Комбинаторика

Лекции по алгебре Комбинаторика Автор: Михайлова В. Ю.

1

Лекции для школ с углубленным изучением математики.

Алгебра. 10 класс.

Тема: Комбинаторика.

Автор:

Михайлова Виктория Юрьевна.

Documents history:

08.01.2008 – document create.

Status: draft


2

Содержание.

§1. Поведение и основные правила комбинаторики/в рукописном варианте/.

§2. Множества и операции над ними. Нахождение числа элементов суммы множеств.

§3. Подмножества данного множества. Множества M(A), Mk(A). Теорема о числе всех k-

элементных подмножеств n-элементного множества. Сочетания без повторений. Число

всех подмножеств n-элементного множества.

§4. Свойства чисел (биномиальные тождества):

,

.

§5. Упорядоченные множества. Перестановки и размещения без повторений.


3

§1. Поведение и основные правила комбинаторики.

Комбинаторный анализ, комбинаторика, математика – раздел математики, посвященный

решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в

соответствие с заданными правилами.

Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из

элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией, поэтому

можно сказать, что целью комбинаторики является изучение комбинаторных

конфигураций. Это изучение включает в себя вопросы:

Существования комбинаторных конфигураций;

Алгоритмы их построения;

Оптимизацию этих алгоритмов.

Также изучение включает в себя решение задач перечисления комбинаторных

конфигураций. Примером простейших комбинаторных конфигураций являются

перестановки, сочетания и размещения.


4

§2. Множества и операции над ними. Нахождение числа элементов суммы множеств.

2.1. Множества.

Основные понятия теории множеств играют существенную роль. Понятие «множества»

является первичным и неопределяемым. Предметы (объекты), представляющие данное

множество называются его элементами. Тот факт, что элемент x принадлежит множеству

A записывается так: , в противном случае пишем . Количество элементов

множества будем обозначать как N(A). Однозначно описать множество можно

несколькими способами, например:

указывать общее (характеристическое) свойство элементов, принадлежащих

множеству A.

Определение: A={x|P(x)} – множество всех таких x, что выполнено P(x), где P(x) –

свойство, характеризующее в точности все элементы множества A.

давать список элементов, входящих в данное множество. Если множество A

состоит из элементов а1,…,an, то будем писать A={а1,…,an}. Данный способ

возможен только лишь в том случае, если множество имеет конечное число

элементов.

Определение: множество, которое имеет конечное число элементов, называется

конечным множеством.

Определение: конечное множество, все элементы которого перенумерованы, называется

упорядоченным множеством.

Определение: множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством

и обозначается: .

Комбинаторика есть теория конечных множеств. Поэтому далее мы будем иметь дело

только с конечными множествами. Теория конечных множеств изучает правила: как, зная

количество элементов некоторых множеств, вычислить количество элементов других

множеств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций.

2.2. Операции над множествами.

Определение: если каждый элемент множества B является элементом множества A, то B

называется подмножеством множества A. Обозн.: AB (читается A содержит B, B

входит в A).

Будем считать, что пустое множество является подмножеством любого множества:

A .

Для всякого множества A имеет место соотношение: AA .

Определение: Два множества называются равными A=B, если BA и AB .

Определение: множество B называется собственным подмножеством множества A,

если


5

Обобщим на любые введенные нами множества операции пересечения, объединения и

вычитания.

Определение: объединением множеств A и B называется множество (обозн.: ),

состоящие из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из

множеств A или B, то есть: { | }.

Пример: { } { } { }.

Определение: объединением множеств A1,…,An называется множество, состоящие из тех

и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств , то

есть: { | }.

Определение: пересечением множеств A и B называется множество (обозн.: ),

состоящие из тех и только тех элементов, которые принадлежат как A, так и B, то есть:

{ | }.

Определение: пересечением множеств A1,…,An называется множество, состоящие из тех

и только тех элементов, которые принадлежат всем множествам , то есть:

{ | }.

Пример: { } { } { }.

Определение: разностью множеств A и B называется множество (обозн.: ),

состоящее из тех и только тех элементов множества A, которые не принадлежат B, то есть:

{ | }.

Если AB , то разность называют дополнением множества B в множестве A.

Обозн.: .

рис. 1

На рисунке 1 изображены схематические операции над множествами X и Y. Такие

изображения множеств называются диаграммами Эйлера-Венна.

Свойства операций над множествами:

i. =

ii. = законы коммутативности

iii. =

iv. = законы идемпотентности

v. =

vi. = законы ассоциативности

vii. =

viii. = законы дистрибутивности


6

В случае, когда все рассматриваемые множества являются частями одного и того же

множества E, результаты выполнения операций пересечения и объединения снова дают

подмножества из одного и того же множества. Дополнение к любой части множества E

снова является частью того же множества. Обозначим в таком случае = .

ix. =B EB

x. = EBA ,

xi. = EBA , законы дополнения

xii. = E

xiii. =

xiv. EA

xv. A

xvi. EA

xvii. A

Все приведенные выше свойства могут быть доказаны по единой схеме, использующей

определение равенства двух множеств A и B: A=B, если BA и AB , либо используя

эквивалентные переходы.

Мы не будем доказывать все свойства, приведем только некоторые доказательства:

7). 1. Докажем, что .

Пусть или .

Если => и .

Если => и => и .

Тем самым мы показали, что .

2. Докажем, что .

Пусть и .

Если => .

Если => и => => .

Тем самым мы показали, что .

По определению равенства двух множеств, получаем: = .

10). Используем эквивалентные переходы.

или или .

Значит, = .

2.3. Нахождение числа элементов суммы множеств.

Определение: Будем обозначать через N(A) число элементов множества A.

Теорема: Для любых двух конечных множеств A и B верно равенство:

(1)


7

Доказательство:

Множество является объединением трех попарно непересекающихся множеств:

, и . Первое из этих множеств содержит

элементов, второе содержит элементов, третье содержит

элементов. Значит, число элементов в множестве равно:

Пример: A={a,b,c,d,e,f}, B={d,e,f,g,h}. ={a,b,c,d,e,f,g,h}. ={d,e,f}.

=6, =5, =8, =3. 8=6+5-3.

С помощью формулы (1) легко вывести доказательство для любого числа множеств.

Например, для трех множеств:

( ) ( )

Следовательно,

(2)

Пример:

каждый ученик класса либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20

девочек, из них 12 блондинок, а одна блондинка любит математику. Всего в классе 24

ученика-блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек),

которые любят математику 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

Решение:

Пусть: A= {девочки}, B= {блондины}, C= {ученики, которые любят математику}.

Тогда: N(A) = 20, N(B) = 24, N(C) = 17.

= 12, = 12, = 6, =1.

Следовательно, число учеников в классе: =20+24+17-12-12-6+1=32

Теорема: Если A1,…,An – некоторые конечные множества, то верна формула включений и

исключений:

( )

(3)

Доказательство (ММИ):

1. БИ: формула (3) справедлива для двух множеств в силу (1).

2. ИП: Пусть формула (3) справедлива для (n-1) множества.

3. Покажем, что она выполняется и для n множеств:


8

Заметим, что правая часть равенства (3) является суммой n слагаемых, k-е по порядку

слагаемое имеет вид: , где есть сумма чисел

(

) по всем возможным пересечениям ровно k различных множеств из

множеств A1,…,An.

По формуле (1):

Осталось принять во внимание, что:

…

§3. Подмножества данного множества. Множества M(A), Mk(A). Теорема о числе всех k-

элементных подмножеств n-элементного множества. Сочетания без повторений. Число

всех подмножеств n-элементного множества.

3.1. Множества M(A), Mk(A). Теорема о числе всех k-элементных подмножеств n-

элементного множества. Сочетания без повторений.

Напомним определение: если каждый элемент множества B является элементом

множества A, то B называется подмножеством множества A.

Если задано некоторое множество A, то можно рассмотреть новое множество M(A) –

множество всех подмножеств данного множества.

Будем обозначать Mk(A) – множество всех подмножеств множества A, состоящее из k

элементов.

Замечания:

1.

Пример:

Пусть A={a,b,c}.

Тогда M(A)={{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}, }, ={{a},{b},{c}}, = ,

={a,b,c}=A. N( )=3, N( )=3, N( )=1, N( )=1.


9

2. , N( )=1

3. = A

4. Элементами множеств M(A), Mk(A) являются множества.

Далее рассмотрим важный вопрос: сколько k-элементных подмножеств имеет

множество, состоящее из n элементов.

Теорема:

Пусть множество A состоит из n элементов. Число всех k-элементных подмножеств

множества A равно

. То есть N(Mk(A)) =

.


Рассмотрим несколько случаев для пояснения:

1). k=0. Тогда , N( )=1.

. Левая часть = правой части.

2). k=n. Тогда правая часть:

. Левая часть: – число всех n-элементных

подмножеств множества A. Это число равно 1. Левая часть = правой части.

3). k=1. Тогда правая часть:

. Левая часть: – число всех 1-элементных

подмножеств множества A. Это число равно n. Левая часть = правой части.

1 способ доказательства теоремы (ММИ):

1. Рассмотрим k=0 – верно.

2. ИП: Пусть утверждение верно для (k-1)-элементных подмножеств. То есть

.

3. Покажем, что утверждение верно и для k-элементных подмножеств. То есть

.

Обоснование:

Рассмотрим n-элементное множество A. Требуется найти число k-элементных

подмножеств этого множества, зная число (k-1)-элементных подмножеств этого

множества.

Чтобы построить k-элементное подмножество множества, нужно к (k-1)-элементному

подмножеству присоединить один элемент из n-k+1 элементов, которые не входят в это

(k-1)-элементное подмножество. Таким образом, получаем (n-(k-1))*

подмножеств. Но не все полученные множества будут разными.


10

Пример:

Пусть A={a,b,c,d,e}.

Тогда 4-х-элементное подмножество: {a,b,c,d} можно получить:

Либо присоединив {a} к {b,c,d};

Либо присоединив {b} к {a,c,d};

Либо присоединив {c} к {a,b,d};

Либо присоединив {d} к {a,b,c};

Каждое k-элементное множество можно построить k способами: присоединением

каждого из k его элементов. То есть, все эти (n-(k-1))* множества делятся на

группы по k одинаковых множеств. Значит, количество таких групп (то есть разных k-

элементных подмножеств) равно:

=

( ) =

=

.

2 способ доказательства теоремы (число всех k-элементных подмножеств n-

элементного множества равно

).

Поймем, сколькими способами можно составить k-элементное подмножество:

1-й элемент можно выбрать n способами;

2-й элемент можно выбрать (n-1) способами;

3-й элемент можно выбрать (n-2) способами;

…

k-й элемент можно выбрать (n-k+1) способами.

Таким образом получится n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1) k-элементных множеств. Но те

множества, которые получились друг из друга только перестановкой своих элементов на

самом деле одинаковы.

Поскольку k элементов можно переставить k! способами, то все n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1)

множеств разобьются на группы по k! одинаковых. Всего таких групп, то есть различных

k-элементных подмножеств будет

=

=

.

Определение: Произвольное k-элементное подмножество n-элементного множества

называется сочетанием k элементов из n.

Замечание: Порядок элементов во множестве не важен. Иногда вместо слова

«сочетание» употребляют «комбинация».


11

Обозначим – число всех сочетаний из n элементов по k. В теореме мы показали, что

.

Примеры:

1) /есть только один способ выбрать 0, то есть ни выбрать ни одного из n

элементов/.

2) /всего 3 способа выбрать 2 предмета из 3-х/.

3) /всего n способов выбрать 1 элемент из n элементов/.

Задачи:

1. Сколькими способами можно выбрать 2 книжки из 5?

Решение:

1 способ: Число способов равно числу двухэлементных подмножеств пятиэлементного

множества. То есть ответ: .

2 способ: 1-ю книжку можно выбрать 5-ю способами;

2-ю книжку можно выбрать 4-мя способами;

Но не все получившиеся пары будут различными.

Поэтому различных способов: (5*4)/2=10.

Ответ: 10.

2. Сколькими способами из команды в 7 человек можно выбрать 3 представителей?

Решение:

1 способ: Число способов равно числу пятиэлементных подмножеств семиэлементного

множества. То есть ответ: .

2 способ: 1-го представителя можно выбрать 7-ю способами;

2- го представителя можно выбрать 6-ю способами;

3- го представителя можно выбрать 5-ю способами;

Но не все получившиеся тройки будут различными.

Поэтому различных способов: (7*6*5)/3!=35.

Ответ: 35.

3. Рассмотрим для демонстрации пример, когда порядок важен. Сколькими способами из

команды в 7 человек можно выбрать 3-х представителей для участия в трех олимпиадах?

Решение:

В данном случае важен порядок элементов во множестве, то есть Катя(алгебра),

Маша(русский), Коля(биология) и Маша(алгебра), Катя(русский),Коля(биология) – будут

различными комбинациями.

То есть число способов выбрать 3-х представителей для участия в трех олимпиадах равно

7*6*5=210.

Ответ: 210.


12

4. В турнире принимали участие n шахматистов и каждые 2 из них встретились 1 раз.

Сколько партий было сыграно в турнире?

Решение:

Число двухэлементных подмножеств n-элементного множества равно

.

Ответ:

.

5. Несколько модернизируем предыдущую задачу. В турнире принимали участие n

шахматистов и каждые 2 из них встретились 5 раз. Сколько партий было сыграно в

турнире?

Решение:

Число двухэлементных подмножеств n-элементного множества равно

. Так

как каждые 2 человека должны были встретиться 5 раз, то ответом в данной задаче будет:

Ответ:

.

6. На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Решение:

1 способ: Решение задачи сводится к нахождению числа трехэлементных подмножеств

десятиэлементного множества. Как мы знаем, это число:

.

2 способ: 1-ю точку для треугольника можно выбрать 10-ю способами;

2-ю точку для треугольника можно выбрать 9-ю способами;

3-ю точку для треугольника можно выбрать 8-ю способами;

Но не все получившиеся треугольники будут различными.

Поэтому различных способов: (10*9*8)/3!=120.

7. У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого – 8. Сколькими способами

они могут обменять три книги одного на три книги другого?

Решение:

Первый школьник может выбрать3 книги для обмена способами, второй -

способами. Таким образом, число возможных обменов равно

.

Ответ:

.


13

Теорема:

Число всех подмножеств n-элементного множества равно .


1 способ доказательства теоремы:

Рассмотрим n-элементное множество A. Пусть - множество всех подмножеств

множества A, содержащих элемент {a}. Пусть – множество всех подмножеств

множества A, не содержащих элемент {a} множества A. Пусть – число всех

подмножеств множества A (n-мощность множества A).

Рассмотрим : подмножество из множества получается присоединением к {a}

некоторого подмножества из {a}. Поэтому таких подмножеств будет столько,

сколько будет подмножеств в множестве {a}, которое содержит все элементы

множества A, кроме {a}. Это множество имеет n-1 элементов. Поэтому, если - число

подмножеств множества из n элементов, то .

Рассмотрим : подмножество из множества

- подмножество множества {a}.

Следовательно, .

Так как число всех подмножеств множества A равно сумме числа подмножеств в

множествах и , то .

, так как одноэлементное подмножество имеет два подмножества: само себя и .

Следовательно, .


Рассмотрим n-элементное множество A. Перенумеруем все его элементы и для каждого

подмножества множества A построим последовательность длины n, состоящую из “0” и

“1” по следующему правилу: на k-м месте будет стоять 1, если k-й элемент множества A

входит в это подмножество и 0, если k-й элемент множества A не входит в это

подмножество.

Например,

A={a,b,c,d,e,f}. n=6.

4 1 3 2 6 5

Рассмотрим подмножество {b,c,d}: строим для него последовательность 1 1 1 0 0 0;

Рассмотрим подмножество {a,d}: строим для него последовательность 0 1 0 1 0 0;

Рассмотрим подмножество {d,a,f}: строим для него последовательность 0 1 0 1 1 0;

Рассмотрим подмножество : строим для него последовательность 0 0 0 0 0 0;

Рассмотрим подмножество {a,b,c,d,e,f}: строим для него последовательность 1 1 1 1 1 1.

Итак, каждому подмножеству будем сопоставлять последовательность из нулей и единиц

и наоборот.

Таким образом, нужно найти число последовательностей, состоящих из нулей и единиц.

На первое место можно поставить либо 0, либо 1;


14

На второе место можно поставить либо 0, либо 1;

…

На n-е место можно поставить либо 0, либо 1.

Согласно правилу умножения, получаем различных последовательностей, то есть

различных подмножеств.

Следствие:

Имеет место равенство: ∑

.


Поскольку - число всех k-элементных подмножеств n-элементного множества, то

∑

- число всех подмножеств n-элементного множества.

§4. Свойства чисел (биномиальные тождества):

,

.

Теорема:

Имеет место равенство:

.


1 способ доказательства теоремы (с помощью формулы):

.

2 способ доказательства теоремы (с помощью комбинаторных рассуждений):

Рассмотрим n учеников. Нужно выбрать k учеников для участия в соревновании. Это

можно сделать способами. Но это также можно сделать

способами.

3 способ доказательства теоремы (геометрическая интерпретация):

Рассмотрим прямоугольную сетку, состоящую из квадратов. Размер сетки: (n-k)*k.

k (n-k, k)

0 n-k-1 n-k

Каково число кратчайших путей из точки (0, 0) в точку (n-k, k)? (то есть двигаемся только

вправо и вверх).

Понятно, что каждый такой кратчайший путь состоит из n отрезков (n-k горизонтальных и k

вертикальных). Разные пути различаются лишь порядком чередования вертикальных и


15

горизонтальных отрезков. Поэтому общее число путей равно числу способов, которыми

из n отрезков можно выбрать k вертикальных отрезков, то есть .

Можно было бы рассматривать число способов выбора не k вертикальных отрезков, а n-k

горизонтальных отрезков, и мы получили бы тогда ответ .

Итак, с помощью геометрических рассуждений мы установили равенство:

.

Теорема:

Имеет место равенство:

.


1 способ доказательства теоремы (с помощью формулы):

.

.

.

=

(

)

(

)

.

2 способ доказательства теоремы (с помощью комбинаторных рассуждений):

Пусть множества A состоит из n элементов, . – это число всех k-элементных

подмножеств множества A.

Все k-элементные подмножества множества A разбиваются на 2 группы:

1) подмножества, в которые входит a;

2) подмножества, в которые не входит a.

Число подмножеств в первой группе: (для того, чтобы составить подмножество

первой группы, требуется к элементу {a} выбрать (k-1) элемент из (n-1)-элементного

множества A\{a}).

Число подмножеств во второй группе: (для того, чтобы составить подмножество

второй группы, требуется выбрать k элементов из (n-1)-элементного множества A\{a}).

Значит,

.

3 способ доказательства теоремы (геометрическая интерпретация):

Рассмотрим прямоугольную сетку (шахматный город), состоящую из квадратов (улицы –

вертикальные и горизонтальные отрезки). Размеры сетки: (n-k)*k. Число кратчайших путей

из точки (0, 0) в точку (n-k, k) равно

. Все такие пути можно разделить на 2

группы:

пути, проходящие через точку (n-k-1; k) – их число равно:

.

либо из точки (n-k; k-1) – их число равно:

.

Следовательно,

.


16

Задачи:

1. Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать 4 карты различных

мастей и достоинств?

Решение:

1 способ:

Имеем всего 52 карты – 4 масти, в каждой масти по 13 карт.

Первую карту можно выбрать 52 способами. Осталось 3 масти, причем каждая без

одной карты;

Вторую карту можно выбрать 36 способами. Осталось 2 масти, причем каждая без

двух карт;

Третью карту можно выбрать 22 способами. Осталась одна масть, причем каждая

без трех карт;

Четвертую карту можно выбрать 10 способами.

Итого: 52*36*22*10. Но не все они будут разными, то есть число способов выбрать 4

карты различных достоинств:

.

2 способ:

Переформулируем условие задачи: сколькими способами на «шахматной» сетке можно

расставить 4 ладей, чтобы они не были друг друга?

1 ладью можно поставить 13 способами;



4 ладью можно поставить 10 способами.


17

3 способ:

4 различных достоинства из 13 возможных можно выбрать способами. Тогда масти

можно переставлять 4! способами. Значит, всего 4!* =10*11*12*13 способов.

Ответ: 13*12*11*10.

2. В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого n-угольника, если никакие 3 из

них не пересекаются в одной точке?

Решение:

Каждой точке пересечения двух диагоналей соответствует 4 вершины n-угольника, а

каждым четырем вершинам n-угольника соответствует 1 точка пересечения диагоналей

(точка пересечения диагоналей n-угольника с вершинами в данных четырех точках).

Поэтому число всех точек пересечения равно числу способов, которыми среди n вершин

можно выбрать 4 вершины:

.

Ответ: .

3. Сколькими способами можно переставить буквы слова «эпиграф» так, чтобы и гласные,

и согласные шли в алфавитном порядке?

Решение:

Выберем 3 места для гласных. Это можно сделать способами. На эти места гласные

буквы мы можем расставить единственным образом: «а», «и», «э».

На оставшиеся места мы можем единственным образом расставить согласные так, чтобы

они шли в алфавитном порядке.

Ответ: .

Замечание:

В данной задаче мы так же могли сначала расставить согласные способами, согласно

рассуждению

4. «Генуэзская лотерея».

В прошлые века процветала так называемая генуэзская лотерея, сохранившаяся в

некоторых странах до сих пор. Суть ее заключается в следующем: Участники лотереи

покупали билеты, на которых стояли числа от 1 до 90. Можно было купить и билеты, на

которых было сразу 2, 3, 4 или 5 чисел. В день розыгрыша лотереи из мешка,

содержавшего жетоны с числами от 1 до 90 вынимали 5 жетонов. Выигрывали те, у

которых все числа на билете были среди вынутых. Например, если на билете были числа

8, 21, 49, а вынутыми оказались числа 3, 8, 21, 37, 49, то билет выигрывал; если же

вынутыми были, скажем, числа 3, 7, 21, 49, 3, то билет проигрывал – ведь числа 8 среди

них не оказалось.

Если участник лотереи покупал билет с один числом, то он получал при выигрыше в 15 раз

больше стоимости билета – если с двумя числами (амбо), то в 270 раз больше, если с

тремя (терн), то в 5500 раз больше, если с четырьмя числами (катерн) – в 75000 раз

больше, а если с пятью числами (квин), то в 1000000 раз больше, чем стоимость билета.


18

Многие люди пытались обогатиться, участвуя в этой лотерее, и ставя в каждом розыгрыше

на терн или амбо. Но почти никому не удавалось этого сделать.

Чтобы понять, в чем дело, попробуем сосчитать, каково отношение «счастливых» исходов

Лотереи к общему числу ее исходов при различных способах игры. Общее число исходов

лотереи: (порядок вынимаемых жетонов нам не важен).

Если участник купил билет с одним номером: для выигрыша необходимо, чтобы

один из вынутых номеров совпал с номером на билете. Остальные же 4 номера

могут быть любыми. То есть число благоприятных комбинаций в этом случае: .

Отношение благоприятного числа комбинаций к общему числу комбинаций равно:

.

Отношение благоприятного числа комбинаций к общему числу комбинаций при

игре на амбо:

.

Совсем невыгодными оказываются игры на терн, катерн и квин. Например, при

игре на квин отношение благоприятного числа комбинаций к общему числу

комбинаций:

. Платят же выигравшим лишь в 1000000раз больше.

Резюме:

О сочетаниях говорят в тех случаях, когда нас не интересует порядок элементов в

комбинации, а интересует лишь ее состав.

§5. Упорядоченные множества. Перестановки и размещения без повторений.

Определение: множество называется упорядоченным, если каждому его элементу

поставлено в соответствие некоторое число от 1 до n, где n – число элементов этого

множества, причем различным элементам соответствуют различные числа.

Замечания:

1) Любое конечное множество можно сделать упорядоченным. Для этого, например,

можно переписать все его элементы в виде списка {a, b, c, …} и каждому элементу

поставить в соответствие номер места, на котором он стоит.

2) Очевидно, что любое конечное множество, содержащее более одного элемента

можно упорядочить не единственным образом.

3) Рассмотрим множества: {a, b, c} и {b, a, c}. Они одинаковы, но если говорить об

упорядоченных множествах, то они будут одинаковы, если они состоят из

одинаковых элементов, идущих в одинаковом порядке.


19

Определение: Перестановками множества называются различные упорядоченные

множества, отличающиеся друг от друга только порядком элементов (то есть могут быть

получены из того же самого множества).

Например:

Рассмотрим множество A={a, b, c}.

Перестановки множества A:

{b, a, c}, {b, c, a}, {a, c, b}, {c, a, b}, {c, b, a}, {a, b, c}.

Пусть множество A состоит из n элементов. Найдем число способов, которыми можно

упорядочить множество A, то есть число различных перестановок множества A.

Обозначим число перестановок множества A как .

Теорема:

=n!


Будем последовательно выбирать элементы множества A и размещать их в

определенном порядке на n местах.

На 1-м месте один из n элементов;

После того, как первое место заполнено, на второе место ставим один из (n-1)

элементов;

…

По правилу умножения, все n мест можно заполнить n*(n-1)*…*2*1=n! способами.

Пример:

В первенстве по футболу участвуют 17 команд. Разыгрываются медали: золотые,

серебряные, бронзовые. Сколькими способами они могут быть распределены?

Решение:

Эта задача решается на основе правила произведения. Золотые медали может получить

любая из 17 команд. Но если золотые медали уже были получены какой-то командой, то

остается 16 претендентов на серебряные медали. Повторений здесь не может быть –

одна и та же команда не может завоевать и золотые, и серебряные медали. По правилу

произведения получаем, что медали могут быть распределены 17*16*15 способами.

Решенная задача относится к классу комбинаторных задач о размещении без повторений.

Общая формулировка таких задач такова:


20

Имеется n различных предметов. Сколько из них можно составить k-расстановок?

При этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга

хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных

в разном порядке.

Определение: Такие расстановки (или, что то же самое, упорядоченные k-элементные

подмножества n-элементного множества) называются размещениями без повторений из

n элементов по k, а их число обозначают .

Теорема:

Пусть множество A состоит из n элементов. Число всех упорядоченных k-элементных

подмножеств множества A равно n*(n-1)*…*(n-k+1)= .



При составлении k-размещений без повторений из n предметов нам нужно сделать k

выборов:

На первом шагу можно выбрать любой из n предметов;

Если этот выбор уже сделан, то на втором шагу приходится выбирать из оставшихся

(n-1) предметов;

…

На k-м шагу можно выбрать любо из (n-k+1) предметов.

Поэтому, по правилу произведения получаем, что число всех упорядоченных k-

элементных подмножеств множества A равно n*(n-1)*…*(n-k+1).


Число всех k-элементных подмножеств множества A равно . Но каждое k-элементное

подмножество можно упорядочить =k! способами. Значит, всего упорядоченных k-

элементных подмножеств множества A будет:

.

Комбинаторика

Documents

gt