ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

50
บบบบบ 4 บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ (Sequences and Series in the complex plane) บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบ บ บบบบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบบบบบบบบบบบ 5 บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ 4.1 บบบบบบ (Sequence) บบบบบ 4.1 บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบ บบบบบบบบ บบบ บบบบบบบบบบบบบบบบ บบบบ บบบบบ , , , บบบบบ บบบบ บบบ บบบบบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบบ , , , บบบบ , , , บบบบ บบบบ บบบบบบบบ 4.1 () บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ , , , , , , , , บบบบบบบบบ บบบบ บบบบ () บบบบบบบบบบบบบบบบบบบบ , , , บบบบบบบบบ บบบบ บบบบ # บบบบบ 4.2 บบบบบบ บบบบบบบบบบบบบบบบบ (converge)บบบ บบบบบบบบบบ บบบบบบ บบ

Upload: mighe

Post on 15-Nov-2014

81 views

Category:

Documents


68 download

TRANSCRIPT

Page 1: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

บทท��4ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

(Sequences and Series in the complex plane)

ในุบทนุ��จะไดั�ศึ�กษ�ถึ�ง ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมของฟั"งก#ชินุตัวแปรเชิ�งซ้�อนุในุหลำ�ย ๆ ร*ปแบบ

เพื่,�อนุ��ไปใชิ�ในุก�รห�ปร�พื่นุธ์#ของฟั"งก#ชินุตัวแปรเชิ�งซ้�อนุอ�กว�ธ์�หนุ��งท��จะกลำ.�วในุบทท��5 ซ้��งจะเป/นุว�ธ์�ท��ท��ให� ก�รห�ปร�พื่นุธ์#ง.�ยแลำะสะดัวกม�กข��นุ ในุก�รศึ�กษ�ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมของฟั"งก#ชินุตัวแปรเชิ�งซ้�อนุนุ��ก1ม�แนุวคิ�ดั

ท��นุองเดั�ยวกนุกบลำ��ดับแลำะอนุ�กรมของคิ.�คิงตัวท��เร�เคิยไดั�ศึ�กษ�ม�แลำ�ว

4.1 ลำ��ดับ (Sequence) นุ�ย�ม4.1 ลำ��ดับของจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุ หม�ยถึ�งฟั"งก#ชินุจ�กเซ้ตัจ��นุวนุนุบไปยง

เซ้ตัจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุ หร,อ ฟั"งก#ชินุ ใชิ�สญลำกษณ์#แทนุดั�วย

หร,อ เม,�อ , , , เร�ยก หร,อ ว.� พื่จนุ#ท��

แลำะแทนุเซ้ตัของลำ��ดับ , , , หร,อ , , , ดั�วย หร,อ

ตัวอย.�ง4.1 (ก) เซ้ตัของจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุ , , , , , , , , จะแทนุดั�วย

หร,อ หร,อ

(ข) เซ้ตัของจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุ , , , จะแทนุดั�วย

หร,อ หร,อ

#

นุ�ย�ม4.2 ลำ��ดับ เป/นุลำ��ดับลำ*.เข�� (converge) ส*. ก1ตั.อเม,�อ ท�ก คิ.� จะ

ตั�องม�จ��นุวนุนุบ ท��ท�ก ๆ จ��นุวนุนุบ ท�� แลำ�ว

( ) จะแทนุลำ��ดับท��เป/นุลำ��ดับลำ*.เข��ดั�วย

ถึ��ลำ��ดับ ไม.เป/นุลำ��ดับท��ลำ*.เข�� เร�จะเร�ยกลำ��ดับนุ��ว.� ลำ��ดับลำ*.ออก

(diverge) ทฤษฎี�4.1 ถึ��ลำ��ดับ เป/นุลำ��ดับลำ*.เข�� แลำ�ว คิ.�ท�� ลำ*.เข��นุ�นุจะม�เพื่�ยงคิ.�เดั�ยวเท.�นุ�นุ

หร,อ ถึ�� แลำะ แลำ�ว

ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# สมม�ตั�ให� แลำะ แลำะ เป/นุจร�ง

Page 2: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

นุ�นุคิ,อ ส��หรบท�ก ๆ คิ.�

ม�จ��นุวนุเตั1มบวก ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว

แลำะม�จ��นุวนุเตั1มบวก ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว

ให�

เลำ,อก คิ.�ตั���ส�ดัระหว.�ง แลำะ

ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว แลำะ

เพื่ร�ะว.�

นุ�นุคิ,อ ซ้��งเป/นุข�อขดัแย�งท�งคิณ์�ตัศึ�สตัร#

ท��สมม�ตั�ให�ว.� แลำะ แลำะ เป/นุจร�งนุ�นุ

ดังนุ�นุ

#

ในุก�รห�ลำ�ม�ตัของลำ��ดับของจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุเร�จะห�โดัยใชิ�ลำ�ม�ตัของลำ��ดับของจ��นุวนุจร�ง โดัยห�ลำ�ม�ตั ของลำ��ดับของส.วนุจร�ง แลำะลำ�ม�ตัของลำ��ดับของส.วนุจ�นุตัภ�พื่ ซ้��งอ�ศึยทฤษฎี�ดังนุ��

ทฤษฎี�4.2 ให�

ก1ตั.อเม,�อ แลำะ

ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# (1) สมม�ตั�ให� เป/นุจร�ง

ให� ตั�องม� ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว

เพื่ร�ะว.� แลำะ

แลำะ

นุ�นุคิ,อ ส��หรบ ตั�องม� ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว

แลำะ

แลำะ

(2) สมม�ตั�ให� แลำะ เป/นุจร�ง ให�

ม�จ��นุวนุเตั1มบวก ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

142

Page 3: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

แลำะม�จ��นุวนุเตั1มบวก ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว

เลำ,อก คิ.�ส*งส�ดัระหว.�ง แลำะ

ส��หรบท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�วจะไดั�

นุ�นุคิ,อ ส��หรบ ม� ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว

#

ตัวอย.�ง4.2 จงห�

ว�ธ์�ท�� จ�ก

ดังนุ�นุ

แลำะ แลำะ

#

ตัวอย.�ง4.3 จงแสดังว.� ห�ไม.ไดั� หร,อ ลำ*.ออก

ว�ธ์�ท�� จ�ก

ดังนุ�นุ

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

143

Page 4: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

แตั.

ห�ไม.ไดั�

นุ�นุคิ,อ ห�ไม.ไดั� หร,อ ลำ*.ออก

#

4.2 อนุ�กรม (Series) นุ�ย�ม4.3 ลำ��ดับ ท��ไดั�จ�กลำ��ดับ ท��ก��หนุดัโดัย

เร�ยก ว.� ผลำบวกย.อยถึ�งพื่จนุ#ท�� จะแทนุดั�วย หร,อ

เร�ยกลำ��ดับ , , , . . . หร,อ ลำ��ดับ ว.� อนุ�กรมอนุนุตั# หร,อเร�ยกส�นุ ๆ ว.� อนุ�กรม

จะแทนุ ดั�วย

ถึ�� เร�ยกอนุ�กรมนุ��ว.� อนุ�กรมลำ*.เข�� แลำะเร�ยก ว.� ผลำบวกของอนุ�กรม

ตัวอย.�ง4.4 ก��หนุดัอนุ�กรมให�คิ,อ จงห�ผลำบวกของอนุ�กรม

ว�ธ์�ท�� จ�ก

เพื่ร�ะว.� เป/นุอนุ�กรมเรข�คิณ์�ตัของจ��นุวนุจร�ง

จะไดั�

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

144

Page 5: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ดังนุ�นุ

#

ข�อสงเกตั (1) อนุ�กรม เป/นุอนุ�กรมลำ*.เข�� เร�จะไดั�

จ�กตัวอย.�ง4.4 เร�ม� ซ้��งเป/นุอนุ�กรมท��ลำ*.เข��

เร�จะไดั�ว.�

(2) ในุท�งกลำบกนุ เร�ไม.ส�ม�รถึสร�ปไดั�ว.�

ถึ�� แลำ�ว เป/นุอนุ�กรมท��ลำ*.ออก

หม�ยเหตั� ก�รเข�ยนุอนุ�กรม บ�งคิร�งอ�จจะเร��มตั�นุท�� ก1ไดั� แลำ�วแตั.คิว�มเหม�ะสม เชิ.นุ

นุ�ย�ม4.4 อนุ�กรม ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์# (absolutely

convergent) ก1ตั.อเม,�อ ลำ*.เข��

ถึ��อนุ�กรม ลำ*.เข�� แตั. ลำ*.ออก เร�เร�ยก

อนุ�กรม นุ��ว.� เป/นุ อนุ�กรมลำ*.เข��อย.�งม�เง,�อนุไข

(conditionaly covergent)

ตัวอย.�ง4.5 ก��หนุดัให�

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

145

Page 6: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

เพื่ร�ะว.�

เป/นุอนุ�กรมลำ*.เข�ส�

ดังนุ�นุ ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#

#

ทฤษฎี�ก�รทดัสอบส��หรบก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม

(1) ก�รทดัสอบโดัยก�รเปร�ยบเท�ยบ(comparison test)

.א ถึ�� ลำ*.เข�� แลำะ แลำ�ว ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#

.ב ถึ�� ลำ*.ออกแลำะ แลำ�ว ลำ*.ออก

แตั.ถึ�� อ�จจะลำ*.เข��หร,ออ�จจะลำ*.ออก

(2) ก�รทดัสอบโดัยอตัร�ส.วนุ (Ratio test)

ถึ�� แลำ�ว ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์# ถึ��

แลำะ ลำ*.ออก ถึ��

ถึ�� ทดัสอบไม.ไดั�

(3) ก�รทดัสอบโดัยร�กท��n ( root test)

ถึ�� แลำ�ว ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์# ถึ��

แลำะ ลำ*.ออก ถึ��

ถึ�� ทดัสอบไม.ไดั�

(4) ก�รทดัสอบโดัยปร�พื่นุธ์# (intergral test)

ถึ�� ส��หรบ แลำ�ว ลำ*.เข��หร,อลำ*.ออกข��นุอย*.กบว.�

ลำ*.เข��หร,อลำ*.ออก

(5) ก�รทดัสอบของร�เบ (Raabe’s Test)

ถึ�� แลำ�ว ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์# ถึ��

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

146

Page 7: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

แลำะ ลำ*.ออกหร,อลำ*.เข��อย.�งม�เง,�อนุไข ถึ��

ถึ�� ทดัสอบไม.ไดั�

อนุ�กรมท��ใชิ�เปร�ยบเท�ยบท��ส��คิญ คิ,อ

เร�นุ�ยมเร�ยกอนุ�กรมนุ��ว.� อนุ�กรม อนุ�กรมนุ��จะลำ*.เข�� เม,�อ

ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# เร�ม�

………………. (1)

………………. (2)

………………. (3)

………………. (4)

จ�กสมก�ร (1) , (2) , (3) , (4) , … เร�จะไดั�ว.�

+

แตั. เป/นุอนุ�กรมเรข�คิณ์�ตั

ท��ม�อตัร�ส.วนุร.วม( ) = ซ้��งจะลำ*.เข��เม,�อ < 1

<

นุ�นุคิ,อ อนุ�กรม ลำ*.เข�� (ก�รทดัสอบโดัยใชิ�ก�รเปร�ยบ

เท�ยบ ) เม,�อ

#

นุ�ย�ม4.5 อนุ�กรมก��ลำง (power series) ของตัวแปรเชิ�งซ้�อนุรอบจ�ดั หม�ยถึ�ง

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

147

Page 8: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

เม,�อ เป/นุคิ.�คิงตัวเชิ�งซ้�อนุ

เร�ยกว.� ศึ*นุย#กลำ�ง (centre) ของอนุ�กรมก��ลำง

เร�ยกว.� สมประส�ทธ์�:(coefficients)ของอนุ�กรมก��ลำง

อนุ�กรมก��ลำง ลำ*.เข��ท��จ�ดั (convergent at )

ก1ตั.อเม,�ออนุ�กรม ลำ*.เข��

อนุ�กรมก��ลำง ลำ*.ออกท��จ�ดั (diconvergent at )

ก1ตั.อเม,�ออนุ�กรม ลำ*.ออก

อนุ�กรมก��ลำง ลำ*.เข��บนุเซ้ตั S

ก1ตั.อเม,�ออนุ�กรม ลำ*.เข��ท�กจ�ดั ในุS

ตัวอย.�ง4.6 ก��หนุดัอนุ�กรมตัวแปรเชิ�งซ้�อนุ

พื่�จ�รณ์�ท��จ�ดั ไดั�

เพื่ร�ะว.� เป/นุอนุ�กรมลำ*.เข��

ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#ท��จ�ดั

#

ทฤษฎี�4.4 ถึ�� แลำ�วอนุ�กรมก��ลำง ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#ท��ท�กๆ จ�ดั

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

148

Page 9: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ข��งในุของวงกลำม ลำ*.ออกท�ก ๆจ�ดัท��อย*.นุอกวงกลำม แลำะอ�จจะลำ*.เข��สมบ*รณ์#

หร,อลำ*.เข��อย.�งม�เง,�อนุไขหร,อลำ*.ออกท��จ�ดัอย*.บนุเส�นุรอบวงของวงกลำมว�ธ์�พื่�ส*จนุ# จ�กอนุ�กรมก��ลำงก��หนุดัให�

สมม�ตั�ให� แลำะโดัยทฤษฎี� 4.3 ไดั�

ดังนุ�นุอนุ�กรมลำ*.เข��สมบ*รณ์# เม,�อ

หร,อ < แลำะ อนุ�กรมลำ*.ออก เม,�อ

หร,อ >

แลำะโดัยทฤษฎี� 4.3 ใชิ�ตัรวจสอบไม.ไดั�เม,�อ

หร,อ =

#

นุ�ย�ม4.6 อนุ�กรมก��ลำง ม�

ให� > 0

จะเร�ยก ว.� รศึม�ของก�รลำ*.เข�� (radius of convergence) ของ

อนุ�กรมก��ลำง เร�ยกวงกลำม ว.� วงกลำมของก�รลำ*.เข��

ถึ�� ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#ท�� เท.�นุ�นุ เร�กลำ.�วว.�รศึม�ของก�ร

ลำ*.เข��เป/นุ

ถึ�� ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#ท�ก ๆ คิ.� เร�กลำ.�วว.�รศึม�ของก�รลำ*.เข��

เป/นุ

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

149

Page 10: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ทฤษฎี�4.5 อนุ�กรมก��ลำง

ถึ�� แลำ�ว เป/นุรศึม�ก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรมก��ลำง

ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# สมม�ตั�ให� > 0

เพื่ร�ะว.� ก�รทดัสอบแบบอตัร�ส.วนุจ�กทฤษฎี� 4.3 เร�ม�

อนุ�กรม ลำ*.เข�� เม,�อ < 1 หร,อ < r

อนุ�กรม ลำ*.ออก เม,�อ > 1 หร,อ > r

ท��จ�ดั แลำ�ว = 0

ถึ�� แลำ�ว =

นุ�นุคิ,อ เป/นุรศึม�ของก�รลำ*.ออกของอนุ�กรม

#

ทฤษฎี�4.6 อนุ�กรมก��ลำง

ถึ�� แลำ�ว เป/นุรศึม�ก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรมก��ลำง

ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# สมม�ตั�ให�

เพื่ร�ะว.�

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

150

Page 11: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

เพื่ร�ะฉะนุ�นุโดัยก�รทดัสอบแบบร�กท�� ของอนุ�กรมก��ลำงของจ��นุวนุจร�งจะไดั�ว.�

อนุ�กรม ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์# เม,�อ < 1 หร,อ < r

อนุ�กรม ลำ*.ออก เม,�อ > 1 หร,อ > r

ท��จ�ดั เร�ไดั� 0

แลำะถึ�� แลำ�ว =

นุ�นุคิ,อ เป/นุรศึม�ของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม

#

ตัวอย.�ง4.7 จงห�รศึม�ของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม

ว�ธ์�ท�� เพื่ร�ะว.�

เพื่ร�ะฉะนุ�นุรศึม�ของก�รลำ*.เข��เท.�กบ1

นุ�นุคิ,อ ลำ*.เข��ท�กคิ.� ท��อย*.ข��งในุวงกลำม หร,อ ท�ก ๆ คิ.� ท��

#

ตัวอย.�ง4.8 จงห�รศึม�ก�รลำ*.เข��แลำะวงกลำมของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

151

Page 12: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมท��ก��หนุดัให� เร�ม�

แลำะ

โดัยทฤษฎี� 4.5 ไดั�

ดังนุ�นุอนุ�กรม ม�รศึม�ก�รลำ*.เข��เท.�กบ4

นุ�นุคิ,อ อนุ�กรม ลำ*.เข�� ท�กคิ.� ท��

พื่�จ�รณ์�คิ.� ท��อย*.บนุเส�นุรอบวงของวงกลำม นุ�นุคิ,อ จะไดั�

ในุร*ปอนุ�กรมเร�ม� เป/นุอนุ�กรมลำ*.เข�� (โดัยว�ธ์�ก�รทดัสอบก�รลำ*.เข��)

อนุ�กรม ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#บนุเส�นุรอบวงของ

นุ�นุคิ,อ อนุ�กรม ลำ*.เข��ท�กคิ.� ท�� ดังร*ป4.1

-2

ร*ป4.1

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

152

Page 13: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

#

ตัวอย.�ง4.9 จงห�รศึม�ก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม

ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมท��ก��หนุดัให� เร�ม�

แลำะ

โดัยทฤษฎี� 4.5 ไดั�

นุ�นุคิ,ออนุ�กรม ซ้��งเป/นุอนุ�กรมก��ลำงรอบจ�ดั ม�รศึม�ก�รลำ*.เข��เท.�กบ

ดังนุ�นุ อนุ�กรมนุ��ลำ*.เข��เม,�อ เท.�นุ�นุ

#

ตัวอย.�ง4.10 จงห�รศึม�ก�รลำ*.เข��แลำะบร�เวณ์ก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม

ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมท��ก��หนุดัให�เป/นุอนุ�กรมรอบจ�ดั ซ้��งม�

แลำะ

โดัยทฤษฎี� 4.5 ไดั�

นุ�นุคิ,อ รศึม�ของก�รลำ*.เข��เป/นุคิ.�อนุนุตั#

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

153

Page 14: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

แสดังว.� อนุ�กรม ลำ*.เข��ท�กคิ.� ท��

#

4.3 อนุ�กรมก��ลำง (power series)

นุ�ย�ม4.7 อนุ�กรมก��ลำง ท��ม� เป/นุผลำบวกย.อย พื่จนุ#

ลำ*.เข��อย.�งสม���เสมอท�� บนุเซ้ตั ( uniformly convergent on a

set S) ก1ตั.อเม,�อ ท�กคิ.� จะตั�องม�จ��นุวนุเตั1มบวก ท��ไม.ข��นุอย*. กบคิ.� ในุ ท��ท��ให� ถึ�� แลำ�ว

ท�กคิ.� ในุ

ทฤษฎี�4.7 ถึ��อนุ�กรมก��ลำง ม� เป/นุรศึม�ก�รลำ*.เข��แลำ�วอนุ�กรม

ลำ*.เข��อย.�งสม���เสมอบนุเซ้ตั ท�กคิ.�

ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# ให� แลำะ เป/นุวงกลำม

ให� เป/นุวงกลำม โดัยท��

ให�

เพื่ร�ะว.� ลำ*.เข��ท�กคิ.� ท��

ท�กคิ.� ท��

นุ�นุคิ,อ

ให� ม� ท��ท��ให�ท�ก ท�� ถึ�� แลำ�ว

จ�ก

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

154

Page 15: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ให� ม� ท��ท��ให� ถึ�� แลำ�ว

เลำ,อก เป/นุจ��นุวนุเตั1มบวกท�� แลำะ ให� เป/นุจ�ดัข��งในุวงกลำม ให� แลำะ จะไดั�ว.�

นุ�นุคิ,อ

เร�สร�ปไดั�ว.� ท�ก ม� ท��ไม.ข��นุอย*.กบคิ.� ท��อย*.บนุวงกลำมหร,อข��งในุวงกลำม

ท��ท��ให� ถึ�� แลำ�ว

นุ�นุคิ,อ ลำ*.เข��อย.�งสม���เสมอบนุเซ้ตั ท�กคิ.�

#

ทฤษฎี�4.9 อนุ�กรมก��ลำง ท��ม� เป/นุวงกลำมของก�รลำ*.เข��ซ้��งม�รศึม�เท.�กบ

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

155

Page 16: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

แลำะ เป/นุเส�นุโคิ�งภ�ยในุ [ ] จะไดั�ว.�

ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# เพื่ร�ะว.� เป<นุอนุ�กรมลำ*.เข��ท��ม� เป/นุวงกลำมลำ*.เข��

ดังนุ�นุ จ�งลำ*.เข��อย.�งสม���เสมอส*. ) ท��ท�ก ๆ คิ.�

ส��หรบท�กคิ.� จะม� ท��ท�ก เป/นุจ��นุวนุเตั1มบวก ซ้��งถึ��

แลำ�ว

เนุ,�องจ�กท�กๆ คิ.� แลำะท�กคิ.�

ถึ��ให� เป/นุคิว�มย�วของเส�นุโคิ�ง โดัยจะไดั�อสมก�ร ( สมก�ร3.8)

เพื่ร�ะฉะนุ�นุ เม,�อ ม�คิ.�ม�ก ๆ แลำะ ม�คิ.�เข��ใกลำ� จะไดั�

นุ�นุคิ,อ

#

ทฤษฎี�4.10 อนุ�กรมก��ลำง ม� เป/นุวงกลำมของก�รลำ*.เข��ซ้��งม�รศึม�เท.�กบ

จะไดั�ว.�

(1) ถึ�� ลำ*.เข��อย.�งสม���เสมอส*. ส��หรบท�ก

แลำ�ว เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#บนุ

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

156

Page 17: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

(2) ท�ก ๆ จ�ดั ในุ

ว�ธ์�พื่�ส*จนุ#

(1) ให� เป/นุเส�นุโคิ�งเชิ�งเดั�ยวเร�ยบป=ดัภ�ยในุวงกลำม ( )

เพื่ร�ะว.�แตั.ลำะพื่จนุ#ของอนุ�กรมเป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#บนุเส�นุโคิ�ง ดังนุ�นุปร�พื่นุธ์#

ของแตั.ลำะพื่จนุ#ไดั�ผลำลำพื่ธ์#เป/นุ0

นุ�นุคิ,อ

เพื่ร�ะว.� เป/นุฟั"งก#ชินุตั.อเนุ,�องบนุ แลำะ ท�ก ๆ เส�นุโคิ�ง

เชิ�งเดั�ยวเร�ยบป=ดัท��อย*.ภ�ยในุวงกลำม

นุ�นุคิ,อ เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#บนุ

(2) ให� จะม�เส�นุโคิ�งเร�ยบป=ดัเชิ�งเดั�ยว ท��อย*.ในุ แลำะ จะไดั�

#

ทฤษฎี�4.11 ถึ�� เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ท��จ�ดั แลำ�ว จะม�อนุ�กรมก��ลำง

โดัยท�� เม,�อ , , , , ซ้��งอนุ�กรมนุ��จะลำ*.เข��ส*. ท�ก ๆ

คิ.� ท��อย*.ในุย.�นุใกลำ�เคิ�ยงจ�ดั นุ�นุคิ,อ

ว�ธ์�พื่�ส*จนุ#

กรณ์�ท��1 เม,�อ ให� เป/นุจ�ดัในุ

ให� เป/นุวงกลำมรศึม� โดัยท��

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

157

Page 18: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

เพื่ร�ะว.�

แลำะไดั�

ส��หรบจ��นุวนุเตั1มบวกเพื่ร�ะฉะนุ�นุ

ให� เร�จะไดั�

โดัยส*ตัรก�รห�ปร�พื่นุธ์#ของฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ของโคิชิ� คิ,อ

เร�ไดั�

…………(*) เพื่ร�ะ เป/นุฟั"งก#ชินุท��ตั.อเนุ,�องบนุเซ้ตัท��ม�ขอบเขตัจ��กดั

ตั�องม� ท��ท��ให� ท�ก ๆ คิ.� บนุ

จ�ก

ดังนุ�นุ

เพื่ร�ะว.� บนุเส�นุรอบวงของวงกลำม

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

158

Page 19: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

เพื่ร�ะว.� ดังนุ�นุ

จ�กสมก�ร (*) เร�ไดั�

นุ�นุคิ,อ ท�ก ๆ คิ.� ในุ

กรณ์�ท��2 ท�� ให� จะไดั� เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ท��

ดังนุ�นุ

นุ�นุคิ,อ ท�ก ๆ คิ.� ในุ

#

นุ�ย�ม4.8 เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ท��จ�ดั

อนุ�กรมก��ลำง เร�ยกว.� อนุ�กรมเทย#เลำอร# (Taylor

series) ของ ท��จ�ดั เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ท��จ�ดั

อนุ�กรมก��ลำง เร�ยกว.� อนุ�กรมแมคิลำอร�นุ

(Maclaurinseries) ของ ท��จ�ดั

4.4 อนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ อนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุเร�ส�ม�รถึห�ไดั�โดัยใชิ�อนุ�กรมเทย#เลำอร# หร,ออนุ�กรมแมคิลำอร�นุ ซ้��ง

เร�ม�ว�ธ์�พื่�จ�รณ์�ไดั�เชิ.นุเดั�ยวกนุกบกรณ์�ของอนุ�กรมเทย#เลำอร# หร,อแมคิลำอร�นุในุฟั"งก#ชินุตัวแปรจร�งท��เร�เคิย ศึ�กษ�ม�แลำ�วในุว�ชิ�แคิลำคิ*ลำสเพื่�ยงแตั.เร�แทนุตัวแปร ดั�วย ดังนุ��

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

159

Page 20: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ตัวอย.�ง4.11 (ก) จงห�อนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุ

แลำะ(ข) จงห�บร�เวณ์ของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรมอนุนุตั#ท��ไดั�

ว�ธ์�ท�� จ�ก จะไดั�

แลำะ จะไดั�

แลำะ จะไดั�

แลำะ จะไดั�

แลำะ จะไดั�

จ�กนุ�ย�ม4.8 อนุ�กรมแมคิลำอร�นุของ คิ,อ

นุ�นุคิ,อ

(ข) ห�บร�เวณ์ก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม

พื่จนุ#ท�� ของอนุ�กรมนุ��คิ,อ โดัยก�รทดัสอบโดัยใชิ�ก�รทดัสอบอตัร�ส.วนุ เร�ม�

นุ�นุคิ,อ อนุ�กรมนุ��จะลำ*.เข��ก1ตั.อเม,�อ แลำะฟั"งก#ชินุ ม�จ�ดั เป/นุ จ�ดัเอกฐ�นุ ซ้��งจ�ดันุ��อย*.นุอกวงกลำมของก�รลำ*.เข��

นุ�นุคิ,อ ส��หรบ

#

ตัวอย.�ง4.12 จงห�อนุ�กรมเทย#เลำอร#ของ f zz

( ) 1

รอบจ�ดั z 1แลำะห�รศึม�ของก�รลำ*.เข��

ว�ธ์�ท�� จ�ก f zz

( ) 1 ไดั� f ( )

11

11

แลำะ f zd

dz z

z( )

1

2

1 ไดั�

f ( )( )

!11

11

2

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

160

Page 21: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

f zd

dz z

z( )

12

3

2

ไดั�

f ( )

( )!1

2

12

3

f zd

dz z

z( )

23

4

6 ไดั�

f ( )( )

!16

13

4

f zd

dz z

z( ) ( )4

64

5

24

ไดั� f ( ) ( )( )

!45

124

14

จ�กนุ�ย�ม4.8 อนุ�กรมเทย#เลำอร#ของ f z( ) รอบจ�ดั z a คิ,อ

อนุ�กรมเทย#เลำอร#ของ1

z รอบจ�ดั z 1 คิ,อ

1 1 1 1 1 11 2 3 4

zz z z z ( ) ( ) ( ) ( )

ห�รศึม�ของก�รลำ*.เข��โดัยก�รทดัสอบดั�วยอตัร�ส.วนุ ไดั�

lim lim( )

( )lim

n

n

n n

n

n n

z

z

z

zz z

1

11

11 1

ดังนุ�นุอนุ�กรมลำ*.เข��เม,�อ z 1 1

แตั.เนุ,�องจ�กท��จ�ดั z 1 , f zz

( ) 1 เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#

ดังนุ�นุ อนุ�กรมท��ลำ*.เข��บนุวงกลำม ดั�วย

รศึม�ก�รลำ*.เข��คิ,อ

#

ตัวอย.�ง4.13 จงห�อนุ�กรมแมคิลำอร�นุของ (ฟั"งก#ชินุเลำขชิ��ก��ลำง) แลำะห�บร�เวณ์ของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรมท��ไดั�

ว�ธ์�ท�� จ�ก ไดั�

แลำะ ไดั�

ไดั�

ไดั�

ไดั� จ�กส*ตัรอนุ�กรมแมคิลำอร�นุของ f z( ) คิ,อ

f z f f z f z f z( ) ( )( )

!

( )

!

( )

! 0

0

1

0

2

0

32 3

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

161

Page 22: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

นุ�นุคิ,อ

12 3

2 3

zz z

! ! z

n

n

n !

0

ห�บร�เวณ์ของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม 12 3

2 3

zz z

! !

โดัยก�รทดัสอบดั�วยอตัร�ส.วนุ

lim lim( )!

!!

limn

n

n n

n

n n

z

z

z

n

z

n

z

nz

1

1

1

10 0

ดังนุ�นุอนุ�กรมนุ��ลำ*.เข��ส��หรบ หร,อ ท�ก ๆ คิ.� นุ�นุคิ,อ รศึม�ของก�รลำ*.เข��เป/นุ

#

หม�ยเหตั� ผลำจ�กตัวอย.�ง 4.12 คิ,อ

e zz zz 12 3

2 3

! !

เม,�อแทนุ z ดั�วย ix จะไดั�

12 3 4 5

2 3 4 5

ixx

ix x

ix

! ! ! !

ตัวอย.�ง4.14 ก��หนุดัให� f z z( ) ln( ) 1 จงห�อนุ�กรมแมคิลำอร�นุว�ธ์�ท�� จ�ก f z z( ) ln( ) 1 ไดั� f ( ) ln( )0 1 0 0

แลำะ

f zd

dzz

z( ) ln( )1

1

1 ไดั�

f ( )0

1

1 01

f zd

dz z z( )

( )

1

1

1

1 ไดั�

f ( )( )

!01

1 01 1

2

f zd

dz z z( )

( ) ( )

1

1

2

12 3 ไดั�

f ( )( )

!02

1 02 2

3

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

162

Page 23: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

f zd

dz z Z( ) ( )

( ) ( )4

3 4

2

1

6

1

ไดั�

f ( ) ( )( )

!44

06

1 03

f z

d

dz z z( ) ( )

( )

!

( )5

4 5

6

1

4

1

ไดั� f ( ) ( )

!

( )!5

50

4

1 04

f zk

zk k

k( ) ( ) ( )

( )!

( )

1

1

11 ไดั�

f kk( ) ( ) ( ) ( )!5 10 1 1

จ�กส*ตัรอนุ�กรมของแมคิลำอร�นุของ f z( ) คิ,อ

f z f f z f z( ) ( )( )

!

( )

! 0

0

1

0

22

เร�ไดั� ln( )!

!

!

!

!

!

!

!

!1 0

1

1

1

2

2

3

3

4

4

52 3 4 5 z z z z z z

#

หม�ยเหตั� จ�กอนุ�กรมแมคิลำอร�นุของ ln( )1 z เม,�อแทนุ z 1 จะไดั�

นุ�นุคิ,อ อนุ�กรม ลำ*.เข��

ตัวอย.�ง 4.15 (ก) จงห�อนุ�กรมของคิลำอร�นุของ f z z( ) sin

(ข) จงห�อนุ�กรมของคิลำอร�นุของ f z z( ) sinh

ว�ธ์�ท�� (ก) จ�ก f z z( ) sin ไดั�

แลำะ ไดั�

ไดั�

ไดั�

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

163

Page 24: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ไดั�

โดัยนุ�ย�ม 4.8 ไดั�

(ข) จ�ก ไดั�

แลำะ ไดั�

ไดั�

ไดั�

โดัยนุ�ย�ม4.8 อนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุ คิ,อ

เร�ไดั�

#

สร�ปอนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุท��ส��คิญม�ดังนุ��

1.

2.

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

164

Page 25: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

3.

4.

5.

6.

7.

แบบฝึ@กหดั 4.11. จ�กอนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ จงแสดังว.�

(ก) (ข)

2. จงกระจ�ยฟั"งก#ชินุแตั.ลำะข�อท��ก��หนุดัให�ตั.อไปนุ��อย*.ในุร*ปอนุ�กรมเทย#เลำอร#รอบจ�ดัท��ก��หนุดัให� แลำะห�บร�เวณ์ของก�รลำ*.เข��

2.1 2.2 2.3 2.4

3. จงห�อนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุแตั.ลำะข�อตั.อไปนุ��3.1 3.2 3.3

ผลำเฉลำยแบบฝึ@กหดั 4.1

2. 2.1

2.2

2.3

2.4

3. 3.1

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

165

Page 26: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

3.2

3.3

4.5 ก�รห�อนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุอ,�นุ ๆถึ��ฟั"งก#ชินุ ท��ก��หนุดัให�อย*.ในุร*ปท��ซ้บซ้�อนุข��นุซ้��งหม�ยถึ�งฟั"งก#ชินุท��เก�ดัจ�กก�รบวก ลำบ คิ*ณ์

ห�รของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ ในุก�รคิ��นุวณ์ห�สมประส�ทธ์�:ของอนุ�กรมเทย#เลำอร#หร,อสมประส�ทธ์�:ของอนุ�กรมแม

คิลำอร�นุโดัยว�ธ์�ท��ไดั�จ�กส*ตัรดังนุ�ย�ม4.8 นุ�นุ จะเป/นุว�ธ์�ท��คิ.อนุข��งย�.งย�ก แลำะเส�ยเวลำ� ดังนุ�นุในุหวข�อนุ��จะ แสดังว�ธ์�ตั.�ง ๆ ท��ใชิ�ในุก�รคิ��นุวณ์ห�อนุ�กรมซ้��งง.�ยกว.� แลำะเป/นุว�ธ์�ท��ใชิ�ในุท�งปฏิ�บตั�

4.5.1 โดัยก�รแทนุในุฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ

ตัวอย.�ง 4.16 ก��หนุดัให� จงเข�ยนุให�อย*.ในุร*ปอนุ�กรมแมคิลำอร�นุ

ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ คิ,อ

แทนุ ดั�วย จะไดั�

เม,�อ

#

ตัวอย.�ง4.17 ก��หนุดัให� จงเข�ยนุให�อย*.ในุร*ปอนุ�กรมก��ลำงรอบจ�ดั ท��ม�

ก��ลำงของ เป/นุลำบ

ว�ธ์�ท�� จ�ก

เนุ,�องจ�กอนุ�กรมของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ คิ,อ

แทนุ ดั�วย จะไดั�

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

166

Page 27: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

นุ�นุคิ,อ

#

ตัวอย.�ง4.18 ก��หนุดัให� จงห�อนุ�กรมเทย#เลำอร#รอบจ�ดั

เม,�อ แลำะ

ว�ธ์�ท�� จ�ก ท��ก��หนุดัให�เร�จะอ�ศึยสมก�รพื่�ชิคิณ์�ตัท�วไปจดัร*ปแบบใหม.โดัย

ให�อย*.ในุร*ป แลำ�วจ�งอ�ศึยอนุ�กรมเทย#เลำอร#ของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุดั�วย

จ�กอนุ�กรมพื่,�นุฐ�นุ คิ,อ

นุ�นุคิ,อ

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

167

Page 28: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

แลำะอนุ�กรมก��ลำงท�งข�วม,อ เร�ห�บร�เวณ์ลำ*.เข��โดัยใชิ�อตัร�ส.วนุ

นุ�นุคิ,ออนุ�กรมจะลำ*.เข�� เม,�อ

#

4.5.2 ใชิ�อนุ�กรมทว�นุ�มแลำะส.วนุย.อย

จ�กทฤษฎี�บททว�นุ�ม คิ,อ

ในุท��นุ��อนุ�กรมทว�นุ�มท��จะใชิ�ในุอนุ�กรมก��ลำง เม,�อแทนุ n ดั�วย - m จะไดั�

ตัวอย.�ง4.18 จงห�อนุ�กรมเทย#เลำอร#ของ

รอบจ�ดั

ว�ธ์�ท�� จ�ก

เข�ยนุให�อย*.ในุร*ปของเศึษส.วนุย.อย จะไดั�

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

168

Page 29: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

แลำะเข�ยนุให�อย*.ในุร*ปของเทอม ไดั�ดังนุ��

เม,�อ

แลำะ

นุ�นุคิ,อ

เนุ,�องจ�ก ม�จ�ดัเอกฐ�นุท�� แลำะ จ�ดั เป/นุจ�ดัเอกฐ�นุท��ใกลำ�ท��ส�ดั

กบจ�ดัศึ*นุย#กลำ�ง

ดังนุ�นุ อนุ�กรมจะลำ*.เข��ภ�ยในุวงกลำม

#

แบบฝึ@กหดั 4.2 1. จงคิ��นุวนุห�อนุ�กรมแมคิลำอร�นุจ�กฟั"งก#ชินุท��ก��หนุดัให�แตั.ลำะข�อแลำะห�รศึม�ของก�รลำ*.เข��

1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 1.6

1.7

2. จงคิ��นุวณ์ห�อนุ�กรมเทย#เลำอย#จ�กฟั"งก#ชินุแตั.ลำะข�อท��ก��หนุดัจ�ดัศึ*นุย#กลำ�งท��ก��หนุดัให�

2.1 ,

2.2 ,

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

169

Page 30: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ผลำเฉลำยแบบฝึ@กหดั 4.21. 1.1 , 1.2

, 1.3 ,

1.4 , 1.5

,

1.6 ,

1.7 ,

2 2.1 ,

2.2 ,

4.6 อนุ�กรมโลำรองตั# ( Laurent ,s series) ในุหวข�อ 4.3 นุ�ย�ม 4.8 เร�ไดั�กลำ.�วถึ�งอนุ�กรมของเทย#เลำอร# โดัยท�� เป/นุฟั"งก#ชินุ

ว�เคิร�ะห# ภ�ยในุบร�เวณ์ รอบจ�ดั เป/นุจ�ดัอย*.ในุบร�เวณ์ แตั.ในุก�รประย�กตั#ใชิ�ง�นุหลำ�ย ๆ อย.�งนุ�� บ�งคิร�งมนุเป/นุส��งจ��เป/นุจะตั�องกระจ�ยฟั"งก#ชินุ รอบ ๆ จ�ดั ซ้��งเป/นุจ�ดัเอกฐ�นุของ

ซ้��งทฤษฎี�ของเทย#เลำอร#ไม.ส�ม�รถึนุ��ม�ประย�กตั#ใชิ�ในุกรณ์�นุ��ไดั� ดังนุ�นุอนุ�กรมอ�กร*ปแบบหนุ��งท��กระจ�ย รอบจ�ดัเอกฐ�นุ ซ้��งเร�ยกอนุ�กรมนุ��ว.� อนุ�กรมโลำลำองตั#

โดัยเร��มตั�นุจ�กก�รพื่�จ�รณ์�ร*ปวงแหวนุท��ถึ*กลำ�อมรอบดั�วยวงกลำม แลำะ ดังร*ป 4.1

ร*ป4.1ซ้��ง เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ท��ภ�ยในุแลำะท��จ�ดับนุ กบ ของวงแหวนุ

ทฤษฎี� 4.12 ถึ�� เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#บนุบร�เวณ์ เม,�อ แลำะ เป/นุคิ.�คิงตัวเชิ�งซ้�อนุ แลำ�วท�ก ๆ ท�� ส�ม�รถึเข�ยนุ

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

170

Page 31: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

แทนุดั�วยอนุ�กรมก��ลำง

โดัยท��

, , , ,

แลำะ , , ,

, เม,�อ เป/นุวงกลำม

เป/นุวงกลำม

ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# กรณ์�ท�� (1) ในุกรณ์�ท�� เร�ให� เป/นุจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุใดั ๆ ท�� โดัยส*ตัรปร�พื่นุธ์#ของโคิชิ�จะพื่�ส*จนุ#ไดั�ว.�

…………….…..(*) โดัยก�รพื่�ส*จนุ#ท��นุองเดั�ยวกนุกบทฤษฎี� 4.11 จะไดั�ว.�

…………………………..(ก)

เม,�อ

แลำะเพื่ร�ะว.� ท�กจ��นุวนุเตั1มบวก

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

171

Page 32: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

เม,�อ

พื่�ส*จนุ#ท��นุองเดั�ยวกนุกบทฤษฎี� 4.11 จะไดั�ว.�

…………………………..(ข)

เม,�อ

จ�กสมก�ร (*) แลำะสมก�ร(ก) แลำะ สมก�ร(ข) ไดั�

เม,�อ , , , ,

แลำะ , , , ,

กรณ์�ท��2 เม,�อ โดัยพื่�ส*จนุ#ในุท��นุองเดั�ยวกนุกบก�รพื่�ส*จนุ#ทฤษฎี�4.11

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

172

Page 33: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

จะไดั�ว.� ถึ�� แลำ�ว

โดัยท��

, , , ,

แลำะ , , ,

, #

นุ�ย�ม4.9 ถึ�� เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#บนุบร�เวณ์วงแหวนุท��เก�ดัจ�กวงกลำม สองวง คิ,อ แลำะ เม,�อ แลำะ

เป/นุจ�ดัใดั ๆ บนุบร�เวณ์วงแหวนุ แลำ�วอนุ�กรม

โดัยท��

, , , ,

แลำะ , , ,

, เร�ยกอนุ�กรมนุ��ว.� อนุ�กรมโลำรองตั#ของ ท��จ�ดั แลำะ เร�ยกเซ้ตั

ว.� วงแหวนุของก�รลำ*.เข�� (annulus of convergence)

หม�ยเหตั� ถึ��เร�ใชิ�สญลำกษณ์#แทนุ ดั�วย เร�จะไดั�

ตั.อไปเร�จะใชิ�สญลำกษณ์#แทนุอนุ�กรมโลำรองตั#ของ ท�� คิ,อ

เม,�อ

เม,�อ เป/นุเส�นุโคิ�งเชิ�งเดั�ยวเร�ยบป=ดัท��อย*.ในุวงแหวนุของก�รลำ*.เข�� แลำะวงกลำม

อย*.ภ�ยในุบร�เวณ์ท��ลำ�อมรอบดั�วย หร,อ

ว�ธ์�ก�รเข�ยนุฟั"งก#ชินุท��ก��หนุดัให�ให�อย*.ในุร*ปอนุ�กรมโลำรองตั#นุ�นุ เร�จะอ�ศึยอนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุ

ดังท��กลำ.�วม�แลำ�วในุหวข�อของ 4.4 แลำะ 4.6 ดังตัวอย.�งตั.อไปนุ��

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

173

Page 34: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ตัวอย.�ง 4.19 จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของ ท��จ�ดั

บนุ

ว�ธ์�ท�� จ�ก

เพื่ร�ะว.�

จ�กอนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ

ดังนุ�นุ

นุ�นุคิ,อ

#

ตัวอย.�ง 4.20 จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของ ท��ม�จ�ดัศึ*นุย#กลำ�งอย*.ท��

ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุรอบจ�ดั ของ คิ,อ

ดังนุ�นุ

นุ�นุคิ,อ

#

ตัวอย.�ง 4.21 จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของ ท��ม�จ�ดัศึ*นุย#กลำ�งอย*.ท��ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมก��ลำงรอบจ�ดั ของอนุ�กรมพื่,�นุฐ�นุ คิ,อ

เม,�อแทนุ ดั�วย จะไดั�

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

174

Page 35: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ดังนุ�นุ

#

ตัวอย.�ง 4.23 จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของฟั"งก#ชินุ

ให�ม�จ�ดัศึ*นุย#กลำ�งอย*.ท��

ว�ธ์�ท�� จ�ก แยกเป/นุเศึษส.วนุย.อย

จะไดั�

จ�ก โดัยตัวอย.�ง 4.16 , 4.17 เร�ส�ม�รถึเข�ยนุให�อย*.ในุร*ปอนุ�กรมก��ลำงรอบจ�ดั

1. ให�ม�ก��ลำงของ เป/นุบวกไดั�ดั�วย

…………………..(ก)2. ให�ม�ก��ลำงของ เป/นุลำบไดั�ดั�วย

……………….…..(ข)

จ�ก ในุท��นุองเดั�ยวกนุ เร�ส�ม�รถึเข�ยนุให�อย*.ในุร*ปอนุ�กรมก��ลำงรอบจ�ดั

1. ให�ม�ก��ลำงของ เป/นุบวกไดั�ดังนุ��

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

175

Page 36: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

,

………………..(คิ)2. ให�ม�ก��ลำงของ เป/นุลำบไดั�ดังนุ��

,

…………..(ง)

กรณ์�ท��1 พื่�จ�รณ์�ผลำบวกของสมก�ร (ก) แลำะสมก�ร (คิ) ซ้��งเป/นุจร�งเม,�อ ดัง

ร*ป 4.2

(คิ) (ก)

1 2

ร*ป4.2 ดังนุ�นุ

นุ�นุคิ,อ

กรณ์�ท�� 2 พื่�จ�รณ์�ผลำบวกของสมก�ร(ข) แลำะสมก�ร (คิ) ซ้��งเป/นุจร�งเม,�อ

ดังร*ป4.3

(คิ) (ข)

1 2

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

176

Page 37: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ร*ป4.3

ดังนุ�นุ

กรณ์�ท�� 3 พื่�จ�รณ์�ผลำบวกของสมก�ร (ข) กบสมก�ร (ง) ซ้��งเป/นุจร�งเม,�อ

ดังนุ�นุ

#

ตัวอย.�ง 4.24 จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของ ซ้��งลำ*.เข��ภ�ยในุวงแหวนุ

พื่ร�อมท�งก��หนุดับร�เวณ์ท��ถึ*กตั�องของ ก�รลำ*.เข��

ว�ธ์�ท�� จ�ก …………( )

พื่�จ�รณ์�

………...…(ก) ซ้��งอนุ�กรมลำ*.เข��ภ�ยในุวงกลำม หร,อ

คิ*ณ์สมก�ร (ก) ดั�วย จะไดั�

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

177

Page 38: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ซ้��งอนุ�กรมท�งขว�ม,อบร�เวณ์ท��ถึ*กตั�องของก�รลำ*.เข�� คิ,อ ดังร*ป 4.4

-1 0 1 2

3

ร*ป4.4

แบบฝึ@กหดั 4.31. จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของฟั"งก#ชินุแตั.ลำะข�อตั.อไปนุ�� แลำะวงแหวนุของก�รลำ*.เข��

1.1

1.2

1.3

1.4

2. ก��หนุดัให� จงห�อนุ�กรมโลำรองตั# แลำะบร�เวณ์ก�รลำ*.เข�� เม,�อ

2.1 ก��ลำงของ เป/นุบวก

2.2 ก��ลำงของ เป/นุลำบ

3. ก��หนุดัให� จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ซ้��งลำ*.เข��เม,�อ พื่ร�อมท�ง

ก��หนุดับร�เวณ์ท��ถึ*กตั�องของก�รลำ*.เข��

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

178

Page 39: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

4. ก��หนุดัให� จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ส��หรบบร�เวณ์ก�รลำ*.เข��แตั.ลำะข�อ

ตั.อไปนุ��4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

ผลำเฉลำยแบบฝึ@กหดั 4.3

1. 1.1

1.2

1.3

1.4

2. 2.1

2.2

3.

4. 4.1

4.2

4.3

4.4 4.5

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

179

Page 40: ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน

ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ

180