5.17 rotationskörper - mnu · 2017. 3. 15. · es ist nicht einfach, im mathematikunterricht...
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Werkzeugkompetenzen MNU | 1
Arbeitsgruppe Werkzeugkompetenzen: Gaby Heintz, Hans-Jürgen Elschenbroich,Heinz Laakmann, Hubert Langlotz, Michael Rüsing,Florian Schacht, Reinhard Schmidt, Carsten Tietz
Kopiervorlage – Schülerarbeitsblatt Rotationskörper
5.17 Rotationskörper
Jahrgangsstufe 11 –12
Es ist nicht einfach, im Mathematikunterricht deutlich zu machen, dass Mathematik helfen kann, die „normalen“ Dinge, die nicht-mathe-matische Wirklichkeit um uns herum besser zu verstehen.
Einen motivierenden Ansatz hierfür bietet die Untersuchung vom Volumen von Gläsern unterschiedlicher Form. Dabei werden z. B. Biergläser als Rotationskörper modelliert und dann das Volumen dieser Rotations-körper mit den Mitteln der Integralrechnung bestimmt.
Wenn den Lernenden bekannt ist, wie man das Volumen von Rotationskörpern be-stimmt, dann erlauben digitale Werkzeuge eine Untersuchung von sehr vielfältigen Pro-blemstellungen aus dem Alltag.
In der Jahrgangsstufe 12 mehren sich bei den Lernenden die Besuche in Discos und Knei-pen, so dass die Frage, ob die Eichmarken an den Getränkegläsern korrekt sind, unmittel-bar praktisch relevant ist.
Für das nebenstehende Bierglas soll ermittelt werden, auf welcher Höhe die Eichmarke (die im Bild nicht zu erkennen ist) angebracht werden muss. Bei einem derartigen Weizenbierglas zeigt die Eichmarke ein Volumen von einem halben Liter an.
1. Überlege dir zunächst allein eine Strategie, wie man die Randkurve des Bierglases durch eine Funktionsvorschrift beschreiben könnte.
Überlegt dann in eurer Gruppe, wie viele Messungen ihr durchführen wollt und wo ihr messen wollt. Diskutiert auch die Vor und Nachteile von sehr vielen oder sehr wenigen Messungen.
2. Ermittelt eine Funktionsgleichung, durch die das Bierglas gut modelliert wird. Beschreibe hierzu dein Vorgehen mit dem digitalen Werkzeug. Verwende hierzu die Datei entweder „bierglas1“ oder auch nur das Bild „517_bierglas.jpg“ und ein digitales Werkzeug deiner Wahl.
3. In der Datei „bierglas2“ (Abbildung 5.17a) findet man zunächst das Bild eines liegenden Bierglases. Fünf bewegliche Punkte A, B, C, D und E sollen auf dem Rand des Glases liegen.
Vergleicht den Lösungsweg in der Datei „bierglas2“ mit eurem Vorgehen. Beantwortet folgende Fragen:
a) Wie genau ist die Eichmarke?
b) In welcher Höhe müsste die Eichmarke sein, damit wirklich genau 500 cm³ in das Bierglas passen?
c) Wie hoch ist das Glas gefüllt, nachdem man es zur Hälfte geleert hat?
d) Wie viel passt maximal in so ein Weizenbierglas?
e) Formuliert eine Beschreibung, wie sich das dreidimensionale Volumen eines Gefäßes, von dem nur das (zweidimensionale) Bild vorliegt, mit Hilfe des digitalen Werkzeugs möglichst einfach bestimmen lässt.
Aufgabe: Das Weizenbierglas
VORLIEGENDE DATEIEN
517_bierglas.jpg www.mnu.de/weko/5-17_bierglas1.jpg
517_bierglas1.ggb www.geogebra.org/m/sHEjvCY9
517_bierglas1.tns www.mnu.de/weko/5-17_bierglas1.tns
517_bierglas2.ggb www.geogebra.org/m/CHjvN89z
517_bierglas2.tns www.mnu.de/weko/5-17_bierglas2.tns
Abbildung 5.17a
Werkzeugkompetenzen MNU | 2
Arbeitsgruppe Werkzeugkompetenzen: Gaby Heintz, Hans-Jürgen Elschenbroich,Heinz Laakmann, Hubert Langlotz, Michael Rüsing,Florian Schacht, Reinhard Schmidt, Carsten Tietz
Kopiervorlage – Hinweise für Lehrer Rotationskörper
Hinweise zur Lösung
Wesentliche Erkenntnisse bei der Lösung der Aufgabe sind:
y Verschiedene Lösungsansätze können zu ähnlich guten Lösungen führen.
y Modellieren und Validieren stellen einen Kreislauf dar.
y Berechnung von Volumina von Rotationskörpern, nachdem die Randkurve durch Rekonstruktion unter Verwendung von 4 – 5 Messwerten am Objekt (Steckbriefaufgabe) modelliert wurde.
y Berechnung von einem Integral mit vorgegebenem Wert und variabler oberer Grenze.
Mögliche Alternativen zur Aufgabenstellung:
Fassaufgaben, Bierschaumzerfall.
Mehrwert:
Das digitale Werkzeug erweitert die Modellierungskompetenz durch
y einfache Möglichkeiten zur Variation der Randpunkte,
y Vergleich verschiedener Modellierungsansätze,
y das digitale Werkzeug erweitert die Modellierungskompetenz durch schnelle Visualisierungsmöglichkeiten.
WERKZEUGKOMPETENZEN
Bedienkompetenz:
Der Schülerinnen und Schüler muss die erforderlichen Rechenbefehle zum Lösen von linearen Gleichungssystemen anwenden können, ggf. kann auch das Regressionstool des Werkzeuges genutzt werden.
Wird zur Lösung die vorgegebene Datei genutzt, muss der Lernende in der Lage sein, je nach verwendetem Werkzeug Verknüpfungen zwischen den einzelnen Repräsentationsebenen (Algebra und Geometriemodus) herstellen zu können.
Dokumentationskompetenz:
Insbesondere bei der Nutzung des Regressionstools ist es wichtig, auf eine genaue Dokumentation zu achten. Unterscheiden sollte man dabei im Unterricht zwischen der Beschreibung der Bedienung (etwa: Wie gelange ich zur Regressionsfunktion?) und der Beschreibung der mathematischen Argumente (etwa: Was sagt der Regressionskoeffizient aus?). Im Schülerheft lässt sich eine solche Trennung der beiden Ebenen auch vornehmen.
Auswahlkompetenz:
Je nach Vorkenntnissen könnte die Lösungsfindung auch mit dem Regressionswerkzeug des CAS erfolgen.
Reflexionskompetenz:
Hier sollten die Schülerinnen und Schüler insbesondere die Potentiale mathematischer Modellbildungssituationen reflektieren, die Möglichkeiten und Grenzen der Unterstützung durch digitale Werkzeuge sowie – mit Blick auf die zugrundeliegenden mathematischen Konzepte – die entsprechenden Begriffe im Umfeld der Durchführung einer Regression.
VORKENNTNISSE
Die Schülerinnen und Schüler sollten über folgende Kenntnisse verfügen:
• Aufstellen von Funktionsgleichungen, wenn bestimmte Punkte (Merkmale) des Graphen bekannt sind (= „Steckbriefauf-gaben“).
• Berechnen des Volumens von Körpern, die bei der Rotation von Funktionsgraphen um die x-Achse entstehen.
LITERATUR
Weller, H. (1996): Das Weizenbierglas. In: mathematik lehren 77. Friedrich Verlag: Seelze, S. 67. Braunschweig.
Abbildung 5.17b: Woher weiß der Wirt, dass in dieses Glas 0,5 l Bier passen?
Foto: Reinhard Schmidt