ลำดับและอนุกรมในระนาบเชิงซ้อน
TRANSCRIPT
บทท��4ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
(Sequences and Series in the complex plane)
ในุบทนุ��จะไดั�ศึ�กษ�ถึ�ง ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมของฟั"งก#ชินุตัวแปรเชิ�งซ้�อนุในุหลำ�ย ๆ ร*ปแบบ
เพื่,�อนุ��ไปใชิ�ในุก�รห�ปร�พื่นุธ์#ของฟั"งก#ชินุตัวแปรเชิ�งซ้�อนุอ�กว�ธ์�หนุ��งท��จะกลำ.�วในุบทท��5 ซ้��งจะเป/นุว�ธ์�ท��ท��ให� ก�รห�ปร�พื่นุธ์#ง.�ยแลำะสะดัวกม�กข��นุ ในุก�รศึ�กษ�ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมของฟั"งก#ชินุตัวแปรเชิ�งซ้�อนุนุ��ก1ม�แนุวคิ�ดั
ท��นุองเดั�ยวกนุกบลำ��ดับแลำะอนุ�กรมของคิ.�คิงตัวท��เร�เคิยไดั�ศึ�กษ�ม�แลำ�ว
4.1 ลำ��ดับ (Sequence) นุ�ย�ม4.1 ลำ��ดับของจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุ หม�ยถึ�งฟั"งก#ชินุจ�กเซ้ตัจ��นุวนุนุบไปยง
เซ้ตัจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุ หร,อ ฟั"งก#ชินุ ใชิ�สญลำกษณ์#แทนุดั�วย
หร,อ เม,�อ , , , เร�ยก หร,อ ว.� พื่จนุ#ท��
แลำะแทนุเซ้ตัของลำ��ดับ , , , หร,อ , , , ดั�วย หร,อ
ตัวอย.�ง4.1 (ก) เซ้ตัของจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุ , , , , , , , , จะแทนุดั�วย
หร,อ หร,อ
(ข) เซ้ตัของจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุ , , , จะแทนุดั�วย
หร,อ หร,อ
#
นุ�ย�ม4.2 ลำ��ดับ เป/นุลำ��ดับลำ*.เข�� (converge) ส*. ก1ตั.อเม,�อ ท�ก คิ.� จะ
ตั�องม�จ��นุวนุนุบ ท��ท�ก ๆ จ��นุวนุนุบ ท�� แลำ�ว
( ) จะแทนุลำ��ดับท��เป/นุลำ��ดับลำ*.เข��ดั�วย
ถึ��ลำ��ดับ ไม.เป/นุลำ��ดับท��ลำ*.เข�� เร�จะเร�ยกลำ��ดับนุ��ว.� ลำ��ดับลำ*.ออก
(diverge) ทฤษฎี�4.1 ถึ��ลำ��ดับ เป/นุลำ��ดับลำ*.เข�� แลำ�ว คิ.�ท�� ลำ*.เข��นุ�นุจะม�เพื่�ยงคิ.�เดั�ยวเท.�นุ�นุ
หร,อ ถึ�� แลำะ แลำ�ว
ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# สมม�ตั�ให� แลำะ แลำะ เป/นุจร�ง
นุ�นุคิ,อ ส��หรบท�ก ๆ คิ.�
ม�จ��นุวนุเตั1มบวก ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว
แลำะม�จ��นุวนุเตั1มบวก ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว
ให�
เลำ,อก คิ.�ตั���ส�ดัระหว.�ง แลำะ
ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว แลำะ
เพื่ร�ะว.�
นุ�นุคิ,อ ซ้��งเป/นุข�อขดัแย�งท�งคิณ์�ตัศึ�สตัร#
ท��สมม�ตั�ให�ว.� แลำะ แลำะ เป/นุจร�งนุ�นุ
ดังนุ�นุ
#
ในุก�รห�ลำ�ม�ตัของลำ��ดับของจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุเร�จะห�โดัยใชิ�ลำ�ม�ตัของลำ��ดับของจ��นุวนุจร�ง โดัยห�ลำ�ม�ตั ของลำ��ดับของส.วนุจร�ง แลำะลำ�ม�ตัของลำ��ดับของส.วนุจ�นุตัภ�พื่ ซ้��งอ�ศึยทฤษฎี�ดังนุ��
ทฤษฎี�4.2 ให�
ก1ตั.อเม,�อ แลำะ
ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# (1) สมม�ตั�ให� เป/นุจร�ง
ให� ตั�องม� ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว
เพื่ร�ะว.� แลำะ
แลำะ
นุ�นุคิ,อ ส��หรบ ตั�องม� ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว
แลำะ
แลำะ
(2) สมม�ตั�ให� แลำะ เป/นุจร�ง ให�
ม�จ��นุวนุเตั1มบวก ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
142
แลำะม�จ��นุวนุเตั1มบวก ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว
เลำ,อก คิ.�ส*งส�ดัระหว.�ง แลำะ
ส��หรบท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�วจะไดั�
นุ�นุคิ,อ ส��หรบ ม� ซ้��งท�กๆจ��นุวนุเตั1มบวก ท�� แลำ�ว
#
ตัวอย.�ง4.2 จงห�
ว�ธ์�ท�� จ�ก
ดังนุ�นุ
แลำะ แลำะ
#
ตัวอย.�ง4.3 จงแสดังว.� ห�ไม.ไดั� หร,อ ลำ*.ออก
ว�ธ์�ท�� จ�ก
ดังนุ�นุ
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
143
แตั.
ห�ไม.ไดั�
นุ�นุคิ,อ ห�ไม.ไดั� หร,อ ลำ*.ออก
#
4.2 อนุ�กรม (Series) นุ�ย�ม4.3 ลำ��ดับ ท��ไดั�จ�กลำ��ดับ ท��ก��หนุดัโดัย
เร�ยก ว.� ผลำบวกย.อยถึ�งพื่จนุ#ท�� จะแทนุดั�วย หร,อ
เร�ยกลำ��ดับ , , , . . . หร,อ ลำ��ดับ ว.� อนุ�กรมอนุนุตั# หร,อเร�ยกส�นุ ๆ ว.� อนุ�กรม
จะแทนุ ดั�วย
ถึ�� เร�ยกอนุ�กรมนุ��ว.� อนุ�กรมลำ*.เข�� แลำะเร�ยก ว.� ผลำบวกของอนุ�กรม
ตัวอย.�ง4.4 ก��หนุดัอนุ�กรมให�คิ,อ จงห�ผลำบวกของอนุ�กรม
ว�ธ์�ท�� จ�ก
เพื่ร�ะว.� เป/นุอนุ�กรมเรข�คิณ์�ตัของจ��นุวนุจร�ง
จะไดั�
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
144
ดังนุ�นุ
#
ข�อสงเกตั (1) อนุ�กรม เป/นุอนุ�กรมลำ*.เข�� เร�จะไดั�
จ�กตัวอย.�ง4.4 เร�ม� ซ้��งเป/นุอนุ�กรมท��ลำ*.เข��
เร�จะไดั�ว.�
(2) ในุท�งกลำบกนุ เร�ไม.ส�ม�รถึสร�ปไดั�ว.�
ถึ�� แลำ�ว เป/นุอนุ�กรมท��ลำ*.ออก
หม�ยเหตั� ก�รเข�ยนุอนุ�กรม บ�งคิร�งอ�จจะเร��มตั�นุท�� ก1ไดั� แลำ�วแตั.คิว�มเหม�ะสม เชิ.นุ
นุ�ย�ม4.4 อนุ�กรม ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์# (absolutely
convergent) ก1ตั.อเม,�อ ลำ*.เข��
ถึ��อนุ�กรม ลำ*.เข�� แตั. ลำ*.ออก เร�เร�ยก
อนุ�กรม นุ��ว.� เป/นุ อนุ�กรมลำ*.เข��อย.�งม�เง,�อนุไข
(conditionaly covergent)
ตัวอย.�ง4.5 ก��หนุดัให�
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
145
เพื่ร�ะว.�
เป/นุอนุ�กรมลำ*.เข�ส�
ดังนุ�นุ ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#
#
ทฤษฎี�ก�รทดัสอบส��หรบก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม
(1) ก�รทดัสอบโดัยก�รเปร�ยบเท�ยบ(comparison test)
.א ถึ�� ลำ*.เข�� แลำะ แลำ�ว ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#
.ב ถึ�� ลำ*.ออกแลำะ แลำ�ว ลำ*.ออก
แตั.ถึ�� อ�จจะลำ*.เข��หร,ออ�จจะลำ*.ออก
(2) ก�รทดัสอบโดัยอตัร�ส.วนุ (Ratio test)
ถึ�� แลำ�ว ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์# ถึ��
แลำะ ลำ*.ออก ถึ��
ถึ�� ทดัสอบไม.ไดั�
(3) ก�รทดัสอบโดัยร�กท��n ( root test)
ถึ�� แลำ�ว ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์# ถึ��
แลำะ ลำ*.ออก ถึ��
ถึ�� ทดัสอบไม.ไดั�
(4) ก�รทดัสอบโดัยปร�พื่นุธ์# (intergral test)
ถึ�� ส��หรบ แลำ�ว ลำ*.เข��หร,อลำ*.ออกข��นุอย*.กบว.�
ลำ*.เข��หร,อลำ*.ออก
(5) ก�รทดัสอบของร�เบ (Raabe’s Test)
ถึ�� แลำ�ว ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์# ถึ��
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
146
แลำะ ลำ*.ออกหร,อลำ*.เข��อย.�งม�เง,�อนุไข ถึ��
ถึ�� ทดัสอบไม.ไดั�
อนุ�กรมท��ใชิ�เปร�ยบเท�ยบท��ส��คิญ คิ,อ
เร�นุ�ยมเร�ยกอนุ�กรมนุ��ว.� อนุ�กรม อนุ�กรมนุ��จะลำ*.เข�� เม,�อ
ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# เร�ม�
………………. (1)
………………. (2)
………………. (3)
………………. (4)
จ�กสมก�ร (1) , (2) , (3) , (4) , … เร�จะไดั�ว.�
+
แตั. เป/นุอนุ�กรมเรข�คิณ์�ตั
ท��ม�อตัร�ส.วนุร.วม( ) = ซ้��งจะลำ*.เข��เม,�อ < 1
<
นุ�นุคิ,อ อนุ�กรม ลำ*.เข�� (ก�รทดัสอบโดัยใชิ�ก�รเปร�ยบ
เท�ยบ ) เม,�อ
#
นุ�ย�ม4.5 อนุ�กรมก��ลำง (power series) ของตัวแปรเชิ�งซ้�อนุรอบจ�ดั หม�ยถึ�ง
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
147
เม,�อ เป/นุคิ.�คิงตัวเชิ�งซ้�อนุ
เร�ยกว.� ศึ*นุย#กลำ�ง (centre) ของอนุ�กรมก��ลำง
เร�ยกว.� สมประส�ทธ์�:(coefficients)ของอนุ�กรมก��ลำง
อนุ�กรมก��ลำง ลำ*.เข��ท��จ�ดั (convergent at )
ก1ตั.อเม,�ออนุ�กรม ลำ*.เข��
อนุ�กรมก��ลำง ลำ*.ออกท��จ�ดั (diconvergent at )
ก1ตั.อเม,�ออนุ�กรม ลำ*.ออก
อนุ�กรมก��ลำง ลำ*.เข��บนุเซ้ตั S
ก1ตั.อเม,�ออนุ�กรม ลำ*.เข��ท�กจ�ดั ในุS
ตัวอย.�ง4.6 ก��หนุดัอนุ�กรมตัวแปรเชิ�งซ้�อนุ
พื่�จ�รณ์�ท��จ�ดั ไดั�
เพื่ร�ะว.� เป/นุอนุ�กรมลำ*.เข��
ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#ท��จ�ดั
#
ทฤษฎี�4.4 ถึ�� แลำ�วอนุ�กรมก��ลำง ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#ท��ท�กๆ จ�ดั
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
148
ข��งในุของวงกลำม ลำ*.ออกท�ก ๆจ�ดัท��อย*.นุอกวงกลำม แลำะอ�จจะลำ*.เข��สมบ*รณ์#
หร,อลำ*.เข��อย.�งม�เง,�อนุไขหร,อลำ*.ออกท��จ�ดัอย*.บนุเส�นุรอบวงของวงกลำมว�ธ์�พื่�ส*จนุ# จ�กอนุ�กรมก��ลำงก��หนุดัให�
สมม�ตั�ให� แลำะโดัยทฤษฎี� 4.3 ไดั�
ดังนุ�นุอนุ�กรมลำ*.เข��สมบ*รณ์# เม,�อ
หร,อ < แลำะ อนุ�กรมลำ*.ออก เม,�อ
หร,อ >
แลำะโดัยทฤษฎี� 4.3 ใชิ�ตัรวจสอบไม.ไดั�เม,�อ
หร,อ =
#
นุ�ย�ม4.6 อนุ�กรมก��ลำง ม�
ให� > 0
จะเร�ยก ว.� รศึม�ของก�รลำ*.เข�� (radius of convergence) ของ
อนุ�กรมก��ลำง เร�ยกวงกลำม ว.� วงกลำมของก�รลำ*.เข��
ถึ�� ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#ท�� เท.�นุ�นุ เร�กลำ.�วว.�รศึม�ของก�ร
ลำ*.เข��เป/นุ
ถึ�� ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#ท�ก ๆ คิ.� เร�กลำ.�วว.�รศึม�ของก�รลำ*.เข��
เป/นุ
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
149
ทฤษฎี�4.5 อนุ�กรมก��ลำง
ถึ�� แลำ�ว เป/นุรศึม�ก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรมก��ลำง
ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# สมม�ตั�ให� > 0
เพื่ร�ะว.� ก�รทดัสอบแบบอตัร�ส.วนุจ�กทฤษฎี� 4.3 เร�ม�
อนุ�กรม ลำ*.เข�� เม,�อ < 1 หร,อ < r
อนุ�กรม ลำ*.ออก เม,�อ > 1 หร,อ > r
ท��จ�ดั แลำ�ว = 0
ถึ�� แลำ�ว =
นุ�นุคิ,อ เป/นุรศึม�ของก�รลำ*.ออกของอนุ�กรม
#
ทฤษฎี�4.6 อนุ�กรมก��ลำง
ถึ�� แลำ�ว เป/นุรศึม�ก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรมก��ลำง
ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# สมม�ตั�ให�
เพื่ร�ะว.�
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
150
เพื่ร�ะฉะนุ�นุโดัยก�รทดัสอบแบบร�กท�� ของอนุ�กรมก��ลำงของจ��นุวนุจร�งจะไดั�ว.�
อนุ�กรม ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์# เม,�อ < 1 หร,อ < r
อนุ�กรม ลำ*.ออก เม,�อ > 1 หร,อ > r
ท��จ�ดั เร�ไดั� 0
แลำะถึ�� แลำ�ว =
นุ�นุคิ,อ เป/นุรศึม�ของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม
#
ตัวอย.�ง4.7 จงห�รศึม�ของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม
ว�ธ์�ท�� เพื่ร�ะว.�
เพื่ร�ะฉะนุ�นุรศึม�ของก�รลำ*.เข��เท.�กบ1
นุ�นุคิ,อ ลำ*.เข��ท�กคิ.� ท��อย*.ข��งในุวงกลำม หร,อ ท�ก ๆ คิ.� ท��
#
ตัวอย.�ง4.8 จงห�รศึม�ก�รลำ*.เข��แลำะวงกลำมของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
151
ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมท��ก��หนุดัให� เร�ม�
แลำะ
โดัยทฤษฎี� 4.5 ไดั�
ดังนุ�นุอนุ�กรม ม�รศึม�ก�รลำ*.เข��เท.�กบ4
นุ�นุคิ,อ อนุ�กรม ลำ*.เข�� ท�กคิ.� ท��
พื่�จ�รณ์�คิ.� ท��อย*.บนุเส�นุรอบวงของวงกลำม นุ�นุคิ,อ จะไดั�
ในุร*ปอนุ�กรมเร�ม� เป/นุอนุ�กรมลำ*.เข�� (โดัยว�ธ์�ก�รทดัสอบก�รลำ*.เข��)
อนุ�กรม ลำ*.เข��อย.�งสมบ*รณ์#บนุเส�นุรอบวงของ
นุ�นุคิ,อ อนุ�กรม ลำ*.เข��ท�กคิ.� ท�� ดังร*ป4.1
-2
ร*ป4.1
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
152
#
ตัวอย.�ง4.9 จงห�รศึม�ก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม
ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมท��ก��หนุดัให� เร�ม�
แลำะ
โดัยทฤษฎี� 4.5 ไดั�
นุ�นุคิ,ออนุ�กรม ซ้��งเป/นุอนุ�กรมก��ลำงรอบจ�ดั ม�รศึม�ก�รลำ*.เข��เท.�กบ
ดังนุ�นุ อนุ�กรมนุ��ลำ*.เข��เม,�อ เท.�นุ�นุ
#
ตัวอย.�ง4.10 จงห�รศึม�ก�รลำ*.เข��แลำะบร�เวณ์ก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม
ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมท��ก��หนุดัให�เป/นุอนุ�กรมรอบจ�ดั ซ้��งม�
แลำะ
โดัยทฤษฎี� 4.5 ไดั�
นุ�นุคิ,อ รศึม�ของก�รลำ*.เข��เป/นุคิ.�อนุนุตั#
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
153
แสดังว.� อนุ�กรม ลำ*.เข��ท�กคิ.� ท��
#
4.3 อนุ�กรมก��ลำง (power series)
นุ�ย�ม4.7 อนุ�กรมก��ลำง ท��ม� เป/นุผลำบวกย.อย พื่จนุ#
ลำ*.เข��อย.�งสม���เสมอท�� บนุเซ้ตั ( uniformly convergent on a
set S) ก1ตั.อเม,�อ ท�กคิ.� จะตั�องม�จ��นุวนุเตั1มบวก ท��ไม.ข��นุอย*. กบคิ.� ในุ ท��ท��ให� ถึ�� แลำ�ว
ท�กคิ.� ในุ
ทฤษฎี�4.7 ถึ��อนุ�กรมก��ลำง ม� เป/นุรศึม�ก�รลำ*.เข��แลำ�วอนุ�กรม
ลำ*.เข��อย.�งสม���เสมอบนุเซ้ตั ท�กคิ.�
ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# ให� แลำะ เป/นุวงกลำม
ให� เป/นุวงกลำม โดัยท��
ให�
เพื่ร�ะว.� ลำ*.เข��ท�กคิ.� ท��
ท�กคิ.� ท��
นุ�นุคิ,อ
ให� ม� ท��ท��ให�ท�ก ท�� ถึ�� แลำ�ว
จ�ก
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
154
ให� ม� ท��ท��ให� ถึ�� แลำ�ว
เลำ,อก เป/นุจ��นุวนุเตั1มบวกท�� แลำะ ให� เป/นุจ�ดัข��งในุวงกลำม ให� แลำะ จะไดั�ว.�
นุ�นุคิ,อ
เร�สร�ปไดั�ว.� ท�ก ม� ท��ไม.ข��นุอย*.กบคิ.� ท��อย*.บนุวงกลำมหร,อข��งในุวงกลำม
ท��ท��ให� ถึ�� แลำ�ว
นุ�นุคิ,อ ลำ*.เข��อย.�งสม���เสมอบนุเซ้ตั ท�กคิ.�
#
ทฤษฎี�4.9 อนุ�กรมก��ลำง ท��ม� เป/นุวงกลำมของก�รลำ*.เข��ซ้��งม�รศึม�เท.�กบ
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
155
แลำะ เป/นุเส�นุโคิ�งภ�ยในุ [ ] จะไดั�ว.�
ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# เพื่ร�ะว.� เป<นุอนุ�กรมลำ*.เข��ท��ม� เป/นุวงกลำมลำ*.เข��
ดังนุ�นุ จ�งลำ*.เข��อย.�งสม���เสมอส*. ) ท��ท�ก ๆ คิ.�
ส��หรบท�กคิ.� จะม� ท��ท�ก เป/นุจ��นุวนุเตั1มบวก ซ้��งถึ��
แลำ�ว
เนุ,�องจ�กท�กๆ คิ.� แลำะท�กคิ.�
ถึ��ให� เป/นุคิว�มย�วของเส�นุโคิ�ง โดัยจะไดั�อสมก�ร ( สมก�ร3.8)
เพื่ร�ะฉะนุ�นุ เม,�อ ม�คิ.�ม�ก ๆ แลำะ ม�คิ.�เข��ใกลำ� จะไดั�
นุ�นุคิ,อ
#
ทฤษฎี�4.10 อนุ�กรมก��ลำง ม� เป/นุวงกลำมของก�รลำ*.เข��ซ้��งม�รศึม�เท.�กบ
จะไดั�ว.�
(1) ถึ�� ลำ*.เข��อย.�งสม���เสมอส*. ส��หรบท�ก
แลำ�ว เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#บนุ
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
156
(2) ท�ก ๆ จ�ดั ในุ
ว�ธ์�พื่�ส*จนุ#
(1) ให� เป/นุเส�นุโคิ�งเชิ�งเดั�ยวเร�ยบป=ดัภ�ยในุวงกลำม ( )
เพื่ร�ะว.�แตั.ลำะพื่จนุ#ของอนุ�กรมเป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#บนุเส�นุโคิ�ง ดังนุ�นุปร�พื่นุธ์#
ของแตั.ลำะพื่จนุ#ไดั�ผลำลำพื่ธ์#เป/นุ0
นุ�นุคิ,อ
เพื่ร�ะว.� เป/นุฟั"งก#ชินุตั.อเนุ,�องบนุ แลำะ ท�ก ๆ เส�นุโคิ�ง
เชิ�งเดั�ยวเร�ยบป=ดัท��อย*.ภ�ยในุวงกลำม
นุ�นุคิ,อ เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#บนุ
(2) ให� จะม�เส�นุโคิ�งเร�ยบป=ดัเชิ�งเดั�ยว ท��อย*.ในุ แลำะ จะไดั�
#
ทฤษฎี�4.11 ถึ�� เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ท��จ�ดั แลำ�ว จะม�อนุ�กรมก��ลำง
โดัยท�� เม,�อ , , , , ซ้��งอนุ�กรมนุ��จะลำ*.เข��ส*. ท�ก ๆ
คิ.� ท��อย*.ในุย.�นุใกลำ�เคิ�ยงจ�ดั นุ�นุคิ,อ
ว�ธ์�พื่�ส*จนุ#
กรณ์�ท��1 เม,�อ ให� เป/นุจ�ดัในุ
ให� เป/นุวงกลำมรศึม� โดัยท��
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
157
เพื่ร�ะว.�
แลำะไดั�
ส��หรบจ��นุวนุเตั1มบวกเพื่ร�ะฉะนุ�นุ
ให� เร�จะไดั�
โดัยส*ตัรก�รห�ปร�พื่นุธ์#ของฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ของโคิชิ� คิ,อ
เร�ไดั�
…………(*) เพื่ร�ะ เป/นุฟั"งก#ชินุท��ตั.อเนุ,�องบนุเซ้ตัท��ม�ขอบเขตัจ��กดั
ตั�องม� ท��ท��ให� ท�ก ๆ คิ.� บนุ
จ�ก
ดังนุ�นุ
เพื่ร�ะว.� บนุเส�นุรอบวงของวงกลำม
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
158
เพื่ร�ะว.� ดังนุ�นุ
จ�กสมก�ร (*) เร�ไดั�
นุ�นุคิ,อ ท�ก ๆ คิ.� ในุ
กรณ์�ท��2 ท�� ให� จะไดั� เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ท��
ดังนุ�นุ
นุ�นุคิ,อ ท�ก ๆ คิ.� ในุ
#
นุ�ย�ม4.8 เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ท��จ�ดั
อนุ�กรมก��ลำง เร�ยกว.� อนุ�กรมเทย#เลำอร# (Taylor
series) ของ ท��จ�ดั เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ท��จ�ดั
อนุ�กรมก��ลำง เร�ยกว.� อนุ�กรมแมคิลำอร�นุ
(Maclaurinseries) ของ ท��จ�ดั
4.4 อนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ อนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุเร�ส�ม�รถึห�ไดั�โดัยใชิ�อนุ�กรมเทย#เลำอร# หร,ออนุ�กรมแมคิลำอร�นุ ซ้��ง
เร�ม�ว�ธ์�พื่�จ�รณ์�ไดั�เชิ.นุเดั�ยวกนุกบกรณ์�ของอนุ�กรมเทย#เลำอร# หร,อแมคิลำอร�นุในุฟั"งก#ชินุตัวแปรจร�งท��เร�เคิย ศึ�กษ�ม�แลำ�วในุว�ชิ�แคิลำคิ*ลำสเพื่�ยงแตั.เร�แทนุตัวแปร ดั�วย ดังนุ��
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
159
ตัวอย.�ง4.11 (ก) จงห�อนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุ
แลำะ(ข) จงห�บร�เวณ์ของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรมอนุนุตั#ท��ไดั�
ว�ธ์�ท�� จ�ก จะไดั�
แลำะ จะไดั�
แลำะ จะไดั�
แลำะ จะไดั�
แลำะ จะไดั�
จ�กนุ�ย�ม4.8 อนุ�กรมแมคิลำอร�นุของ คิ,อ
นุ�นุคิ,อ
(ข) ห�บร�เวณ์ก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม
พื่จนุ#ท�� ของอนุ�กรมนุ��คิ,อ โดัยก�รทดัสอบโดัยใชิ�ก�รทดัสอบอตัร�ส.วนุ เร�ม�
นุ�นุคิ,อ อนุ�กรมนุ��จะลำ*.เข��ก1ตั.อเม,�อ แลำะฟั"งก#ชินุ ม�จ�ดั เป/นุ จ�ดัเอกฐ�นุ ซ้��งจ�ดันุ��อย*.นุอกวงกลำมของก�รลำ*.เข��
นุ�นุคิ,อ ส��หรบ
#
ตัวอย.�ง4.12 จงห�อนุ�กรมเทย#เลำอร#ของ f zz
( ) 1
รอบจ�ดั z 1แลำะห�รศึม�ของก�รลำ*.เข��
ว�ธ์�ท�� จ�ก f zz
( ) 1 ไดั� f ( )
11
11
แลำะ f zd
dz z
z( )
1
2
1 ไดั�
f ( )( )
!11
11
2
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
160
f zd
dz z
z( )
12
3
2
ไดั�
f ( )
( )!1
2
12
3
f zd
dz z
z( )
23
4
6 ไดั�
f ( )( )
!16
13
4
f zd
dz z
z( ) ( )4
64
5
24
ไดั� f ( ) ( )( )
!45
124
14
จ�กนุ�ย�ม4.8 อนุ�กรมเทย#เลำอร#ของ f z( ) รอบจ�ดั z a คิ,อ
อนุ�กรมเทย#เลำอร#ของ1
z รอบจ�ดั z 1 คิ,อ
1 1 1 1 1 11 2 3 4
zz z z z ( ) ( ) ( ) ( )
ห�รศึม�ของก�รลำ*.เข��โดัยก�รทดัสอบดั�วยอตัร�ส.วนุ ไดั�
lim lim( )
( )lim
n
n
n n
n
n n
z
z
z
zz z
1
11
11 1
ดังนุ�นุอนุ�กรมลำ*.เข��เม,�อ z 1 1
แตั.เนุ,�องจ�กท��จ�ดั z 1 , f zz
( ) 1 เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#
ดังนุ�นุ อนุ�กรมท��ลำ*.เข��บนุวงกลำม ดั�วย
รศึม�ก�รลำ*.เข��คิ,อ
#
ตัวอย.�ง4.13 จงห�อนุ�กรมแมคิลำอร�นุของ (ฟั"งก#ชินุเลำขชิ��ก��ลำง) แลำะห�บร�เวณ์ของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรมท��ไดั�
ว�ธ์�ท�� จ�ก ไดั�
แลำะ ไดั�
ไดั�
ไดั�
ไดั� จ�กส*ตัรอนุ�กรมแมคิลำอร�นุของ f z( ) คิ,อ
f z f f z f z f z( ) ( )( )
!
( )
!
( )
! 0
0
1
0
2
0
32 3
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
161
นุ�นุคิ,อ
12 3
2 3
zz z
! ! z
n
n
n !
0
ห�บร�เวณ์ของก�รลำ*.เข��ของอนุ�กรม 12 3
2 3
zz z
! !
โดัยก�รทดัสอบดั�วยอตัร�ส.วนุ
lim lim( )!
!!
limn
n
n n
n
n n
z
z
z
n
z
n
z
nz
1
1
1
10 0
ดังนุ�นุอนุ�กรมนุ��ลำ*.เข��ส��หรบ หร,อ ท�ก ๆ คิ.� นุ�นุคิ,อ รศึม�ของก�รลำ*.เข��เป/นุ
#
หม�ยเหตั� ผลำจ�กตัวอย.�ง 4.12 คิ,อ
e zz zz 12 3
2 3
! !
เม,�อแทนุ z ดั�วย ix จะไดั�
12 3 4 5
2 3 4 5
ixx
ix x
ix
! ! ! !
ตัวอย.�ง4.14 ก��หนุดัให� f z z( ) ln( ) 1 จงห�อนุ�กรมแมคิลำอร�นุว�ธ์�ท�� จ�ก f z z( ) ln( ) 1 ไดั� f ( ) ln( )0 1 0 0
แลำะ
f zd
dzz
z( ) ln( )1
1
1 ไดั�
f ( )0
1
1 01
f zd
dz z z( )
( )
1
1
1
1 ไดั�
f ( )( )
!01
1 01 1
2
f zd
dz z z( )
( ) ( )
1
1
2
12 3 ไดั�
f ( )( )
!02
1 02 2
3
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
162
f zd
dz z Z( ) ( )
( ) ( )4
3 4
2
1
6
1
ไดั�
f ( ) ( )( )
!44
06
1 03
f z
d
dz z z( ) ( )
( )
!
( )5
4 5
6
1
4
1
ไดั� f ( ) ( )
!
( )!5
50
4
1 04
f zk
zk k
k( ) ( ) ( )
( )!
( )
1
1
11 ไดั�
f kk( ) ( ) ( ) ( )!5 10 1 1
จ�กส*ตัรอนุ�กรมของแมคิลำอร�นุของ f z( ) คิ,อ
f z f f z f z( ) ( )( )
!
( )
! 0
0
1
0
22
เร�ไดั� ln( )!
!
!
!
!
!
!
!
!1 0
1
1
1
2
2
3
3
4
4
52 3 4 5 z z z z z z
#
หม�ยเหตั� จ�กอนุ�กรมแมคิลำอร�นุของ ln( )1 z เม,�อแทนุ z 1 จะไดั�
นุ�นุคิ,อ อนุ�กรม ลำ*.เข��
ตัวอย.�ง 4.15 (ก) จงห�อนุ�กรมของคิลำอร�นุของ f z z( ) sin
(ข) จงห�อนุ�กรมของคิลำอร�นุของ f z z( ) sinh
ว�ธ์�ท�� (ก) จ�ก f z z( ) sin ไดั�
แลำะ ไดั�
ไดั�
ไดั�
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
163
ไดั�
โดัยนุ�ย�ม 4.8 ไดั�
(ข) จ�ก ไดั�
แลำะ ไดั�
ไดั�
ไดั�
โดัยนุ�ย�ม4.8 อนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุ คิ,อ
เร�ไดั�
#
สร�ปอนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุท��ส��คิญม�ดังนุ��
1.
2.
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
164
3.
4.
5.
6.
7.
แบบฝึ@กหดั 4.11. จ�กอนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ จงแสดังว.�
(ก) (ข)
2. จงกระจ�ยฟั"งก#ชินุแตั.ลำะข�อท��ก��หนุดัให�ตั.อไปนุ��อย*.ในุร*ปอนุ�กรมเทย#เลำอร#รอบจ�ดัท��ก��หนุดัให� แลำะห�บร�เวณ์ของก�รลำ*.เข��
2.1 2.2 2.3 2.4
3. จงห�อนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุแตั.ลำะข�อตั.อไปนุ��3.1 3.2 3.3
ผลำเฉลำยแบบฝึ@กหดั 4.1
2. 2.1
2.2
2.3
2.4
3. 3.1
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
165
3.2
3.3
4.5 ก�รห�อนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุอ,�นุ ๆถึ��ฟั"งก#ชินุ ท��ก��หนุดัให�อย*.ในุร*ปท��ซ้บซ้�อนุข��นุซ้��งหม�ยถึ�งฟั"งก#ชินุท��เก�ดัจ�กก�รบวก ลำบ คิ*ณ์
ห�รของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ ในุก�รคิ��นุวณ์ห�สมประส�ทธ์�:ของอนุ�กรมเทย#เลำอร#หร,อสมประส�ทธ์�:ของอนุ�กรมแม
คิลำอร�นุโดัยว�ธ์�ท��ไดั�จ�กส*ตัรดังนุ�ย�ม4.8 นุ�นุ จะเป/นุว�ธ์�ท��คิ.อนุข��งย�.งย�ก แลำะเส�ยเวลำ� ดังนุ�นุในุหวข�อนุ��จะ แสดังว�ธ์�ตั.�ง ๆ ท��ใชิ�ในุก�รคิ��นุวณ์ห�อนุ�กรมซ้��งง.�ยกว.� แลำะเป/นุว�ธ์�ท��ใชิ�ในุท�งปฏิ�บตั�
4.5.1 โดัยก�รแทนุในุฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ
ตัวอย.�ง 4.16 ก��หนุดัให� จงเข�ยนุให�อย*.ในุร*ปอนุ�กรมแมคิลำอร�นุ
ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมแมคิลำอร�นุของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ คิ,อ
แทนุ ดั�วย จะไดั�
เม,�อ
#
ตัวอย.�ง4.17 ก��หนุดัให� จงเข�ยนุให�อย*.ในุร*ปอนุ�กรมก��ลำงรอบจ�ดั ท��ม�
ก��ลำงของ เป/นุลำบ
ว�ธ์�ท�� จ�ก
เนุ,�องจ�กอนุ�กรมของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ คิ,อ
แทนุ ดั�วย จะไดั�
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
166
นุ�นุคิ,อ
#
ตัวอย.�ง4.18 ก��หนุดัให� จงห�อนุ�กรมเทย#เลำอร#รอบจ�ดั
เม,�อ แลำะ
ว�ธ์�ท�� จ�ก ท��ก��หนุดัให�เร�จะอ�ศึยสมก�รพื่�ชิคิณ์�ตัท�วไปจดัร*ปแบบใหม.โดัย
ให�อย*.ในุร*ป แลำ�วจ�งอ�ศึยอนุ�กรมเทย#เลำอร#ของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุดั�วย
จ�กอนุ�กรมพื่,�นุฐ�นุ คิ,อ
นุ�นุคิ,อ
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
167
แลำะอนุ�กรมก��ลำงท�งข�วม,อ เร�ห�บร�เวณ์ลำ*.เข��โดัยใชิ�อตัร�ส.วนุ
นุ�นุคิ,ออนุ�กรมจะลำ*.เข�� เม,�อ
#
4.5.2 ใชิ�อนุ�กรมทว�นุ�มแลำะส.วนุย.อย
จ�กทฤษฎี�บททว�นุ�ม คิ,อ
ในุท��นุ��อนุ�กรมทว�นุ�มท��จะใชิ�ในุอนุ�กรมก��ลำง เม,�อแทนุ n ดั�วย - m จะไดั�
ตัวอย.�ง4.18 จงห�อนุ�กรมเทย#เลำอร#ของ
รอบจ�ดั
ว�ธ์�ท�� จ�ก
เข�ยนุให�อย*.ในุร*ปของเศึษส.วนุย.อย จะไดั�
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
168
แลำะเข�ยนุให�อย*.ในุร*ปของเทอม ไดั�ดังนุ��
เม,�อ
แลำะ
นุ�นุคิ,อ
เนุ,�องจ�ก ม�จ�ดัเอกฐ�นุท�� แลำะ จ�ดั เป/นุจ�ดัเอกฐ�นุท��ใกลำ�ท��ส�ดั
กบจ�ดัศึ*นุย#กลำ�ง
ดังนุ�นุ อนุ�กรมจะลำ*.เข��ภ�ยในุวงกลำม
#
แบบฝึ@กหดั 4.2 1. จงคิ��นุวนุห�อนุ�กรมแมคิลำอร�นุจ�กฟั"งก#ชินุท��ก��หนุดัให�แตั.ลำะข�อแลำะห�รศึม�ของก�รลำ*.เข��
1.1 1.2
1.3 1.4
1.5 1.6
1.7
2. จงคิ��นุวณ์ห�อนุ�กรมเทย#เลำอย#จ�กฟั"งก#ชินุแตั.ลำะข�อท��ก��หนุดัจ�ดัศึ*นุย#กลำ�งท��ก��หนุดัให�
2.1 ,
2.2 ,
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
169
ผลำเฉลำยแบบฝึ@กหดั 4.21. 1.1 , 1.2
, 1.3 ,
1.4 , 1.5
,
1.6 ,
1.7 ,
2 2.1 ,
2.2 ,
4.6 อนุ�กรมโลำรองตั# ( Laurent ,s series) ในุหวข�อ 4.3 นุ�ย�ม 4.8 เร�ไดั�กลำ.�วถึ�งอนุ�กรมของเทย#เลำอร# โดัยท�� เป/นุฟั"งก#ชินุ
ว�เคิร�ะห# ภ�ยในุบร�เวณ์ รอบจ�ดั เป/นุจ�ดัอย*.ในุบร�เวณ์ แตั.ในุก�รประย�กตั#ใชิ�ง�นุหลำ�ย ๆ อย.�งนุ�� บ�งคิร�งมนุเป/นุส��งจ��เป/นุจะตั�องกระจ�ยฟั"งก#ชินุ รอบ ๆ จ�ดั ซ้��งเป/นุจ�ดัเอกฐ�นุของ
ซ้��งทฤษฎี�ของเทย#เลำอร#ไม.ส�ม�รถึนุ��ม�ประย�กตั#ใชิ�ในุกรณ์�นุ��ไดั� ดังนุ�นุอนุ�กรมอ�กร*ปแบบหนุ��งท��กระจ�ย รอบจ�ดัเอกฐ�นุ ซ้��งเร�ยกอนุ�กรมนุ��ว.� อนุ�กรมโลำลำองตั#
โดัยเร��มตั�นุจ�กก�รพื่�จ�รณ์�ร*ปวงแหวนุท��ถึ*กลำ�อมรอบดั�วยวงกลำม แลำะ ดังร*ป 4.1
ร*ป4.1ซ้��ง เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#ท��ภ�ยในุแลำะท��จ�ดับนุ กบ ของวงแหวนุ
ทฤษฎี� 4.12 ถึ�� เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#บนุบร�เวณ์ เม,�อ แลำะ เป/นุคิ.�คิงตัวเชิ�งซ้�อนุ แลำ�วท�ก ๆ ท�� ส�ม�รถึเข�ยนุ
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
170
แทนุดั�วยอนุ�กรมก��ลำง
โดัยท��
, , , ,
แลำะ , , ,
, เม,�อ เป/นุวงกลำม
เป/นุวงกลำม
ว�ธ์�พื่�ส*จนุ# กรณ์�ท�� (1) ในุกรณ์�ท�� เร�ให� เป/นุจ��นุวนุเชิ�งซ้�อนุใดั ๆ ท�� โดัยส*ตัรปร�พื่นุธ์#ของโคิชิ�จะพื่�ส*จนุ#ไดั�ว.�
…………….…..(*) โดัยก�รพื่�ส*จนุ#ท��นุองเดั�ยวกนุกบทฤษฎี� 4.11 จะไดั�ว.�
…………………………..(ก)
เม,�อ
แลำะเพื่ร�ะว.� ท�กจ��นุวนุเตั1มบวก
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
171
เม,�อ
พื่�ส*จนุ#ท��นุองเดั�ยวกนุกบทฤษฎี� 4.11 จะไดั�ว.�
…………………………..(ข)
เม,�อ
จ�กสมก�ร (*) แลำะสมก�ร(ก) แลำะ สมก�ร(ข) ไดั�
เม,�อ , , , ,
แลำะ , , , ,
กรณ์�ท��2 เม,�อ โดัยพื่�ส*จนุ#ในุท��นุองเดั�ยวกนุกบก�รพื่�ส*จนุ#ทฤษฎี�4.11
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
172
จะไดั�ว.� ถึ�� แลำ�ว
โดัยท��
, , , ,
แลำะ , , ,
, #
นุ�ย�ม4.9 ถึ�� เป/นุฟั"งก#ชินุว�เคิร�ะห#บนุบร�เวณ์วงแหวนุท��เก�ดัจ�กวงกลำม สองวง คิ,อ แลำะ เม,�อ แลำะ
เป/นุจ�ดัใดั ๆ บนุบร�เวณ์วงแหวนุ แลำ�วอนุ�กรม
โดัยท��
, , , ,
แลำะ , , ,
, เร�ยกอนุ�กรมนุ��ว.� อนุ�กรมโลำรองตั#ของ ท��จ�ดั แลำะ เร�ยกเซ้ตั
ว.� วงแหวนุของก�รลำ*.เข�� (annulus of convergence)
หม�ยเหตั� ถึ��เร�ใชิ�สญลำกษณ์#แทนุ ดั�วย เร�จะไดั�
ตั.อไปเร�จะใชิ�สญลำกษณ์#แทนุอนุ�กรมโลำรองตั#ของ ท�� คิ,อ
เม,�อ
เม,�อ เป/นุเส�นุโคิ�งเชิ�งเดั�ยวเร�ยบป=ดัท��อย*.ในุวงแหวนุของก�รลำ*.เข�� แลำะวงกลำม
อย*.ภ�ยในุบร�เวณ์ท��ลำ�อมรอบดั�วย หร,อ
ว�ธ์�ก�รเข�ยนุฟั"งก#ชินุท��ก��หนุดัให�ให�อย*.ในุร*ปอนุ�กรมโลำรองตั#นุ�นุ เร�จะอ�ศึยอนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุ
ดังท��กลำ.�วม�แลำ�วในุหวข�อของ 4.4 แลำะ 4.6 ดังตัวอย.�งตั.อไปนุ��
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
173
ตัวอย.�ง 4.19 จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของ ท��จ�ดั
บนุ
ว�ธ์�ท�� จ�ก
เพื่ร�ะว.�
จ�กอนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุ
ดังนุ�นุ
นุ�นุคิ,อ
#
ตัวอย.�ง 4.20 จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของ ท��ม�จ�ดัศึ*นุย#กลำ�งอย*.ท��
ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมก��ลำงของฟั"งก#ชินุพื่,�นุฐ�นุรอบจ�ดั ของ คิ,อ
ดังนุ�นุ
นุ�นุคิ,อ
#
ตัวอย.�ง 4.21 จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของ ท��ม�จ�ดัศึ*นุย#กลำ�งอย*.ท��ว�ธ์�ท�� จ�กอนุ�กรมก��ลำงรอบจ�ดั ของอนุ�กรมพื่,�นุฐ�นุ คิ,อ
เม,�อแทนุ ดั�วย จะไดั�
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
174
ดังนุ�นุ
#
ตัวอย.�ง 4.23 จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของฟั"งก#ชินุ
ให�ม�จ�ดัศึ*นุย#กลำ�งอย*.ท��
ว�ธ์�ท�� จ�ก แยกเป/นุเศึษส.วนุย.อย
จะไดั�
จ�ก โดัยตัวอย.�ง 4.16 , 4.17 เร�ส�ม�รถึเข�ยนุให�อย*.ในุร*ปอนุ�กรมก��ลำงรอบจ�ดั
1. ให�ม�ก��ลำงของ เป/นุบวกไดั�ดั�วย
…………………..(ก)2. ให�ม�ก��ลำงของ เป/นุลำบไดั�ดั�วย
……………….…..(ข)
จ�ก ในุท��นุองเดั�ยวกนุ เร�ส�ม�รถึเข�ยนุให�อย*.ในุร*ปอนุ�กรมก��ลำงรอบจ�ดั
1. ให�ม�ก��ลำงของ เป/นุบวกไดั�ดังนุ��
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
175
,
………………..(คิ)2. ให�ม�ก��ลำงของ เป/นุลำบไดั�ดังนุ��
,
…………..(ง)
กรณ์�ท��1 พื่�จ�รณ์�ผลำบวกของสมก�ร (ก) แลำะสมก�ร (คิ) ซ้��งเป/นุจร�งเม,�อ ดัง
ร*ป 4.2
(คิ) (ก)
1 2
ร*ป4.2 ดังนุ�นุ
นุ�นุคิ,อ
กรณ์�ท�� 2 พื่�จ�รณ์�ผลำบวกของสมก�ร(ข) แลำะสมก�ร (คิ) ซ้��งเป/นุจร�งเม,�อ
ดังร*ป4.3
(คิ) (ข)
1 2
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
176
ร*ป4.3
ดังนุ�นุ
กรณ์�ท�� 3 พื่�จ�รณ์�ผลำบวกของสมก�ร (ข) กบสมก�ร (ง) ซ้��งเป/นุจร�งเม,�อ
ดังนุ�นุ
#
ตัวอย.�ง 4.24 จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของ ซ้��งลำ*.เข��ภ�ยในุวงแหวนุ
พื่ร�อมท�งก��หนุดับร�เวณ์ท��ถึ*กตั�องของ ก�รลำ*.เข��
ว�ธ์�ท�� จ�ก …………( )
พื่�จ�รณ์�
………...…(ก) ซ้��งอนุ�กรมลำ*.เข��ภ�ยในุวงกลำม หร,อ
คิ*ณ์สมก�ร (ก) ดั�วย จะไดั�
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
177
ซ้��งอนุ�กรมท�งขว�ม,อบร�เวณ์ท��ถึ*กตั�องของก�รลำ*.เข�� คิ,อ ดังร*ป 4.4
-1 0 1 2
3
ร*ป4.4
แบบฝึ@กหดั 4.31. จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ของฟั"งก#ชินุแตั.ลำะข�อตั.อไปนุ�� แลำะวงแหวนุของก�รลำ*.เข��
1.1
1.2
1.3
1.4
2. ก��หนุดัให� จงห�อนุ�กรมโลำรองตั# แลำะบร�เวณ์ก�รลำ*.เข�� เม,�อ
2.1 ก��ลำงของ เป/นุบวก
2.2 ก��ลำงของ เป/นุลำบ
3. ก��หนุดัให� จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ซ้��งลำ*.เข��เม,�อ พื่ร�อมท�ง
ก��หนุดับร�เวณ์ท��ถึ*กตั�องของก�รลำ*.เข��
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
178
4. ก��หนุดัให� จงห�อนุ�กรมโลำรองตั#ส��หรบบร�เวณ์ก�รลำ*.เข��แตั.ลำะข�อ
ตั.อไปนุ��4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
ผลำเฉลำยแบบฝึ@กหดั 4.3
1. 1.1
1.2
1.3
1.4
2. 2.1
2.2
3.
4. 4.1
4.2
4.3
4.4 4.5
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
179
ลำ��ดับแลำะอนุ�กรมในุระนุ�บเชิ�งซ้�อนุ
180