примеры

1. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

При решении задач на проценты весьма полезными будут следующие правила.

1. Чтобы найти, сколько процентов от числа А составляет число В, нужно В разделить

на А и умножить на 100%, т.е. В составляет В/А*100% от числа А.

2. Чтобы найти а% от числа В, нужно а умножить на В и разделить на 100, т.е. число,

составляющее а% от числа В, равно а*В/100.

3. Если число А составляет а% от неизвестного числа В, то В = А*100/ а,

Пример 1. На сколько процентов перевыполнил свое задание станочник, если он изготовил

510 деталей вместо 375 по норме?

Решение.

510 деталей составляют

510

375100 % 136%

от нормы.

Поэтому станочник перевыполнил свое задание не 136 - 100 = 36%-

Ответ: на 36%.

Пример 2. На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. После сушки

оказалось, что содержание воды в ягодах снизилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

Решение.

Перейдем от процентного содержания воды к процентному содержанию сухого вещества. До

сушки сухое вещество составляло 1% от веса ягод. По второму правилу его вес равен

100 1100

1кг.

После сушей вес сухого вещества не изменился, но стал составлять 2% от нового веса ягод.

По третьему правилу новый вес ягод равен

1 1002

50 кг, т.е. в результате сушки ягоды

потеряли в весе половину.

Ответ: 50 кг.

Пример 3. В январе завод дополнил 105% месячного плана, а в феврале дал продукции на 4%

больше, чем в январе. На сколько 1процентов завод перевыполнил двухмесячный план

выпуска продукции?

Решение. Для удобства обозначим через А количество продукции, производимой заводом

ежемесячно по плану. Тогда в январе завод произвел 105А/100 = 1,05А продукции. В

феврале было произведено на 4% больше, т.е. объем продукции, произведенной в феврале,

составляет 104% от продукции, произведенной в январе. Следовательно, в феврале было

произведено 104*1,05А/100 = 1,092А продукции.

За два месяца завод произвел 1,05А + 1,092А = 2,142А продукции против 2А по плану. Но

2,142А вставляют

2.142À

2À100 % 107.1%

от 2А. Поэтому завод перевыполнил двухмесячный план на 7,1%

Ответ: на 7,1%.

Пример 4. Стоимость 60 экземпляров первого тема и 75 экземпляров второго тома

составляют 270 руб. В действительности, за все эти книги уплатили только 237 руб., так как

была произведена скидка: на первый том в размере 15%, а на второй - в размере 10%. Найти

первоначальную стоимость каждого тома.

Решение. Обозначим через х цену первого тома в рублях, а через у - цену второго тома. По

условию 60x + 75у = 270. Новая цена первого тома составляет 100 - 15 = 85% от старой, т.е.

она равна 85x/100 = 0,85х руб.. Аналогично, новая цена второго тома равна 0,9у руб. Цена

всего комплекта книг будет 60*0,85x+75*0,9у= 51x + 67,5y. По условию это число равно 237

руб. Имеем систему

60x + 75y = 270 4x + 5y = 18

51x + 67,5y = 237 или 17x + 22y = 79

решая ее, находим y=2, x=2.

Ответ: цена каждого тома 2.

Задачи для самостоятельного решения

1. Сколько кг вода нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% вода,

чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

2. Цену товара снизили на 20%, затем новую цену снизили на 15% и, наконец, после

перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили

первоначальную цену товара?

3. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к

30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

4. В двух мешках находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй

12,5% муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках будет поровну.

Сколько кг муки в каждом мешке?

5. Сплав весит 2 кг и состоит аз серебра и меда, причем вес серебра составляет ,1 4%

веса меди. Сколько серебра в сплаве? Цена товара была повышена на 26%. На сколько

процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.

6. Для определения оптимального режима повышения цен социологи предложили

фирме с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя

способами. В одном – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в другом –

через каждые 2 месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число

процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковы.

На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца во втором

магазине?

7. Банк предложил клиентам два вида вклада. Первый «До востребования» со

следующим порядком начисления процентов: каждые 6 месяцев счет увеличивается

на 10% от суммы, имеющейся на счету клиента в момент начисления. Второй вклад

«Номерной» с ежегодным начислением процентов по вкладу. Сколько процентов

годовых должен начислять банк по второму вкладу, чтобы равные суммы,

положенные клиентом на каждый из указанных счетов, через два года оказались снова

равными?

8. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была

обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 3%. Однако в

связи с финансовыми затруднениями она повышать эту зарплату только раз в полгода

(в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать

зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника была

равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения,

предусмотренным договором?

2. ЗАДАЧИ НА СМЕСИ

При решении задач на смеси нужно помнить, что при смешивании двух или большего

числа составов совокупный объем (или масса) каждой компонента равен сумме объемов

(соответственно, масс) этой компоненты в каждом составе. Поэтому при решении задач на

смеси желательно всегда переходить к объемам (или массам) смешиваемых ингредиентов.

Задачи на процентное содержание

Пример 1. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%, Сколько

нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в

30%?

Решение. Обозначим через x и у необходимые количества стали 1 и 2 сорта,

соответственно. Тогда общий вес сплава будет равен x + y. По условию, x + у = 140.

Перейдем теперь от процентного содержания к массам.

Содержание никеля в стали первого сорта равно 5%. Поэтому в x т стали первого сорта

содержится x*5/100 = 0,05x т никеля.

Точно так же в y т стали второго сорта содержится 0,4у т никеля. Но тогда в полученных

140 т сплава никеля будет (0,05x + 0,4y) т. По условию это число составляет 30% от 140 т,

т.е. равно 140*30/100 = 42 т. Таким образом, получаем систему

x + y = 140 x + y = 140

0,05x + 0,4y = 42 или x + 8y = 840

Отсюда y=100, x=40.

Ответ: 40 т стали 1 сорта и 100 т второго сорта.

Пример 2. Вычислить вас и процентное содержание серебра в сплаве с медью, зная, что

сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его

с 2 кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав с 84% содержания серебра.

Решение. Обозначим через х общий вес сплава, а через y - вес входящего в этот сплав

серебра. Если сплавить этот сплав с 3 кг чистого серебра, то получится сплав весом (x+3) кг,

содержащий (y+3) кг серебра. По условию у+3 составляет 90% от х+3, т.е. y + 3 =

90(x+3)/100 = 0,9(x+3).

В 2 кг 90%-ого сплава содержится 2*90/100 =1,8 кг серебра. Поэтому, сплавив

первоначальный сплав с 2 кг 90%-ога сплава, мы получим сплав, который весит (x+2) кг и

содержит (y+1 ,8) кг серебра. По условию имеем

у+1,8 = 84(х+2)/100 = 0,84x -1,68.

Итак, мы получили систему

y + 3 = 0,9x +2,7

y + 1,8 = 0,84x + 1,68

Вычитая из первого уравнения второе, получим 1,2 = 0,06x + 1,02. Отсюда 0,06x = 0,18;

x = 3. Но тогда

у = 0,9х - 0,3 = 2,7 - 0,3 = 2,4. Остается заметить, что 2,4 кг составляют 2 4*100/3 = 80%

от 3 кг.

Ответ: вес сплава равен 3 кг, процентное содержание серебра - 80%.


1. Сплав меда и цинка весом в 24 кг при погружении в воду потерял в своем весе 2 кг.

Определить количество мода и цинка в этом сплаве, если известно, что медь теряет з в

воде 11 своего веса, а цинк 14 своего веса.

2. Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного

раствора. Сколько г каждого раствора было взято?

3. Имелось два разных сплава меда. Процент содержания меди в первом сплаве был на

40 меньше, чем во втором. После того, как их сплавили вместе, получили сплав,

содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в каждом сплаве,

если известно, что меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором 12 кг.

4. От двух кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих 10 кг и 20

кг, отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком

другого куска, после чего процентное содержание меди в сплавах стало одинаковым.

Сколько весил каждый из кусков?

5.Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав

содержит 40% олова, а второй — 28% меди. Процентное содержание цинка в первом и

втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили

новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определить, сколько кг олова содержатся в

получившемся сплаве.

3. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТНОЕ СОДЕРЖАНИЕ, СМЕСИ И СПЛАВЫ

Пример 1: Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 12% воды. Сколько получится

сухих грибов из 44 кг свежих?

Решение: По условию 44 кг свежих грибов содержат 44 • 0,9 = 39,6 кг воды, а значит, сухого

вещества 44 — 39,6 = 4,4 кг.

Обозначим массу сухих грибов, которую можно получить из 44 кг свежих, через х кг.

Эти х кг состоят из 0,12л; кг воды и 0,88х сухого вещества.

Так как масса сухого вещества и в свежих, и в сухих грибах одна и та же, то 0,88* = 4,4.

Эту задачу можно было решить и без помощи алгебры —

арифметически.

Ответ: 5 кг.

Задача для самостоятельного решения

1. Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной

части воды. Нектар содержит 70% воды, а полученный из него мед — 17% воды.

Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1 кг

меда?

2. Сплав алюминия и магния отличается большой прочностью и пластичностью. Взяли

два таких сплава, сплавили их и получили сплав, содержащий 4% магния. Отношение

масс первого и второго сплавов равно 3:2. определите процент содержания магния во

втором сплаве, если первый сплав содержит 6% магния.

3. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и

20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по

куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84% золота.

Определите массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка.

4. ЗАДАЧИ НА ОТНОШЕНИЕ КОМПОНЕНТ

Аналогично решаются задачи на смеси, в которых задано не процентное содержание

компонент, а отношение их масс (или объемов) между собой, или отношение масс

компонент к массе, всей смеси. При этом нужно понимать, что если отношение количеств

двух компонент, составляющих смесь, равно m:n, то первая компонента составит -ю

часть смеси, а вторая - ю часть смеси.

Пример 1. Имеются два сплава золота и серебра; в одном эти металлы находятся в

отношении 2:3, а в другом в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы

получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Решение. Обозначим через x необходимое количество первого сплава, а через y - второго.

По условию х + у = 8. Так как отношение количества золота к количеству серебра в первом

сплава равно ⅔, то в х кг этого сплава содержится кг золота и кг

серебра. Аналогично, в y кг второго сплава содержится кг золота и кг серебра.

Суммарное количество золота равно кг. По условию это составляет от

8 кг, т.е. кг. Имеем систему

x + y = 8 x + y = 8

0,4x + 0,3y = 2,5 или 4x + 3y = 25

Отсюда x=1, y = 7.

Ответ: 1 кг первого сплава и 7 кг второго.

Пример 2. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4:1 и 1:3 (по весу). После

совместной переплавки 10 кг первого сплава, 16 кг второго сплава и нескольких кг чистой

меди получили сплав, в котором медь и цинк относятся как 3:2, Определить вес нового

сплава.

Решение. Обозначим через х вес добавленной чистой меди. Тогда полученный сплав будет

весить 10+16+x= х+26 кг. Найдем вес меди, входящей в этот сплав. По условию 10 кг

первого сплава содержат кг меди, а 16 кг второго сплава, соответственно

кг меди. Поэтому общий вес меди равен 8+4+x = 12+x кг. Но в полученном

сплаве медь составляет

3

3 23

5

части всего сплава. Поэтому 12 + x = 3/5*(x+26). Отсюда

60 + 5x = 3x +78, 2х=18, x = 9. Следовательно, вес нового сплава равен 26+ х = 35 кг.

Ответ: 35 кг.


1. Одна бочка содержит смесь спирта c водой в отношении 2:3, а другая - в отношении

3:7. Поскольку ведер нужно взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси,

в которой спирт и вода были бы в отношении 3:5?

2. В двух сплавах медь и цинк относятся как 5:2 и 3:4 (по весу). Сколько нужно взять кг

первого сплава и сколько второго, чтобы после совместной переплавки получить 28

кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

3. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в

отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3.

Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав,

содержащий те же металлы в отношении 17:27?

4. Имеются два сплава меда и цинка. В первом сплаве меди

в два раза больше чем цинка, а во втором меда в пять раз меньше

чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава чем

первого, чтобы получить сплав, в котором цинка было бы в два раза

больше чем меди?

5. ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ

При решении задач на переливание, как правило, удобным оказывается выписывание

содержимого всех емкостей после каждого переливания.

Пример 1. Из бака, наполненного чистым спиртом, вылили часть спирта и долили таким

же количеством воды; потом из бака вылили столько же литров смеси. Тогда в баке осталось

49 л чистого спирта. Вместимость бака 64 л. Сколько спирта вылили в первый раз и сколько

во второй?

Решение. Первоначальное содержание бака: спирт - 64 л, вода- 0 л. Предположим, что

первый раз вылили х л спирта. Тогда после первого переливания состав содержимого бака

был следующим: спирт (64-х) л, вода x л. Это означает, что в одном литре полученной

смеси содержится л чистого спирта.

Во второй раз из бака вылили х л смеси. Но в x л смеси содержится л спирта.

Поэтому после отлива x л смеси в баке осталось л чистого спирта. По

условию это количество равно 49 л. Из уравнения

после приведения в левой части его к общему знаменателю получим . Отсюда,

Итак, первый раз отлили 8 л спирта, а второй л чистого спирта.

Ответ: в первый раз 8 л, во второй 7 л.

Пример 2. В трех сосудах налита вода. Если ⅓ воды из первого сосуда перелить во

второй, затем воды, оказавшейся во втором, перелить в третий и, наконец, воды,

оказавшейся в третьем, перелить в первый, то в каждом сосуде окажется по 9 л. Сколько

воды было в каждом сосуде первоначально?

Решение. Предположим, что первоначально в первом сосуде было x л вода, во втором у

л и в третьем z л вода. Сначала из первого сосуда перелили во второй ^я л вода.

Поэтому после первого переливания содержимое сосудов стало следующим:

I -

л

II -

л

III - z л

На второго шаге из второго сосуда в третий было перелито л

воды, в результате содержание воды в сосудах изменилось следующим образом:

I -

л

II -

л

III -

л

При третьем переливании в первый сосуд из третьего было перелито

л воды. И сосуды стали содержать следующее количество воды:

I: л

II: л

III: л

По условию после третьего переливания в каждом сосуде стало по 9 л воды. Поэтому имеем:

вычитая из третьего уравнения системы второе, умноженное на 3/10, получим

и . Отсюда z=7. Поэтому система примет вид:

Умножим второе уравнение на 3 и вычтем из него первое. Получим 80х + 84 = 1044.

Следовательно, x = 12. Но тогда y=8.

Ответ: 12, 8 и 7 л, соответственно.

Пример 3. Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином, отлили 2 л

глицерина, а к оставшемуся глицерину долили 2 л воды. После перемешивания снова отлили

2 л смеси и долили воды. Затем еще раз после перемешивания отлили 2 л смеси и долили

водой. В результате этих операций объем воды в сосуде стал на 3 л больше объема

оставшегося в нем глицерина. Сколько литров глицерина и вода оказалось в сосуде в

результате проделанных переливаний?

Решение. Обозначим через x вместимость сосуда. Тогда первоначальный состав его: х л

глицерина и 0 л вода. После первого переливания получили (x-2) л глицерина и 2 л воды.

Один литр полученной смеси содержит л глицерина. Поэтому после второго

переливания в сосуде окажется л глицерина. А один литр новой

смеси будет содержать л глицерина. В результате третьего переливания,

содержимое глицерина в сосуде станет равным

л. По условию воды стало на 3 л больше глицерина. Поэтому:

. Отсюда x3 – x3 + 6x2 + 8 = x3 – 6x2 + 12x – 8 + 3x2 , т.е.

x3 – 9x2 + 24x – 16 = 0

Так как сумма коэффициентов левой части уравнения равна нулю, то х1 = 1 является

корнем уравнения. Этот корень будет для нас лишним, так как из сосуда емкостью 1 л

нельзя отлить 2 л глицерина. Разделив левую часть уравнения на (x-1), получим x2 – 8 +16 =

0. Отсюда x = 4. Итак, емкость сосуда равна 1 л. Содержание глицерина после третьего

переливания равно , а воды 4-0,5=3,5 л

Ответ: 0,5 и 3,5 л.


1. Сосуд в 20 л наполнен спиртом. Из него выливают некоторое количество спирта в

другой, равный ему, и, дополнив остальную часть второго сосуда водой, дополняют

этой смесью первый сосуд. Затем из первого отливают 6 во второй, после чего, в

своих сосудах содержится одинаковое количество спирта. Сколько отлито

первоначально спирта из первого сосуда во второй?

2. Сосуд емкостью 8 л наполнен воздухом, содержащем 16% кислорода. Из этого посуда

выпускают некоторое количество воздуха и впускают такое же количество азота,

после чего опять выпускают. Такое же, как и в первый раз, количество смеси и опять

дополняют таким же количество азота. В новой смеси оказалось 9% кислорода.

Определить, по сколько литров выпускалось каждый раз из сосуда.

3. Для изготовления уксуса определенной крепости в сосуд, содержащий 12 л уксусной

эссенции, долили 20. л воды. В другом сосуде содержалось 13 л более крепкого

уксуса: на 9 л уксусной эссенции приходилось только 4 л воды. Сколько литров

уксуса, надо перелить яз первого сосуда во второй, чтобы уравнять во втором

сосуде содержание уксусной эссенции и вода?

4. Из полного бака, содержащего 729 л кислоты, отлили а литров и долили бак водой.

После тщательного перемешивания отлили а л раствора и снова долили бак водой.

После того, как такая процедура была повторена 6 раз, раствор в баке содержал 64 л

кислота. Найти величину а.

5. Три одинаковых сосуда наполнены спиртом. Из второго и третьего сосудов отливают

по 5 л (строго больше половины) спирта доливают водой. Затем из третьего сосуда

отливают а л смеси и доливают его водой. После этого объем спирта в первом и

втором сосудах, вместе взятых, в раза больше, чем объем спирта в первом и

третьем сосудах, вместе взятых. Какую часть объема сосуда составляют a л?

6. ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

При решении задач на целые числа цифра искомого числа обычно приходится

обозначать буквами. Чтобы не путать запись abc числа, состоящего из а сотен, b десятков и c

единиц, с произведением чисел а, b и c, условимся запись числа отмечать черточкой сверху.

Таким образом, запись abc. означает число 100а+10b+с. При этом а, b и c являются цифрами

числа abc. Поэтому 0≤ а,b,c≤ 9 и а ≠ 0.

Пример 1 . Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к искомому числу прибавить

36, то полечится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это

число.

Решений. Пусть ab - искомое число. Тогда a + b = 12. Так как ab = 10а + b, и bа = 10b + а, то

второе условие запишется в виде. 10а + b + 36 = 10b+a . Итак, имеем

a+b=12

10a+b+36=10b+a

Из второго уравнения получаем 9a – 9b = -36, т.е. а - ь = -4. Складывая это уравнение с

первым уравнением системы, получим 2а = 8, откуда а= 4. Но тогда b = 12 - а = 8.

Ответ: искомое число 48,

Пример 2. Ученику надо было умножить 78 на двузначное

число, в котором цифра десятков втрое больше цифры единиц. По

ошибке он переставил цифры во втором множителе, отчего получил

произведение на 2808 меньше истинного. Чему равно истинное

произведение? -

Решение. Обозначим через ab неизвестный множителе Тогда а = 3b, и 78*ab – 78*ba =

2808, т.е. аb - bа = 36. Подставляя а = 3b в равенство 10а + b – 10b -a = 36, получим 18b =

36. Отсюда b=2, а = 6, и искомое произведение равно 78*62 = 4836.

Ответ: 4836.

Пример 3. Некоторое двузначное число в четыре раза больше суммы и в три раза больше

произведения своих цифр. Найти это число.

Решение. Пусть ab - искомое, число. Тогда по условию имеем

10а +b = 4(а + b) И 10а +b = Заb.

Из первого уравнения получаем b = 2а и, подставляя во второе, будем иметь 12a = 6a2.

Отсюда a1=0, а2 = 2. Так как первая цифра двузначного числа не может быть равной нулю,

то остается а = 2. Тогда b = 2а = 4.

Ответ: 24.

Выясним, что произойдет, если к некоторому числу х приписать справа еще одну цифру.

Предположим, для определенности, что x = abc. Тогда после приписывания к нему цифры а

получим число abcd. Так как

abcd = 1000а + 100b + 10c + d и abc = 100а + 10b+c

abcd = 10(100а + 10b +c)+ d = 10*abc + d.

Таким образом, чтобы приписать к числу x справа некоторую цифру, нужно x умножить на

10 и к полученному произведению прибавить эту цифру.

Так же легко убедиться, что если к числу x приписать справа трехзначное число abc, то

да получим число 1000x + abc.

Пример 4. Определить целое положительное число по следующим данник: если

приписать к нему справа цифру 5, то получится число, делящееся без остатка на число,

большее искомого на 3, и в частном получается число на 16 меньшее делителя.

Решение. Пусть х - искомое число. После приписывания справа цифры 5 получим число

10x+5. По условию это число делится на (х+3), и при этом в частном получается

(х+3)-16=x-13. Таким образом, 10x+5= (x+3)(x-13). Отсюда x2 – 20x - 44 =0,

x1,2=10+12. x1=10-12=-2 не подходит по условию (число должно быть

положительным). Остается х = 10+ 12 = 22.

Ответ: 22.

Сходным образом решаются задачи, в которых задано не одно, а

два или три числа.

Пример 5. Найти два двузначных числа, обладающие следующим свойством: если к

большему из них приписать справа ноль и за ни меньшее число, а к меньшему приписать

справа большее число, и затем ноль, то из образовавшихся таким образом пятизначных

чисел первое, будучи разделено на второе, дает в частном 2 и в остатке 590. Кроме того,

известно, что сумма, составленная из удвоенного большего искомого числа к утроенного

меньшего, равна 72,

Решение, Пусть x - большее из искомых чисел, а у - меньшее. После соответствующих

приписываний мы получим числа 1000x + у и 1000y +10x, соответственно. По условию

1000x + y = 2(1000y+ 10x)+ 590, или 980x – 1999y = 590.

Из второго условия следует 2х + Зу =72. Имеем

980x-1999y=590

2x+3y=72

Вычитая из первого уравнения системы второе, умноженное на 490,

получим –3469y = -34690. т.е. y=10. Но тогда х=(72-Зу)/2= 21.

Ответ: 21и10.

Пример 6: Ученик при перемножении двух натуральных чисел, одно из которых на 94

больше другого, ошибся, уменьшив в произведении цифру десятков на 4. При делении, для

проверки ответа, ошибочного произведения на больший из множителей он получил в

частном 52, а в остатке — 107. Какие числа он перемножал?

Решение: Обозначим меньший из множителей через х. Тогда больший множитель равен

х + 94.

Так как ученик уменьшил в произведении цифру десятков на 4, то ошибочное

произведение меньше истинного на 40, т. е. равно х(х + 94) — 40. Получаем уравнение:

х(х + 94) - 40 = (х + 94)52 + 107. Решая его,

находим:

х= 53, х + 94 = 147.

Ответ: 53, 147.

Пример 7: Если двузначное число разделить на некоторое натуральное число, то в частном

получится 3, а в остатке — 8. Если в делимом поменять местами цифры, а делитель

оставить прежним, то в частном получится 2, а в остатке — 5. Найдите первоначальное

двузначное число.

Решение: Обозначим исходное двузначное число через аb, а делитель — через х. Имеем

систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Помогает здесь то обстоятельство, что систему нужно решить в целых числах, точнее,

натуральных; к тому же здесь а и b — цифры. Преобразуем систему:

Вычтем уравнения этой системы: 9(а - b) =х+ 3.

Следовательно, х + 3 делится на 9. С помощью перебора находим, что этому условию

удовлетворяют значения х = 6, 15, 24 (значение х = 33 хотя и удовлетворяет условию,

но число Зх + 8 получается не двузначным, а трехзначным).

Проверим найденные значения х по первоначальной системе. Оказывается, подходит

только х = 15: тогда аb = 53, bа = 35.

Ответ: 53.


1. В рукописи учебника по математике был написан пример, в котором некоторое число

нужно было умножить на 3 и от полученного результата отнять 24. В типографии

допустили опечатки: вместо знака умножения поставили знак деления, а вместо

минуса — плюс. Тем не менее ответ к примеру не изменился. Какой пример должны

были поместить в учебнике?

2. Имеются два двузначных числа а и Ъ. Если число а написать впереди b и полученное

четырехзначное число разделить на b, то в частном получится 84, а в остатке — 14.

Если же число b написать впереди а и образовавшееся четырехзначное число

разделить на а, то деление выполнится без остатка, а в частном получится 121.

Найдите числа а и b.

3. Одну и ту же площадку можно покрыть плитками трех цветов тремя способами. При

первом способе покрытия потребуется по 100 плиток белого, черного и серого цветов,

при втором способе — 150 белых, 150 черных и 50 серых плиток, при третьем — 200

белых, 50 черных и 60 серых. Во сколько раз площадь серой плитки больше площади

черной плитки?

4. Ученик должен был перемножить два трехзначных числа и полученное произведение

разделить на пятизначное число. Он не заметил знака умножения и принял два рядом

стоящих числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное оказалось в три

раза больше истинного. Найдите все три числа.

5. Найти двузначное число, зная, что число его единиц на два больше числа десятков, и

что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

6. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то

получится число, записанное теки же цифрами, но в обратном порядке. Найти это

число.

7. Найти двузначное число, частное от деления которого на произведение его цифр

равно 2⅔, а разность между искомым числом и числом, записанным теми же цифрами,

но в обратном порядке, равна 18.

8. Какое двузначное числа меньше суммы квадратов его цифр на 11 и больше их

удвоенного произведения на 5?

9. Задумано целое положительное число. К его записи присоединили справа цифру 7, а

из полученного числа вычли квадрат задуманного числа. Остаток умножили на и

получили задуманное число. Найти его.

10. Сумма двух трехзначных чисел, написанных одинаковыми цифрами, но в обратном

порядке, равна 1252. Найти эти числа, если сумма цифр каждого из них равна 14, а

сумма квадратов этих цифр равна 84.

6. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ

Главное при решении задач на движение - установить, исходя из условия, связь между

параметрами движения, т.е. временем, скорость и расстоянием. В случае равномерного

движения S = v*t. Отсюда v = S/t и t =S/v. Если весь путь S разбит на отрезки S1, S2, ... , Sk, и

на каждом из этих отрезков скорость постоянна и равна v1,v2…vk соответственно, то время

нахождения в пути вычисляется по формуле: .

При этом средняя скорость на всем пути равна S/t.

При решении задач на движение нужно обязательно следить за тем, чтобы измерения

параметров движения соответствовали друг другу, т.е. либо время в часах, расстояние в км,

скорость в км/час, либо время в сек, расстояние в метрах, скорость в м/сек.

Задачи на движение одного объекта

Пример 1. Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин и нагнал опоздание на

перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/час большей, чем полагалось по расписанию.

Какова скорость поезда по расписанию?

Решение. Обозначим через x скорость поезда Тогда перегон в 80 км он должен был

пройти за 80/x часов. На самом деле он шел со скоростью (x+10) км/час и прошел этот

перегон на 16/60 = 4/15 часа быстрее. Поэтому .

Отсюда , 4x2+40x-800*15=0, или x2+40x-3000=0.

Решая это уравнение, получим x1=50, x2=-60. Так как скорость в этой задаче не может быть

отрицательной, то x=50.

Ответ: 50 км/ч.

Пример 2. Поезд должен был пройти 840 км в определенное время. На половине пути

поезд был задержан у семафора на 1/2 часа и для того, чтобы прибыть к месту назначения в

срок, увеличил скорость на 2 км/час. Сколько времени поезд находился в пути?

Решение. Не смотря на то, что требуется найти время нахождения поезда в пути, здесь

удобно в качестве неизвестного взять скорость. Обозначим через x скорость поезда по

расписанию. Тогда половину пути, т.е. 420 км, он шел со скоростью x км/час, а вторую

половину пути со скоростью (x+2) км/час. С учетом получасовой задержки получим

Чтобы найти x, заметим, что с новой скоростью поезд прошел вторую половину пути на

полчаса быстрее, чем планировалось. Поэтому .

Отсюда или x2+2x-1680=0

Решая квадратное уравнение, получим х1 =40, х2 = -42. Следовательно, x = 40 км/час, и

, t=21

Ответ: 21 час.

Пример 3. Расстояние между городами по реке 80 км. Пароход совершает этот путь в

оба конца за 8 час 20 мин. Определить скорость парохода в стоячей воде, считая

скорость течения реки равной 4 км/ч.

Решение. При движении парохода по течению реки его скорость увеличивается на 4

км/час, а при движении против течения уменьшается. Поэтому, обозначив через x скорость

парохода в стоячей воде, получим

Отсюда, , т.е. 25x2-480-400=0. Поэтому , x=-4/5 не

подходит, и остается x=20.

Ответ: 20 км/ч


1. Велосипедисту надо проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 мин позже

назначенного срока, велосипедист ехал со скоростью на 1 км/час больше и прибыл

вовремя на место. Определить скорость, с которой ехал велосипедист.

2. Дачник, идущий к поезду, пройдя за первый час 3,5 км, рассчитал, что

двигаясь с такой скоростью, он опоздает на 1 час. Поэтому остальной путь он

проходит со скоростью 5 км/час и приходит за 30 мин до отхода поезда. Определить,

какой путь должен был пройти дачник.

3. Некто проехал в лодке по реке из города а в город в затратив на это 10 час.

Расстояние между городами 20 км. Найти скорость течения реки, зная, что он 2 км

против течения проезжает в такое же время, как 3 км по течению реки.

4. Пароход идет из Киева в Днепропетровск в течении двух суток, обратно -

в течении трех суток. Определить, сколько времени будет плыть плот из Киева в

Днепропетровск.

Задачи на встречное движение

Если два объекта едут навстречу друг другу со скоростями v1 и v2 соответственно, то

скорость их сближения равна (v1+v2). Поэтому, если в некоторый момент времени

расстояние между ними равно S, то они встретятся через S/(v1+v2) часов. А через t часов

после встречи, продолжая движение в том же направлении, они будут находиться на

расстоянии S1 = t•(v1+v2) км друг от друга.

Пример 4. Из двух мест, расстояние между которыми 650 км, отправляются два поезда

навстречу друг другу. Если оба поезда тронутся с места одновременно, то они встретятся

через 10 часов. Если же второй поезд отправится на 4 часа и 20 мин раньше первого, то

встреча произойдет через 8 часов после отправления первого. Определить, среднюю

скорость каждого поезда.

Решение. Пусть х ~ скорость первого поезда, а y - второго. Тогда (x + у) - скорость их

совместного сближения. Поэтому . Во втором случае сначала второй поезд

двигался 4⅓ часа, пройдя за это время 4⅓y км, а потом поезда стали сближаться с той же

скоростью(x+y) км/ч и затратили на оставшийся путь в 650-4⅓y км 8 часов. Из системы

x+y=65

получаем 24x+37y=1950

отсюда, x=35, y=30.

Ответ: 35 км/ч и 30 км/ч.

Пример 5. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг ругу и встретились через 3

часа 20 мин. Во сколько времени пройдет все расстояние каждый из них, если первый

пришел в то место, из которого вышел второй, на 5 часов позже, чем второй пришел в то

место, откуда вышел первый?

Решение. Обозначим через x расстояние между пешеходами в начале движения, а через

v1 и v2 скорости пешеходов. Нам нужно найти и . Так как встреча между ними

произошла через 3 часа 20 мин, то .

На весь путь длиной x км первый пешеход затратил времени на 5 часов больше чем

второй. Отсюда . В результате получили систему

Положим, и . Тогда

и система перепишется в виде

t1=t2+5

Подставляя значение t1 из первого уравнения во второе и приводя к общему знаменателю,

получим 3t22 +15t2 = 20t2 + 50. Решая уравнение 3t2

2 – 5t2 – 50=0, получим t2=5 или t2=-10/3.

Второй корень, очевидно, является лишним. Итак, t2=5 и t1=t2+5=10.

Ответ: 10 ч и 5 ч.


1. Два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу со станций А и В

расстояние между которыми 600 км. Первый из них приходит на станцию В на 3 часа

раньше, чем второй на станцию А. В то же время, как первый делает 250 км, второй

проходит 200 км. Найти скорость каждого поезда.

2. Расстояние между А и В равно 78 км. Из А выезжает велосипедист по направлению к

В. Через 1 час ему навстречу отправляется из в другой велосипедист, делающий в час

на 4 км больше первого. Встреча произошла на расстоянии 36 км от В. Сколько

времени ехал каждый из них и с какой скоростью?

3. Два туриста идут друг другу навстречу один из пункта А, а другой из пункта В.

Первый выходит из пункта А на 6 часов позже, чем второй из пункта В, и при встрече

оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с

той же скоростью, первый приходит в В через 8 часов после встречи, а второй в А через

9 часов. Определить расстояние АВ и скорости обоих туристов.

4. Два поезда, товарный длиной 490 м и пассажирский длиной 210 м, двигались навстречу

друг другу по двум параллельным путям. Машинист пассажирского поезда заметил

товарный поезд, когда он находился от него на расстоянии 700 м. Через 28 сек после

этого они встретились. Определить скорость каждого поезда если известно, что

товарный поезд проходит мимо светофора на 35 сек медленнее пассажирского.

Задачи на движение в одну сторону

Если два объекта едут в одну сторону со скоростями v1 и v2, соответственно, и v1 > v2,

то скорость их сближения равна (v1-v2). Если при этом в некоторый момент времени

расстояние между ними было равно S, то они встретятся через промежуток времени,

равный .

Следует так же помнить, что если они отправляются из точки, но в разное время, то

расстояния, пройденные ими до встречи, одинаковы.

Пример 6. Первый турист, проехав 1,6 часа на велосипеде со скоростью 16 км/час, делает

остановку на 1,5 часа, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа

спустя после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле

второй турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй

турист догонит первого?

Решение. Обозначим через t время, прошедшее от отправки второго туриста до встречи.

Тогда искомое расстояние равно 56t км. Первый турист затратил на это же расстояние на 4

часа больше. При этом он 1,% часа отдыхал, а 2,5 часа ехал со скоростью 16 км/час. Поэтому

до встречи он проехал (t + 2,5)*16 км. Так как оба туриста проехали одинаковое расстояние,

то 56t=16t+40, Отсюда t=1, S=56t=56 км.

Ответ: 56 км.

Пример 7. Из пункта А в 12 часов вышел поезд. В 14 часов в том же направлении вышел

другой поезд. Он нагнал первый поезд в 20 часов. Найдите средние скорости обоих поездов,

если сумма средник скоростей равна 70 км/час.

Решение. Пусть v1 — скорость первого поезда, а v2, — второго. Через S обозначим

расстояние пройденное им до встречи, тогда и . Их системы

v1+v2=70

8v1=6v2

находим v1, = 30, v2= 40.

Ответ: 30 км/час, 40 км/час.

Пример 8. Из пункта А выехал мотоциклист со скоростью 45 км/ч. Через 40 мин из А в том

же направлении выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько времени после

выезда автомобиля расстояние между ним и мотоциклистом окажется равным 36 км?

Решение: важный вопрос: в тот момент, когда автомобиль окажется на расстоянии 36 км

от мотоцикла, он будет находиться впереди или позади мотоцикла? За 40 мин мотоцикл

проедет расстояние 45 • ⅔ км = 30 км, а это меньше 36 км. Следовательно, в момент

отправления автомобиля он находится в 30 км позади мотоцикла, а дальше до момента

обгона расстояние между ними будет уменьшаться. Это значит, что автомобиль окажется в

36 км от мотоцикла после обгона.

30 x 36

A B B1 A1

На рисунке через А и В обозначены пункты, в которых находились соответственно

автомобиль и мотоцикл в тот момент, когда автомобиль отправился в путь, а через А1 и В1 —

пункты, в которых они находились в тот момент, когда автомобиль оказался впереди в 36 км

от мотоцикла. Тогда АВ = 30 км, В1А1 = 36 км.

За неизвестное лучше принять расстояние ВВ1: ВВ1 = х км. Если мы найдем это

расстояние, то найдем и время автомобиля на путь АА1.

Словесное «уравнение» здесь таково: время автомобиля на путь АА1 равно времени

мотоцикла на путь ВВ1. Выразим то и другое время через х и полученные выражения

приравняем: .

Решим это уравнение , , .

Отсюда время автомобиля на путь АА1 равно (ч), т.е. 4 ч. 24 мин.

Ответ: 4 ч. 24 мин.


1. Кошка, гнавшаяся за мышкой вдоль длинного коридора, догнала ее через а сек после

начала погони. Первоначальное расстояние между ними 1 м. Если при таком же

начальном расстоянии мышка с перепугу побежала бы не от кошки, а навстречу ей,

то была бы схвачена через b сек. Полагая, что и в том и в другом случае кошка и

мышка прилагали бы максимальные усилия, найти средние скорости каждой из них.

2. От пункта А вдоль шоссе удаляется гонщик, поддерживающий постоянную

скорость а км/час. Спустя 30 мин из того же пункта стартовал второй гонщик с

постоянной скоростью 1,25а км/час. Через сколько мин после старта первого гонщика

из этого же пункта выехал третий гонщик, если известно, что он развил скорость 1,5а

км/час и одновременно со вторым гонщиком догнал первого?

3. Из А в В через равные промежутки времени отправляются три машины. В пункт В

они прибывают одновременно, затем выезжают в пункт С, расположенный на

расстоянии 120 км от В. Первая машина прибывает туда через час после второй.

Третья машина, прибыв в пункт С, сразу поворачивает обратно и в 40 км от С

встречает первую машину. Найти скорость первой машины.

Рассмотрим задачи на движение двух тел в разных направлениях.

Пример 9: Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг другу мотоциклист и

велосипедист и встретились на расстоянии 4 км от В. В момент, когда мотоциклист прибыл в

В, велосипедист находился на расстоянии 15 км от А. Найдите расстояние АВ.

Решение: Обозначим расстояние АВ через х км.

К моменту встречи мотоциклист и велосипедист проделали соответственно путь (х — 4)

км и х км, а к моменту, когда мотоциклист прибыл в В, — путь х км и (х — 4) км.

Тогда отношение скоростей мотоциклиста и велосипедиста равно, с одной

стороны, (так как при одном и том же времени равномерного движения двух тел

отношение путей равно отношению скоростей), а с другой — .

Отсюда .

Решая это уравнение, получим: х1 = 20, х2 = 3. Подходит только х = 20.

Ответ: 20 км.

Задача для самостоятельного решения

Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Когда

первый пешеход прошел половину пути, второму до конца пути оставалось 24 км. Когда

второй пешеход прошел половину пути, первому до конца пути оставалось 15 км. Сколько

километров останется пройти второму пешеходу до А после того, как первый закончит

переход из А в В?

Задачи на движение «туда-сюда»

«Туда-сюда» - это значит, что в процессе движения тело меняет направление движения

на противоположное или, в случае, если тел два, по меньшей мере одно из них меняет

направление на противоположное.

Пример 10: Два школьника вышли одновременно из дома в школу с одинаковой

скоростью. Через 3 минуты один из них вспомнил, что забыл дома тетрадь, и побежал домой

со скоростью, большей первоначальной на 60 м/мин. Взяв тетрадь, он побежал обратно с той

же скоростью и догнал товарища, который шел с первоначальной скоростью, у дверей

школы. Расстояние от дома до школы равно 400 м. Найдите первоначальную скорость

школьников.

Решение: обозначим начальную скорость через v м/мин. Тогда за 3 минуты они прошли

путь 3v м. Следовательно, школьник, который бегал за тетрадкой, проделал путь (400+3v) м

со скоростью (v+60) м/мин. Второй школьник за то же время прошел путь (400-3v) м со

скоростью v м/мин. Выражая это время через v двумя способами, получаем уравнение:

.

Решая его, будем иметь: v=50 м/мин =3 км/ч

Ответ: 3 км/ч.


1. Два лыжника стартовали в одном направлении с интервалом в 6 минут. Второй

догнал первого на расстоянии 6 км от старта. Дойдя до отметки 13 км, он

повернул обратно и встретил первого через 1 км обратного пути. Найдите

скорости лыжников.

2. Автомобиль проезжает расстояние от А до В за 1 час. Автомобиль выехал из А в

В, и одновременно из В в А вышел пешеход. Автомобиль встретил пешехода,

довез его до А и затем прибыл в В, затратив на весь путь 2 ч 40 мин. За какое

время может пройти путь от В до А пешеход?

Движение по окружности

Если точки движутся по окружности, и одна из одновременно стартовавших точек

первый раз догнала вторую, то она прошла к этому времени ровно на круг больше, чем

вторая точка; если она догоняет вторую точку во второй раз, то это означает, что она прошла

на два круга больше, и т.д.

Пример 11. По окружности движутся два тела; первое пробегает окружность за 5 сек

скорее второго. Если они движутся по одному направлению, то сходятся через каждые 100

сек. Найти угловые скорости точек.

Решение: Обозначим через v1и v2 угловые скорости этих точек (в град/сек). Тогда первая

точка пробегает окружность за сек, а вторая за сек. По условию .

Каждые 100 сек первая точка проходит на один круг, т.е. на 360 град больше, чем вторая.

Отсюда 100v1 – 100v2 = 360 . Решим систему:

100(v1-v2)=360

Из первого уравнения получаем v1-v2=3,6. Подставляя во второе, получим 5v1v2=362. Так как,

v1=3,6+v2 то из 5(3,6+v2)v2=362 получаем 5v22+18v2-362=0, v2=-18 или v2=16,4. Первый случай,

очевидно, не возможен. Поэтому v2=16,4 и v1=20.

Ответ: 20 град/сек; 16,4 град/сек.

Пример 12. По сигналу дрессировщика два пони одновременно побежали равномерно

вдоль внешней окружности арены цирка в противоположных направлениях. Первый пони

бежал несколько быстрее второго и к моменту встречи пробежал на 5 м больше, чем

второй. Продолжая пробег, первый пони подбежал к дрессировщику, ставшемуся на месте

старта, через 9 сек после встречи со вторым пони, а второй - через 16 сек после их встречи.

Каков, диаметр арены?

Решение. Пусть а - диаметр арены, v1, и v2- скорости первого и второго пони,

соответственно. Если x - расстояние, пройденное первым пони до встречи, то (x-5) -

расстояние, пройденное до встречи вторым пони. Так как x + (x-5) = πa - длина окружности

арены, то x = (πa +5)/2. Итак, до встречи первый пони пробежал (πa+5)/2 м, а второй (πa-5)/2

м. Так как они затратили на это одинаковое время, то (πa +5)/2v = (πa -5)/2v2.

Первый пони пробежал оставшиеся после встречи (πa-5)/2 м за 9 сек. Поэтому (πa-5)/2

=9v1. Аналогично (πa+5)/2 = 1бv2. Отсюда v1=(πa-5)/18 и v2= (πa+5)/32. Подставляя

найденные значения скоростей в равенство (πa+5)/2v1=(πa-5)/2v2, получим 9(πa+5)2 = 16(πa-

5)2. Извлекая корень квадратный из обеих частей равенства, получим 3(πa + 5) = 4(πa -5),

т.е. πa = 35. Отсюда а= 35/π м.

Ответ: 35/π м.


1. По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из

них совершает полный оборот на 5 сек быстрее, чем другая и поэтому успевает

сделать в 1 мин на два оборота больше. Сколько оборотов в минуту совершает каждая

точка?

2. Две тела, двигаясь по окружности в одном и том же направлении, сходятся через

каждые 56 мин. Если бы они двигались с темя же скоростями в противоположных

направлениях, они встречались бы через каждые 8 мин. Известно, что при движении в

противоположных направлениях расстояние (по окружности) между сближающимися

телами уменьшилось бы с 40 м до 26 м за 24 сек. Сколько метров в сек проходит

каждое тело, и какова длина окружности?

3. Допуская, что стрелки часов движутся без скачков, узнать через какое время после

того, как часы показывали 4 часа, минутная стрелка догонит часовую стрелку.

Задачами на движение трех тел

Пример 13: Два пешехода вышли одновременно из пункта А в одном направлении.

Первый из них встретился с туристом, идущим в пункт А, через 20 мин после выхода из А, а

второй — на 5 мин позже, чем первый. Через 10 мин после второй встречи турист пришел в

А. Найдите отношение скоростей пешеходов.

Решение: Пусть В и М — места встречи соответственно первого и второго пешехода с

туристом (рис. 3).

Примем путь АВ за единицу. Обозначим скорости первого и второго пешеходов

соответственно через v1 и v2, а скорость туриста — через v (в долях пути АВ = 1 в час). Тогда

расстояние АВ равно, с одной стороны, ⅓v1, а с другой — 1/4v2, так как турист пришел в А

через 15 мин =1/4 ч после первой встречи. Получаем первое уравнение:

Аналогично выразим двумя способами расстояние АМ и эти выражения приравняем:

Образовалась система двух уравнений с тремя неизвестными:

Нам нужно найти из нее отношение. Для этой цели разделим первое уравнение на второе:

Ответ: 15/8.


1. Из пункта А по одному шоссе выезжают одновременно в одном направлении два

автомобиля, а через час вслед за ними выезжает третий автомобиль. Еще через час

расстояние между третьим и первым автомобилями уменьшилось в 1,5 раза, а

расстояние между третьим и вторым — в 2 раза. Во сколько раз скорость первого

автомобиля больше скорости второго, если известно, что за эти два часа третий

автомобиль не обогнал первого и второго?

2. Человек, идущий вдоль трамвайной линии, заметил, что через каждые 7 мин его

обгоняет трамвай, а через каждые 5 мин он встречает трамвай. Считая, что трамваи

идут с равными интервалами в обоих направлениях, найдите интервал, с которым

пройдут мимо неподвижного наблюдателя два трамвая, следующие в одном

направлении.

3. Дорога проходит через пункты А и В. Велосипедист выехал из А по направлению к В.

Одновременно с ним из пункта В вышли с равными скоростями два пешехода:

первый — в пункт А, второй — в противоположном направлении. Велосипедист

встретил первого пешехода через 18 мин после выезда и: А, а второго догнал через

час после проезда через В. Найдите время движения велосипедиста от А до В.

7. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ

Задачи на выполнение работы, а также задачи, связанные с наполнением и

опорожнением резервуаров, как правило, ничем не отличаются от задач на движение. В

таких задачах выполняемая работа если объем резервуара играет роль расстояния, а

производительность объекта, совершающего работу, аналогична скорости движения.

Поэтому можно использовать следующие правила.

1. Если р - производительность объекта, т.е. объем работы, производимый им за

единицу времени, то объем работы, проделанной им за t единиц времени, находится по

формуле А = рt.

2. Если в работе одновременно участвуют несколько объектов,

производительность которых равна Р1, Р2, ... ,Рn, соответственно,

то их общая производительность р равна р=P1+Р2+ ... + Рn. Такие

задачи соответствуют задачам на встречное движение.

3. Задачи, в которых резервуар одновременно наполняется

через одну трубу и опорожняется через другую, соответствуют

задачам на движение в одном направлении. В этом случав совокупная

производительность объёма труб равна P1-P2, где Р1 - производительность наполняющей

трубы, а Р2 - опорожняющей трубы.

Задачи на выполнение работы одним объектом

Пример 1. Машинистка рассчитала, что если она будет печатать ежедневно на 2 листа

больше установленной нормы, то окончит работу да 3 дня ранее намеченного срока; если же

будет печатать по 4 листа сверх нормы, то окончит работу на 5 дней ранее срока. Сколько

листов она должна напечатать и в какой срок?

Решение. Обозначим через х число печатаемых машинисткой листов в день по норме, а

через у число дней в намеченном срока окончания работы. Тогда общее число листов равно

(xу). По условию (х + 2) (у - 3) = ху, и (х + 4) (у - 5) = xу. Раскрывая скобки получим

2у–3x=6, и 4у - 5х = 20. Отсюда х = 8 и y=15. Поэтому общее количество листов равно

8*15 = 120.

Ответ: 120 листов, 15 дней.

Пример 2. При постройке здания требовалось вынуть 8000 м3 земли в определенный

срок. Работа была закончена раньше срока на 8 дней вследствии того, что бригада

землекопов ежедневно перевыполняла план на 50 м3. Определить, в какой срок должна

была быть окончена работа, и найти ежедневный процент перевыполнения,

Решение. Обозначим через х производительность бригады в день по плану. Тогда

плановый срок выполнения работы равен дней. Фактическая производительность

бригады была (x+50) м3, и при этом срок выполнения работы уменьшился на 8 дней. Имеем

Отсюда 8x2+400x = 400000, т.е. x2 + 50x -50000 = 0. Решая квадратное уравнение, получим

x1=-250, x2=200.

Ясно, что x1 не подходит по условию задачи. Поэтому x=200. Соответственно

плановый срок выполнения работы равен дней. Так как ежедневно бригада

перевыполняла план в 200 м3 на 50 м3, то ежедневный процент перевыполнения равен

Ответ: 40 дней, 25%.


1. Тракторная бригада может вспахать участка земли за 4 ч 15 мин. До обеденного

перерыва бригада работала 4,5 часа, после чего остались не вспаханным еще 8 гектаров. Как

велика площадь участка?

2. На вагоноремонтном заводе в определенный срок должно быть отремонтировано

330 вагонов. Перевыполняя план ремонта в среднем на 3 вагона в неделю, на заводе уже за

две недели до срока отремонтировали 297 вагонов. Сколько вагонов в неделю

ремонтировали на заводе по плану?

3. Ученик токаря вытачивает пешки для определенного числа комплектов шахмат.

Он хочет научиться изготовлять ежедневно на 2 пешки больше» чем до тех пор; тогда такое

же задание он выполнит на 10 дней быстрее. Если бы ему удалось научиться изготовлять на

4 пешки больше, чем теперь, то срок выполнения задания уменьшился бы на 16 дней.

Сколько комплектов шахмат обеспечивает пешками Ученик токаря, если для каждого

комплекта нужно 16 пешек?

4. Рабочий изготовил в назначенный ему срок некоторое количество одинаковы

деталей. Если бы он изготовлял их на 10 штук больше, то выполнил бы эту работу на 4,5 дня

раньше срока, а если бы он делал в день на 5 деталей меньше, то опоздал бы на 3 дня против

навлеченного срока. Сколько деталей и в какой срок он выполнял?

Задачи на одновременное выполнение работы несколькими объектами

В большинстве таких задач удобно производительность объектов задавать как

определенную часть всей работы, которую она выполняют за единицу времени. Так,

например, если некто может выполнить всю работу за а часов, то за 1 час он выполняет -

часть всей работы.

Пример 3. Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 8 часов.

Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 12 часов скорее, чем

второй рабочий, если этот последний будет работать отдельно. Во сколько часов каждый из

них, работая отдельно, может выполнить работу?

Решение. Предположим, что первый рабочий может работу за t часов. Тогда второй

выполнит ее за (t+12) один чае первый рабочий выполняет часть всей работы,

часть. Вместе они за один час выполнят

часть всей работы. По условию, для выполнения всей работа им достаточно 8 часов.

Поэтому вместе они за час выполняют ⅛ часть работы. Следовательно, .

Отсюда t2+12t=16t+96 или t2-4t-96=0. Находим t1=12,

t2=-8. Второе решение не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, первый рабочий выполняет работу за 12 дней, в

второй за 12+12 = 24 дня.

Ответ: За 12 и 24 дня, соответственно.

Пример 4. В бассейн проведены две трубы, подающая и отводящая, причем через

первую бассейн наполняется на два часа дольше, чем опорожняется через вторую. При

заполненном на ⅓ бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8

часов. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполнит, а вторая опорожнит

бассейн?

Решение. Предположим, что первая труба наполняет бассейн за t часов. Тогда вторая

труба опорожняет его за t-2 часа. Отсюда следует, что первая труба за один час наполняет

часть бассейна, а вторая за этот же час опорожняет часть бассейна. Поэтому в

результате их совместной работы; бассейн за один час опорожняемся на

часть своего объема. По условию за восемь часов такой работы он опорожнился на ⅓.

Отсюда получаем t2-2t-48=0, t1=6, t2=-8 – лишний корень.

Итак, t = 6, t-2 = 4.

Ответ: за 6 часов и 4 часа, соответственно.

Задачи на совместную работу

Задачи этого рода довольно близки к задачам на движение. Аналогом расстояния здесь

является объем выполняемой работы: площадь поля, вместимость резервуара и т.д., а

аналогом скорости движения — производительность труда.

Пример 5: Четыре насоса одинаковой производительности, работая вместе, наполнили

нефтью первый танкер и треть второго танкера (другого объема) за 11 ч. Если бы три насоса

наполнили первый танкер, а затем один из них наполнил четверть второго танкера, то работа

заняла бы 18 ч. За сколько часов три насоса могут наполнить второй танкер?

Решение: Пусть один насос наполняет первый танкер за х ч, а второй танкер — за за

у ч. Тогда четыре насоса, работая вместе, наполнят первый танкер за — ч, а второй — за

ч. 4

Имеем систему уравнений:

Из нее находим, что у = 24 ч. Следовательно, три насоса могут наполнить второй танкер

за часов.

Ответ: за 8 ч.


1. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 часов. Одна первая труба заполняет его на 5

часов скорее, чем вторая. Во сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может

наполнить бассейн?

2. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 часов. Вели бы сначала

первый сделал половину работы, а затем другой оставшуюся часть, то вся работа была бы

выполнена за 25 часов. За какое время мог выполнить эту работу каждый в отдельности?

3. Для промывки фотографических негативов служит ванна, имеющая форму

прямоугольного параллелепипеда размерами 20*90*25 см. Для постоянного смешения вода в

ванне в нее поступает вода через один кран и одновременно вытекает через другой. Для того,

чтобы опорожнить посредством второго крана полную ванну, требуется на 5 мин меньше,

чем для того, чтобы наполнить ее первым краном, если закрыть второй. Если же открыты оба

крана, то полная ванна опорожняется в 1 час. Найти количество воды, пропускаемое каждым

краном в 1 мин.

4. Двое рабочих изготовляли партию одинаковых деталей. Когда первый проработал 2

часа, а второй 5 часов, оказалось, что они выполнили половину работа. После того, как они

проработали вместе еще три часа, им осталось выполнить всей работы. За какое время

каждый рабочий выполнит всю работу?

5. Бассейн заполняется водой через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую

трубу, и на 30 ч быстрее, чем через третью трубу. Третья труба за час наливает воды в 2,5

раза меньше, чем первая, и на 40 м3 меньше, чем вторая труба. Найдите производительность

каждой трубы.

8. ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С НАБОРОМ ПРЕДМЕТОВ

Задачи на распределение предметов

Пример 1. В зале было 500 стульев, расположенных одинаковыми рядами. После

реконструкции зала общее число мест уменьшилось на 0,1. При этом число рядов было

уменьшено на 5, но в каждом ряду стало на 5 стульев больше. Сколько рядов и сколько

стульев в каждом ряду было в начале?

Решение. Предположим, что до реконструкции в зале было x рядов по y стульев в

каждом. Тогда xy = 500. После реконструкции стало (x-5) рядов по (у+5) стульев. В

результате общее число стульев уменьшалось на 0,1*500 = 50 стульев, т.е. стало равным

450. Из системы

xy=500 xy=500

(x-5)(y+5)=450 получаем x-y=-5

Отсюда x = 20, у = 25.

Ответ: 20 радов по 26 стульев в каждом.

Пример 2. Отец хочет разделить 180 яблок между 11 детьми. Для этого половину всех

яблок он отдает сыновьям, которые делят их поровну, а другую половину - дочерям,

которые тоже делят их поровну. Оказалось, что каждая дочь получила на 3 яблока больше,

чем каждый сын. Сколько было сыновей и дочерей?

Решение. Пусть у отца x сыновей, тогда дочерей будет (11-x).

Если половину яблок разделить поровну между х сыновьями, то у

каждого окажется яблок, аналогично, у каждой дочери окажется

яблок. По условию .

Отсюда 90x = 990 – 90x- 33x - Зx2, или х2 + 49x - 330 = 0, т.е. x1, = -56, x2=6. Первое

решение не подходит, Таким образом, в семье было 6 сыновей и 11- 6 = 5 дочерей.

Ответ: 6 сыновей и 5 дочерей.


1. В зрительном заде клуба было 320 мест, расположенных одинаковыми рядами. После

того» как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавила еще один ряд, в

зрительном зале стало 420 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале?

2. Сочинение писали 108 экзаменующихся. Им было раздано 480 листов бумаги, причем

каждая девушка получила на 1 лист больше каждого юноши, а все девушки вместе

получили столько же листов, сколько получили все юноши среди экзаменующихся.

Сколько было девушек и юношей?

Задачи на цену набора

Пример 3. Куплен товар двух сортов - первого на 150 руб, второго на 120 руб. При

этом товара второго сорта куплено на 3 кг больше чем первого, а стоимость его за

килограмм на 4 руб 50 коп дешевле. Сколько куплено товара каждого сорта?

Решение. Пусть товара первого сорта куплено x кг. Тогда второго сорта – (x+3) кг.

Так как за х кг товара первого сорта заплатили 150 руб, то цена одного кг его равна —

руб. Аналогично, цена одного кг товара второго сорта равна руб. По условию

Отсюда 150x+ 450 = 120x + 4,5x2 + 13,5x, т.е. Зx2-11x- 300 =0. Решая уравнение, будем

иметь x1 = 12, x2 = -50/6. Второй корень лишний, поэтому x = 12, x+3 =-15.

Ответ: 12 кг I сорта и 15 кг II- сорта.

Пример 4: Две колхозницы принесли на рынок вместе 100 яиц. Продав яйца по

разной цене, обе выругали одинаковые суммы. Если бы первая продала столько яиц,

сколько вторая, то она выручила бы 72 руб; если бы вторая продала столько яиц, сколько

первая, то она выручила бы 32 руб. Сколько яиц было у каждой?

Решение. Обозначим через х число яиц у первой колхозницы. Тогда у второй их было

(100-x). Продавая свои яйца по y рублей за штуку, первая получила (xy) рублей. Если вторая

продавала яйца по x рублей за штуку, то она выручила бы (100-х)z рублей. По условию

xy=(100-x)z. Кроме того, y(100-x) = 72 и zх = 32. Поэтому , . Подставляй

найденные выражения в уравнение xy=z(100-x), получим

.

Сократив обе части уравнения на 8, будем иметь 9x2=4(100-x)2.

Отсюда 3x=2(100-z), 5x=200, x=40 и 100-x=60.

Ответ: 40 яиц у первой и 60 яиц у второй.


1. В магазин доставлено несколько оконных стекол одного и того же сорта, общей

стоимостью 90 рублей. При перевозке два стекла оказались разбитыми;

остальные стекла были проданы с прибылью по 2 рубля за стекло, причем всего

получено 14 рублей прибыли. Сколько стекол было доставлено в магазин?

2. За килограмм одного продукта и десять килограммов другого заплачено 2 рубля.

Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15%, а второй

подешевеет на 25%, то за такое же количество товара будет заплачено 1 руб. 82

коп. Сколько стоит килограмм каждого продукта?

УРАВНЕНИЯ

Решение уравнений с помощью разложения многочленом на множители

Пример 1: Решите уравнение:

(х - а)3 + (х - b)3 = (2х - а - b)3.

Соберем все члены в левой части уравнения и сумму кубов (х—а)3+(х—b)3 разложим на

множители. После этого в левой части можно выделить общий множитель (2х-а-b):

(2х-а- b)((х - а)2 -(х- а)(х - b) + (х - b)2 - (2х - а - b)2) = 0,

(2х - а - b)(-Зх2 + 3(а + b)х - Заb) = 0.

Отсюда ,x2=a, x3=b

Ответ: , a,b.

Для самостоятельного решения:

1. Решите уравнения:

а) 27х3 + 9x2 – 48x + 20 = 0; б) 9х3 - 13х - 6 = 0;

в) 25x3 – 34x - 1 5 = 0; г) 4x4 + 4x3 + Зх2 - х - 1 = 0;

д) 6x4 – 9x3 – 8x2 + Зх + 2 = 0.

2. Решите уравнения:

а) х4 - 22х2 - 5х + 2 = 0;

б)х4 - х3 - 2х2 + Зх - 3 = 0;

в) х4 + х3 - 15л2 –10x + 50 = 0;

г) х5 - Зх4 + х3 + х2 - Зх + 1 = 0.

Решение уравнений с помощью замены переменной

Пример 1: Решите уравнение

(2х2 + Зх- 1) 2 - 5(2х2 + Зх + 3) + 24 = 0;

Введем подстановку: 2x2 + Зх -1 = у. Тогда

у2 - 5(у + 4) + 24 = 0, у2 - 5у + 4 = 0. Отсюда у1 = 4, у2 = 1.

Зная у, находим х.

Ответ: 1, -2, 1/2, -5/2;

Пример 2: Решите уравнение

(х - 1)(х+ 3)(х + 4)(х + 8) = -96;

Умножим в левой части уравнения первый множитель на четвертый, а второй — на

третий: (х2 + 7х - 8)(х2 + 7х + 12) = -96. Полагая х + 7х — 8 = у, получаем:

у(у + 20) = -96, у2 + 20у + 96=0; у1 =-8, у2 = -12. Осталось в обоих случаях

вычислить х.

Ответ: , ,0,7.


(х2 - 16)(х- З)2 + 9х2 = 0.

Преобразуем уравнение:

(x2 - З)2 - 16(x - З)2 + 9х2 =0,

х2((х - З)2 + 9) – 16(х - З)2 =0,

х2(х2 - 6х + 18) - 16(х - З)2 =0,

х4 - 6х2(х - 3) - 16(х - З)2 = 0.

Разделим последнее уравнение на (х — З)2 (проверьте, что при этом решения не

теряются):

Положим . Тогда у 2 - 6у - 16 = 0; y 1 =8, у 2 = -2 .

Теперь нетрудно найти х.

Ответ: , .

Для самостоятельного решения

Решите уравнения:

а)х(х+ 1)(х + 2)(х + 3) = 15;

б) (х2 - 5х + 7)2 - (х - 2)(х - 3) = 1;

в) (х2 - х + 1)2 – 10x2(x2 - х + 1) + 9x4 = 0;

г) (х2 + х + 1)2 = х2(3х2 + х + 1);

д)* х2 +12х + 4 = 6(х + 2)√х.

Возвратные уравнения

Алгебраическое уравнение f(х) = 0 называется возвратным, если у многочлена в левой

его части, представленного в каноническом виде, равны коэффициенты членов,

равноудаленных от его концов: первого и последнего, второго и предпоследнего и т. д.

Общий вид такого уравнения —

ахn + bхn-1 + схn-2 + - + сх2 + bх + а = 0.


х4 - 5х3 + 8х2 - 5х + 1 = 0.

Разделим это уравнение почленно на х2:

, .

Положим . Возведем это равенство в квадрат:

, .

Уравнение принимает следующий вид:

у2 - 2 - 5у + 8 = 0, у2 - 5у + 6 = 0. Отсюда у1 = 2, у2 = 3. Теперь нетрудно найти х.

Ответ: 1,1, , .


2х5 + 5х4- 13х3 - 13х2 + 5х + 2 = 0.

Это возвратное уравнение нечетной степени. На основании утверждения опорной

задачи 285 оно имеет корень х =-1. Разложим левую часть уравнения на множители:

(х + 1)(2х4 + Зх3 - 16х2 + Зх + 2) = 0. « Уравнение

2х4 + Зх3 - 16х2 + Зх + 2 = О

также является возвратным. Решаем его уже известным способом. Доведите решение до

конца самостоятельно.

Ответ: -1, 2, , , .


а) 12x4 + 4х3 – 41x2 + 4х + 12 = 0;

б) х6 - 2х5 + х4 + 8x3 + х2 - 2х + 1 = 0.

В)х5 +х4+ 2х3+2х2+х + 1 =0;

Решение квадратных уравнений с параметром

Пример 1: Докажите, что уравнение

(а2 + b2 + с2)2 + 2(а + b + с)х + 3 =0 имеет

действительные корни только при а = b = с≠ 0.

Запишем, что дискриминант D этого уравнения неотрицателен:

¼D = (а +b + с)2 - 3(а2 + b2 + с2)≥0,

-2а2 – 2b2 - 2с2 + 2аb + 2ас + 2bс≥0,

2a2 + 2b2 + 2с2 - 2аb - 2ас – 2bс ≤О,

(а2 + Ь2 - 2аЬ) + (а2 + с2 - 2ас) + (Ь2 + с2 - 2Ьс) ≤ О,

(а - Ъ)2 + (а - с)2 + (Ь - с)2 ≤ 0.

Последнее неравенство выполняется только при условии, что оно превращается

в равенство, т. е. при а = b = с.

Пример* 2: Даны три числа а, b, с такие, что а < Ь < с. Докажите, что уравнение

(х - а)(х - b) + (х- а)(х - с) + (х - b)(х - с) = О имеет два различных корня х1 и х2,

причем а < х, < b < х2 < с.

Решение: Очевидно, только дискриминантом квадратного уравнения здесь не обой-

дешься, поэтому попробуем другой способ решения.

Обозначим квадратный трехчлен в левой части уравнения через f(х). Выясним знаки

f(а),f(b) иf(с):

f(а) =(а- b}(а - с) > О, f(b) = (b - а)(Ь - с)<О, fс) = (с - а)(с -

b > 0.

Так как fа) > 0,f(b) < 0, то на графике функции у = f(х) имеются точка, лежащая выше

оси Ох, и точка, лежащая ниже оси Ох. Тогда график пересекает ось Ох в некоторой точке

х}, лежащей между а и b, т. е.

f(х,) = 0. По аналогичной причине уравнение f(х) = О имеет еще один корень х2,

заключенный между b и с.


1. Ученик, решая квадратное уравнение, допустил ошибку при переписывании,

переставив местами старший коэффициент и свободный член уравнения. При этом

оказалось, что один найденный им корень является корнем исходного уравнения, а

второй корень, равный -3 — не является. Найдите исходное уравнение.

2. Найдите все а, при которых уравнение (х — а — а2)2 = х имеет два различных

действительных корня.

3. Решите квадратное уравнение: ах + Ьх + с = О, при условии |а + с| = |b|.

4. Решите уравнение: х3 - (За - 1)х2 + (2а2 - За)х + 2а2 = 0;

5. Решите уравнение: х3 - (2а + 1)2 + (а2 + а)х + а - а2 = 0;

Решение уравнений


10х4 + Зх3 + 5х2 + 5х + 8 = 0.

Сделаем уравнение приведенным:

Дополним сумму до квадрата суммы:

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего во вторых скобках, отрицателен,

поэтому трехчлен при всех х сохраняет постоянный знак, а именно положительный. Но

тогда вся левая часть уравнения положительна; следовательно, уравнение не имеет

решений.

Ответ: нет решений.

Пример 2: Найдите все корни уравнения

8х(2х2 - 1)(8х4 - 8х2 + 1) = 1, удовлетворяющие условию 0 < х < 1.

Введем тригонометрическую подстановку x=cosα , где α €( 0;π/2).

Тогда соs2α = 2соs2α - 1 = 2х2 - 1,

соs4α = 2соs22α - 1 = 2(2х2 - 1)2 - 1 = 8х4 - 8х2 + 1.

Исходное уравнение превращается в тригонометрическое:

8соsα • соs2α • соs4α = 1.

Умножим его на sinα:

sin8α=sinα, sin8α-sinα=0, .

Приравняем к нулю , получим

, , , , , .

Последнее значение α не принадлежит интервалу(0;π/2),поэтому его

нужно отбросить.

Аналогичным образом решаем уравнение

примеры

Documents

v1

v1 v2

abc

sin

xy

4x

x2