6. Factores de inters compuesto 402.7. Anualidades 422.8. Resumen de frmulas 492.9. Uso de tablas 492.10. Pagos capitalizables continuamente con intereses continuos

502.11. Amortizaciones 532.12. Problemas resueltos 572.13. Bibliografa 64

CAPITULO III DEPRECIACION3

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata 3.1. Definicin 653.2. Propsitos de la depreciacin 653.3 Tipos de depreciacin 653.4. Mtodos de depreciacin 663.5. Problemas resueltos 713.6. Bibliografa 73

CAPITULO VI CRITERIOS APLICADOS EN LAS DECISIONES DE INVERSIN4.1. Indicadores totales (VA, TIR, B/C y PRI) 744.2. Indicadores parciales(CEA y VPC) 844.3. Problemas resueltos 864.4. Bibliografa 89ANEXO 90

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1.1. COSTOS Son los valores de los recursos reales o financieros utilizados para la produccin en un perodo dado.a. DIVISION DE COSTOS

Los costos se dividen en costos fijos y costos variablesCOSTOS FIJOS (CF) Son aquellos que no varan con la cantidad de produccin, es decir, son independientes del volumen de produccin.COSTOS VARIABLES(CV) Son aquellos que dependen del volumen de produccin.Estos conceptos son vlidos en el corto plazo, ya que en el largo plazo todos los costos son variables. Los conceptos de corto y largo plazo son conceptos operativos y no cronolgicos.El corto plazo es aquel perodo de tiempo en el que la empresa no puede alterar su capacidad, escala o tamao de fbrica; mientras que el largo plazo es aquel perodo en el que la empresa puede ajustar apropiadamente a las nuevas circunstancias en el mercado.

b. COSTO TOTAL (CT)El costo total es la suma de los costos fijos ms los costos

variables.CT = CF + CV Ec. 1.1

como el costo variable es funcin de la cantidad, se tiene entonces:

CV = vQEc. 1.2

luego, reemplazando (2) en (1) CT = CF + vQ Ec. 1.3

COSTOS (S/.)

5

CAPITULO I Costos e Ingresos


UNIDADES PRODUCIDAS (Q) GRAFICO N1 1

1.2. RESUMEN DE CLASIFICACION DE COSTOS

Materiales directosCOSTOSDIRECTOS Mano de obra directa

COSTOS DEFABRICACION Mano de obra

indirectaCOSTOS

Materiales indirectosINDIRECTOS Gastos indirectos

COSTOS GASTOS DE Gastos de ventaOPERACIONGastos

generales y de administracin

GASTOS FINANCIEROS

PrdidasOTROS GASTOS Incobrables

Imprevistos

1.3. COSTOS UNITARIOS:Los costos unitarios se logran dividiendo el costo total por la

cantidad producida.

vQ

CFQ

CT+=

Ec. 1.4

=

QCT Costo unitario total

QCF = Costo unitario fijo v = Costo unitario variable

6


COSTO UNITARIO

(S/.)

CF Q

v

UNIDADES PRODUCIDAS (Q) GRAFICA N1 2

1.4. DETERMINACION DE COSTOS VARIABLES POR ITEMS

a. MATERIA PRIMA El costo total anual de materia prima, se determina a base del balance de materia y energa, el volumen de produccin y el precio de venta.

COSTO DE MATERIA PRIMA DURANTE EL HORIZONTE DEL PROYECTO

AO MAT.PRIMATM./AO

FACTOR DEUTILIZAC.

VOLUMEN DEPRODUCCIN

TM

COSTOTOTAL S/.

01

02

03

04

05

06

07

08

3 000

3 600

4 200

4 800

5400

6 000

6 000

6 000

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.0

1.0

2 500

3 000

3 500

4 000

4 500

5 000

5 000

5 000

4 500

5 400

6 300

7 200

8 100

9 000

9 000

9 000

Factor de utilizacin = PRODUCCION ACTUAL / PRODUCCION DISEO

f.u. = QA/QD f.u. = 2 500 TM/5 000TM

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Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata f.u. = 0.5

i. Rendimiento de materia prima a producto finalSi por cada TM de producto final se necesita 1.2 TM de materia prima, el rendimiento ser del 83.3%.

ii. Costo de la materia prima nacional (en funcin al mercado)

El costo de la materia prima nacional se fija en funcin de la oferta y demanda. Costo M.P. = S/. 1 500.00/TM

iii. Costo de materia prima importada: el precio de la materia prima importada se cotiza con el precio FOB (precio en puerto de embarque).

PrecioDerechos

arancelariospuesto

Precio C I F

en+ Derechos de

AlmacnPuerto Flete + Seguro +

Derechos de Agentede

de AduanasEmbarque +

Transporte hasta plantaF O B

COSTO DE LA MATERIA PRIMA IMPORTADA

b. MANO DE OBRA DIRECTA Se refiere a los trabajadores que estn ligados directamente a la produccin. Mano de obra no calificada(obreros) Mano de obra calificada(tcnicos) Mano de obra altamente calificada(profesionales)El costo de planilla se calcula en funcin del nmero de trabajadores por el sueldo o salario mensual que perciben, ms las gratificaciones y compensacin por tiempo de servicios que le corresponde por ley al trabajador(CTS). Los sueldos, bonificaciones y otros, en el sector pblico es fijado

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Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata por el Gobierno Central, mediante decretos supremos, en cambio en el sector privado se fijan los sueldos y salarios mediante convenios colectivos que tienen fuerza de ley.

CUADRO RESUMEN

No. DETRABAJADORES

SUELDO/SALARIO.

MENSUAL S/.

SUELDO/SALARIO. ANUAL S/.

BONIFICACION

ANUAL

TOTAL S/.

02 Ingenieros

05 Tcnicos

06 Obreros

1 200

800

600

14 400

9 600

7 200

3 600

2 400

1 800

36 000

60 000

54 000

13 Trabajadores

2 600 31 200 7 800 150 000

BONIFICACION: 01 Sueldo por fiestas patrias01 Sueldo por navidad01 Sueldo por CTS

En la actualidad la mayora de empresas, cuando contratan su personal lo hacen en la modalidad de servicios no personales; lo cual los libera de pagos a los trabajadores de bonificaciones y otras responsabilidades.

c. COSTO DE ENERGIA El costo se calcula de acuerdo al balance de energa, es decir el volumen de combustible (petrleo, kerosene, etc.), energa elctrica, por el precio unitario por galn o por kW-h.

Costo = Q combustible * PrecioCosto = Q(galones) * (S/./gl.)

d. COSTO DE TRANSPORTE Se calcula en funcin de la materia prima y/o producto que se tiene que transportar por peso y/o volumen.Por ejemplo en el caso de transporte de naranjas no solamente se cobra por el peso sino tambin por el volumen.

Costo de transporte = Peso (kg)*S/kg.

e. COSTO DE AGUA El costo se calcula en funcin del balance de materia, hay que diferenciar las calidades del

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Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata agua: Agua de enfriamiento Agua para proceso Agua para generar vaporel costo es diferenciado, debido a los tratamientos que se someten cada tipo de agua.

Costo = m3 * S/./m3

f. COSTO DE PUBLICIDAD La publicidad es sumamente importante para algunos productos, como para otros no. La publicidad puede ser en medios escritos, radio, TV y pginas Web (Internet); siendo de mayor alcance los dos ltimos, sin embargo es ms costoso. El costo en el caso de la TV depende del horario, tiempo y el tipo de medio que se utilice y frecuencia con la que se hace la propaganda.

g. COMISION POR VENTAS La comisin por ventas depende del tipo de producto, adems est relacionada con el grado de dificultad que tiene el producto para ser colocado en el mercado, las tasas de pago dependen de las polticas de la empresa.

h. GASTOS DE LABORATORIO Son los costos que ocasiona el producto en sus distintas etapas para hacer el control de calidad.

i. OTROS COSTOS Aqu se pueden englobar otros rubros que pertenecen a los costos variables y que de por s tienen incidencia en la estructura de costos.

1.5. DETERMINACION DE COSTOS FIJOS POR ITEMS

a. COSTOS GENERALES DE ADMINISTRACION Son costos que se incurren bsicamente en la administracin

de la empresa:

Gerente de la empresa Sub-Gerente de la empresa Contador Asesor legal Jefe de personal Secretarias Personal de servicio Gastos en materiales de escritorio y servicios

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b. COSTOS DE DEPRECIACION DE ACTIVOS FIJOS Bsicamente se consideran estos costos como la forma de recuperacin de la inversin en activos fijos, se calcula en funcin del tipo de depreciacin que se considera a los activos fijos.

c. AMORTIZACION DE CARGOS DIFERIDOS Se considera los costos de inversin en intangibles, normalmente se divide el total entre el nmero de aos que tendr como vida el proyecto.

d. COSTOS DE MANTENIMIENTO Y REPARACION Son los costos que se incurren en el mantenimiento y reparaciones de los equipos y maquinarias, normalmente el mantenimiento debe ser programado por la empresa para asegurar la vida til del equipo.

e. SEGUROS Los gastos que ocasiona la empresa en la compra de plizas para asegurar a la empresa frente a riesgos, el pago es de acuerdo al nivel de inversin.

f. INTERESES Y AMORTIZACIONES El pago de intereses por el capital prestado ms la devolucin del principal.

g. OTROS Son los gastos que se pueden incurrir en algn rubro que especficamente no se ha considerado.

CONCLUSION Los costos de produccin en todo momento se deben tender a minimizar, hay que tener mucho cuidado en no considerar gastos que no tengan la justificacin del caso en el rubro de costos fijos.

1.6. I N G R E S O S

Al calcular los ingresos pueden considerarse dos casos: precio fijo y precio variable:

a. Ingreso con precio fijo Y = P * Q Ec. 1.5

El ingreso total vara en proporcin directa a la cantidad, es decir el ingreso responde a una funcin lineal. En el caso del precio fijo la empresa no ejerce influencia alguna (es decir, tiene una escasa participacin en el mercado).

11

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata b. Ingreso con precio variable

Considerando que el precio vara linealmente con respecto a la cantidad.

P = a bQ Ec. 1.6

por lo tanto el ingreso ser Y = (a - bQ)*Q Ec. 1.7

En este caso, la empresa ejerce cierta influencia sobre el precio, es decir al vender ms, el precio se reduce; el ingreso total en este caso no responde a una relacin lineal.

1.7. ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

El anlisis del punto de equilibrio tiene cierta utilidad cuando se trata de examinar los costos, los ingresos y los beneficios con diferentes niveles de produccin. El punto en que se cruzan las lneas del costo total y del ingreso total es denominado punto de equilibrio; una vez calculado el punto de equilibrio se puede analizar el volumen de produccin que se requiere para evitar la operacin con prdida y ver si es razonablemente accesible. El punto de equilibrio se puede determinar en forma analtica y grfica.

a. Determinacin Analtica

a.1. Ingresos lineales = Costos lineales

P * Qe = CF + vQe

vPCFQe

= Ec. 1.8

en este caso se tiene un solo punto de equilibrio Qe

a.2. Ingresos no lineales = Costos lineales

aQe bQ2e = CF + vQe

bQ2e - aQe + vQe + CF = 0

bQ2e +(v -a)Qe +CF = 0

12


b

bCFavavQe

24)()( 2

1+

=

b

bCFavavQe

24)()( 2

2

=

en este caso se tiene dos puntos de equilibrio Qe1 y Qe2

b. Determinacin Grfica Con los datos de ingresos totales y costos totales se traza la correspondiente grfica, determinndose el o los puntos de equilibrio.

CANTIDAD(Q) CANTIDAD(Q) Costos e ingresos lineales Costo lineal e ingreso no lineal

GRAFICA No. 3 GRAFICA No. 4

1.8. UTILIDADES (U) Es la diferencia de los ingresos menos los costos totales

U = Y- CT Ec. 1.9

E J E M P L O

Una compaa estima que conforme aumenta sus ventas va disminuyendo el precio de venta de su producto, y sus ingresos cambian de acuerdo a la siguiente relacin: Ingresos = aQ - bQ2en donde Q representa las unidades mensuales de demanda, siendo Q =

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Cost

os e

In

gres

os

Cost

os e

In

gres

osPE PE1

PE2

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata a/b. La compaa tiene costos fijos de $ 1 000 por mes y los costos variables son de $ 4.00 por unidad. Si a = $ 6.00 y b = $ 0.001, determine el volumen de ventas para tener utilidades mximas y cules son las utilidades mensuales mximas

SOLUCION:

CF = $ 1 000 CT = 1 000 + 4Qv = $ 4/unid. Y = 6Q - 0.001Q2Q = 6.00/0.001 Q = 6 000 unid.

a. Punto de Equilibrio Ingresos = Costos 6Q -0.001Q2 = 1 000 + 4Q

2Q - 0.001Q2 1 000 = 0

Q2 2 000Q + 1 000 000 = 0

)1(2

)1000000)(1(4)2000(2000 2 +=Qe

+ 2 000 Qe = ------------ Qe1 = 1 000 2 Qe2 = 1 000

CT = 1 000 + 4(1 000) Y = 6(1 000) - 0.001(1 000)2 CT = $ 5 000 Y = $ 5 000

b. UTILIDADES = INGRESOS - COSTOS U = 6Q - 0.001Q2 - ( 1 000 + 4Q )

U = 2Q - 0.001Q2 1 000para calcular las utilidades mximas hay que derivar la funcin e igualar a cero.

0002.02 == QdQdU Q = 2/0.002 Q = 1 000

unid. Umx = 2(1 000)-0.001(1 000)2-1 000 Umx = 0

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PROBLEMAS RESUELTOS

Costos, Ingresos y Punto de Equilibrio

1-1 El costo total de fabricar 260 unidades de un producto es de $ 3 200. Al fabricar 340 unidades, el costo es de $ 3 800.

a. Cul es el costo medio de fabricacin de las primeras 260 unidades?.

b. Cul es el costo variable por unidad?c. Cul es el costo fijo total?d. Cul es el costo fijo medio unitario de las primeras 260

unidades.

SOLUCION

Costo Total CTa. Costo Medio(CM) = ----------------------------- = ----

Unidades Producidas Q

$ 3 200 CM = --------- = $12.31/unidad 260 u

Costo variable total CV b. Costo variable unit.(v) = ----------------------------- = ----


Para calcular el costo variable unitario se debe plantear dos ecuaciones, sabiendo que:

Costo total = Costo fijo + Costo variable CT = CF + CV CT = CF + vQ 3 200 = CF + v(260) (i) 3 800 = CF + v(340) (ii)

restando (i) de (ii) se tiene: $ 600 v =-------- = $ 7.5/unidad 80 u

c. Costo fijo total(CF) = Costo total - Costo variable CF = CT - CV

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Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata CF = 3 200 - 7.5*260 CF = $ 1 250

Costo fijo total CFTd. Costo fijo medio(CFM) = ------------------------------ = ----


$ 1 250 CFM = ---------- = $ 4.81/unidad

260u

1-2 Una compaa fabrica ganchos industriales para un trabajo de ensamblaje. Se ha determinado que el ingreso marginal es:

IMg = 100 - 0.02 Qen donde Q es el nmero de ganchos producidos. Los costos variables ms los costos fijos se calculan mediante la frmula.

CT = 2*10-4Q2+ 10 000Calcule la produccin de ganchos por ao para las siguientes condiciones.

a. Costo unitario mnimo de ventasb. Produccin para una utilidad mximac. Volumen para punto de equilibrio

SOLUCION

a. El costo unitario mnimo de ventas se obtiene a partir del costo unitario medio, a la vez derivando dicha ecuacin:

CT CF CM = ---- =---- + v Q Q

d(v + CF*Q-1 ) -------------------- = 0 dQ

dv CF ---- - --- = 0 (i) dQ Q2

CV 2Q2*10-4 v =---- = ----------- = 2Q*10-4 Q Q

dv --- = 2*10-4 (ii)

16

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata Q

CF = 10 000 (iii)

reemplazando valores, (iii) y (ii) en (i) tenemos 10 000

2*10-4 - --------- = 0 Q2

Q = 7 071 unidades

b. Utilidad = Ingresos - Costos

dY Ingreso Marginal(IMg) = ---- = 100 - 0.02Q dQ = dQQdY )02.0100(

Integrando la ecuacin anterior obtenemos el ingreso.

Y = 100Q - 0.01Q2

reemplazando los valores de los ingresos y los costos en la ecuacin de utilidad tenemos:

U = 100Q - 0.01Q2 - 2Q2*10-4 + 10 000

U = 100Q - 0.0102Q2 + 10 000para encontrar las unidades que se deben producir para maximizar las utilidades, derivamos la ecuacin anterior e igualamos a cero.

dU ---- = 100 - 0.0204Q = 0 , de donde dQ

Q = 4 902 unidades

c. Punto de equilibrio

El punto de equilibrio se alcanza cuando se iguala los ingresos con los costos

Ingresos = Costos

100Q - 0.01Q2 = 2Q2*10-4 + 10 000 100Q - 0.0102Q2 + 10 000 = 0

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)0102.0(2

)10000)(0102.0(4100100 2 =Q

de donde:

Q1 = 9 706 unidades Q2 = 98 unidades

Se han obtenido dos puntos de equilibrio por que los ingresos y los costos no son relaciones lineales.

1-3 Un determinado producto se vende actualmente a $12. Los costos fijos son de $4 por unidad, y se venden anualmente 10 000 unidades, con una utilidad bruta de $30 000. Un nuevo diseo aumentar los costos variables en un 20%, y los costos fijos en un 10%, pero las ventas debern aumentar a 12 000 unidades por ao.Cul deber ser el precio de ventas para mantener el mismo nivel de utilidades ($30 000)?.

SOLUCION

a. Utilidad Bruta = Ingresos - Costos Ingresos = Precio * Cantidad UB = P*Q - ( CF + vQ) Datos:

P = $12/u, CFU = $4/u, Q1 = 10 000u, UB = $30 000reemplazando datos en la ecuacin de utilidad bruta, calculamos el costo variable unitario.

30 000 = 12*10 000 - 4*10 000 - v*10 000 de donde: v = $ 5/u

b. Nuevo Precio Clculo de los nuevos costos fijo y variable

CUF' = 4 + 10% = 4*1.1 = $ 4.4/u v' = 5 + 20% = 5*1.2 = $ 6.0/u

Para encontrar el nuevo precio, se utiliza la ecuacin de utilidad bruta, reemplazando valores tenemos:

30 000 = P*12 000 -4.4*10 000 - 6*12 000

P = $ 12.17/u

1-4 Las ventas de una lmpara de escritorio cuyo precio de mayor es de

18

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata $4 por unidad, han resultado decepcionantes. La contribucin de cada lmpara vendida es de $1.5. Se planea aumentar el presupuesto de publicidad en $0.22 por lmpara, y reducir el precio con objeto de aumentar las ventas. Se asignar para propaganda el doble de lo que se establecer como reduccin de precio. La ganancia bruta actual es de $ 50 000 sobre ventas de 100 000 lmparas por ao. Cuntas lmparas debern venderse bajo las condiciones propuestas para duplicar la utilidad.

SOLUCION

Datos: P = $4/u, Contribucin = P - v = 1.5

UB1 = $50 000/100 000 lmp.

a. Clculo del costo variable unitario

v = P - 1.5 v = 4 - 1.5 = $2.5/u Clculo del costo fijo total UB = P*Q - CF - vQ

50 000 = 4*100 000 - 2.5*100 000 -CF

de donde:

CF = $100 000

b. Nuevas condiciones, aumento del costo variable y disminucin del precio de venta.

v' = 2.5 + 0.22 = $2.72/u P' = 4 - 0.11 = $3.80/u

UB2 = 2(UB1), condiciones del problema

100 000 = 3.89Q - 2.72Q 100 000 de donde:

Q = 171 000 unidades

1-5 Dadas las siguientes funciones de costo promedio e ingreso

CM = Q2 + Q + 1 + 5/Q

IM = Q2 - 4Q +4 +6/Q determine lo siguiente:

a. El costo fijo de la empresa con Q = 3b. El costo total con Q = 3c. La produccin de equilibrio

19


SOLUCION

Costo total = Costo medio * Cantidad

CT = CM*Q

CT = Q3 + Q2 + Q + 5

a. Costo fijo de la empresa CF = 5 para cualquier volumen

b. Costo total CT = (3)3 + (3)2 + 3 + 5

CT = 44

c. Produccin de equilibrio

Ye = CTe Ingreso total = Ingreso medio * Cantidad

Y = IM*Q = Q3 -4Q2 + 4Q + 6

Qe3 -4Qe2 + 4Qe + 6 = Qe3 + Qe2 + Qe + 5

simplificando la relacin anterior se obtiene:

5Qe2 - 3Qe - 1 = 0

3 + { (3)2 - 4(5)(-1) }1/2 Qe =---------------------------- 2(5)

de donde:

Qe1 = 0.84 Qe2 = -0.54 (es descartado por ser un valor negativo)

1-6 La corporacin ABC tiene una capacidad de ventas de $1 000 000 por mes. Sus costos fijos son de $350 000/mes y sus costos variables para un amplio rango de volumen son $0.5/unidad monetaria de ventas.

a. ) Cul es el volumen en el punto de equilibrio?b. ) Cul ser el efecto de disminuir los costos variables en 25%, sin

con ello se aumente los costos fijos en un 10%?.SOLUCION

20

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata a. Punto de equilibrio

Ye = CTe

P*Qe = CF + vQe

CF Qe = ------ (i) P -v

por condiciones del problema v = 0.5P (ii) reemplazando (ii) en (i) se tiene 350 000 Qe =---------- (iii) 0.5P

sabemos que Ye = P*Qe (iv)

reemplazando (iii) en (iv), tenemos

350 000 Ye =----------- = $700 000 0.5

b. Costos variable y fijos totales

CV = $500 000/mes CF = $ 350 000/mes disminucin del costo variable en 25%

CV' = $500 000*0.75 = $ 375 000/mes aumento del costo fijo en 10%

CF'= $ 350 000*1.1 = $ 385 000/mes CT = 385 000 + 375 000 = $ 760 000/mes

UB'= $ 1 000 000/mes - $ 760 000/mes = $240 000/mes UB = $ 1 000 000/mes - $ 850 000/mes = $150 000/mes

UB' > UB El cambio de los costos de produccin de la empresa es favorable.

1-7 Una compaa que hace deslizadores de fibra de vidrio tiene capacidad para producir 100 unidades al mes. Sus costos fijos se elevan a $15 000 al mes y sus costos variables son de $320 por unidad.a. Cul debe ser su volumen de produccin si se pueden vender

21

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata sus deslizadores en $500 y estar as en el punto de equilibrio.

b. Debido a variaciones estacionarias en las ventas, la compaa quisiera que su punto de equilibrio no sobrepase el 60% de su capacidad, en cuanto se tendrn que reducir los costos fijos para lograr lo anterior.

c. En cuanto se tendr que reducir los costos variables por unidad sin cambiar los costos fijos, a fin de lograr las mismos resultados.

SOLUCION

a. Volumen de equilibrio: CF Qe = ------- P - v

$15 000 Qe = -------------------- $500/u - $320/u

Qe = 83.0 u/mes

b. Punto de equilibrio del 60% CF 0.6Qe = ------------ 500 - 320

CF = 0.6*100(500 - 320) CF = $ 10 800

Reduccin del costo fijo CF = $15 000 - $10 800 Reduccin = $4 200

c. Reduccin de los costos variables para no cambiar la condicin (b).

$15 000 0.6Qe =------------- 10 800 - v v = $250 Reduccin del costo variable v = $320 - $250 Reduccin = $70

1-8 La estructura de costos de una empresa de esmaltes, trabajando al 22

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata 100% de su capacidad instalada es la siguiente:Materia prima S/.

109 500 000Envases

3 285 000Servicios(agua, comb., energ.) 4

200/TMSueldos (1)

4 520 000Salarios (1)

33 890 000Depreciaciones

11 500 000Comisiones por venta 3%

precio de ventaFletes

800/Tm

Intereses financieros 8 500 000

Seguros 5 300 000

(1) Remuneraciones bsicas sin leyes socialesSe considera 55% salarios y 40% sueldos como cargas

sociales.La capacidad instalada es de 5 000TM/ao, con una inversin total de S/. 160 500 000. El producto se vende a S/.60/kg.a. Cul ser la rentabilidad despus de impuestos con respecto a

la inversin total, si el impuesto a las ventas asciende al 30% de la utilidad bruta, trabajando al 90% de su capacidad.

b. Hallar el punto de equilibrio de la empresa.

SOLUCION

a. Determinacin grfica del punto de equilibrio, para ello hay que seleccionar los costos fijos y variables.

Costos variables totales:Materia prima

S/ 109 500 000

Envases

3 285 000

Servicios 4 200/TM*5 000TM/ao 21 000 000

23

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata Salarios(1) 33 890 000 + 55%

55 629 500Comisin por venta 60/kg*5*106kg*0.03 9 000

000 Fletes 800/TM*5 000TM

4 000 000 SUB-TOTAL S/. 202 414 500

Costos Fijos Totales:Sueldos (1) 4 520 000 + 40%

6 328 000Depreciaciones

11 500 000

Intereses financieros 8 500

000Seguros

5 300 000

SUB-TOTAL S/. 31 628 000

COSTO TOTAL = CF + CV = S/. 234 042 500

INGRESOS TOTALES = 60/kg*5 000TM*1 000kg/TM = 300 000 000

30 Y

CT

CV

20

10

24

CO

STO

S E

ING

RES

OS

(S/.*

107 )

Prdidas

Ganancias

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata CF

0 1000 2000 3000 4000 5000

CAPACIDAD INSTALADA (TM/AO)

b.. Determinacin del punto de equilibrio analticamente En el punto de equilibrio tenemos: Ingresos = Costos

CF Qe = ------- P - v

CF = S/. 31 628 000 P = S/ 60 000/TM v = S/ 202 414 500/5 000TM = S/. 40 483

reemplazando datos tenemos: 31 628 000 Qe = -------------------- 60 000 40 483

Qe = 1 620.5 TM (analtico) Qe = 1 618.0 TM (grfico)

c. Clculo de la utilidad bruta: UB = Y - CT UB = 300 000 000 234 042 500 UB = S/. 65 957 500

esta utilidad corresponde al 100% de la capacidad de la planta; actualmente se est trabajando solamente al 90%, por lo tanto los ingresos y los costos variables correspondern al 90% de produccin.

CV = 202 414 500*0.9 = S/. 182 173 050 Y = 300 000 000*0.9 = S/. 270 000 000 UB = S/. 270 000 000 - S/. 182 173 050 UB = S/. 56 198 950 Clculo de la utilidad neta:

UN = S/.56 198 950*0.7 = S/. 39 339 265

d. Clculo de la rentabilidad: UTILIDAD NETA R = --------------------------- INVERSION

25

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata S/. 39 339 265 R = ------------------- = 0.2451 S/. 160 500 000 R = 24.51%1-9 Los formatos que se presentan a continuacin, corresponden a los

costos de produccin por mes para un volumen bruto de 942 483m3 de agua de ex -EMAPA.

FORMATO N 01A. COSTOS DE PRODUCCION POR METRO CUBICO DE AGUA POTABLE

AYACUCHO - HUANTA

RUBROS COSTO MENSUAL COSTO ANUAL

01 MATERIALES DIRECTOS

* Materia prima(agua cruda)* Insumos:

- sulfato de alum.- Cloro- reactivos p.anls

13 290.73

9 245.26 2 999.60 1 045.87

159 488.92

110 943.19 35 995.20 12 550.53

02 MANO DE OBRA DIRECTA

* Sueldos y salarios* Seguro social* Provisiones* Pensiones* Gratificaciones* Servicios

17 283.28

8 181.06 1 338.35 1 136.41 1 848.70 4 778.77

207 399.57 98 172.75 16 060,20 13 636.92

22 184.47 57 345.23

03 MANO DE OBRA INDIRECTA

* Jefes de Produccin* Supervisores* Choferes* Mantenimiento* Limpieza* Guardiana

8 535.61

1 362.38 3 005.60 1 291.67 166.67 2 709.29

102 420.24

16 348.67 36 060.00 15 500.00 2 000.00 32 511.57

04 MATERIALES INDIRECTOS

* Repuestos* Combustibles y lubricantes* Utiles de aseo* Otros(Indemnizaciones)

14 330.18

1 164.20 1 935.88 2 208.33 9 021.77

171 962.16

13 970.40 23 230.56 26 499.96 108 261.24

05 GASTOS INDIRECTOS 13 842.63 166 111.6826


* Energa* Comunicaciones(telefax,Rad)* Primas de seguros* Alquileres* Depreciaciones* Amortizacin de cargos dif.

2 099.60

11 743.03

25 195.24

140 916.44

TOTAL S/. 67 281.88 807 382.57

FORMATO N 02B. GASTOS DE OPERACION AYACUCHO - HUANTA

RUBROS COSTO MENSUAL COSTO ANUAL

01 GASTOS DE VENTAS GASTOS LABORALES

* Sueldo Gerte.de Comer.* Sueldo Cobradores* Seguro Social* Gratificaciones* Provisiones

16 416.32

1 733.33 2 459.22 4 487.24 5 584.12 2 152.41

196 996.06

20 800.00 29 510.65 53 846.96 67 009.51 25 828.94

COMISIONES* De ventas y cobranza

PUBLICIDAD* Radio y/o TV* Peridicos y/o revistas

793.23 759.90 33.33

9 518.88 9 118.88 400.00

IMPUESTOS A LAS VENTAS

TRASPORTES 596.12 7 153.40

ALMACENAMIENTO

02 GASTOS GENERALES Y ADMINISTRACIONGASTOS LABORALES

* Dietas Directorio* Sueldos Directivos* Sueldos: Oficinistas

y Auxiliares* Seguro Social* Gratificaciones* Pensiones

40 593.81

5 081.67 6 565.32 13 726.63 5 285.90 7 893.62 2 040.67

487 125.80

60 980.04 78 783.84 164 719.59 63 430.83 94 723.44 24 488.06

GASTOS DE REPRESENTAC.

27


SEGUROS 407.56 4 890.72

ALQUILERES 119.08 1 429.00

MATERIALES Y UTILES DE OFIC. 1 069.91 12 839.00DEPRECIACIONES 2 312.91 27 755.00IMPUESTOS

* Al valor de prop.predial* Terrenos sin construir

162 676.13 1 952 113.60

TOTAL S/ 224 985.07 2 699 821.46

FORMATO N 03 RUBROS AYACUCHO HUANTA

GASTOS FINANCIEROS

MENSUAL ANUAL

131.75 1 581.00

OTROS GASTOS:

* Prdidas

* Incobrables

* Imprevistos

31 350.81 376 209.77

TOTAL S/. 31 482.56 377 790.77

CALCULO DE COSTO DE PRODUCCION Y PRECIO UNITARIO

a. Costo Unitario de Produccin

COSTO TOTAL DE COSTOS DE GASTOS DE GASTOS OTROS = + + + PRODUCCION PRODUCCION OPERACION FINANCIEROS GASTOS

COSTO TOTAL = 807 382.57 + 2 699 821.46 + 1 581.00 + 376 209.77

CTA = S/. 3 884 994.68/AO28


CTM = S/. 323 749.56/MES

b. Costo Unitario Medio: (volumen bruto)

S/. 323 749.56 CUM = --------------------- = S/. 0.343/m3

942 483m3

c. Precio Unitario Medio: (volumen facturado)

S/. 372 574.95PPM =------------------- = S/. 0.75/m3 496 256m3

1-10 La compaa Champion est considerando un nuevo producto. Su departamento de

mercadotecnia ha calculado la relacin del volumen de ventas y del precio como sigue:

PRECIO 2 4 6 8 10DEMANDA ANUAL 2 000 1 500 1 000 500 0

El departamento de costos de la empresa ha desarrollado la funcin unitaria de costo, basndose en un producto semejante, y es la siguiente:

80.0$1000$ +=Q

CU

donde: CU = Costo unitario$ 1 000/Q = Costo fijo unitario$ 0.80 = Costo variable unitario

a. Calclese el nmero esperado de unidades para obtener ganancias ptimas.

b. Calclese las ganancias ptimas durante el primer ao.

SOLUCION:

a. En este caso la cantidad demandada depende del precio, por lo tanto en primera instancia se debe determinar la funcin

29

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata correspondiente, para ello graficamos demanda precio.

DEMANDA vs PRECIO

Q = -250P + 2500R2 = 1

0

1000

2000

3000

2 4 6 8 10 12PRECIO

DEM

AND

A

La funcin es: Q = -250P + 2 500El costo total se determina multiplicando el costo unitario por

la cantidad

CT = $ 1 000 + 0.80Q.La funcin ganancia o utilidad es U = Ingresos Costos totales, remplazando valores tenemos:U = P*Q CTU = P* (-250P + 2 500) [1 000 + 0.80(-250P + 2 500)]U = 2 700P 250P2 2 100El nmero esperado de unidades para obtener ganancias o utilidades ptimas vendr dada por la primera derivada igualada a cero.

05002700 == PdPdU

4.5$5002700

==P

reemplazando el precio en la funcin de demanda tenemosQ = -250(5.4) + 2 500Q = 1 150 unidades

b. Las ganancias ptimas durante el primer ao vendr dada por:

Uo = 2 700Po + 250P2o 2 100Uo = 2 700(5.40) 250(5.4)2 2 100

30

Ingeniera Econmica Humberto Hernndez Arribasplata Uo = $ 4 920

31


BIBLIOGRAFIA

1. De Garmo,Paul y Canad Jhon, "Ingeniera Econmica", Edit.

CECSA, Mxico, 1978.2. Riggs L. James, "Ingeniera Econmica", Edit.RSI, Mxico, 1982

3. Thuesen Fabrycky y Otros, "Economa del Proyecto en Ingeniera", Edit. PHI, Espaa, 1974.

4. Webb C., Samuel, " Economa de la Empresa", Edit. Limusa, Mxico, 1985.

32

2.1. GENERALIDADES

Un estudio econmico para transformarlo en realidad, se hace necesario contar con un monto suficiente de capital, para cubrir todos los costos que demandar el proyecto hasta ponerlo en marcha e integrarlo al proceso productivo; es decir los costos ocasionados en la inversin fija ms el capital de trabajo.

En pocos casos los inversionistas nativos (privados o el estado) tienen la capacidad de afrontar con recursos propios el monto total de capital demandado por el proyecto. Sin embargo en la mayora de las inversiones, es prctica recurrir a las fuentes de financiamiento para conseguir capitales, los cuales harn posible el funcionamiento de la nueva empresa. Por lo tanto el capital total que se utiliza para financiar la empresa se puede clasificar en dos categoras: capital propio y capital ajeno (prestado).

Los dueos del capital propio lo arriesgan con la esperanza de recibir utilidades; de igual manera los proveedores de capital (fuentes internas y/o externas) esperan recibir alguna recompensa por suministrar y permitir que se utilice, por consiguiente cada uno de los dos tipos de capitales tienen derecho a un rendimiento. En consecuencia, la prctica comn ha permitido diferenciar que lo que se paga por el uso del capital propio se conoce como UTILIDAD, y, lo que se paga por el capital ajeno se designa como INTERESES.

2.2. VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO

El dinero ubicado en el tiempo tiene distinto valor. En el mercado de capitales, "una unidad monetaria inmediata" puede cambiarse por "1 + i unidades dentro de un ao". El nmero i es positivo, no por necesidad lgica, sino por que las personas y empresas prefieren

CAPITULO IITasas de Inters y Relaciones Dinero - Tiempo

"una unidad monetaria inmediata" a "una unidad monetaria dentro de un ao", y es necesario ofrecerles alguna recompensa o remuneracin para que acepten el cambio; i es la tasa de inters anual que rige en el momento.

El preferir tener "una unidad monetaria ahora" es por que existe un "costo de oportunidad" involucrado en dejar pasar las utilidades que podran obtenerse usando esa "una unidad monetaria actual" invertida en la firma durante un ao.

Esquemticamente se puede representar de la siguiente manera.

0 1 2 t

donde:t = 0 se define como ahorat = 1 ser el perodo de un aoi = tasa de inters anual

2.3. TASA DE INTERES:

Cuando hablamos de costo de capital nos estamos refiriendo a la tasa de inters que cobran los acreedores de capital. LA TASA DE INTERES se expresa como la razn entre el valor pagado (intereses) por el uso de determinados fondos prestados y el total utilizado de los mismos. Matemticamente se expresa de la siguiente manera:

PRESTAMOINTERESESi =

i = tasa de inters expresado en %

Ejemplo N 01: Se hace un prstamo de S/. 150 para comprar un libro de Ingeniera Econmica, los cuales se devolvern despus de un ao, los intereses cobrados ascienden a S/. 30, cul es la tasa de inters?.

1 000 1 000(1+i)

2.000.15000.30

==i

i = 20%

En el mundo de las finanzas se habla de dos tasas de inters: una nominal y otra efectiva; sin embargo es importante considerar una tercera que se denomina tasa de inters real. A continuacin se va a definir cada una de ellas.

2.3.1. TASA DE INTERES NOMINAL (j)

Son las tasas que se dan como referencia para definir las caractersticas de una operacin financiera y se refiere a un perodo anual.

2.3.2.TASA DE INTERES EFECTIVA (i)

Son las tasas resultantes al final de un ao en una operacin financiera, como consecuencia del proceso de capitalizacin a lo largo de un ao.

2.3.3.TASA DE INTERES REAL (r)

Es la tasa de inters que mide la discrepancia entre la tasa efectiva y el deterioro del signo monetario (tasa inflacionaria nacional). Esta tasa sirve para medir la prdida del valor adquisitivo del dinero depositado un ao atrs.

2.3.4.FORMULAS MATEMATICAS:

a. Tasa nominal j = m [ (1 + i)1/m.n -1 ]

b. Tasa efectiva i = ( 1 + j/m )m.n - 1

i - c. Tasa real r = --------------- 1 + /100

donde: n = nmero de aos o perodosm = perodos de capitalizacin

= tasa inflacionaria

Ejemplo N 02: Se ha hecho un prstamo de S/. 200 000 para ser cancelado despus

de un ao, a una tasa de inters de 60%, que se capitaliza de acuerdo a los siguientes casos:

0 360

0 180 360

0 90 180 270 360das

Ejemplo N 03: Una persona deposita en ahorros S/. 200 000 en un banco comercial el 01 de enero de 1993, a una tasa de inters del 60% capitalizable trimestralmente, cul es el poder adquisitivo de 200 000 ms los intereses ganados, al retirarlo el 30 de diciembre de 1993?.

SOLUCION:j = 60%Capital ahorrado = S/. 200 000

Perodo

m j i

Anual 1 60% 60%

Semest.

2 60% 69%

Trimes.

4 60% 75%

CASO

1CA

SO 2

CASO

3

S/. 338 000

S/. 320 000

S/. 350 000

a. Clculo de la tasa efectiva

i = ( 1 + 0.6/4)4*1 - 1

i = 74.9%

b. Clculo de la suma futurasuma futura = 200 000( 1 + 0.749 ) = S/. 349 800

c. Valor adquisitivo de la suma futura

c.1. Clculo de la tasa real

se est tomando una tasa inflacionaria de 46% 74.9 - 46 r = --------------- 1 + 46/100 r = 19.79%

valor adquisitivo = 200 000(1 + 0.1979) = S/. 239 580

COMENTARIOS:

El poder adquisitivo de nuestra moneda estar sujeta a las siguientes consideraciones:

i. Si la tasa de inters efectiva es mayor que la tasa inflacionaria, se tendr un poder adquisitivo positivo de nuestra moneda. ii. Si la tasa de inters efectiva es igual a la tasa inflacionaria, el poder adquisitivo de nuestra moneda se mantiene sin ninguna variacin.iii. Si la tasa de inters efectiva es menor que la tasa inflacionaria, el poder adquisitivo de nuestra moneda es negativa, es decir a perdido su valor.

2.4. INTERESES

Se define el inters como la cantidad de dinero que se paga por la

utilizacin de un capital ajeno, segn su costo de oportunidad. Es decir, reflejan el costo de capital. El monto de dinero que se paga por el capital prestado, incluye el pago por el uso, prdida adquisitiva, riesgo y gastos administrativos.

El inters siempre se refiere a un perodo de tiempo determinado, y se mide en unidades monetarias por ao.

2.4.1. INTERES SIMPLE

Su clculo se basa en el capital o prstamo inicial. El inters pagado por el prstamo es proporcional al tiempo que dura ste. Matemticamente se

expresa de la forma siguiente:Is = P*i*n

donde: Is = inters simpleP = valor presentei = tasa de inters simplen = nmero de unidades de tiempo o

perodos

Ejemplo N 04: Se hace un prstamo de S/. 400 000 a una tasa de inters simple de 60% anual, el cual ser devuelto despus de 04 aos, cul es la cantidad de inters que ha generado durante este tiempo?.

SOLUCION: Is = 400 000*0.6*4 Is =S/. 960 000

4.2.2 INTERES COMPUESTO

Su clculo se basa en el capital inicial ms intereses acumulados, es decir el importe de los intereses correspondientes a los sucesivos vencimientos anuales no se libera, sino que queda incorporado al fondo del capital, corriendo la misma suerte que ste. La relacin matemtica que nos permite calcular el inters compuesto es la siguiente:

S = P ( 1 + i )nIc = S - PIc = P [ ( 1 + i )n - 1]donde: S = suma futura

Ic = Inters compuesto

Tomando el ejemplo nmero 04 calculamos el inters compuesto, bajo las mismas consideraciones, solamente especificando que el inters es compuesto.Ic = 400 000 [ ( 1 + 0.6)4 - 1 ]Ic = S/. 2 221 440

COMENTARIOSSe puede notar claramente la gran diferencia entre hacer un prstamo a

inters simple con obtenerlo ste a un inters compuesto, los intereses son mayores en el segundo caso con respecto al primero, cuya diferencia es de:Ic - Is = 2 221 440 960 000 = S/. 1 261 440 Esto se debe bsicamente a la capitalizacin. En las transacciones financieras mayormente se usa el inters compuesto.

Ejemplo N 05: Se tiene un capital del que 2/4 partes se depositan al 5% y el resto al 10% anual. Despus de dos aos se retiran $500 y se deposita el resto del dinero al 8% anual. Si al quinto ao el monto asciende a $680, determine el capital inicial.

SOLUCION:

2/4 P ------- 5%P

2/4 P ------- 10%2 aos despus retiran -------- $ 500Resto se colocan -------- 8%5to. ao suma final -------- $ 680Suma futura despus de dos aosS = P ( 1 + i*n)S = 2/4 P (1+0.05*2) + 2/4 P (1+0.10*2)

S = 4.6/4 PSuma futura en el quinto ao, considerando el retiro de $ 500, despus de dos aos.

S1 = ( S - 500)*( 1 + 0.08*3)reemplazando el valor de S y S1 tenemos:

680 = ( 4.6/4 P - 500)*( 1.24)

P = $ 912.3

Ejemplo N 06: Dos capitales se depositan en dos cuentas de ahorros a diferentes tasas. La suma de los dos capitales es de $ 800. La tasa correspondiente al primero es 5% menos que la tasa correspondiente al segundo. El primer capital produce en 3 meses intereses por $ 60 y el segundo, en el mismo plazo, reporta por intereses $ 90. Determine los capitales y las tasas:

SOLUCION:

P1 + P2 = 800 60 = P1 ( i2 - 0.05)*3

i1 = i2 - 0.05 90 = P2*i2*3 60

t1 = t2 = t = 3 P1 = -------------- (i2-0.05)*3

I1 = P1*i1*t 90 P2 = --------- 3i2

60 90 ------------- + --------- = 800 3(i2-0.05) 3i2

90i2 - 800i22 - 1.5 = 0

cambiando de signo y aplicando la frmula para la solucin de ecuaciones cuadrticas tenemos:

)800(2

)5.1(*)800(49090 22

+=i

+ 90 57.4i2 = ----------------

1,600

i2 = 0.0921

i2' = 0.0203 se descarta

i1 = 0.0921 - 0.05 = 0.0421

i1' = 0.0203 - 0.05 = - 0.0297 se descarta 60P1 = ----------------------

(0.0921 - 0.05)*3

P1 = 461.5P2 = 800 - 461.5 = 338.5

Ejemplo N 07: El Sr. Murillo deposita S/. 20 000 en tres cuentas al 25% capitalizable mensualmente para que sus tres hijos reciban sumas iguales al cumplir 18 aos. Si sus hijos tienen 8, 10 y 13 aos.a. ) Qu cantidad deposit en cada cuenta?b. ) Cunto recibir cada hijo al cumplir 18 aos?

SOLUCION:

P = P1 + P2 + P3 n1 = 18 - 8 = 10 n2 = 18 - 10 = 8

20 000 = P1 + P2 + P3 n3 = 18 - 13 = 5

j = 0.25

m = 12

S1 = S2 = S3

S1 = P1 [1 + 0.25/12]12*10 = P1 [1 + 0.25/12]120

S2 = P2 [1 + 0.25/12]12*8 = P2 [1 + 0.25/12]96

S3 = P3 [1 + 0.25/12]12*5 = P3 [1 + 0.25/12]60

P1 [1 + 0.25/12]120 = P2 [1 + 0.25/12]96

P1 [1 + 0.25/12]120 P2 = -------------------------

[1 + 0.25/12]96

P2 = P1 [1 + 0.25/12]24

P1 [1 + 0.25/12]120 = P3 [1 + 0.25/12]60

P3 = P1 [1 + 0.25/12]60

200 000 = P1 + P1 [1 + 0.25/12]24 + P1 [1 +0.25/12]60

200 000 = P1 [ 1 + 1.64 + 3.45 ]

a. En cada cuenta ha depositado

P1 = 3 284.1P2 = 5 385.9P3 = 11 330

b. S1 = 3 284.1 [1 + 0.25/12]120 S1 = 38 994 S2 = 38 994 S3 = 38 994

2.5. NOTACION Y DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO

2.5.1.NOTACION En este apunte se va usar la siguiente simbologa, para los diferentes clculos que se realicen, utilizando el inters compuesto. i = tasa de intersn = nmero de perodos de capitalizacin

P = Suma presente de dinero S = suma futura de dineroR = flujo de efectivo al final de cada perodo en una serie

uniforme, tambin se lo conoce como anualidades.2.5.2.DIAGRAMAS Se utilizan para visualizar lo que pasa cuando

hay flujos de dinero en varios puntos del tiempo. Representacin:

a. La lnea horizontal es una escala de tiempo que est dividida en perodos iguales y empieza en cero, que corresponde al tiempo presente (ahora).

b. Sobre la escala de tiempo se colocan flechas que representan flujos de efectivos. Las flechas hacia abajo representan desembolsos y las flechas hacia arriba representan ingresos.

c. La tasa de inters se coloca en la parte superior de la lnea horizontal.

d. El diagrama de flujo de efectivo depende del punto de vista del usuario.

Ejemplo N 08: Se hace un prstamo de S/.1 000 000 ahora, cuya deuda deber ser cancelada despus de 5 aos, a una tasa de inters del 60% capitalizable anualmente.

a. Determinar los smbolos respectivos que se deben usar.b. Como ser el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vista del prestamista y prestatario.

SOLUCION:

0 1 2 3 4 5 6 7 nAos

i %S1

S2

P

a. Los smbolos que se usarn son: P, i, S, nb. Diagramas de flujo:

Prestatario Prestamista

2.6. FACTORES DE INTERES COMPUESTO

Es caracterstica de todos los proyectos de inversin que los ingresos y desembolsos

de caja se reproduzcan en distintos perodos. Mil nuevos soles recibidos hoy, mil a recibir al final del primer ao y otros mil a recibir al final del segundo ao, no son valores homogneos y por lo tanto comparables ( an asumiendo que no hay deterioro del signo monetario). Como ya definimos, mientras ms pronto se recibe el dinero, ms rpidamente podr ser invertido para ganar un inters.

2.6.1.FACTOR DE CAPITALIZACION DE UN SOLO PAGO (fsc) Se define como la capitalizacin de los intereses. El inters devengado se suma al capital de cada perodo anual de intereses; a continuacin se va a representar en un diagrama.

Valor del capital al inicio de cada perodo

0 1 2 3 4 5

AosP = 1 000 000

0 1 2 3 4 5 Aos

P = 1 000 000 i = 60%

S

S

i = 60%

PP (1+i) P (1+i)

2 P (1+i)n-1

P*i P (1+i)*i P (1+i)2*i

P (1+i)n-1*iIntereses al finalizar el perodo

0

La suma futura capitalizable durante n perodos ser igual al valor al comienzo del perodo n ms los intereses al final del perodo n. En forma numrica se expresara as:S = P ( 1 + i )n-1 + P ( 1 + i )n-1*iS = P ( 1 + i )n

Ec. 2.1El factor ( 1 + i )n, se llama factor singular de capitalizacin (fsc) factor de pago singular cantidad compuesta (spcaf). Se utiliza para encontrar la suma futura S capitalizada a inters compuesto con un capital presente P.

La Ec. 1 algunos autores como Taylor lo expresan:S = Pi-n (fsc) S = Pi-n (spcaf)

Ejemplo N 09: Si se presta S/. 10 000 000 al 60% de inters capitalizable anualmente, y despus de transcurrido 4 aos se desea liquidar la deuda, qu

cantidad se tendr que entregar?SOLUCION:

P = S/. 10 000 000 S = P(1 + i)nn = 4 aos i = 60% S = 10 000 000(1+0.6)4S = ? S = S/. 65 536 000 suma entregada

2.6.2. FACTOR DE ACTUALIZACION DE UN SOLO PAGO

(fsa) Se define como el inverso del factor singular de capitalizacin. Se utiliza para hallar el valor presente de una suma futura, la razn es la siguiente:

S P = ---------- Ec. 2.2 (1 + i)n 1 El factor --------- , se llama factor singular de capitalizacin (fsa) (1 + i)n

factor de pago singular valor actual (sppwf). La Ec. 2 se expresa tambin de la siguiente forma:

P = Si-n (fsa) P = Si-n (sppwf)

Ejemplo N 10: Una entidad AB tiene un contrato que le da derecho a recibir S/ 30 000 000 de aqu a 12 aos. Si el precio del capital es de 60% capitalizable anualmente, Cul es el valor actual de este contrato?.SOLUCION:

30 000 000 S = S/ 30 000 000 P = ---------------n = 12 aos (1 + 0.6)12i = 60% P = ? P = S/. 106 581.4

2.7. ANUALIDADESEn muchos estudios econmicos de ingeniera se encuentran series de ingresos desembolsos iguales que se hacen al final de perodos anuales sucesivos de intereses. Entonces anualidades se definen como la serie de pagos iguales afectados a intervalos regulares de tiempo.

Existen dos tipos de anualidades: anualidades ciertas u ordinarias y anualidades contingentes.

2.7.1 ANUALIDADES CIERTAS U ORDINARIAS Son aquellas en la cual los pagos empiezan y terminan en fecha fija y determinada. Dentro de estas anualidades existen tres tipos:

a. Anualidades Anticipadas Es aquella en la cual los pagos se hacen al comienzo de los intervalos de pago:

R R R R R R

b. Anualidades Vencidas Es aquella en la cual los pagos se hacen al final de los intervalos de pago.

0 1 2 3 4 5

P

0 1 2 3 4 5

P

R R R R R

c. Anualidades Diferidas Se llama as cuando una anualidad anticipada o vencida no se inicia sino hasta una fecha posterior.

2.7.2 ANUALIDAD CONTINGENTE Es aquella en la cual el plazo depende de algn suceso cuya realizacin no puede fijarse.

2.7.3 FACTOR DE CAPITALIZACION DE UNA SERIE DE PAGOS IGUALES(fcs) Es el factor que nos permite calcular la suma futura de una serie de pagos uniformes:

La suma futura es igual a la suma de los montos separados futuros calculados para cada anualidad.

S = S1 + S2 + S3 +...+ Sn-1 + Sn

S = R(1+i)o + R(1+i)1 + R(1+i)2 +...+ R(1+i)n-2 + R(1+i)n-1 (1)

Multiplicando ambos trminos por (1+i)

S(1+i) = R(1+i)1 + R(1+i)2 +R(1+i)3+...+R(1+i)n-1+R(1+i)n (2) restando (1) de (2)

S(1+i) - S = -R + R(1+i)n

R R R R R R RR(1+i)O = S1R(1+i)1 = S2R(1+i)2= S3R(1+i)n-2=Sn-1

R(1+i)n-1 = Sn

(1+i)n - 1S = R ---------------- Ec.2. 3

itambin se puede deducir aplicando la frmula de la suma de una progresin geomtrica de n trminos:

arn - aSuma P.G. = --------- primer trmino es a = 1

r - 1 razn = (1+i)

(1+i)n - 1

El factor--------------, se llama factor de capitalizacin de una serie uni-

i forme (fcs) factor de series uniformes cantidad compuesta o (uscaf). Utilizando la simbologa de Taylor la Ec.3 se expresa:

S = Ri-n (fcs) S = Ri-n (uscaf)

Ejemplo N 11: A cuanto ascender el monto de una anualidad de S/ 30 000 durante 7 aos, si se invierte a la tasa de 60% de inters anual.

SOLUCION:R = S/. 30 000 S = R0.6 - 7 (fcs)i = 60% (1+0.6)7-1 n = 7 aos S = 30 000 ---------------S = ? 0.6 S = S/. 1 292 175

2.7.4FACTOR DE DEPOSITO DE FONDO DE AMORTIZACION (fdfa) Se define como el inverso del factor de capitalizacin de una serie uniforme. Se trata de un fondo que tiene la propiedad de producir la cantidad deseada al final de 'n' aos, por medio de una serie uniforme de pagos:

i R = S ------------- Ec.2.4 (1+i)n - 1

i El factor-------------, se llama factor de depsito de fondo

de amortizacin. (1+i)n - 1

La Ec.4 se puede escribir tambin de la siguiente manera:

R = Si-n(fdfa) R = Si-n(sfdf)

Ejemplo N 12: Una empresa pblica decide establecer una nueva planta. Influye en su decisin la oferta que le hizo una financiadora oficial de concederle un prstamo de S/. 2 000 000 al 60% compuesto semestralmente.

La deuda con sus intereses deber pagarse a los 10 aos. La empresa decide construir un fondo de amortizacin en un banco al 65% de inters compuesto anualmente. Qu cantidad deber depositarse al final de cada ao para que al trmino del dcimo ao se haya liquidado el emprstito?.

SOLUCION:

P = S/. 2 000 000 a) S = P(1+i)n j = 60% S = 2 000 000(1+0.6/2)2*10n = 10 aos S = 380 099 275m = 2S = ? b) R = Si-n(sfdf)

R = 380 099 275(0.004375) R = 1 662 934

2.7.5 FACTOR DEL VALOR ACTUAL DE UNA SERIE DE PAGOS IGUALES(fas) Se define como el factor que nos permite transformar una serie de pagos iguales (R) a un valor presente (P).

P = P1 + P2 + P3+...+ Pn

niR

iR

iR

iRP

)1(...

)1()1()1( 321 +++

++

++

+=

[ ]niiiiRP )1(1...

)1(1

)1(1

)1(1

321 +++

++

++

+=

El corchete es una progresin geomtrica [ 1/1+i ], aplicando la frmula

para la suma de una progresin geomtrica: 1 a - arm a = ------- Suma P.G. = ---------- (1+i) 1 - r 1

r = ------ reemplazando los valores de a, r, m; (1+i) y haciendo las simplificaciones del m = n

caso se obtiene la siguiente ecuacin:

+

+= n

n

iiiRP

)1(1)1( Ec.

0 1 2 3 4 5 n

R R R R R R11 )1( iRP+

=

nn iRP

)1( +=

22 )1( iRP+

=

33 )1( iRP+

=

2.5La deduccin de la ecuacin anterior se puede hacer tambin a partir de la Ec. 3.

+=

iiRS

n 1)1( (1)

Sabemos que

S = P (1+i)n (2)

reemplazando (2) en (1)

P(1+i)n

+=

iiR

n 1)1(

+

+= n

n

iiiRP

)1(1)1(

(1+i)n - 1

El factor [------------], se llama factor de actualizacin de una serie (fas)

i*(1+i)n o factor de series uniformes-valor actual(uspwf).

Ejemplo N 13: Se compr una mquina, cuyo contrato de compra-venta fue la siguiente: dar por adelantado S/. 8'000,000 y el resto seran cancelados por letras trimestrales, cuyo valor de cada una asciende a S/ 500,000 durante 6 aos a la tasa de inters del 55%, capitalizable trimestralmente. Hallar el precio de la mquina al contado?.

SOLUCION:

j = 55% hay que calcular la tasa efectiva

Pcontado = ? Pcon. = Pinic. + Ri-n (uspwf)

Pinicial = S/. 8 000 000 Pcon. = 8 000 000+500 000(6.9425)

R = S/. 500 000 trimestral Pcon. = 11 471 230

n = 6 aos

2.7.6 FACTOR DE RECUPERACION DEL CAPITAL (frc) Se define como el inverso del factor de actualizacin de una serie, y sirve para encontrar los pagos iguales (R) al final del perodo que suministrar una suma de valor (P).

+

+=

1)1(*)1(

n

n

iiiPR Ec.

2.6

El factor

+

+

1)1(*)1(

n

n

iii , se llama factor de recuperacin del

capital (frc) o (crf).

Ejemplo N 14: Una empresa adquiri un equipo por S/. 3 000,000. Pag S/. 600 000 al contado y se compromete a pagar el resto con intereses al 60% capitalizable anualmente en 6 pagos anuales iguales. Cul es el valor de cada cuota anual?.

SOLUCION:

PT = S/. 3 000 000 R = (PT - Pa)i-n (crf)Pa = S/. 600 000

n = 6 aos R = (3 000 000 600 000)*(0.6380)

i = 60%

R = ? R = 1 531 200

2.8. RESUMEN DE FORMULAS Hallar Dado Pagos discretos Capitalizacin discreta Designacin de factores

S P S = P (1 + i)n fsc spcaf

P S P = S/(1 + i)n fsa sppwf

S R

+=

iiRS

n 1)1( fcs uscaf

R S

+=

1)1( niiSR fdfa uscaf

P R

+

+= n

n

iiiRP

)1(1)1(

fas uspwf

R P

+

+=

1)1(*)1(

n

n

iiiPR frc crf

2.9. USO DE TABLAS:

Todos los factores que se han tratado, han sido tabulados para diferentes valores de 'i' y de 'n', con el propsito de facilitar el clculo, sin embargo hoy en da no existe problemas en calcularlos, ya que se cuenta con calculadoras personales que directamente nos dan el resultado.

Existe una variedad de tablas sobre los diferentes factores que intervienen en el inters compuesto. En el libro de G.A. Taylor aparece de la siguiente manera:

FACTORES DE TASA DISCRETA DE RENDIMIENTO

n spcaf sppwf crf uspwf sfdf uscaf i = 6% 1 1.0600 0.94340 1.0600 0.94340 1.00000 1.0000 2 1.1236 0.89000 0.54544 1.83340 0.48540 2.0600 3 1.2625 0.83962 0.37411 2.67300 0.31411 3.1836

100 339.30 0.00295 0.06180 16.6180 0.00018 4.3746

2.10.PAGOS CAPITALIZABLES CONTINUAMENTE CON INTERESES

CONTINUOS

Lo tratado anteriormente est referido a funciones discretas, es decir se considera que los pagos estn concentrados en puntos discretos dentro de la serie cronolgica. Esta modalidad de capitalizacin del capital es la que se usa mayormente en el mundo financiero. Sin embargo podra presentarse algunos casos donde las transacciones monetarias se hagan en forma relativamente uniforme a lo largo del ao, transformndose de una funcin discreta a una funcin continua.

Mayormente el concepto de pagos o intereses continuos son usados en la teora de las decisiones al aplicar modelos matemticos.

2.10.1 INTERES ANUAL COMPUESTO CONTINUAMENTE (ic)

La deduccin se va a ser partiendo de la relacin del inters discreto:

i = ( 1 + j/m)m*n 1 (1)

para el inters continuo 'm' ser igual al nmero infinito de perodos de capitalizacin por ao. Haciendo algunos cambios de variables en la relacin (1) como: m/j = k , m = jk (2) n = 1 (un ao). Reemplazando estos valores en la Ec. 1 tenemos:

ic = ( 1 + 1/k )jk - 1

tomando lmite [ (1 + 1/k)k]j = ej k--------

ic = ej 1 Ec. 2.7

ic = tasa de inters continuo efectivo

2.10.2 PAGOS CAPITALIZABLES CONTINUAMENTE CON INTERESES CONTINUOS En estos casos se transforman en una funcin continua. Sabemos que S = P (1+i)n, pero

(1+i)n en capitalizacin discreta, en capitalizacin continua corresponde ej, de tal manera la funcin anterior con las consideraciones respectivas se puede transformar en una funcin continua:

S = Pejn (1)

Esta relacin expresa que la cantidad futura se repite en 't' aos a partir del momento 'n' .P est definida por el rea del rectngulo cuya altura es R y largo t. R es igual al pago fluyendo continuamente cada perodo y t es el tiempo.

0 1 2 3 t n-2 n-1

P = R t (2)

Reemplazando (2) en (1)

S =R t * ejt cuando t se aproxima a cero se tendr:

=S n tj dteRdS0 0 . ..

Integrando la ecuacin anterior se tiene:

A partir de sta relacin se puede derivar las otras relaciones aplicables a pagos continuos con interese continuos.

Ejemplo N 15: Cul es el valor actual de los siguientes flujos continuos de fondos.

a) S/. 5 000 al ao, durante 7 aos, al 60% compuesto continuamente.

j1-eR = S

jn

Ec. 2.8

PR

b) S/. 8 000 mensuales, durante 10 aos, al 65% compuesto continuamente.

c) S/. 15 000 trimestrales, durante 5 aos, al 60% compuesto continuamente.

SOLUCION:

a) R = S/. 5 000 ejn - 1

j = 60% P = R [----------] j*ejn

n = 7 aos e0.6*7 - 1

m = 1 P = 5 000 [------------] 0.6*e0.6*7

P = ?P = S/. 8 208.4

b) R = S/. 8 000 ejn - 1j = 65% P = R [-----------]n = 7 aos j/m*ejn

m = 12 P = 8 000 [18.4338]P = ? P = S/. 147 470.4

10.3 RESUMEN DE FORMULAS DE PAGOS CONTINUOS:

Hallar Dado Pagos continuos ycapitalizacin

continua

designacin de los

factores de flujo

R S ejn - 1 S = R [------------] J

Factor de capitalizacincompuesta.

j Factor de

S R R = S [------------] ejn 1

amortizacin

R P ejn - 1 R = P [------------] j*ejn

Factor de renta temporalcontinua

P R j*ejn R = P [------------] ejn - 1

Factor de valor actual

2.11.AMORTIZACION

Es la extincin de una deuda, por su cancelacin o pago. Existen dos mtodos para proveer progresivamente el pago de una deuda a largo plazo:

a. Mtodo del fondo de amortizacin.b. Mtodo de amortizacin.

2.11.1 METODO DEL FONDO DE AMORTIZACION Un fondo de amortizacin es la cantidad que se va acumulando mediante pagos peridicos, que devengan inters, y que se destinan para pagar una deuda a su vencimiento.

2.11.2 METODO DE AMORTIZACIN Se puede definir como el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda, mediante una serie de pagos peridicos al acreedor. Cada pago incluye el inters sobre la deuda pendiente y un pago parcial sobre el capital de aquella. Si los pagos

de amortizacin son de igual importe forman una anualidad cuyo valor actual es igual al valor actual de la deuda, esto es, del capital de la misma.

2.11.3 DIFERENCIA ENTRE EL METODO DEL FONDO DE AMORTIZACION Y METODO DE AMORTIZACIN Si bien es cierto ambos mtodos sirven para estructurar el pago de un prstamo a largo plazo o liquidar una obligacin; en el primer mtodo el importe de los pagos sirve nicamente

para el pago del capital prestado, en el segundo mtodo los pagos son suficientes para cancelar el capital y el inters que ganar este capital.

En el caso del mtodo del fondo de amortizacin se hacen pagos peridicos que se invierten y se acumulan hasta el vencimiento de la deuda, fecha en que se paga de una vez el capital de la misma, en cambio en el mtodo de amortizacin, los pagos no se acumulan en un fondo sino que se entregan peridicamente al acreedor reduciendo as, al mismo tiempo, el inters debido peridicamente sobre el capital pendiente.

Otra diferencia entre los mtodos reside en el hecho que el mtodo del fondo de amortizacin no hace ninguna provisin para el pago de los intereses sobre la deuda, pero en el mtodo de amortizacin, los intereses sobre el capital forman parte de cada pago peridico.

Ejemplo N 16: Formar un fondo de amortizacin para cancelar un prstamo de S/. 4 000 000 en 6 aos al 60% capitalizable anualmente.

SOLUCION:

S = S/. 4 000 000 R = Si-n (sfdf)

n = 6 aos R = 4 000 000 (0.03803)

i = 60% R = S/. 152 120

R = ?

EXPLICACION DEL CALCULO:

La columna (1) se calcula por la frmula

La columna (2) se obtiene multiplicando la columna 4 por el porcentaje. La columna (3) es el resultado de la columna (1) ms la columna (2).

La columna (4) es igual a los valores acumulativos de la columna tres (3).

FONDO DE AMORTIZACION

1 2 3 4

Fecha de pago del fondo

Cuota anual

Inters sobre el fondo al 60%

Total aadi- do al fondo

Total en el fondo

Fin del 1er aoFin del 2do aoFin del 3er aoFin del 4to aoFin del 5to aoFin del 6to ao

152 120 152 120 152 120 152 120 152 120 152 120

--- 91 272 237 307 470 964 844 814 1 442 974

152 120 243 392 384 427 623 084 996 934 1 595 094

152 120 395 512 784 9391 408 0232 404 9564 000 000

912 720

3 087 331 4 000 000

Ejemplo N 17: Construir un cuadro de amortizacin para cancelar una deuda de S/. 8 000 000, cuyas condiciones son: 7 aos con inters del 60%.

SOLUCION:

P = S/. 8 000 000 R = Pi-n(crf)i = 60% R = 8 000 000 (0.62321)n = 7 aos R = 4 985 714

EXPLICACION DEL CALCULO La columna (1) se obtiene restando del capital pendiente de

pago menos amortizacin, columna (3). La columna (2) se calcula multiplicando la columna (1) por los

intereses respectivos 60%.

La columna (3) de amortizacin es el resultado de la diferencia de la columna (4) menos la columna (2).

La columna (4) se calcula por la frmula.

La columna (5) es el acumulativo de la columna (3).

AMORTIZACION PROPIAMENTE DICHA

1 2 3 4 5 Aosfin

Capital pendient

eDe pago

Interesessobre el cap.pend

.

Amortiza- cin

delcapital

Anualidad

delcapital

Capital amortiza-

do

1234567

8 000 000 7 814 286 7 517 144 7 041 616 6 280 871 5 063 680 3 116 174

4 800 000 4 688 572 4 510 286 4 224 969 3 768 523 3 038 208 1 869 704

185 714 297 142 475 528 760 745 1 217 191 1 947 506 3 116 010

4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714

185 760 428 856 958 284 1 719 0292 936 2204 883 727 7 999 937

26 900 262

7 999 937

34 899 998

La tabla anterior se puede construir ms fcilmente haciendo uso de la hoja de clculo a travs de pequeos programas elaborados especficamente para este caso; la informacin que se necesita alimentar es: deuda a amortizar, tipo de inters anual, tiempo en

aos y perodo de amortizacin.

Periodo Capital

Capital Pagado Inters

Amortizaciones

18 000

000.00 185 733.034 800

000.004 985

733.03

27 814

266.97 297 172.854 688

560.184 985

733.03

37 517

094.13 475 476.554 510

256.484 985

733.03

47 041

617.57 760 762.494 224

970.544 985

733.03

56 280

855.091 217

219.983 768

513.054 985

733.03

65 063

635.111 947

551.963 038

181.064 985

733.03

73 116

083.143 116

083.141 869

649.894 985

733.03

Totales8 000

000.0026 900 131.20

34 900 131.20

EJERCICIOS

2-1 Una compaa se registr con $ 50 000; al final de 10 aos el capital haba aumentado a $ 90 000. Cul fue la tasa media de crecimiento?.

SOLUCION:

P = $ 50 000 S = P (1+i)n

S = $ 90 000 90 000 = 50 000(1+i)10

n = 10 aos 9/5 = (1+i)10

i = ? ln1.8 = 10 ln(1+i)

(1+i) = e0.05878

i = 6.05%2-2 Se hace un prstamo personal con tasa de inters de 3/4% por mes

sobre el saldo insoluto. Cul es la tasa efectiva de inters?.

SOLUCION:

j = 3/4% i = [1+0.075/12]12*1 - 1

m = 12 i = [ 1.00625]12 - 1

i = 0.0776 7.76%

2-3 Cuntos aos se requerir para que el saldo dejado en una cuenta de ahorros aumente de $ 1 000 a $1 500 si el inters se recibe a una tasa nominal del 6% compuesto semestralmente durante el perodo?.

SOLUCION:

P = $ 1 000 S = P (1 +j/m)m*n - 1

S = $ 1 500 1 500 = 1 000(1+0.06/2)2*n - 1

j = 6% ln1.5 = 2n ln1.03

n = ? 0.4054 = 2n(0.02956)

n = 6.68 aos2-4 Una acera estima que uno de sus hornos requerir gastos de

mantenimiento de $ 2 000 al final de 2 aos, de $ 4 000 al final de 4 aos y de $ 8 000 al trmino de 8 aos, ) Qu cantidad semestral uniforme tiene que invertir durante los siguientes 8 aos, al final de cada perodo, para poder cubrir estos costos de mantenimiento, si todos los fondos devengan intereses a una tasa del 6% capitalizable semestralmente?.

SOLUCION:

j = 6% m = 2

8*24*22*2

26.01

8000

26.01

4000

26.01

2000

+

+

+

+

+

=P

P = 2 000(0.8885) + 4 000(0.7894) + 8 000(0.6232)

P = $ 9 921

j/m(1+j/m)m*nR = P [--------------------]

(1+j/m)m*n+ - 1

0.06/2(1+0.06/2)2*8R = 9 921 [-------------------------]

(1+0.06/2)2*8 - 1

R = $ 790 esta es la cantidad uniforme que tiene que invertir semestralmente

2-5 Un deudor puede liquidar una deuda pagando: a) S/. 9 000 en la fecha; o b) pagando S/. 11 000 dentro de 5 aos. Qu opcin debe aceptar suponiendo un rendimiento del 60% capitalizable semestralmente?.

SOLUCION:P = S/. 9 000 P = 11 000/(1+0.6/2)2*5S = S/. 11 000

n = 5 aos P = S/. 789

j = 60% Decisin: La opcin que se debe aceptar es la b), cuyo valor es de S/. 798

m = 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

S = 4000S = 2000

S = 8000

2-6 Una empresa acuerda cancelar una deuda mediante 8 pagos trimestrales de S/. 2 000 cada uno, si omite los 4 primeros pagos. Qu pago debe hacer al vencimiento del siguiente para saldar la deuda?. La tasa de inters es del 60%.

SOLUCION:P = S/. 2 000 ST = R1-n(uscaf) + Ri-n(uspwf)n = 8 trimestres ST = 2 000(6.7424)+2 000(2.2832)

j = 60% ST = 13 484.8 + 4 566.4

m = 4 ST = S/. 18 051.2

j/m = 15%

2-7 Qu tasa convertible anualmente es equivalente al 60% convertible trimestralmente.

SOLUCION:

j = 60% i = ( 1 + j/m )m*n - 1

n = 1 i = ( 1 + 0.6/2)2*1 - 1

m = 4 i = 74.9%

i = ?

2-8 En una fabricacin continua se ha pensado sustituir la regulacin manual de los flujos por un mecanismo automtico cuyo valor instalado es de s/. 2 000 000 . La vida de este mecanismo se calcula en 10 aos y su valor residual se estima nulo para mayor seguridad. La mano de obra que ahorra el aparato vale S/. 400 000/ao y a su vez, su costo de funcionamiento se considera prcticamente nulo. Qu inters se obtiene con la sustitucin?.

SOLUCION:

P = S/. 2 000 000

i(1+i)10R = S/. 400 000/ao 400 000 = 2 000 000*------------

(1+i)10-1n = 10 aos

i = ? i(1+i)10R = S/. 400 000/ao 0.2 = ------------n = 10 aos (1+i)10-1La solucin de esta ecuacin se hace por tanteo, tomando valores de i = 10%, i = 15% y i = 20% y se compara con 0.2, la respuesta es i = 15.1%.

2-9. En cul de los siguientes casos se da la ms alta tasa de descuento.a. Una suma actual de S/. 399.9 con redituacin de S/. 50

semestralmente, durante 5 aos.b. Una suma actual de S/. 399.9 con redituacin de S/. 100

anuales, durante 5 aos.c. Una suma actual de S/. 421.2 con redituacin de S/. 25

trimestrales, durante 5 aos.

SOLUCION:Los intereses sern mayores cuanto ms veces rote un capital. Para encontrar en

cual de los casos se tiene la mayor tasa hay que calcular la tasa efectiva.

P1 = S/. 399.9 j1 = 50/399.9 = 0.125P2 = S/. 421.2 j2 = 100/399.9 = 0.25I1 = S/. 50 semestrales j3 = 25/421.2 = 0.0593I2 = S/. 100 anuales i1 = (1 + 0.125/2)2*1 - 1I3 = S/. 25 trimestrales i1 = 0.266

i2 = (1 + 0.25)1 - 1 i2 = 0.25 i3 = (1 + 0.0593/4)4*1 - 1 i3 = 0.2599

La tasa ms alta de descuento es en el caso a) con 26.6%. En este caso la tasa de descuento lo estamos asimilando como si se tratara

de la tasa efectiva, sin embargo la tasa de descuento se define como el descuento de una unidad de capital en una unidad del tiempo, matemticamente se expresa de la siguiente manera:

d = 1 - 1/(1 + i)

Desde el punto de vista de proyectos la TASA DE DESCUENTO se define como la tasa promedia ponderada de inters que el inversionista tendra que pagar para disponer de recursos marginales que invertir.

2-10 Una empresa invierte ahora S/. 10 000 000 en un pequeo negocio, que le va a generar ingresos anuales a perpetuidad, se considera que es una serie uniforme a una tasa de inters del 60%, capitalizable anualmente. Cules son los ingresos anuales?.

SOLUCION:

P = S/. 10 000 000

+

+= n

n

iiiRP

)1(1)1(

i = 0%

R = ?

+

+= niiRP

)1(11

cuando 'n' tiende al infinito (), la ecuacin anterior se transforma en:

P = R/i R = P*i

R = 10 000 000*0.6

R = 6 000 000

2.11 na compaa grande hace dos ofertas al propietario de una compaa pequea, para comprarle su negocio. La oferta A es de $ 150 000 en efectivo ms 10 pagos anuales de $ 1 000 cada uno, inicindose estas despus de un ao. La oferta B es de $ 15 000 en efectivo, $ 50 000 al final de un ao y $ 100 000 a

51164525 ingenieria economica

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