整数とお友達になろう  第  348  回科学勉強会

辻　順平    @tsujimo-er  h-p://tsujimo-er.hatenablog.com  

日曜数学者,  数学普及委員会 （会員募集中!!）  

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2

※本スライドは  2014年9月22日に開催された  

「第348回科学勉強会」で辻が発表した資料をWeb用に改変したものです。  

　　　　　科学勉強会／NSIの  URL  はこちら 　h-p://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/  

 

 

※本スライドでは「整数」として「負の整数」は扱いません。  

　　　　　　　　　　　　（今回扱う）整数の例：　1,  2,  3,  …  

〜諸注意〜

それでは本編へどうぞ！→

3

「今日、整数を見かけましたか？」

整数に触れない日はない

でも、整数のことを意識することは少ない

そんなのもったいない！

整数とお友達になろう！  （普段の生活がいっそう楽しくなるよ）

提案

4

今日のお話

テーマ：整数とお友達になろう  

•  基礎知識編　  「いろいろな整数のグループ」  

•  応用編　      「整数のカタログ」  

–  1ケタの整数  

–  2ケタ以上の整数

5

今日のお話

テーマ：整数とお友達になろう  

•  基礎知識編　  「いろいろな整数のグループ」  

•  応用編　      「整数のカタログ」  

–  1ケタの整数  

–  2ケタ以上の整数

6

Q.  これらはどんな特徴を持った  整数のグループ？

a.  2,  4,  6,  8,  10,  12,  14,  …  

b.  2,  3,  5,  7,  11,  13,  17,  …  

c.  1,  4,  9,  16,  25,  36,  49,  …  

d.  5,  13,  17,  29,  37,  41,  …  

e.  7,  13,  19,  31,  37,  43,  …  

f.  7,  23,  31,  47,  71,  79,  …  7

Q.  これらはどんな特徴を持った  整数のグループ？

a.  2,  4,  6,  8,  10,  12,  14,  …  

b.  2,  3,  5,  7,  11,  13,  17,  …  

c.  1,  4,  9,  16,  25,  36,  49,  …  

d.  5,  13,  17,  29,  37,  41,  …  

e.  7,  13,  19,  31,  37,  43,  …  

f.  7,  23,  31,  47,  71,  79,  …  

←偶数  

←素数  

←平方数  

←4n+1型の素数  

←3n+1型の素数  

←8n+7型の素数  8

重要なのでおさらい

•  偶数  2  で割り切れる数  

•  素数  1  と自分自身でしか割り切れない数  

•  平方数  X2  の形で表すことのできる数  （1  から  2X-­‐1  までの  X  個の奇数の和は平方数  X2）

Ex.    42  =  16  =  1  +  3  +  5  +  7 9

4n  +  1  型の素数

4  で割って  1  余る素数はすべて    X2  +  Y2    

の形で表せる（X,  Y  は整数）    

5  =  22  +  12  

13  =  32  +  22  

17  =  42  +  12  

29  =  52  +  22  

10

3n  +  1  型の素数

3  で割って  1  余る素数はすべて    X2  +  3Y2    

の形で表せる（X,  Y  は整数）    

7  =  22  +  3・12  

13  =  12  +  3・22  

19  =  42  +  3・12  

31  =  22  +  3・32  

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ラグランジュの４平方定理

すべての整数は    X2  +  Y2  +  Z2  +  W2  

の形で表せる（X,  Y,  Z,  W  は 0  を含む整数）    

6  =  22  +  12  +  12  +  02  

7  =  22  +  12  +  12  +  12  

8  =  22  +  22  +  02  +  02  

9  =  32  +  02  +  02  +  02  

12

8n  +  7  型の素数

8  で割って 7  余るすべての素数は    X2  +  Y2  +  Z2  +  W2  

の形で表せる（ただし  X,  Y,  Z,  W  は 0  でない 整数）    

6  =  22  +  12  +  12  +  02  

7  =  22  +  12  +  12  +  12  

8  =  22  +  22  +  02  +  02  

9  =  32  +  02  +  02  +  02  

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今日のお話

テーマ：整数とお友達になろう  

•  基礎知識編　  「いろいろな整数のグループ」  

•  応用編　      「整数のカタログ」  

–  1ケタの整数  

–  2ケタ以上の整数

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整数のカタログ  1  ケタの整数

1 2 3 4 5 6 7 8 9

15

1  単数 2  

唯一の  偶数の素数  

3  

最小の奇素数 16

最初はまとめて・・・

4  十分な数

17

4  十分な数

•  すべての整数は 高々 4  つの平方数で表せる（四平方定理）  

•  すべての平面的な白地図は 4  色で塗り分けられる（四色問題） 18

Wikipedia  「四色定理」より引用

"Four  Colour  Map  Example  svg  jp"  by  Induc^veloadのものを修正 -­‐  ウィキメディア・コモンズ掲載のものを修正.  Licensed  under  Crea^ve  Commons  A-ribu^on-­‐Share  Alike  3.0  via  ウィキメディア・コモンズ -­‐  h-p://commons.wikimedia.org/wiki/File:Four_Colour_Map_Example_svg_jp.PNG#mediaviewer/File:Four_Colour_Map_Example_svg_jp.PNG

5  4n  +  1型の最小の素数 7  

3n  +  1型の最小の素数 19

90°

辺の長さが 3,  4,  5  の三角形

5

3

4 7  3n  +  1型の最小の素数

20

90°

辺の長さが 3,  4,  5  の三角形

5

3

4

辺の長さが 3,  5,  7  の三角形

7

3

5

120°

21

7  3n  +  1型の最小の素数

7  の立方数 343  のすべての約数の和は 平方数 となる

73  =  343  の約数:  1,  7,  49,  343

1  +  7  +  49  +  343      =      400

22

202  は 平方数

立方数 x3  のすべての約数の和は 平方数 となる

x  =  7,      751530,      …

23

のとき

6  完全な数

24

6  完全な数

6  =  1  +  2  +  3

6  の約数:  1,  2,  3,  6

完全数：　（自分自身を除く）すべての約数の和と等しい数

次の完全数は 28

8,  9  カタラン予想のペア

26

xm  –  yn  =  1

を満たすような  0  でない整数  x,  y,  m,  n  の組は？  （ただし、m,  n  は  2  以上）

27

xm  –  yn  =  1

を満たすような  0  でない整数  x,  y,  m,  n  の組は？  （ただし、m,  n  は  2  以上）

32  –  23  =  1

だけ 9 8 28 検索 カタラン予想

整数のカタログ  1  ケタの整数  (Complete!!)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

単数 唯一の  

偶数の素数 最小の奇素数 四平方定理 4n  +  1型素数

最小の完全数 3n  +  1型素数 カタラン予想のペア 29

41 39

1729 素数を生み出す魔法の数 特徴がない数

特徴がない数？

整数のカタログ  2ケタ以上の整数

30

41  素数を生み出す魔法の数

31

41  素数を生み出す魔法の数 n2  +  n  +  41  

n  =  0  から n  =  39  まで素数を発生させる多項式  

（発見者：オイラー） 32

n2  +  n  +  41  n  =  0  から n  =  39  まで素数を発生させる多項式

02  +  0  +  41  =          41  

12  +  1  +  41  =          43  

22  +  2  +  41  =          47  

32  +  3  +  41  =          53  

42  +  4  +  41  =          61  

...  

382  +  38  +  41  =      1523  

392  +  39  +  41  =      1601

40個  すべてが素数！

33

39  特徴のない数

『39  は最初の「特徴のない数」であり、  「特徴のない数の集合のなかで最小の要素である」という特徴のある数』  David  Wells  『The  Penguin  Dic^onary  of  Curious  and  Interes^ng  Numbers』

34

1729  特徴のない数？

35

ケンブリッジの秀才数学者  

ラマヌジャンを見舞う  

インドから来た天才数学者  

病気がちで現在入院中  

36

ラマヌジャン  （Wikipedia  「シュリニバーサ・ラマヌジャン」より引用）

ハーディー  （Wikipedia  「ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディー」より引用）

"Srinivasa  Ramanujan  -­‐  OPC  -­‐  1"  by  Konrad  Jacobs  -­‐  Oberwolfach  Photo  Collec^on,  original  loca^on.  Licensed  under  Crea^ve  Commons  A-ribu^on-­‐Share  Alike  2.0-­‐de  via  ウィキメディア・コモンズ -­‐  h-p://commons.wikimedia.org/wiki/File:Srinivasa_Ramanujan_-­‐_OPC_-­‐_1.jpg#mediaviewer/File:Srinivasa_Ramanujan_-­‐_OPC_-­‐_1.jpg

"Ghhardy@72"  by  不明 -­‐  A  mathema^cian's  apology.  Licensed  under  Public  domain  via  ウィキメディア・コモンズ -­‐  h-p://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ghhardy@72.jpg#mediaviewer/File:Ghhardy@72.jpg

37

タクシーのナンバーは  

 1729  だったよ。  

さして面白くもない数だ。  

38

そんなことはありません！  

1729  は・・・

39

1729  =  13  +  123  =  93  +  103

「1729  は 立方数の和で    2  通りに表せる最小の数です」

立方数の和 立方数の和

検索 タクシー数

40

「ラマヌジャンはすべての数と親友であった」　  by  ハーディー

参考文献　  G.H.  ハーディー，「ある数学者の生涯と弁明」，丸善出版

整数の調べ方 h-p://ja.wikipedia.org/wiki/384

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整数の見つけ方

•  勉強会 第 348  回  à    348    

•  今 21  時 41  分    à    2141  

•  誕生日 5  月 9  日  à    59  

好きな整数を見つけて整数とお友達になろう！

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まとめ

•  様々なグループの整数がある  

偶数、奇数、素数、平方数、4n+1型の素数、・・・  

•  数字に個性が見える  

•  ラマヌジャンのように整数とお友達になろう

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