53 ตรีโกณมิติ...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง ตรโกณมต

ตอน สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต

โดย

รองศาสตราจารย ยวรย พนธกลา

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต

- อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60 3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย

- เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมต

- คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60 5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2

- ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตางๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน - ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน


2

10. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 12.แบบฝกหด (พนฐาน 3) 13.แบบฝกหด (พนฐาน 4) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 16. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต 17. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ตรโกณมต (สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต) หมวด สอปฏสมพนธ ตอนท 2 (2/3) หวขอยอย 1. กราฟของฟงกชนตรโกณมต 2. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน 3. เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตผกผน 4. ผลบวกของไซนและโคไซน 5. แบบฝกหด จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนไดใชสอปฏสมพนธในการศกษา เรอง ตรโกณมต เกยวกบ

1. กราฟของฟงกชนตรโกณมต 2. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน 3. เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตผกผน 4. ผลบวกของไซนและโคไซน รวมทงกราฟของผลบวกของไซนและโคไซน

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถใชสอปฏสมพนธเพอ 1. พจารณากราฟของฟงกชนไซนและโคไซนทเกดจากจดปลายสวนโคงบนวงกลมหนงหนวยขณะทวงกลมกลงไปตามแนวเสนตรง

2. พจารณาลกษณะกราฟของฟงกชนตรโกณมต พรอมทงศกษาเรอง คาบและแอมพลจดของฟงกชน

3. พจารณาลกษณะกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน เปรยบเทยบกบกราฟของฟงกชนตรโกณมตในแตละค พรอมทงศกษาบรเวณของโดเมนและเรนจ

4. ศกษากราฟของฟงกชนทอยในรปผลบวกของไซนและโคไซน รวมทงน ามาหาคาสงสดและคาต าสดของผลบวกของไซนและโคไซน


4

เนอหาในสอการสอน สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad กราฟของฟงกชนตรโกณมต กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตผกผน ผลบวกของไซนและโคไซน แบบฝกหด


5

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


6

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สอการสอนชดนพฒนาดวยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คอซอฟตแวรส ารวจเชง

คณตศาสตร เรขาคณตพลวต รน 4.06 ภาษาไทย ผใชโปรแกรมจะเรยกใชโปรแกรมไดจากเมนค าสง เมอคลกเลอกโปรแกรม หรอ ดบเบลคลก บนเดสกทอป

จะปรากฏหนาตางดงรปท 1

ใหคลกทปม เพอเขาสการใชงานโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 2 จากรปท 2 จะกลาวถงเครองมอทใชส าหรบการท างานกบโปรแกรมน คอเมนแฟม และ

กลองเครองมอ เมนแฟม ใชท างานเกยวกบแฟมขอมล ในการใชงานสอชดนใชเพยงการเปด/ปด

แฟมขอมล

กลองเครองมอ แบงเครองมอออกเปนหกประเภท ใน

ทนจะใชเฉพาะเครองมอลกศร ส าหรบเลอกหรอเคลอนยาย (หรอลาก) ออบเจกต

ในโปรแกรม ผใชโปรแกรมนจะตองเลอกเครองมอลกศร นในการท างานตลอดทงโปรแกรม

รปท 1. หนาตางแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


7

รปท 3. หนาตางเลอกแฟมขอมลทตองการ

o การเปด/ปด แฟมขอมล

ถาตองการเรยกโปรแกรมแฟมขอมลขนมาใชงาน ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะ

ปรากฏหนาตางดงรปท 3 ใหเลอกแฟมขอมลทตองการ โดยแฟมขอมลทพฒนาจากโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad จะมนามสกลเปน gsp เลอกแฟมขอมลทตองการ แลวคลกท

แลวจะปรากฏหนาตางของโปรแกรมแฟมขอมลทไดเลอกไวดงรปท 5

ถาตองการปดแฟมขอมล ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะปรากฏหนาตางดงรปท 4 คอโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามวา

รายการเมน กลองเครองมอ

รปท 2. หนาตางหลกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


8

ตองการบนทกการเปลยนแปลงของแฟมขอมลหรอไม ในทนไมแนะน าใหบนทกแฟมขอมล เพราะอาจท าใหโปรแกรมทพฒนาไวมขอผดพลาดได ใหเลอกคลกทปม

เพอจะไดไมมการเปลยนแปลงโปรแกรมทพฒนาไว

เมอเรยกโปรแกรม “สอปฏสมพนธเรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต” จะปรากฏหนาตางสองหนาตางนสลบกน

รปท 5. หนาตางแรกของโปรแกรม

จากหนาตางนจะสงเกตไดวาทดานลางของหนาตางมรายการเมนค าสงสองระดบ ดงรป

รปท 6. ดานลางหนาตางแรกของโปรแกรม

ระดบแรก

ระดบทสอง

รปท 4. หนาตางเมอเรยกค าสงปดแฟมขอมล


9

ระดบแรกอยดานลางตดกบหนาตางทเลอกไว คอรายการเมน ดงน

ส าหรบเลอกก าหนดต าแหนงของหนาตางภายในหนาจอของเรา การท างานของปมตางๆ

เลอนหนาตางไปมมบนซายของจอภาพ ดภาพการเคลอนไหวของหนานน

เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนหนาตางจอภาพ เรยกหนาสดทายของหวขอขนมาแสดงบนหนาตาง

เลอนหนาตางสอไปกลางหนาตาง ระดบทสองอยดานลางตดกบหนาตางของโปรแกรม ดงน

ส าหรบแสดงรายชอหนาตางในโปรแกรม เพอใหผใชเลอก/เปลยนการท างานไปยงหนาตางนนๆ ไดเลย เปรยบเสมอนเปนเมนลดส าหรบเลอกดหวขอ/หนาตางทตองการ การท างานของปมตางๆ

เลอนไปหนาแรกของหวขอนน

เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนจอภาพ แถบตอมาเปนรายการหวขอยอยในหวขอ “กราฟของฟงกชนตรโกณมต” เชน

ผใชสามารถคลกทแถบนเพอเลอนไปทหนานนๆ ไดทนท

แถบเลอนหนาตาง ใชส าหรบเลอนเพอเลอกดรายการหวขอยอยดานลาง แถบเลอน ใชส าหรบเลอนดขอมลในหนาตางไปทางดานซาย/ขวา

หรอถาอยในแนวตงกใชส าหรบเลอนขอมลในหนาตางขน/ลง


10

การเรมตนใชงานสอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต ผใชตองคลกท

เพอเปลยนการท างานไปทหนาสารบญ หนาตางสารบญจะแสดงดงน

ผใชสามารถเลอกโปรแกรมสอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต จากหนาตางสารบญทแสดงรายการบทเรยน ซงแบงออกเปน 5 หวขอ คอ

1. กราฟของฟงกชนตรโกณมต 2. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน 3. เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตผกผน 4. ผลบวกของไซนและโคไซน 5. แบบฝกหด

ขอสงเกต ผใชจะตองคลกเลอกหวขอทลอมรอบดวยกรอบสเหลยม เพอเขาดรายละเอยดของหวขอนนได ในกรณทผใชตองการเปลยนหวขอใหม ผใชตองออกจากหวขอเดมกอน แลวเลอกแฟมขอมลทตองการใหม จากนนใหเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลทเลอกใหม


11

1. กราฟของฟงกชนตรโกณมต


12

1. กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ในหวขอนผเรยนจะไดพจารณากราฟของฟงกชนตรโกณมตในหลายลกษณะตามหวขอยอยตอไปน 1.1 กราฟของฟงกชนไซนและโคไซนจากวงกลมหนงหนวย 1.2 กราฟของฟงกชนตรโกณมต 1.3 กราฟของฟงกชนตรโกณมตทมการเลอนแกนทางขนาน และการยอ/ขยาย การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต แลวจงเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏบนหนาจอจ านวน 3 หนาตางตอเนองกน ซงจะใชพจารณากราฟของฟงกชนตรโกณมตในหวขอ 1.1-1.3 ตามล าดบดงน


13

1.1 กราฟของฟงกชนไซนและโคไซนจากวงกลมหนงหนวย ในหวขอนจะพจารณาการเขยนกราฟของฟงกชนไซนและโคไซนโดยอาศยวงกลมหนงหนวย

ให 'x y เปนจดปลายสวนโคงบนวงกลมหนงหนวย โดยสวนโคงยาว หนวย ดงรป

เรานยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน ดงน ฟงกชนไซน sine คอ เซตของคอนดบ , y ฟงกชนโคไซน cosine คอ เซตของคอนดบ , x

หรอเขยนสนๆวา y sin และ x cos ในทนเราจะพจารณากราฟของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนบนระนาบ XY กลาวคอ ส าหรบ x, y ใด ๆ ในระนาบ XY

ถา x, y sine จะได y sin x ถา x, y cosine จะได y cos x

การเขยนกราฟของ y sin x โดยอาศยวงกลมหนงหนวยท าไดโดยการแทนคาของ x ดวยคาของความยาวสวนโคงบนวงกลมหนงหนวยทอยในต าแหนงมาตรฐาน จะไดคาของ y หรอ คาของ sin x คอ คาพกดหลงของจดปลายสวนโคงบนวงกลมหนงหนวยโดยทสวนโคงยาว x หนวย ในท านองเดยวกน การเขยนกราฟของ y cos x โดยอาศยวงกลมหนงหนวยท าไดโดยการแทนคาของ x ดวยคาของความยาวสวนโคงบนวงกลมหนงหนวยทอยในต าแหนงมาตรฐาน จะไดคาของ y หรอ คาของ cosx คอ คาพกดหนาของจดปลายสวนโคงบนวงกลมหนงหนวย โดยทสวนโคงยาว x หนวย

0

1

x , y


14

ในหนาตางท 1 (1) ผเรยนจะไดเหนการเคลอนทของวงกลมหนงหนวยไปตามแนวแกน X ในระนาบ XY โดยเสนผานศนยกลางของวงกลมทาบไปบนแกน X เพอแสดงกราฟของฟงกชนไซนและโคไซน ซงปรากฏดงน

หนาตางท 1 (1)

โดยดานลางของหนาตางมปมใหผเรยนเลอกคลกใชงาน ไดแก 1. หรอ ปมนมไวเพอใหเลอกวาตองการใหซอน

หรอแสดงตวสรางกราฟของฟงกชนไซน โดยถาหนาตางปรากฏเปน หมายความวา ขณะนนกราฟแสดงตวสรางกราฟไซนอย ถาตองการใหซอนตวสรางกราฟไซนกใหคลกท

ซงหนาจอจะปรากฏเปน ขนมาแทน และถาตองการใหแสดงตวสรางกราฟไซนกใหคลกท อกครงหนง

2. หรอ ปมนมไวเพอใหเลอกวาตองการใหซอน หรอแสดงกราฟของฟงกชนไซน คลกในท านองเดยวกบขอท 1

3. หรอ ปมนมไวเพอใหเลอกวาตองการใหซอน หรอแสดงเสนทแบงแกน X ออกเปนชวงยอยโดยทความยาวของแตละชวงยอยมขนาดเทากน คลกในท านองเดยวกบขอท 1

4. หรอ ปมนมไวเพอใหเลอกวาตองการใหซอน หรอแสดงตวสรางกราฟของฟงกชนโคไซน คลกในท านองเดยวกบขอท 1

5. หรอ ปมนมไวเพอใหเลอกวาตองการใหซอน หรอแสดงกราฟของฟงกชนโคไซน คลกในท านองเดยวกบขอท 1

6. ปมนมไวเพอใหเลอกวาตองการใหวงกลมเคลอนทหรอไม โดยการคลกทปมนถาตองการใหวงกลมเคลอนท และคลกซ าถาตองการใหหยดเคลอนท

หมายเหต หนาตางท i (j) หมายถง หนาตางท i ของหวขอท j


15

พจารณากราฟของฟงกชนไซนจากหนาตางท 1 (1) ใหผเรยนคลกท และ

จะไดกราฟของฟงกชนไซน ดงน

กราฟของฟงกชนไซน

ผเรยนจะพบวา ขณะทวงกลมเคลอนท กราฟของฟงกชนไซน (สแดง) จะปรากฏขนโดยทจด x,y ใด ๆ บนกราฟของฟงกชน y sin x จะเกยวของกบวงกลมหนงหนวย ดงน x คอ ความยาวสวนโคงบนวงกลมหนงหนวยจากต าแหนงมาตรฐาน y คอ คาพกดหลงของจดปลายสวนโคงบนวงกลมหนงหนวยโดยทสวนโคงยาว x หนวย

พจารณากราฟของฟงกชนโคไซนจากหนาตางท 1 (1) ให ผ เ ร ยนคล กท และ

ถาไมตองการใหกราฟของฟงกชนไซนปรากฏดวยใหคลกท และ จะไดกราฟของฟงกชนโคไซน ดงน

กราฟของฟงกชนโคไซน


16

ผเรยนจะพบวา ขณะทวงกลมเคลอนท กราฟของฟงกชนโคไซน (สน าเงน) จะปรากฏขนโดยทจด x,y ใด ๆ บนกราฟของฟงกชน y cos x จะเกยวของกบวงกลมหนงหนวย ดงน x คอ ความยาวสวนโคงบนวงกลมหนงหนวยจากต าแหนงมาตรฐาน y คอ คาพกดหนาของจดปลายสวนโคงบนวงกลมหนงหนวยโดยทสวนโคงยาว x หนวย ทงนการพจารณาคาพกดหนาของจดปลายสวนโคงบนวงกลม ดยากกวาคาพกดหลงของจดปลายสวนโคงบนวงกลม กราฟของฟงกชนโคไซนในหนาตางท 1 (1) จงอาศยเอกลกษณบนวงกลมหนงหนวย คอ

cos x sin x. .2

ชวยในการสรางกราฟของฟงกชนโคไซน ดงนนกราฟของฟงกชน y cos x ทปรากฏจงเกดจากการ

พจารณากราฟของฟงกชน y sin x. .2

แทน


17

1.2 กราฟของฟงกชนตรโกณมต สงส าคญอกสงหนงในการศกษาเกยวกบฟงกชนตรโกณมต คอ ลกษณะของกราฟของฟงกชนตรโกณมต โดยเฉพาะกราฟของฟงกชนไซนและโคไซนเปนกราฟทมความส าคญมากทงในวชาคณตศาสตรและในวชาอน ๆ ดงนนในหวขอนผเรยนจะไดศกษาลกษณะของกราฟของฟงกชนตรโกณมตทงหกฟงกชนในหนาตางท 2 (1) ซงแสดงบนหนาจอดงน


ในหนาตางท 2 (1) จะแสดงกราฟของฟงกชน y sin x ทงนผเรยนสามารถเลอกฟงกชนท

ตองการไดโดยการคลกคางทฟงกชนทแสดงอยซงในทนคอ แลวลากไปยงฟงกชนทตองการ นอกจากนดานลางของหนาตางยงมปมใหผเรยนเลอกคลกใชงานเพอใหเกดประโยชนตอการพจารณาลกษณะของกราฟมากยงขน ซงไดแก 1. เมอคลกทปมนจะปรากฏกรอบสเหลยมเสนประตรงกลางหนาตาง ดงรป


18

ผเรยนสามารถยอหรอขยายกราฟไดโดยลากทสญลกษณดอกจนสเขยว ซงอยมมบนดานขวาของกรอบสเหลยม ถาตองการใหกรอบสเหลยมหายไปกคลกซ าท

2. ปมนมไวเพอใหเลอกวาตองการใหแสดงตารางบนพนระนาบทเขยนกราฟหรอไม โดยถาระนาบมตารางปรากฏอยและผเรยนไมตองการใหตารางปรากฏกใหคลกท แตถาบนระนาบไมมตารางปรากฏอยและผเรยนตองการใหตารางปรากฏกใหคลกท อกเชนกน

3. เมอคลกทปมนกราฟจะอยในต าแหนงมาตรฐาน

4. ปมนมไวเพอใหเลอกวาตองการใหแสดงบรเวณของโดเมนหรอไม โดยบรเวณของโดเมนจะปรากฏเปนแถบสเขยวอยดานลางของระนาบ ถาผเรยนตองการใหแสดงบรเวณของโดเมนกใหคลกท

แตถาไมตองการใหแถบสเขยวทแสดงบรเวณของโดเมนปรากฏอยกใหคลกท อกเชนกน

5. ปมนมไวเพอใหเลอกวาตองการใหแสดงบรเวณของเรนจหรอไมโดยการคลกเชนเดยวกบโดเมน ทงนบรเวณของเรนจจะปรากฏเปนแถบสเขยวอยขอบดานขวาของระนาบ

เมอผเรยนคลกท และ หนาตางท 2 (1) จะแสดงดงน

ถาไมตองการใหบรเวณโดเมนและเรนจปรากฏกใหคลกซ าท และ ตามล าดบ และถาตองการขยายกราฟใหใหญขนกใหคลกท


19

กอนจะพจารณากราฟของฟงกชนตรโกณมตทงหกฟงกชน มขอควรสงเกตเกยวกบฟงกชน -ตรโกณมต คอ ฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนเปน ฟงกชนทเปนคาบ กลาวคอ เราสามารถแบงแกน X ออกเปนชวงยอยโดยทความยาวของแตละชวงยอยเทากนและกราฟในแตละชวงยอยมลกษณะเหมอนกน ความยาวของชวงยอยทมสมบตดงกลาวมานเรยกวา คาบ ของฟงกชน ซงนยามไดวา

“จ านวนจรง p 0 เปนคาบของฟงกชน f : กตอเมอ f x p f x ส าหรบทก x ”

แตทงนคาบของฟงกชนตรโกณมตทจะกลาวถงตอไปนจะขอหมายถงคาบทเลกทสดของฟงกชน ส าหรบฟงกชนทเปนคาบซงมทงคาต าสดและคาสงสด เราจะเรยกครงหนงของผลตางระหวางคาสงสดและคาต าสดของฟงกชนนนวา แอมพลจด ของฟงกชน กลาวคอ ถา max และ min เปนคาสงสดและคาต าสดของฟงกชนทเปนคาบตามล าดบ จะไดวา

แอมพลจดของฟงกชน 1

max min2


20

ตอไปเราจะอาศยหนาตางท 2 (1) พจารณากราฟของฟงกชนตรโกณมตตามล าดบดงน 1. กราฟของฟงกชน y sin x

ลกษณะของกราฟของฟงกชน y sinx จะมสมบตส าคญ ดงน 1. โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง 2. เรนจของฟงกชน คอ ชวง 1, 1 นนคอ 1 sin x 1 3. คาบของฟงกชน 2 6.2832 4. แอมพลจดของฟงกชน 1

2. กราฟของฟงกชน y cos x

ลกษณะของกราฟของฟงกชน y cos x จะมสมบตส าคญ ดงน 1. โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง 2. เรนจของฟงกชน คอ ชวง 1, 1 นนคอ 1 cos x 1 3. คาบของฟงกชน 2 6.2832 4. แอมพลจดของฟงกชน 1


21

3. กราฟของฟงกชน y tan x

ลกษณะของกราฟของฟงกชน y tanx จะมสมบตส าคญ ดงน

1. โดเมนของฟงกชน คอ x x , x n , n2

. .

2. เรนจของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง 3. คาบของฟงกชน 3.1416 4. แอมพลจดของฟงกชน ไมม

4. กราฟของฟงกชน y cot x

ลกษณะของกราฟของฟงกชน y cotx จะมสมบตส าคญ ดงน 1. โดเมนของฟงกชน คอ x x , x n , . n . 2. เรนจของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง 3. คาบของฟงกชน 3.1416 4. แอมพลจดของฟงกชน ไมม


22

5. กราฟของฟงกชน y sec x

ลกษณะของกราฟของฟงกชน y secx จะมสมบตส าคญ ดงน

1. โดเมนของฟงกชน คอ x x , x n , n2

. .

2. เรนจของฟงกชน คอ , 1 1, 3. คาบของฟงกชน 2 6.2832 4. แอมพลจดของฟงกชน ไมม

6. กราฟของฟงกชน y cosec x

ลกษณะของกราฟของฟงกชน y cosec x จะมสมบตส าคญ ดงน 1. โดเมนของฟงกชน คอ x x , x n , . n . 2. เรนจของฟงกชน คอ ชวง , 1 1, 3. คาบของฟงกชน 2 6.2832 4. แอมพลจดของฟงกชน ไมม หมายเหต การคลกท เพอยอหรอขยายกราฟไมมผลตอโดเมน, เรนจ, คาบ และแอมพลจดของฟงกชน


23

1.3 กราฟของฟงกชนตรโกณมตทมการเลอนแกนทางขนานและการยอ/ขยาย ในหวขอ 1.2 ผเรยนไดศกษาลกษณะของกราฟของฟงกชนตรโกณมต ซงก าหนดโดย y sin x , y tan x , y sec x

y cos x , y cot x , y cosec x

ส าหรบในหวขอ 1.3 ผเรยนจะไดศกษาลกษณะของกราฟของฟงกชนตรโกณมต ซงก าหนดโดย y a sin bx c d y a cos bx c d y a tan bx c d y a cot bx c d y a sec bx c d

และ y a cosec bx c d เมอ a, b, c, d 10, 10 และ a 0, b 0 โดยอาศยสอปฏสมพนธในหนาตางท 3 (1) ซงแสดงบนหนาจอดงน


ในหนาตางท 3 (1) ผเรยนสามารถเลอกฟงกชน และเลอกปมใชงานดานลางไดในท านองเดยวกบหนาตาง ท 2 (1) นอกจากนผเรยนสามารถปรบคาของ a, b, c, และ d ไดตามตองการ


24

การก าหนดคาของ a, b, c, และ d ในสตรของฟงกชนตรโกณมตในหนาตางท 3 (1) นน จะมผลตอลกษณะของกราฟของฟงกชน รวมทงต าแหนงของกราฟบนระนาบ กลาวคอ คาของ a และ b ทเปลยนแปลงไปจะมผลท าใหลกษณะของกราฟเปลยนแปลงตามไปดวย ซงในทนจะแสดงการเปลยนแปลงคาของ a และ b ในทกฟงกชนเพอใหผเรยนไดเหนความสมพนธระหวางคาของ a กบลกษณะของกราฟของฟงกชน และความสมพนธระหวางคาของ b กบลกษณะของกราฟของฟงกชน ส าหรบคาของ c และ d ทอยในสตรของฟงกชนตรโกณมตในหวขอน จะไมมผลตอรปลกษณะของกราฟของฟงกชนตรโกณมต แตจะมผลตอต าแหนงของกราฟบนระนาบซงกคอ จะท าใหมการเลอน

แกนทางขนานโดยมจด . .c

, db

เปนจดก าเนดใหม ดงตวอยางกราฟของฟงกชนไซนในหนาตางท 3 (1)

เมอมการเปลยนคาของ c และ d ดงน

a 2.02, b 2.02, c 0 และ d 0 a 2.02, b 2.02, c 3 และ d 4 เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ c และคาของ d จะพบวา ถา c มคาเพมขน โดยท b 0 กราฟจะเคลอนไปทางซาย ถา c มคาเพมขน โดยท b 0 กราฟจะเคลอนไปทางขวา ถา c มคาลดลง โดยท b 0 กราฟจะเคลอนไปทางขวา ถา c มคาลดลง โดยท b 0 กราฟจะเคลอนไปทางซาย ถา d มคาเพมขน กราฟจะเคลอนขนขางบน ถา d มคาลดลง กราฟจะเคลอนลงขางลาง


25

เพอใหผเรยนไดขอสรปของความสมพนธระหวางคาของ a กบลกษณะของกราฟของฟงกชน และคาของ b กบ ลกษณะของกราฟของฟงกชน เราจะพจารณากราฟของฟงกชนตรโกณมตจากหนาตางท 3 (1) ตามล าดบ ดงน

1. กราฟของฟงกชน y a sin bx c d

พจารณาการเปลยนคา a ของ ในหนาตางท 3 (1)

a 2.02 a 4.80

a 2.02 a 4.80

เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ a จะพบวา มผลตอคาของแอมพลจดของฟงกชน และท าใหเรนจของฟงกชนเปลยนตามไปดวย ทงนเรนจของฟงกชนจะเปลยนแปลงไปตามคาของ a และ d โดยทขนาดของชวงของเรนจจะถกก าหนดโดยคาของ a สวนคาของ d จะเปนตวก าหนดต าแหนงของชวงของเรนจ


26

พจารณาการเปลยนคา b ของ ในหนาตางท 3 (1)

b 1.03 b 2.30

b 1.03 b 2.30

เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ b จะพบวา มผลตอคาบของฟงกชน นอกจากนเครองหมายของ a และ b ทเปนบวกและลบกมผลตอลกษณะของกราฟดวยเชนกน ลกษณะของกราฟของฟงกชน y a sin bx c d 1. โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง 2. เรนจของฟงกชน คอ ชวง a d, a d

3. คาบของฟงกชน

2

b

4. แอมพลจดของฟงกชน a


27

2. กราฟของฟงกชน y a cos bx c d พจารณาการเปลยนคา a ของ ในหนาตางท 3 (1)

a 2.02 a 4.80

a 2.02 a 4.80

เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ a จะพบวา มผลตอคาของแอมพลจดของฟงกชน และท าใหเรนจของฟงกชนเปลยนตามไปดวย ทงนเรนจของฟงกชนจะเปลยนแปลงไปตามคาของ a และ d เชนเดยวกบ


28


b 1.03 b 2.30

b 1.03 b 2.30 เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ b จะพบวา มผลตอคาบของฟงกชน นอกจากนคาของ a และ b ทเปนบวกและลบกมผลตอลกษณะของกราฟดวยเชนกน ลกษณะของกราฟของฟงกชน y a cos bx c d 1. โดเมนของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง 2. เรนจของฟงกชน คอ ชวง a d, a d


2

b

4. แอมพลจดของฟงกชน a


29

3. กราฟของฟงกชน y a tan bx c d พจารณาการเปลยนคา a ของ ในหนาตางท 3 (1)

a 0.25 a 8.19

a 2.15 a 6.27

เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ a จะพบวา มผลตอความเวาของเสนกราฟและการโคงเขาหาเสนก ากบในแนวดงของเสนกราฟ โดยท ถา a มคาเขาใกลศนย เสนโคงในแตละคาบจะมความเวาเพมมากขนและปลายทงสองขางจะวงเขาหาเสนก ากบในแนวดงเรวขน ถา a มคาเพมมากขน เสนโคงในแตละคาบจะมความเวาลดลงและปลายทางทงสองขางจะวงเขาหาเสนก ากบในแนวดงชาลง


30


b 0.79 b 2.30

b 0.79 b 3.44 เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ b จะพบวา มผลตอคาบของฟงกชน นอกจากนคาของ a และ b ทเปนบวกและลบกมผลตอลกษณะของกราฟดวยเชนกน ลกษณะของกราฟของฟงกชน y a tan bx c d

1. โดเมนของฟงกชน คอ n c

2x x , x , nb

.

.

2. เรนจของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง


b

4. แอมพลจดของฟงกชน ไมม


31

4. กราฟของฟงกชน y a cot bx c d พจารณาการเปลยนคา a และ b ของ ในหนาตางท 3 (1)

a 0.25 a 6.27

b 0.69 b 2.30

เมอผ เรยนไดทดลองเปลยนคาของ a และ b จะพบวา ผลทไดจะเปนไปในท านองเดยวกบฟงกชน ทไดกลาวมากอนหนาน

ลกษณะของกราฟของฟงกชน y a cot bx c d

1. โดเมนของฟงกชน คอ n cx x , x , n

b

2. เรนจของฟงกชน คอ เซตของจ านวนจรง


b



32

5. กราฟของฟงกชน y a sec bx c d พจารณาการเปลยนคา a และ b ของ ในหนาตางท 3 (1)

a 0.50 a 3.01

b 0.69 b 2.30 ผเรยนจะพบวา คาของ a จะมผลตอเรนจของฟงกชน ในขณะทคาของ b จะมผลตอคาบของฟงกชน ลกษณะของกราฟของฟงกชน y a sec bx c d

1. โดเมนของฟงกชน คอ n c

2x x , x , nb

.

.

2. เรนจของฟงกชน คอ , a d a d,


2

b



33

6. กราฟของฟงกชน y a cosec bx c d พจารณาการเปลยนคา a และ b ของ ในหนาตางท 3 (1)

a 0.50 a 3.01

b 0.69 b 2.30 ผเรยนจะพบวา คาของ a จะมผลตอเรนจของฟงกชน ในขณะทคาของ b จะมผลตอคาบของฟงกชน ลกษณะของกราฟของฟงกชน y a cosec bx c d

1. โดเมนของฟงกชน คอ n cx x , x , n

b

2. เรนจของฟงกชน คอ , a d a d,


2

b



34

2. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน


35

2. กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน ในหวขอนผเรยนจะไดพจารณากราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผนตามหวขอยอยตอไปน 2.1 กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน 2.2 กราฟของฟงกชนตรโกณมตทมการเลอนแกนทางขนาน และการยอ/ขยาย การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน แลวจงเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏบนหนาจอจ านวน 4 หนาตางตอเนองกน ซงจะใชพจารณากราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน อนไดแก ฟงกชน arcsine arccosine และ arctangent ในหวขอ 2.1 และ 2.2 ตามล าดบดงน


36

2.1 กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน จากทฟงกชนตรโกณมตไมเปนฟงกชน 1 1 ท าใหตวผกผนของฟงกชนตรโกณมตไมเปนฟงกชน แตถาก าหนดโดเมนของฟงกชนตรโกณมตใหเหมาะสม จะสามารถท าใหตวผกผนของฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชน และเรยกวา ฟงกชนตรโกณมตผกผน ในหวขอน จะพจารณากราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน 3 ฟงกชน ตอไปน 1. กราฟของฟงกชน arcsine

บทนยาม ฟงกชน arcsine คอ x, y x sin y, y 2 2

หรอกลาววา ฟงกชน arcsine คอ

ฟงกชนผกผนของฟงกชน sine เมอก าหนดโดเมนของฟงกชน sine อยในชวง , 2 2

ดงนน เมอ x, y arcsine จะได y = arcsinex หรอเขยนสน ๆ เปน y arcsin x ซงมความหมาย

เชนเดยวกบ x sin y และ y 2 2

นนคอ y arcsin x กตอเมอ x sin y เมอ y , 2 2

ผเรยนสามารถพจารณากราฟของฟงกชน y arcsin x (เสนทบ) เปรยบเทยบกบกราฟของฟงกชน y sin x (เสนประ) ไดจากหนาตางท 1 (2) ซงจะปรากฏดงน


ผเรยนจะพบวา โดเมนของฟงกชน arcsine คอ 1, 1 เรนจของฟงกชน sine

และ เรนจของฟงกชน arcsine คอ , 2 2


37

2. กราฟของฟงกชน arccosine บทนยาม ฟงกชน arccosine คอ x, y x cos y, 0 y หรอกลาววา ฟงกชน arccosine คอ ฟงกชนผกผนของฟงกชน cosine เมอก าหนดโดเมนของฟงกชน cosine อยในชวง 0, ดงนน เมอ x, y arccosine จะได y arccosine x หรอเขยนสน ๆ เปน y arccos x ซ งมความหมายเชนเดยวกบ x cosy และ 0 y นนคอ y arccos x กตอเมอ x cosy เมอ y 0, ผเรยนสามารถพจารณากราฟของฟงกชน y arccos x (เสนทบ) เปรยบเทยบกบกราฟของฟงกชน y cos x (เสนประ) ไดจากหนาตางท 2 (2) ซงจะปรากฏดงน


ผเรยนจะพบวา โดเมนของฟงกชน arccosine คอ 1, 1 เรนจของฟงกชน cosine

และ เรนจของฟงกชน arccosine คอ 0,


38

3. กราฟของฟงกชน arctangent

บทนยาม ฟงกชน arctangent คอ x, y x tan y, y 2 2

หรอกลาววา ฟงกชน arctangent

คอ ฟงกชนผกผนของฟงกชน tangent เมอก าหนดโดเมนของฟงกชน tangent อยในชวง , .2 2

.

ดงนน เมอ x, y arctangent จะได y arctangent x หรอเขยนสน ๆ เปน y arctanx

ซงมความหมายเดยวกบ x = tan y และ y 2 2

นนคอ y = arctan x กตอเมอ x = tan y เมอ . .y , 2 2

ผเรยนสามารถพจารณากราฟของฟงกชน y arctan x (เสนทบ) เปรยบเทยบกบกราฟของฟงกชน y = tan x (เสนประ) ไดจากหนาตางท 3 (2) ซงจะปรากฏดงน


ผเรยนจะพบวา โดเมนของฟงกชน arctangent คอ เซตของจ านวนจรง เรนจของฟงกชน tangent

และ เรนจของฟงกชน arctangent คอ , .2 2

.


39

2.2 กราฟของฟงกชนตรโกณมตทมการเลอนแกนทางขนานและการยอ/ขยาย ในหวขอ 2.1 ผเรยนไดพจารณากราฟของฟงกชนตรโกณมต ซงก าหนดโดย

y = arcsin x , y = arccos x และ y = arctan x ส าหรบในหวขอ 2.2 ผเรยนจะไดศกษาลกษณะของกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผนซงก าหนดโดย y = a arcsin bx c + d y = a arccos bx c + d และ y = a arctan bx c + d เมอ a, b, c, d 10, 10 และ a 0, b 0 โดยอาศยสอปฏสมพนธในหนาตางท 4 (2) ซงแสดงบนหนาจอดงน


ในหนาตางท 4 (2) ผเรยนสามารถเลอกฟงกชน เลอกปมใชงานดานลาง และสามารถปรบคาของ a, b, c, และ d ไดในท านองเดยวกบหนาตางท 3 (1) ส าหรบคาของ c และ d ทอยในสตรของฟงกชนจะไมมผลตอรปลกษณะของกราฟของฟงกชน

แตจะมผลท าใหมการเลอนแกนทางขนานโดยมจด . .c

, db

เปนจดก าเนดใหม เชนเดยวกบการเปลยน

คาของ c และ d ในหวขอ 1.3 ทไดกลาวมาแลว และเพอใหผเรยนไดเหนการเลอนแกนทางขนาน เมอมการเปลยนคาของ c และ d ในหนาตางท 4 (2) จงขอยกตวอยางประกอบ ดงน


40

ตวอยางกราฟของฟงกชน y = a arcsin bx c + d เมอมการเปลยนคาของ c และ d

c 0 และ d 0 c 0.5 และ d 4

เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ c และ d จะพบวา ถา c มคาเพมขน โดยท b 0 กราฟจะเคลอนไปทางซาย ถา c มคาเพมขน โดยท b 0 กราฟจะเคลอนไปทางขวา ถา c มคาลดลง โดยท b 0 กราฟจะเคลอนไปทางขวา ถา c มคาลดลง โดยท b 0 กราฟจะเคลอนไปทางซาย ถา d มคาเพมขน กราฟจะเคลอนขนขางบน ถา d มคาลดลง กราฟจะเคลอนลงขางลาง ส าหรบคาของ a และ b ทอยในสตรของฟงกชนจะมผลตอรปลกษณะของกราฟของฟงกชน โดยคาของ a และ b ทเปลยนแปลงไปจะมผลท าใหลกษณะของกราฟเปลยนแปลงตามไปดวย รวมทงมผลกระทบตอขนาดของโดเมนและเรนจของฟงกชนในแตคาของ a และ b ทเปลยนแปลง และเพอใหผเรยนไดขอสรปของความสมพนธระหวางคาของ a และ b กบลกษณะของกราฟของฟงกชน เราจะพจารณากราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผนจากหนาตางท 4 (2) ตามล าดบดงน


41

1. กราฟของฟงกชน y = a arcsin bx c d พจารณาการเปลยนคาของ a และ b ของ ในหนาตางท 4 (2)

a 0.50 a 5.86

b 0.11 b 0.65

เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ a และ b จะพบวา คาของ a มผลตอความชนของเสนกราฟและขนาดของเรนจของฟงกชน ในขณะทคาของ b มผลตอความชนของเสนกราฟ และขนาดของโดเมนของฟงกชน กลาวคอ ถา a มคาเขาใกลศนย ความชนของเสนกราฟกจะเขาใกลศนย และชวงของเรนจกมขนาดเลกลงไปเรอย ๆ ถา b มคาเขาใกลศนย ความชนของเสนกราฟกจะเขาใกลศนย แตชวงของโดเมนจะมขนาดเพมขนไปเรอย ๆ นอกจากนคาของ a และ b ทเปนบวกและลบกมผลตอลกษณะของกราฟดวยเชนกน


42

2. กราฟของฟงกชน y = a arccos bx c d พจารณาการเปลยนคาของ a และ b ของ ในหนาตางท 4 (2)

a 0.57 a 3.01

a 0.57 a 3.01


43

b 0.11 b 1.03

เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ a และ b จะพบวา คาของ a มผลตอความชนของเสนกราฟและขนาดของเรนจของฟงกชน สวนคาของ b มผลตอความชนของเสนกราฟและขนาดของโดเมนของฟงกชน ซงเปนไปในท านองเดยวกบฟงกชน ส าหรบคาของ a และ b ทเปนบวกและลบกมผลตอลกษณะของกราฟดวยเชนกน แตจะมความแตกตางกบฟงกชน ทงนขอใหผเรยนศกษาหาความแตกตางนนจากสอปฏสมพนธ


44

3. กราฟของฟงกชน y = a arctan bx c d พจารณาการเปลยนคาของ a และ b ของ ในหนาตางท 4 (2)

a 0.74 a 5.86

b 0.15 b 2.15

เมอผเรยนไดทดลองเปลยนคาของ a และ b จะพบวา คาของ a มผลตอขนาดของเรนจของฟงกชน กลาวคอ ถา a มคาเพมขน ชวงของเรนจกจะมขนาดเพมขนตามไปดวย สวนคาของ b จะมผลตอความเวาของเสนกราฟ และการโคงเขาหาเสนก ากบในแนวนอน โดยท ถา b มคาเพมขน เสนโคงจะมความเวาเพมมากขน และปลายทงสองขางจะวงเขาหาเสนก ากบในแนวนอนเรวขน


45

3. เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตผกผน


46

3. เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตผกผน ผเรยนคงไดเรยนรเกยวกบเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตผกผนและไดมการพสจนเอกลกษณเหลานนมาบางแลว เชน เอกลกษณ arcsin x arcsin x ซงเราสามารถพสจนไดดงน ให arcsin x = t จะได sin t = x ดงนน arcsin x = arcsin sin t = arcsin sin t

= t = arcsin x เปนตน

ในหวขอนผเรยนจะไดพ จารณากราฟของฟงกชนตรโกณมต ประกอบการศกษาเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตผกผนตอไปน 1. arcsin x arcsin x 2. arccos x arccos x 3. arctan x arctan x

4. arcsin x arccosx 2

ทงนผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต แลวจงเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏบนหนาจอจ านวน 4 หนาตางตอเนองกนเพอใชศกษาเอกลกษณทง 4 ขอ ตามล าดบดงน


47

1. เอกลกษณ arcsin x arcsin x ในหนาตางท 1 (3) จะแสดงกราฟของ 2 ฟงกชนซงก าหนดโดย

y arcsin x และ y arcsin x ทงนเพอใหผเรยนไดพจารณาลกษณะกราฟของฟงกชน y arcsin x พรอมทงเปรยบเทยบกราฟของฟงกชนทงสอง ดงตอไปน


จากกราฟในหนาตางท 1 (3) ผเรยนจะเหนวา กราฟของฟงกชน y arcsin x จะมลกษณะเปนภาพสะทอนของกราฟของฟงกชน y arcsin x โดยมแกน X เปนเสนสะทอน แต เน องจากกราฟของฟงกชน y arcsin x เปนภาพสะทอนของกราฟของฟงกชน y arcsin x โดยมแกน X เปนเสนสะทอน ซงผเรยนสามารถพจารณากราฟของฟงกชน y arcsin x ไดจากหนาตางท 4 (2) จากฟงกชน y a arcsin bx c d โดยก าหนดให a 1, b 1, c 0 และ

d 0 จากการพจารณากราฟขางตนผเรยนจะพบวาลกษณะของกราฟจะสอดคลองกบเอกลกษณ

arcsin x arcsin x


48

2. เอกลกษณ arccos x arccos x ในหนาตางท 2 (3) จะแสดงกราฟของ 2 ฟงกชนซงก าหนดโดย

y arccos x และ y arccos x ทงนเพอใหผเรยนไดพจารณาลกษณะกราฟของฟงกชน y arccos x พรอมทงพจารณาความสมพนธของกราฟของฟงกชนทงสอง ดงตอไปน


จากกราฟในหนาตางท 2 (3) ผเรยนจะเหนวา กราฟของฟงกชน y arccos x จะมลกษณะเปนภาพทไดจากการเลอนแกนทางขนานกราฟของฟงกชน y arccos x ไปตามแนวแกน Y ขนไปเปนระยะทางเทากบ หนวย ซงจะสอดคลองกบเอกลกษณ

arccos x arccosx หรอ arccos x arccos x


49

3. เอกลกษณ arctan x arctan x ในหนาตางท 3 (3) จะแสดงกราฟของ 2 ฟงกชนซงก าหนดโดย

y arctan x และ y arctanx ทงนเพอใหผเรยนไดพจารณาลกษณะกราฟของฟงกชน y arctan x พรอมทงเปรยบเทยบกราฟของฟงกชนทงสอง ดงตอไปน


จากกราฟในหนาตางท 3 (3) ผเรยนจะเหนวา กราฟของฟงกชน y arctan x จะมลกษณะเปนภาพสะทอนของกราฟของฟงกชน y arctanx โดนมแกน X เปนเสนสะทอน แตเนองจากกราฟของฟงกชน y arctanx เปนภาพสะทอนของกราฟของฟงกชน y arctanx โดยมแกน X เปนเสนสะทอน ซงผเรยนสามารถพจารณากราฟของฟงกชน y arctanx ไดจากหนาตางท 4 (2) จากฟงกชน y a arctan bx c d โดยก าหนดให a 1, b 1, c 0 และ d 0 จากการพจารณากราฟขางตนผเรยนจะพบวาลกษณะของกราฟจะสอดคลองกบเอกลกษณ

arctan x arctan x


50

4. เอกลกษณ arcsin x + arccosx 2

ในหนาตางท 4 (3) จะแสดงกราฟของ 2 ฟงกชนซงก าหนดโดย y arcsin x และ y arccos x

ทงนเพอใหผเรยนไดพจารณาความสมพนธของกราฟของฟงกชนทงสอง ดงปรากฏตอไปน


จากกราฟในหนาตางท 4 (3) ผเรยนจะเหนวา กราฟของฟงกชน y arcsin x จะมลกษณะเปนภาพทไดจากการเลอนแกนทางขนานกราฟของฟงกชน y arccos x ไปตามแนวแกน Y ขนไปเปน

ระยะทาง 2

ซงจะสอดคลองกบเอกลกษณ

arcsin x arccosx2

หรอ arcsin x arccosx 2


51

4.ผลบวกของไซนและโคไซน


52

4. ผลบวกของไซนและโคไซน ในหวขอนจะพจารณาฟงกชนทอยในรปผลบวกของฟงกชนไซนและโคไซนซงก าหนดโดย

y asin x bcosx โดยท a และ b เปนคาคงตว การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง ผลบวกของไซนและโคไซน แลวจงเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน ซงหนาจอจะแสดงดงน

เมอคลกท จะปรากฏบนหนาจอจ านวน 4 หนาตางตอเนองกน ซงจะใชพจารณาการจดรปแบบของฟงกชน และพจารณากราฟของฟงกชน พรอมทงตวอยางประกอบการหาคาทเกยวของกบผลบวกของฟงกชนไซนและโคไซนตามล าดบ ดงตอไปน


53

ในหนาตางท 1 (4) จะแสดงการจดรปของฟงกชนผลบวกของฟงกชนไซนและโคไซนซงก าหนดโดย

y asin x bcosx โดยท a และ b เปนคาคงตว ใหอยในรป

2 2y a b sin x ส าหรบบางคา ดงน


ในหนาตางท 2 (4) จะแสดงกราฟของ 2 ฟงกชน คอ y asin x bcosx และ y sin x

โดยผเรยนสามารถก าหนดคาของ a และ b ได และกราฟทงสองจะตางกนดวยตวคณ 2 2a b ดงน


ทงนผเรยนจะเหนวา แอมพลจดของฟงกชน y asin x bcosx เทากบ 2 2a b แอมพลจดของฟงกชน y sin x เทากบ 1


54

ในหนาตางท 3 (4) ผเรยนจะไดพจารณาการหาคาสงสด และคาต าสดของผลบวกของฟงกชนไซนและโคไซนจากตวอยางตอไปน


ขอสงเกต จากหนาตางท 1 (4) เราทราบวา ส าหรบจ านวนจรง a และ b ใด ๆ จะมจ านวนจรง ซงท าให 2 2asin x bcosx a b sin x เนองจาก 1 sin x 1 จะไดวา 2 2 2 2 2 2a b a b sin x a b ดงนน 2 2 2 2a b a sin x bcos x a b เพราะฉะนน คาสงสดและคาต าสดของ a sin x bcos x คอ 2 2a b และ 2 2a b ตามล าดบ

ในหนาตางท 4 (4) จะแสดงการแกสมการของผลบวกของฟงกชนไซนและโคไซนจากตวอยางตอไปน



55

เอกสารอางอง

1. หนงสอเรยนคณตศาสตร ค 012 และ ค 013 ระดบมธยมศกษาตอนปลาย หลกสตรมธยมศกษา ตอนปลาย พทธศกราช 2524 (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2533) จดท าโดย สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ


56

5. แบบฝกหด


57

5. แบบฝกหด จากการศกษาสอปฏสมพนธเรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมต ทผานมาผเรยนคงพอเขาใจและเหนประโยชนของสอปฏสมพนธชดน ในหวขอนผเรยนจะไดพบกบแบบฝกหดเกยวกบกราฟของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน และผลบวกของฟงกชนไซนและโคไซน โดยอาศยความรทไดกลาวมาแลว ทงนผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง แบบฝกหด แลวเขาสหนาตางสารบญดงน

เมอคลกท กจะเขาสหนาตางแบบฝกหด 3 เรอง ตามล าดบ ดงตอไปน


58

5.1 แบบฝกหด (กราฟของฟงกชนตรโกณมต)


ในขอ 1 และ ขอ 2 ผเรยนสามารถหาค าตอบไดจากหวขอ 1.2 และ 1.3 ทไดกลาวมาแลวดงน

1. กราฟ คาบ แอมพลจด

y sin x 2 1 y cos x 2 1 y tan x ไมม

# 2.

กราฟ คาบ แอมพลจด

y a sin bx c d

2

b

เมอ b 0 a

y a cos bx c d

2

b

เมอ b 0 a

y a tan bx c d b

เมอ b 0 ไมม

พงสงเกตวาถา b 0 แลว y a sin bx c d จะลดรปเปน y asinc d ซงเปนคาคงตว หากเรานยามวาจ านวนจรง p 0 เปนคาบของฟงกชน : กตอเมอ x p x ส าหรบทก x แลว จะเหนวาทกจ านวนจรง p 0 ยอมเปนคาบของฟงกชนคาคงตวทงสน ยงกวาน ฟงกชนนจะไมมคาบทเลกทสด (เพราะไมมจ านวนจรงบวกทมคานอยทสด)

#


59

3. พจารณาการทบซอนกนระหวางกราฟของ 2 ฟงกชน 2y sin x กบ y sin x ดงน จากเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต

2cos 2x 1 2sin x

จะไดวา 2 1 cos 2xsin x

2

เราจงสามารถจดรป 2sin x โดยอาศยเอกลกษณไดเปน

2 1 cos 2x 1 1 1 1sin x sin 2x sin 2x

2. . .

2 2 2 2 2 2.

นนคอ กราฟของฟงกชน 2y sin x และ .1 1

y sin 2x2 2

.2

จะเปนกราฟเสนเดยวกน

เพราะฉะนน ภายใตการเลอนแกนทางขนานและการยอขยายกราฟของฟงกชน y sin x จะทบซอนกบกราฟของฟงกชน 2y sin x ไดสนท กลาวคอ กราฟของฟงกชน 2y sin x และ y a sin bx c d จะทบซอนกนไดสนทเมอ

1a , b 2 , c

2 2

และ 1

d2

ซงสามารถสรางไดจากกราฟของฟงกชน y sin x ดงน

1. ยอขยายกราฟของ y sin x รอบจดก าเนดดวยตวคณ 1

2 และ 2 จะไดกราฟของ 1

y sin 2x2

2. เลอนแกนทางขนานโดยมจด . . . .c 1

, d , b 4 2

เปนจดก าเนดใหมหรอเลอนขนานไปทางขวา

เปนระยะ 4

หนวย และเลอนขนานในแนวดงขนไป 1

2 หนวย

#


60

4. เมอเขยนกราฟ y sin x และกราฟเสนตรง xy

100 ดงรป

6 5 4 3 2 2 3 4 5 6

1

1

เราทราบวา 1 sin x 1 ดงนน จดตดจะเกดขนเฉพาะในชวง 100 x 100 เทานน และ 100 31.8 ในบรเวณซง x 0 จะเหนวามจดตด 2 จดเกดขนในแตละชวง 0, , 2 ,3 ,... 30 ,31 รวมเปนจ านวนจดตด 32 จด ส าหรบบรเวณซง x 0 จะมจ านวนจดตดเทากบจ านวนจดตดในบรเวณ x 0 คอ 32 จด แตนบจด x 0 ซ าในบรเวณ x 0 และบรเวณ x 0 ดงนน จ านวนจดตดจะมทงหมด 2 32 1 63 จด

100 50 50 100

1.0

0.5

0.5

1.0

#


61

5.2 แบบฝกหด (ฟงกชนตรโกณมตผกผน)


การหาค าตอบของแบบฝกหดนนนผเรยนสามารถหาโดยอาศยความรจากเนอหาเรอง ฟงกชนตรโกณมตผกผน ในทนจงขอเฉลยเฉพาะค าตอบของแบบฝกหด ส าหรบวธการขอใหผเรยนฝกฝนตามเนอหาทไดเรยนมา

1. ; x 0

1 2arctan x arctan

x ; x 0

2

2. 2sin arccos x 1 x เมอ 1 x 1

3. 2

xtan arcsin x

1 x

เมอ 1 x 1

4. ไมเสมอไป เพราะ

x yarctan ; arctan x arctan y

1 xy 2

x yarctan x arctan y arctan ; arctan x arctan y

1 xy 2 2

x yarctan ; arctan x arctan y

1 xy 2

5. ถา 0 x 1 จะได 2arcsin x arccos 1 x ถา 1 x 0 จะได 2arcsin x arccos 1 x


62

5.3 แบบฝกหด (ผลบวกของไซนและโคไซน)


1. ตองการแกสมการ 5cos 12sin 3

ให 12 arctan

5 จะได 12

sin 13

และ 5cos

13

จงจดรปสมการทตองการแกไดเปน

3cos cos sin sin

13

3cos

13

ดงนน 12 3 2n arctan arccos

5 13 เมอ n เปนจ านวนเตมใดๆ

# 2. ตองการแกสมการ sin x sin x 2 sin x 1 (1)

จากเอกลกษณตรโกณมต sin sin 2sin cos จะไดวา sin x 1 1 sin x 1 1 2sin x 1 cos1 หรอไดวา sin x sin x 2 2sin x 1 cos1 (2) จาก (1) และ (2) จะได 2sin x 1 cos1 sin x 1 นนคอ 2sin x 1 cos1 sin x 1 0 sin x 1 2cos1 1 0 sin x 1 0 จงได x n 1 เมอ n เปนจ านวนเตมใดๆ

#


63

3. จดรป

y sin x sin x

cos cos sin x sin sin cos x

ดงนน คาสงสดคอ

2 2

cos cos sin sin 2 2cos 2 cos2

และคาต าสดคอ 2 cos2

# 4. จดรป

y cos x cos x cos x

cos cos cos cos x sin sin sin sin x

ดงนนคาสงสดคอ

2 2cos cos cos sin sin sin

3 2cos 2cos 2cos

และคาต าสดคอ 3 2cos 2cos 2cos #


64

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


65

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


66


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


67


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

53 ตรีโกณมิติ...

Documents