Mια λεπτή ράβδος µπορεί να στρέφεται περί το ακίνητο άκρο της O, ώστε να διαγράφει την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου του οποίου ο άξονας είναι κατακόρυφος. Kατά µήκος της ράβδου µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή µια µικρή χάντρα. Eάν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου είναι

�

! ! και η γωνία που

σχηµατίζει η ράβδος µε την κατακόρυφη διεύθυνση είναι φ, να βρεθεί η θέση της χάντρας, όταν αυτή ισορροπεί σε σχέση µε την ράβδο. Eπί πλέον να δείξετε, ότι η ισορροπία αυτή είναι ασταθής. Δίνεται η επιτά χυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: Yποθέτουµε ότι η χάντρα ισορροπεί ως προς την περιστρεφόµενη ράβ δο σε µια θέση M, που απέχει από το οριζόντιο επίπεδο απόσταση x. Tότε η χάντρα, διαγράφει ως πρός το ακίνητο έδαφος, οµαλή κυκλική κίνηση πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, που βρίσκεται σε απόσταση x από το σταθερό άκρο O της ράβδου. Eξάλλου, η χάντρα στην διάρκεια της κίνησής της δέχεται το βάρος της

�

m! g και την δύναµη επαφής

�

!

A από την ράβδο (αντίδραση της ράβδου) της οποί ας ο φορέας είναι κάθετος στην ράβδο, αναλύεται δε σε µια κατακόρυφη συνι

Σχήµα 1 στώσα

�

! A y και µια οριζόντια συνιστώσα

�

!

A x. Eπειδή η χάντρα κινείται πάνω σε

οριζόντιο επίπεδο, η συνισταµένη των κατακόρυφων δυνάµεων που δέχεται είναι µηδέν, οπότε θα ισχύει:

�

Ay - mg = 0 !

�

A!µ" - mg = 0 !

�

A = mg/!µ" (1) Όµως η συνιστώσα

�

!

A x αποτελεί για την χάντρα κεντροµόλο δύναµη, οπότε

σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµo κίνησης του Nεύτωνα, θα ισχύει η σχέση:

�

Ax= ma

! !

�

A!"#$ = m%2r

(1)

!

�

mg!"#$ /%µ$ = m&2r !

�

g!"# = $ 2r (2) όπου r η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς της χάντρας. Όµως, από το ορθογώνιο τρίγωνο MOK έχουµε την σχέση r=xεφφ, οπότε η (2) γράφεται:

�

g!"# = $ 2x%"# !

�

x = g!"# /$ 2%"# !

�

x = g /! 2"#2$ Aς υποθέσουµε τώρα ότι η χάντρα αποµακρύνεται λίγο από την θέση M, ώστε η απόσταση x να αυξηθεί. Tότε το µέτρο της κεντροµόλου δύναµης που αντιστοι χεί στην νέα θέση της χάντρας θα αυξηθεί, αφού και η r θα αυξηθεί, οπότε σύµ φωνα µε την σχέση Aσυνφ=mω2r θα αυξηθεί και το µέτρο της δύναµης

�

!

A . Aυτό σηµαίνει ότι και το µέτρο της κατακόρυφης συνιστώσας

�

! A y θα αυξηθεί,

δηλαδή θα γίνει µεγαλύτερο από το µέτρο του βάρους της χάντρας. Άρα στην νέα θέση η συνισταµένη των κατακόρυφων δυνάµεων θα έχει φορά προς τα πάνω, δηλαδή η χάντρα θα τείνει να αποµακρυνθεί ακόµη πιο πολύ από το οριζόντιο έδαφος. Aυτό σηµαίνει ότι η ισορροπία της χάντρας ως πρός την ράβ δο, είναι ασταθής.

P.M. fysikos

Ένας πιλότος πολεµικού αεροπλάνου προτίθεται να εκτελέσει άσκηση ανακύκλωσης επί κατακόρυφου κύκλου, ακτί νας R. Kατά την έναρξη της άσκησης η ταχύτητα του αεροπλάνου

έχει µέτρο

�

v = Rg και στην συνέχεια µε διάφορους χειρισµούς του πιλότου το µέτρο αυτό διατηρείται σταθερό. i) Nα βρείτε την δύναµη πού δέχεται ο πιλότος από το κάθισµά του, στην θέση της τροχιάς όπου η ταχύτητά του είναι κατακόρυφη, µε φορά προς τα πάνω. ii) Nα δείξετε ότι στην ανώτατη θέση της τροχιάς ανακύκλωσης, ο πιλότος βρίσκεται σε κατάσταση έλλειψης βαρύτητας. Δίνεται η µάζα m του πιλότου και η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) O πιλότος αποκτά κατακόρυφη ταχύτητα στην θέση Z της κατακό

ρυφης τροχιάς του, δηδαδή στην θέση εκείνη, όπου η επιβατική του ακτίνα

�

K! είναι οριζόντια (σχ. 2). Στην θέση αυτή ο πιλότος δέχεται το βάρος του

�

m! g και

την δύναµη επαφής

�

!

A από το κάθισµα, η οποία αναλύεται στην κατακόρυφη συνιστώσα

�

! A y και στην οριζόντια συνιστώσα

�

!

A x. Eπειδή ο πιλότος εκτελεί

οµαλή κυκλική κίνηση η η επιτρόχια επιτάχυνσή του θα είναι µηδενική, οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης της τροχιάς του πιλότου στην θέση Z, θα ισχύει η σχέση:

Ay - mg = 0

�

! Ay = mg (1) Eξάλλου η συνιστώσα

�

!

A x αποτελεί για τον πιλότο κεντροµόλο δύναµη στην

θέση Z, οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, θα ισχύει:

�

Ax= ma

!

�

!

�

Ax= mv

2/R

�

!

�

Ax= mRg/R = mg (2)

Σχήµα 2

Άρα το µέτρο της δύναµης

�

!

A θα είναι:

�

A = Ax

2+ Ay

2

�

!

(1),(2)

�

A = m2g2 + m2g2 = mg 2 (3)

H διεύθυνση της δύναµης

�

!

A καθορίζεται από την γωνία φ που σχηµατίζει ο φορέας της µε την κατακόρυφη διεύθυνση, για την οποία γωνία ισχύει η σχέση:

�

!"# =Ax

Ay

�

!

(1),(2)

�

!"# =mg

mg= 1

�

!

�

! ="

4 (4)

ii) Όταν ο πιλότος βρίσκεται στην ανώτατη θέση M της τροχιάς ανακύκλωσής του (σχήµα 3), η ταχύτητά του είναι οριζόντια, οπότε η συνισταµένη του βάρους του

�

m! g και της δύναµης επαφής

!

A ' από το κάθισµα πρέπει να είναι κατακόρυ

Σχήµα 3

φη µε φορά πρός τα κάτω, δηλαδή οµόρροπη της επιτάχυνσης

�

! g της βαρύτητας,

ώστε να αποτελεί για τον πιλότο κεντροµόλο δύναµη. Έτσι, σύµφωνα µε τον

δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα θα ισχύει για τον πιλότο στην θέση M η διανυσµατική σχέση:

!

A '+ m! g = m

! a !

�

!

�

!

A '= m(! a

!-! g ) (5)

όπου

�

! a ! η κεντροµόλος επιτάχυνση του πιλότου στην θέση M, η οποία είναι

οµόρροπη της

�

! g . Όµως το µέτρο της

�

! a ! δίνεται από την σχέση:

�

a!=v2/R = Rg/R = g δηλαδή

�

! a

!=! g

οπότε η (5) γράφεται:

!

A '= m! g -! g ( ) =

!

0

Δηλαδή ο πιλότος δεν δέχεται δύναµη από το κάθισµά του και αυτό του δηµι ουργει την εντύπωση έλλειψης βαρύτητας

P.M. fysikos

Ποιά έπρεπε να είναι η γωνιακή ταχύτητα περισ τροφής της Γής, ώστε τα σώµατα στόν Iσηµερινό να βρίσκονται σε κατάσταση έλλειψης βαρύτητας; Ποιά θα ήταν τότε η ένδειξη ενός ζυγού µε ελατήριο, αν πάνω στό δίσκο του ζυγού βρίσκεται ένα σώµα µάζας m, σε γεωγραφικό πλάτος φ; Δίνεται η ακτίνα R της Γης και η επιτάχυνση

�

! g 0 της βαρύτητας στην επιφάνειά της.

ΛYΣH: Yποθέτουµε ότι η γωνιακή ταχύτητα

! ! περιστροφής της Γής είναι

τέτοια ώστε, κάθε σώµα που βρίσκεται στόν Iσηµερινό της Γής να είναι σε κατάσταση έλλειψης βαρύτητας. Aυτό σηµαίνει ότι κάθε σώµα στόν Iσηµερινό θα δέχεται µηδενική δύναµη επαφής από το έδαφος της Γης. Έτσι η µοναδική

Σχήµα 4

δύναµη πού θα δέχεται το σώµα είναι η Nευτώνεια έλξη από την Γη, δηλαδή

το βάρος του

�

! w . Όµως το σώµα αυτό ως προς µεν τη Γη ισορροπεί, ενώ ως προς

ένα σύστηµα αναφοράς που θεωρείται ακίνητο στο Σύµπαν, εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση και το βάρος του αποτελεί κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή ισχύει:

�

w = ma! !

�

mg0 = m!2R !

�

! = g0/R (1) Aς θεωρήσουµε τώρα ένα σώµα, που ισορροπεί ως προς την Γη, σε γεωγραφικό πλάτος φ. Tο σώµα αυτό ως προς το ακίνητο σύστηµα αναφοράς θα εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση, διαγράφοντας ένα παράλληλο πρός τον Iσηµερινό κύκ λο, κέντρου K καί ακτίνας r=Rσυνφ. Στο σώµα αυτό επιδρά το βάρος του

�

! w

και η δύναµη επαφής

�

!

A από το έδαφος της Γής, η δε συνισταµένη τους

�

!

F !"

αποτελεί για το σώµα κεντροµόλο δύναµη. Έτσι, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα θα ισχύει η σχέση:

�

F!"

= ma#

�

!

�

F!" = m#2r = m#2

R$%&'

�

!

(1)

�

F!" = mg0R#$%& /R = mg0#$%& (2) Eφαρµόζοντας στο σκιασµένο τρίγωνο το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε:

�

A2= F!"

2+ w

2- 2F!"w#$%&

�

!

(1)

�

A2 = m2g0

2!"#

2$ + m2g0

2 - 2m2g0

2!"#

2$

�

!

�

A2 = m2g0

2 - 2m2g0

2!"#

2$ = m2g0

2(1 - !"#2$)

�

!

�

A = mg0!µ"

P.M. fysikos

Πάνω σ’ ένα κυκλικό τραπέζι, το οποίο µπορεί να στρέφεται περί κατακόρυφο άξονα xx' πού διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στην επιφάνειά του, βρίσκεται ένα µικρό σώµα, µάζας m. Tο σώµα είναι δεµένο στο ένα άκρο αβαρούς νήµατος, το οποίο διέρχεται από µια µικρή οπή που βρίσκεται στο κέντρο O, στο άλλο άκρο του οποίου έχει στερεωθεί µια σφαίρα, µάζας M. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του µικρού σώµατος και του τρα πεζιού είναι n, να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, ώστε το σώµα που βρίσκεται σ’ αυτό να µη ολισθαίνει, όταν η απόστασή του από τον άξονα περιστροφής είναι ίση µε α. Δίνε ται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: Έστω ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής

! ! του τραπεζιού είναι

τέτοια ώστε, το µικρό σώµα µάζας m να ισορροπεί ως πρός το τραπέζι τείνοντας να ολισθήσει πρoς την περιφέρειά του. Tότε ως πρoς το ακίνητο έδαφος το σώµα θα εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση, διαγράφοντας οριζόντια περιφέρεια κέντρου O καί ακτίνας α. Στό σώµα ενεργεί το βάρος του

�

m! g , η δύναµη

επαφής

�

!

A από το τραπέζι, που αναλύεται στην στατική τριβή

�

!

T µε φορά πρός το κέντρο O, αφού το σώµα τείνει να ολισθήσει προς την περιφέρεια του

τραπεζιού και στην κάθετη αντίδραση

�

!

N και τέλος η δύναµη

�

!

F από το νήµα (τάση τού νήµατος), της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε Mg, αφού η σφαίρα µάζας M ισορροπεί ως πρός το ακίνητο έδαφος (σχ. 5). Eπειδή η επιτάχυνση του σώµατος ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση είναι µηδέν, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα θα ισχύει: N - mg = 0

�

! N = mg (1) Eξάλλου η συνισταµένη των οριζόντιων δυνάµεων

�

!

T και

�

!

F που δέχεται το σώµα αποτελεί κεντροµόλο δύναµη, οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Nεύτωνα θα ισχύει:

�

T + F = ma!

�

!

�

T + Mg = m!2"

�

!

�

T = m!2" - Mg (2)

Επειδή η τριβή

�

!

T είναι στατική το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση T≤nN, η οποία λόγω των (1) και (2) γράφεται:

Σχήµα 5

�

m!2" - Mg # nmg

�

!

�

!2" (nm + M)g /m# !

�

! "(nm + M)g

m#

�

!

�

!max =(nm + M)g

m" (3)

Eργαζόµενοι κατά τον ίδιο τρόπο στην περίπτωση που η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τραπεζιού είναι τέτοια, ώστε το σώµα να τείνει να ολισθήσει προς το κέντρο O (τότε η στατική τριβή

�

!

T θα έχει φορά προς την περιφέρεια του τραπεζιού) καταλήγουµε στην σχέση:

�

! "g(M - nm)

m#

�

!

�

!min =g(M - nm)

m" (4)

Άρα για να ισορροπεί το σώµα ως προς το περιστρεφόµενο τραπέζι, πρέπει το µέτρο της γωνιακής του ταχύτητας να ικανοποιεί την σχέση:

�

g(M - nm)

m!" # "

(nm + M)g

m!

Προφανώς για να έχει λύση το πρόβληµα που εξετάσαµε, πρέπει να ισχύει: M – nm > 0

�

! M > nm P.M. fysikos

Ένα σφαιρίδιο από ξύλο είναι δεµένο στο ένα άκρο νήµατος µήκους L, του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται σ’ ένα σηµείο O του πυθµένα κυλινδρικού δοχείου. Tο δοχείο περιέχει νερό και µπορεί να στρέφεται περί κατακόρυφο άξονα που ταυτίζεται µε τον γεωµετρικό του άξονα. Eάν η απόσταση του σηµείου O από τον άξονα περιστροφής του δοχείου είναι α και το ξύλινο σφαιρίδιο ισορ ροπεί σε σχέση µε δοχείο, όταν το νήµα σχηµατίζει µε την κατακόρυ φη διεύθυνση γωνία φ, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δοχείου. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: Kατά την περιστροφή του κυλινδρικού δοχείου η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού που περιέχεται σ’ αυτό, παίρνει την µορφή παραβολικής επιφάνειας, όπως φαίνεται στο σχήµα (6). BΛΕΠΕ 6ο ΘΕΜΑ ΣΤΗΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ:

http://pmfysikos.files.wordpress.com/2010/10/6-lymena-themata-gia-protoeteis.pdf

Όταν το σφαιρίδιο ισορροπεί ως προς το περιστρεφόµενο υγρό, τότε ως προς το

Σχήµα 6

ακίνητο έδαφος διαγράφει οριζόντια περιφέρεια, υπό την επίδραση του βάρους του

�

m! g , της άνωσης

�

!

A από το υγρό και της δύναµης επαφής

�

!

T από το νήµα

(τάση του νήµατος). Για να καθορίσουµε την άνωση

�

!

A , παρατηρούµε ότι αυτή εξαρτάται από το σχήµα του σφαιριδίου και από την φύση του υγρού που το περιβάλλει, οπότε είναι ίση µε την δύναµη που δέχεται η µάζα m΄ του υγρού που εκτοπίζει το σφαιρίδιο, από την υπόλοιπη µάζα του υγρού. Όµως η µάζα m΄ εκτελεί, ως προς το ακίνητο έδαφος, οµαλή κυκλική κίνηση πάνω σε οριζόν

τιο επίπεδο, οπότε η µεν κατακόρυφη συνιστώσα

�

! A y της

�

!

A θα εξουδετερώνει

το βάρος της

�

m'! g , ενώ η οριζόντια συνιστώσα της

�

!

A x θα αποτελεί κεντροµόλο

δύναµη για την µάζα m' (δεύτερος νόµος κίνησης του Nεύτωνα). Έτσι θα έχου µε τις σχέσεις:

�

Ay = m'g = Vd!g

Ax = m'" 2r = Vd!"2r

#

$

%

(1)

όπου V ο όγκος του σφαιριδίου, dυ η πυκνότητα του υγρού και r η ακτίνα της τροχιάς του σφαιριδίου. Eπειδή η πυκνότητα dσ του σφαιριδίου είναι µικρότερη από την πυκνότητα dυ του υγρού θα έχουµε:

�

Vd!g < Vd

"g

�

!

(1)

�

mg < Ay που σηµαίνει ότι, η κατακόρυφη συνιστώσα

�

! T y της τάσεως του νήµατος πρέπει

να έχει φορά προς τα κάτω, ώστε το σφαιρίδιο να ισορροπεί ως προς την κατα κόρυφη διεύθυνση. Για να συµβαίνει όµως αυτό πρέπει το νήµα να έχει εκτρα πεί αριστερά της κατακόρυφης που διέρχεται από το σηµείο O (σχ. 6). Eξάλλου η συνισταµένη των οριζόντιων δυνάµεων

�

!

A x και

�

!

T x που δέχεται το σφαιρίδιο

αποτελει κεντροµόλο δύναµη, οπότε συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα θα ισχύει:

�

Ax- T

x= ma

! !

�

Tx= A

x-m!

2r

(1)

!

�

T!µ" = Vd#$2r -Vd%$

2r = V$

2r(d# -d% ) (2)

Όµως ισχύει και η σχέση:

�

Ay - mg - Ty = 0

�

!

�

Ty = Ay - mg (1)

!

�

T!"#$ = Vd"g -Vd!g = Vg(d" -d! ) (3) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (2) και (3) έχουµε:

�

T!µ"

T#$%"=

V&2r(d$ -d# )

Vg(d$ -d# )

�

!

�

!"# =$ 2r

g (4)

Aπό το σχήµα (6) εύκολα προκύπτει ότι r=α-Lηµφ, οπότε η (4) γράφεται:

�

!"# =$ 2(% - L&µ#)

g

�

!

�

! 2 =g"#$

% - L&µ$

�

!

�

! =g"#$

% - L&µ$

P.M. fysikos

Ένα µικρό σώµα αφήνεται πάνω σε κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ=π/4 και µεγάλου µήκους, µε το οποίο παρου σιάζει συντελεστή τριβής ολισθήσεως n, ο οποίος εξαρτάται από την ταχύτητα του σώµατος, σύµφωνα µε την σχέση n=λv, όπου λ θετικός συντελεστής αναλογίας. i) Nα δείξετε ότι, το σώµα θα αποκτήσει τελικά σταθερή ταχύτητα (οριακή ταχύτητα). ii) Nα βρείτε την µετατόπιση του σώµατος πάνω στο κελίµένο επίπε δο, την στιγµή που η ταχύτητά του είναι ίση µε το µισό της οριακής ταχύτητας. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Tο σώµα την στιγµή t=0 που αφήνεται στο κεκλιµένο επίπεδο έχει µηδενική ταχύτητα, οπότε ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως την στιγµή αυτή είναι µηδέν, δηλαδή δεν δέχεται τριβή από το κεκλιµένο επίπεδο καί έτσι θα αρχίσει να κινείται πρός τα κάτω. Στην διάρκεια της κίνησής του το σώµα δέ χεται το βάρος του

�

! w , που αναλύεται σε µία συνιστώσα

�

! w

y κάθετη στο κεκλι

µένο επίπεδο και µια συνιστώσα

�

! w

x παράλληλη προς αυτό και την δύναµη επα

Σχήµα 7

φής

�

!

A από το κεκλιµένο επίπεδο, που αναλύεται στην τριβή ολισθήσεως

�

!

T και στην κάθετη αντίδραση

�

!

N (σχ. 7). Eπειδή η επιτάχυνση του σώµατος κατά την κάθετη προς το κεκλιµένο επίπεδο διεύθυνση είναι ίση µε µηδέν, θα ισχύει σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα, η σχέση:

�

N - wy = 0

�

! N – mgσυνφ = 0

�

! N = mgσυνφ (1) Eξάλλου, εάν

�

! a είναι η επιτάχυνση του σώµατος, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο

νόµο του Nεύτωνα θα ισχύει:

�

wx- T= ma

�

!

�

mg!µ" - nN= ma

�

!

(1)

�

mg!µ" - nmg#$%" = ma

�

! a = g(ηµφ - nσυνφ) (2)

Όµως δίνεται ότι n=λv, όπου

�

! v η ταχύτητα του σώµατος κατά την χρονική

στιγµή t που το εξετάζουµε, οπότε η σχέση (2) γράφεται:

a = g(ηµφ - λvσυνφ)

�

!

�

a = g2

2- !v

2

2

"

#

$ $

%

&

' ' !

�

dv

dt=

g 2

2(1 - !v)

�

!

�

d(1- !v)

dt= -

g! 2

2(1 - !v)

�

!

�

d(1- !v)

1 - !v= -

g! 2dt

2 (3)

Ολοκληρώνοντας την σχέση (3) από 0 έως t για τον χρόνο και από 0 έως v για την ταχύτητα παίρνουµε την σχέση:

�

d(1- !v)

1 - !v0

v

" = -g! 2

2dt

0

t

"

�

!

�

ln(1 - !v) = -g! 2t

2

�

!

�

1- !v = e-!gt/ 2

�

!

�

v = (1 - e-!gt/ 2 )/! (4) Aπό την σχέση (4) προκύπτει ότι το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος αυξά νεται εκθετικά µε τον χρόνο από την τιµή µηδέν µέχρι την τιµή vορ., η οποία αντιστοιχεί σε t→+

�

! και σύµφωνα µε την (3) θα είναι vορ. =1/λ. H ταχύτητα

�

! v !"

ονοµάζεται οριακή ταχύτητα του σώµατος. ii) Eξάλλου η σχέση (4) γράφεται:

�

dx

dt=

1

!(1 - e-!gt/ 2 )

�

!

�

dx =1

!(1 - e-!gt/ 2 )dt !

�

x =(1 - e-!gt/ 2 )dt

!0

t

" =dt

!0

t

" -1

!e-!gt/ 2dt

0

t

"

�

!

�

x =t

!+

2

g!2e-!gt/ 2d(- !gt/ 2)

0

t

"

�

!

�

x =t

!+

2(1 - e-!gt/ 2 )

g!2 (5)

Έστω t* η χρονική στιγµή κατά την οποία ισχύει v=vορ./2, οπότε την στιγµή αυτή η (4) γράφεται:

�

v!"/2 = (1 - e-#gt*/ 2

)/#

�

!

�

1/2! = (1 - e-!gt*/ 2

)/!

�

!

�

1/2 = e-!gt*/ 2

�

!

�

!gt* / 2 = ln2

�

!

�

t* = ln2 2 /!g (6)

Άρα η µετατόπιση x* του σώµατος, όταν η ταχύτητά του είναι ίση µε το µισό της οριακής του ταχύτητας θα είναι, σύµφωνα µε τις σχέσεις (5) καί (6):

�

x* =ln2 2

g!2+

2

g!21 -

1

2

"

# $

%

& ' =

ln2 2

g!2+

2

2g!2

�

!

�

x* =2

g!2ln2 +

1

2

"

# $

%

& '

P.M. fysikos

Ένας δακτύλιος µάζας m, ολισθαίνει κατά µήκος κυκλικού οδηγου, ο οποίος είναι στερεωµένος µε το επίπεδό του ορι ζόντιο. Στον δακτύλιο ενεργεί δύναµη τριβής

!

T αντίρροπη της ταχύ τητάς του

! v , της οποίας το µέτρο ικανοποιεί την σχέση:

�

T=km v όπου k θετικός συντελεστής αναλογίας. Eάν το µέτρο της ταχύτητας του δακτυλίου την χρονική στιγµή t=0 είναι v0 , να βρεθεί το µήκος του τόξου s που διαγράφει σε συνάρτηση µε τον χρόνο t. ΛYΣH: Στην διάρκεια της κίνησής του ο δακτύλιος δέχεται το βάρος του m

! g

και την δύναµη επαφής !

A από τον κυκλικό οδηγό, η οποία αναλύεται σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες,

!

T και !

N . H !

T αποτελεί την τριβή ολίσθησης, η οποία είναι εφαπτοµενική του κυκλικού οδηγού και αντίρροπη της ταχύτητας του δακτυλίου, ενώ η

!

N απότελεί την κάθετη αντίδραση του οδηγού. H τριβή ενεργεί επί του δακτυλίου ως επιτρόχια δύναµη, η οποία µειώνει το µέτρο της ταχύτητάς του, οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

Σχήµα 8

mdv

dt= -T !

�

mdv

dt= -km v !

�

dv

dt= -k v !

�

dv

v

= -kdt (1)

Oλοκληρώνοντας την (1) στο χρονικό διάστηµα [0,t] παίρνουµε την σχέση:

�

dv

v

!

" #

$

% &

v0

v

' = -k dt( )0

t

' !

�

v-1/2

dvv0

v

! = -kt !

�

2[ v] v0

v= -kt !

�

2 v - 2 v0

= -kt !

�

v = v0

- kt/2 (2) Tετραγωνίζοντας και τα δύο µέλη της σχέσεως (2) παίρνουµε:

�

v = v0+!

2t2/4 -kt v

0 !

�

ds

dt= v

0+k

2t2/4 -kt v

0

�

ds = v0+k

2t2/4 -kt v

0( ) dt (3) Oλοκληρώνοντας την (3) στο χρονικό διάστηµα [0,t] παίρνουµε:

�

s = v0t + k

2t3/12 - k v

0t2/2

Έάν στο προηγούµενο παράδειγµα δίνεται ο συν τελεστής τριβής ολισθήσεως n µεταξύ του κυκλικού οδηγού και του δακτυλίου, να βρεθεί το µήκος του τόξου που θα διανύσει ο δακτύ λιος µέχρις ότου ηρεµήσει. Θεωρείται γνωστή η επιτάχυνση

! g της βα

ρύτητας. ΛYΣH: H κάθετη αντίδραση

!

N που δέχεται ο δακτύλιος από τον κυκλικό οδηγό αναλύεται σε µια συνιστώσα

!

N r που έχει ακτινική διεύθυνση και σε µια

συνιστώσα

!

N ! που είναι κάθετη στο επίπεδο του κυκλικού οδηγού και εξουδε

τερώνει το βάρος m

! g του δακτυλίου. Eξάλλου η συνιστώσα

!

N r αποτελεί

κεντροµόλο δύναµη για τον δακτύλιο, οπότε θα ισχύει η σχέση: Nr

= mv2/R (1)

Σχήµα 9

όπου v το µέτρο της ταχύτητας του δακτυλίου την στιγµή t που τον εξετάζου µε. Όµως γιά το µέτρο της τριβής ολίσθησης ισχύει η σχέση:

T = nN = n N

!

2+ N

r

2 (1)

!

�

T=n m2g2+(mv2/R)2 = nm g2+v4/R2 (2) Eπειδή η τριβή αποτελεί για τον δακτύλιο επιτρόχιο δύναµη µπορούµε να γρά ψουµε, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα, την σχέση:

mdv

dt= -T

(2)

! m

dv

dt= -nm g

2+ v

4/R

2 !

dv

dt= -n g

2+v

4/R

2

!

vdv

n g2 +v4/R2= - vdt !

vdv

n g2 +v4/R2= - nds !

d(v2/Rg)

g 1+ (v2/Rg)2[ ]1/2 = -

2nds

Rg (3)

όπου ds το µήκος του τόξου που διαγράφει ο δακτύλιος µεταξύ των χρονικών στιγµών t και τ+dt. Oλοκληρώνοντας την (3) από την στιγµή t=0 έως την στιγµή που µηδενίζεται η ταχύτητά του δακκυλίου, παίρνουµε την σχέση:

�

d(v2/Rg)

g 1+ (v2/Rg)2[ ]1/2

v0

0

! = -2nds

Rg0

t

! !

�

d(v2/Rg)

1+ (v2/Rg)2[ ]1/2

v0

0

! = -2ns"#

R (4)

Xρησιµοποιώντας το τυπικό ολοκλήρωµα

�

dx

1+ x2! = ln(x + 1+ x

2) + C

παίρνουµε από την (4) την σχέση:

lnv0

2

Rg+

v0

4

R2g

2

!

"

# #

$

%

& &

=2ns

!"

R !

s!"

=R

2nln

v0

2

Rg+

v0

4

R2g

2

!

"

# #

$

%

& &

P.M. fysikos

Υλικό σηµείο µάζας m, µπορεί να κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy υπό την επίδραση µιας δύναµης

�

!

F , η οποία καθορίζεται από την διανυσµατική σχέση:

�

! F = -kmvy

! j

όπου k θετικός συντελεστής αναλογίας, vy η αλγεβρική τιµή της y-συ

νιστώσας της ταχύτητάς του

�

! v και

�

!

j το µοναδιαίο διάνυσµα του άξο να Οy. Την χρονική στιγµή t=0 το υλικό σηµείο βρίσκεται στην αρχή Ο των αξόνων, η δε ταχύτητά του είναι:

�

! v 0 =

v0 2

2(!

i +!

j )

όπου

�

!

i µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα Οx και v0 θετική σταθερή ποσό τητα. i) Να εκφράσετε το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου σε συ νάρτηση µε τον χρόνο και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ii) Να βρείτε την εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας για το υλικό σηµείο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση:

�

md! v

dt=

!

F

�

!

�

md! v

dt= -kmvy

! j

�

!

�

dvx

dt

! i +

dvy

dt

! j = -kvy

! j

�

!

�

dvx/dt = 0

dvy/dt = -kvy

!

"

#

(1)

Ολοκληρώνοντας την πρώτη από τις διαφορικές εξισώσεις (1) παίρνουµε vx=C, όπου C σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία θα βρεθεί από την συνθήκη ότι για t=0

είναι

�

v0(x) =v0 / 2 , οπότε θα ισχύει

�

C=v0/ 2 που σηµαίνει ότι:

�

vx= v

0/ 2 (2)

Ολοκληρώνοντας την δεύτερη από τις διαφορικές εξισώσεις (1) παίρνουµε:

�

dvy/vy = -kdt

�

!

�

lnvy= -kt + C' (3) όπου C’ σταθερά ολοκλήρωσης, που θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη ότι για

t=0 είναι

�

v0(y) =v0 2/2, οπότε η (3) δίνει

�

ln(v0 2 /2) =C'. Έτσι η σχέση (3) γράφεται:

�

lnvy= -kt + ln(v0/ 2 )

�

!

�

lnvy

v0/ 2

!

" #

$

% & = -kt

�

!

�

2vy

v0

= e-kt

�

!

�

vy =v0

2e-kt (4)

Το µέτρο της ταχύτητας

�

! v του υλικού σηµείου είναι:

�

v = vx

2 + vy

2

�

!

(2),(4)

�

v =v

0

2

2+

v0

2

2e

-2kt=

v0

2

1+ e-2kt (5)

Από την (5) προκύπτουν για κάθε t, οι σχέσεις:

�

dv

dt=

v0

2

(-2k)

1+ e-2kt=

-v0k 2

(1+ e-2kt)1 / 2< 0

και

�

d2v

dt2= -v0k 2

(-2k)

(1+ e-2kt)3 / 2=

2 2v0k2

(1+ e-2kt)3 / 2> 0

οι οποίες εγγυώνται ότι η συνάρτηση v=v(t) είναι φθίνουσα, το δε διάγραµµά της στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Επειδή για t→+

�

! είναι

�

e-2kt→ 0, το διάγ

ραµµα καταλήγει ασυµπτωτικά στην ευθεία

�

v =v0/ 2 (σχ. 10).

Σχήµα 10

ii) Οι σχέσεις (2) και (4) γράφονται:

�

dx/dt = v0 / 2

dy/dt = v0e-kt / 2

!

" #

$ #

�

!

�

dx= v0dt/ 2

dy= v0e-ktdt/ 2

!

" #

$ #

(6)

Ολοκληρώνοντας τις σχέσεις (6) παίρνουµε:

�

x = v0t / 2 + C1

y = -v0e-kt / 2k + C2

!

" #

$ #

(7)

Oι σταθερές ολοκλήρωσης C1, C2 θα βρεθούν από τις αρχικές συνθήκες, ότι για t=0 είναι x=0 και y=0, οπότε θα έχουµε:

�

0 = 0 + C1

0 = -v0/ 2k + C

2

!

"

#

�

!

�

C1= 0

C2= v

0/ 2k

!

"

#

Έτσι οι σχέσεις (7) γράφονται:

�

x = v0t / 2

y = v0(1 - e-kt )/ 2k

!

" #

$ #

(8)

Απαλοίφοντας τον χρόνο t µεταξύ των σχέσεων (8) έχουµε:

Σχήµα 11

�

y = v0(1 - e-k 2x /v0 )/ 2k (9)

Η γραφική παράσταση της (9) είναι η ανερχόµενη εκθετική καµπύλη γραµµή του σχήµατος (11).

P.M. fysikos

Ένα σφαιρίδιο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος λεπτού σωλήνα, ο οποίος στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

�

! ! σε κατακόρυφο επίπεδο, περί οριζόντιο άξονα που διέρ

χεται από το κέντρο του Ο. Το σφαιρίδιο την χρονική στιγµή t=0 βρί σκεται στο Ο και η σχετική του ταχύτητα ως προς τον σωλήνα έχει µέτρο v0=g/2ω, όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Να εξετάσετε την

σχετική κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον περιστρεφόµενο σωλήνα. ΛΥΣΗ: Την σχετική κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον στρεφόµενο σωλήνα αντιλαµβάνεται ένας παρατηρητής που µετέχει της περιστροφής του σωλήνα και εποµένως είναι ακίνητος ως προς αυτόν. Ένας τέτοιος παρατηρήτης αναγ νωρίζει επί του σφαιριδίου το βάρος του

�

m! g , την αντίδραση

�

!

N των τοιχωµά των του σωλήνα, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην διεύθυνση του σωλή να, λόγω της απουσίας τριβής, την αδρανειακή φυγόκεντρο δύναµη

�

!

F ! =m"2! r ,

όπου m η µάζα του σφαιριδίου και

�

! r το διάνυσµα που καθορίζει την σχετική

του θέση ως προς τον σωλήνα και τέλος την αδρανειακή δύναµη Coriolis

�

! F C=-2m(

! ! "! v ), της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στον σωλήνα και βρίσκεται

στο επίπεδο περιστροφής του, γεγονός που εγγυώνται οι διευθύνσεις της σχετι κής ταχύτητας

�

! v του σφαιριδίου ως προς τον σωλήνα και της γωνιακής

ταχύτητας

�

! ! του σωλήνα. Είναι προφανές ότι οι δυνάµεις που καθορίζουν την

κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον σωλήνα είναι η συνιστώσα

�

m! g

r του βάρους

κατά την διεύθυνση του σωλήνα και η φυγόκεντρος δύναµη

�

!

F ! . Εφαρµόζοντας

για το σφαιρίδιο ο στρεφόµενος παρατηρητής τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα καταλήγει στην σχέση:

�

md2r

dt2= -mgr + m!

2r

�

!

�

d2r

dt2-! 2r = -g"µ# (1)

όπου φ η γωνία του διανύσµατος

�

! r µε το µοναδιαίο διάνυσµα

�

! i του άξονα Οx.

Χωρίς να βλάπτει την γενικότητα µπορούµε να δεχθούµε ότι την χρονική στιγ µή t=0 ο σωλήνας διευθύνεται κατά τον άξονα x, οπότε θα ισχύει φ=ωt και η σχέση (1) γράφεται;

�

d2r

dt2-! 2r = -g"µ!t (2)

Σχήµα 12

Η (2) αποτελει µια µη οµογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως και δέχεται µερική λύση της µορφής:

�

r1(t) = A !µ"t (3) όπου Α σταθερός συντελεστής αναλογίας που θα προκύψει από την (2), αφού αντικαταστήσουµε σ’ αυτή την δεύτερη παράγωγο του r ως προς τον χρόνο t από την (3). Έτσι θα έχουµε:

�

dr1

dt= A!"#$!t

�

!

�

d2r1

dt2

= -A!2"µ!t

οπότε θα ισχύει:

�

-A!2"µ!t - A!

2"µ!t = -g"µ!t

�

!

�

A = g/2! 2 (4) H αντίστοιχη προς την (2) οµογενής διαφορική εξίσωση είναι:

�

d2r/dt

2-!

2r = 0

και δέχεται λύση της µορφής:

�

r2(t) = A1 e! 1t + A2 e

! 2t (5)

όπου ρ1, ρ2 οι ρίζες της χαρακτηριστικής της εξίσωσης ρ2–ω2 = 0 και Α1, Α2 συντε λεστές που απαιτούν προσδιορισµό. Όµως ρ1 =ω και ρ2 =-ω οπότε η (6) γράφεται:

�

r2(t) = A1 e-!t

+ A2 e!t (6)

Η γενική λύση r(t) της (2) είναι το άθροισµα της µερικής λύσεως r1(t) και της λύσεως r2(t), δηλαδή θα ισχύει:

�

r(t) = r1(t) + r2(t)

�

!

�

r(t) = A1 e-!t + A2 e!t + g"µ!t/2! 2 (7) Εφαρµόζοντας την (7) για t=0 έχουµε:

�

0 = A1+ A

2 (8)

Παραγωγίζοντας την (7) παίρνουµε την σχετική ταχύτητα

�

! v του σφαιριδίου ως

προς τον σωλήνα, δηλαδή θα έχουµε:

�

v =dr(t)

dt= -A1! e-!t + A2! e!t + g!"#$!t/2! 2

�

!

t= 0

�

g/2! = -A1! + A2! + g/2!

�

!

�

-A1+ A

2= 0

�

!

�

A1= A

2 (9)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε Α1 = Α2 =0, οπότε η (7) παίρνει την τελική της µορφή:

�

r(t) = g!µ"t/2" 2 (10) Από την (10) προκύπτει ότι το σφαιρίδιο εκτελεί σε σχέση µε τον σωλήνα περιο δική κίνηση κατά µήκος αυτού, ταλαντούµενο εκατέρωθεν του κέντρου Ο σε µέγιστη απόσταση g/2ω2 από αυτό.

P.M. fysikos