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5.3 指數函數的導數

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5.3 指數函數的導數學習目標 求自然指數函數的導數。 用微積分分析含自然指數函數的函數圖形。 研究常態機率密度函數。

P.5-15 第五章 指數與對數函數

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指數函數的導數 在 5.2 節中提到指數函數最方便的底是無理數

e ，其方便性在於函數 f (x) ＝ ex 的導數等於本身 ( 原函數 ) ，而其他 a≠e 的指數函數 y ＝ ax 皆無此性質。若要驗證 f (x) ＝ ex 為自身的導數，觀察極限

P.5-15 第五章 指數與對數函數

1/

. 0lim (1 ) x

xx e

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指數函數的導數 對很小的 Δx 而言， e ≈ (1 ＋ Δx)1/Δx ，或

eΔx ≈ 1 ＋ Δx ，在下列的導數推導過程中要用到此近似式。

P.5-15 第五章 指數與對數函數

0

0

0

0

(

( ) ( )( ) lim

lim

( 1)

)

lim 1

( ) lim

x

x x x

x

x x

x

x

x

x

x

f x x f xf xx

e ex

e e

f e

xe

e

x

x

x

導數的定義

利用

以 取代

x

0

lim

x

x

x

e

e

約去

公因式

化簡

極限值

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指數函數的導數 若 u 為 x 的函數，則可用連鎖律來求 eu 對

x 的導數，公式總結如下：

P.5-15 第五章 指數與對數函數

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範例 1 　解釋導數之意義

P.5-16 第五章 指數與對數函數

求函數f (x) ＝ ex 原函數

在 (0, 1) 和 (1, e) 的切線斜率。可做出什麼結論？

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範例 1 　解釋導數之意義 （解）

因為 f 的導數為f (x) ＝ ex 導數

所以 f 圖形在 (0, 1) 的切線斜率為f (0) ＝ e0 ＝ 1 點 (0, 1) 的切線斜率

在 (1, e) 的切線斜率為f (1) ＝ e1 ＝ e 點 (1, e) 的切線斜率

P.5-16 第五章 指數與對數函數

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範例 1 　解釋導數之意義 （解）

如圖 5.9 所示。由此推論， f (x) ＝ ex 圖形上任一點 (x, ex) 的切線斜率等於該點的 y 座標。

P.5-16 圖 5.9 第五章 指數與對數函數

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檢查站 1

P.5-16 第五章 指數與對數函數

求函數 f (x) ＝ ex 在 (0, 1) 和 (1, e) 的切線方程式。

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範例 2 　對指數函數微分 微分下列函數。

a. f (x) ＝ e2x b. c. d. f (x) ＝ e － x

P.5-16 第五章 指數與對數函數

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範例 2 　對指數函數微分 （解）

a. 令 u ＝ 2x ，則 du/dx ＝ 2 ，再利用連鎖律可得

b. 令 u ＝ － 3x2，則 du/dx ＝ － 6x ，再利用連鎖律可得

P.5-16 第五章 指數與對數函數

2 2( ) (2) 2u x xduf x e e edx

2 23 3( ) ( 6 ) 6u x xduf x e e x xedx

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範例 2 　對指數函數微分 （解）

c. 令 u ＝ x3，則 du/dx ＝ 3x2，再利用連鎖律可得

d. 令 u ＝ － x ，則 du/dx ＝ － 1 ，再利用連鎖律可得

P.5-16 第五章 指數與對數函數

3 32 2( ) 6 6 (3 ) 18u x xduf x e e x x edx

( ) ( 1)u x xduf x e e edx

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學習提示 從範例 2 可看出，對指數函數微分後，其指數不變。譬如， y ＝ e3x 的導數為 y ＝ 3e3x，這兩函數的指數皆為 3x 。

P.5-16 第五章 指數與對數函數

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檢查站 2

微分下列函數。a. f (x) ＝ e3x

b. c. d. f (x) ＝ e － 2x

P.5-16 第五章 指數與對數函數

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指數函數的導數 第三章所介紹的微分法則可用在指數函數上，如範例 3 所示。

P.5-17 第五章 指數與對數函數

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範例 3 　對指數函數微分 微分下列函數。

P.5-17 第五章 指數與對數函數

( ) ( )2

( ) ( )

x xx

xx x

e ef x xe f x

ef x f x xe ex

a. b.

c. d.

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範例 3 　對指數函數微分 （解）

P.5-17 第五章 指數與對數函數

12

12

( )

( ) (1)

( ) 2

( )

( ) ( )

x

x x

x x

x x

x x

x x

f x xe

f x xe e

xe e

e ef x

e e

f x e e

a.

b.

寫出原函數

乘積律

化簡

寫出原函數

改寫函數

常數倍數律

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範例 3 　對指數函數微分 （解）

P.5-17 第五章 指數與對數函數

2

2

( )

(1) ( )

( 1)

( )

( ) [ (1)]

x

x x

x

x x

x x x

x

ef xxxe ef x

xe x

xf x xe e

f x xe e e

xe

c.

d.

寫出原函數

商律

化簡

寫出原函數

乘

律

積 與差律

x x

x

e e

xe

化簡

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檢查站 3

微分下列函數。

P.5-17 第五章 指數與對數函數

2

22

( ) ( )2

( ) ( )

x xx

xx x

e ef x x e f x

ef x f x x e ex

a. b.

c. d.

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應用 第四章介紹了如何用導數來分析函數的圖形，下個範例則要將這些技巧應用在含指數函數在內的函數上面。請注意，若 ea ＝ eb則 a ＝

b 。

P.5-17 第五章 指數與對數函數

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範例 4 　分析懸索線 當電話線懸吊在兩電線桿之間，電話線會呈 U 形的曲線，稱為懸索線 (catenary) 。譬如，函數

y ＝ 30(ex/60 ＋ e － x/60), － 30 ≤ x ≤ 30為懸吊在距離 60 呎遠的兩電線桿之間電話線形狀的模型 (x 與 y 以呎計 ) 。證明此電話線的最低點是在兩電線桿間的中點，兩桿間的電話線下垂多少呎？

P.5-18 第五章 指數與對數函數

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範例 4 　分析懸索線 （解）

函數的導數為

P.5-18 第五章 指數與對數函數

/60 /601 160 60

1 /60 /602

30

( )

x x

x x

y e e

e e

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範例 4 　分析懸索線 （解）

為了求臨界數，則令導數為零，

P.5-18 第五章 指數與對數函數

1 /60 /60 2

/60 /60

/60 /60

/6

0

( ) 0

0

60 60

2

0

6

x

b

x

x x x

a

x x

e e

e e

e ex x e a

x

b

x

e

e

令導數為零

等號兩邊同乘

等號兩邊同加

若 ，則

等號兩邊同乘

2 0 0 2

x xx

等號兩邊同加等號兩邊同除以

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範例 4 　分析懸索線 （解）

利用一階導數檢定法可得函數在臨界數 x ＝ 0 有相對極小值。再從圖 5.10 可看出，該相對極小值其實是區間 [ － 30, 30] 的絕對極小值。若要知道兩電線桿間電話線下垂的長度，則比較兩電線桿與電線中點的高度。

P.5-18 第五章 指數與對數函數

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範例 4 　分析懸索線 （解）

y = 30(e － 30/60 + e － ( － 30)/60) 67.7 呎 左邊電線的高度y = 30(e0/60 + e － (0)/60) 60 呎 電話線中點的高度y = 30(e30/60 + e － (30)/60) 67.7 呎 右邊電線的高度由此可知，電話線下垂約 7.7 呎。

P.5-18 第五章 指數與對數函數

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範例 4 　分析懸索線 （解）

P.5-18 圖 5.10 第五章 指數與對數函數

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檢查站 4

畫出範例 4 之函數的圖形，並驗證電線桿中點為電話線的極小值。

P.5-18 第五章 指數與對數函數

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範例 5 　求最大收入 某產品的需求函數可表示為

p ＝ 56e － 0.000012x 需求函數其中 p 為每單位的價格 ( 美元 ) ，且 x 為銷售量。試問可得最大收入的價格為何？

P.5-18 第五章 指數與對數函數

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範例 5 　求最大收入 （解）

收入函數為R ＝ xp ＝ 56xe － 0.000012x 收入函數

若要以分析法求最大收入，首先要令邊際收入 dR/dx 等於零，並解出 x 。然而圖形解法在本題中較為容易，求得 R 的圖形與圖 5.11 類似。當 x 約為 83,300 單位時有最大收入，再將 x ≈ 83,300 代入需求函數，就可得到對應的價格，

p < 56e － 0.000012(83,300) < $20.61即，約 $20.61 的價格可得最大收入。

P.5-18~5-19 第五章 指數與對數函數

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範例 5 　求最大收入 （解）

P.5-19 圖 5.11 第五章 指數與對數函數

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學習提示 若以分析法求解範例 5 的問題時可得

請說明如何求解此方程式，其解答為何？

P.5-19 第五章 指數與對數函數

0.000012 0.00001256 ( 0.000012) (56) 0x xdR xe edx

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檢查站 5

某產品的需求函數可表示為p ＝ 50e － 0.0000125x

其中 p 為每單位的價格 ( 美元 ) ，且 x 為銷售量，試問可得最大收入的價格為何？

P.5-19 第五章 指數與對數函數

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常態機率密度函數 在統計課或在商業計量分析課程裡，都有篇幅介紹常態機率密度函數 (normal probability

density function) 的性質，其函數為

其中 σ 是希臘字 sigma 的小寫字母，而 μ是希臘字 mu 的小寫字母。此公式的 為機率分配的標準差 (standard deviation) ，且 為機率分配的平均值 (mean) 。

P.5-19 第五章 指數與對數函數

2 2( )/21( )2

xf x e

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範例 6 　探討機率密度函數 證明常態機率密度函數

的圖形在 x ＝ ±1 為反曲點。

P.5-19~5-20 第五章 指數與對數函數

2 /21( ) 2

xf x e

原函數

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範例 6 　探討機率密度函數 （解）

首先計算函數的二階導數。

令二階導數為零，可解得 x ＝ ± 1 ，再以圖形凹性的檢定法，可確定這兩個 x 值為反曲點，如圖 5.12 所示。P.5-20 第五章 指數與對數函數

2

2 2

2

/2

/2 /2

/2 2

1 ( ) 21( ) [( )( ) +( 1) ] 21 ( )( 1) 2

x

x x

x

f x e

f x x x e e

e x

一階導數

二階導數

化簡

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範例 6 　探討機率密度函數 （解）

P.5-20 圖 5.12 第五章 指數與對數函數

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檢查站 6

試畫出常態機率密度函數

的圖形並求反曲點。

P.5-20 第五章 指數與對數函數

2 /321( )4 2

xf x e