การสร้างตัวเลขสุ่ม

การสรางตวเลขสม

(Random Number Generation)

เนอหา

3.1 องคประกอบ

3.2 การทดลองสม

3.3 การใชขอมลในอดต

3.4 เทคนคมอนตคารโล (Monte Carlo Methods)

3.5 การแปลงผกผน (Inverse Transformation)

3.6 วธการสรางตวเลขแบบสม

ในการจาลองซงแบบจาลองสามารถแทนองคประกอบและความสมพนธระหวางองคประกอบดวยคาเชงปรมาณ ซงโดยปกต

ขอมลเชงปรมาณมกมคาไมแนนอนตายตว ในการทจะไดผลลพธจากแบบจาลองซงมความคลายคลงกบผลลพธจากระบบงาน

จรง จะตองมการใสคาเชงปรมาณลงในแบบจาลองทมลกษณะไมแนนอนเหมอนกบขอมลจรง

ในการสรางคาทไมแนนอน จะใชหลกการสรางตวเลขสม และใชวธการทางสถต โดยใชหลกการคานวณหาในรป

ของคาความนาจะเปน

3.1 องคประกอบ

ในการสรางตวเลขสม จะตองกาหนดคาในเชงปรมาณ 2 คา ประกอบดวย

(1) ตวเลขแบบสม ซงไดมาจาก

ตารางตวเลขแบบสม (Random Numbers Table)

วธการ

(1) กาหนดชวงของคาทตองการสมและจานวนคาทตองการสม

(2) เลอกตวเลขใด ๆ จากตารางเปนคาแรก

(3) คาตวเลขสมจะเปนคาเทาจานวนตาแหนงของคาในชวงของคาทตองการ

(4) พจารณาตวเลขถดไป ถาไมอยในชวงของคาทกาหนด ใหพจารณาตวถดไปจนกวาจะ

พบคาทอยในชวงทกาหนด

(5) ทาขอ (4) ไปเรอย ๆ จนกวาจะไดตวเลขสมครบเทาจานวนทตองการ

โปรแกรมคอมพวเตอร

วธการตาง ๆ ในการสรางตวเลขสม

ลกเตา

ฯลฯ

(2) ความนาจะเปนสะสม ไดมาจาก

การทดลอง

ขอมลในอดต

3

บทท 3 หนา 2 / 15

ลกษณะของการกระจายของความนาจะเปน - ใชวธการแปลงผกผน

แบบฝกหด 4.1 กาหนดชวงของตวเลขสมทตองการอยระหวาง 1 ถง 185 ใหเลอกตวเลขสมจากตารางดานลางมาจานวน 5

คา ถาตวเลขสมแรกทเลอกขนมาคอ 20631

4.2 การทดลองสม

การทดลองสมเพอหาคาทเปนไปได ขนตอนการทางาน ประกอบดวย

1. ทาการทดลองสมจานวน n ครง

2. นบจานวนครงทไดผลลพธเปนผลลพธทตองการ

3. คานวณหาคาความนาจะเปน โดยใชสตรความถสมพธท

โดย n(x) = จานวนครงทไดผลลพธทตองการ n(s) = n = จานวนครงททาการทดลอง

แบบฝกหด 4.2 กาหนดรปสเหลยมผนผาซงมขนาดกวาง 4 ยาว 10 ซงถกแบงออกเปน 2 สวน

)(

)(

กทงหมดจานวนสมาช

คากในชวงของจานวนสมาช)(

Sn

xnxP

บทท 3 หนา 3 / 15

4.3 การใชขอมลในอดต

1. ทาการทดลองสม

2. คานวณหาคาความนาจะเปน P(x)

3. นาคาความนาจะเปนทไดมาคานวณหาความนาจะเปนสะสม F(x)

ตวอยาง 4.1 X ความนาจะเปน P(X) ความนาจะเปนสะสม F(X)

0 0.40 0.40

1 0.25 0.65

2 0.20 0.85

3 0.15 1.00

นามาเขยนกราฟ

1.0

0.8

0.6

0.4 X

0 1 2 3

จากกราฟได P(X) มคาอยระหวาง 0 ถง 0.40 คาของตวแปรสม X มคาเทากบ 0 และในทานองเดยวกนกบชวงอนๆ ดงนนใน

กรณท X เปนตวแปรสมแบบเปนชวง คาของ X จะสามารถหาไดจากความนาจะเปนสะสมโดยกาหนดเปนชวงของคา

X ความนาจะเปน P(X) ความนาจะเปนสะสม F(X) ชวงของคา

0 0.40 0.40 0 - 0.4

1 0.25 0.65 0.41 - 0.65

2 0.20 0.85 0.66 - 0.85

3 0.15 1.00 0.86 - 1.0

4.4 เทคนคมอนตคารโล (Monte Carlo Methods)

เทคนคในการจาลองดวยการใชตวเลขสมและความนาจะเปนสะสม ประกอบดวยขนตอนการทางาน

1. กาหนดปญหาหรอระบบในสงทตองการจาลอง

2. ระบองคประกอบของความไมแนนอนของระบบ

3. หาการแจกแจงความนาจะเปน (Probability Distribution) ขององคประกอบทมความไมแนนอน

4. กาหนดคาตวเลขสม (Random Number, RN)

5. สรางตวแบบจาลองทางคณตศาสตร

6. ทาการจาลองตามจานวนครงทกาหนด เพอหาผลลพธ

บทท 3 หนา 4 / 15

แบบฝกหด 4.3

1. แสดงการจาลอง 10 สปดาห เพอคานวณหาจานวนเฉลยของผทขอตดตงเครองปรบอากาศตอสปดาห

จานวนตดตง 5 6 7 8 9 รวม

ความถ 10 27 30 20 13 100

การแจกแจงความนาจะเปน

จานวนตดตง ความถ ความนาจะเปน ความนาจะเปน

สะสม

ตวเลขสม

5 10

6 27

7 30

8 20

9 13

รวม 100

ตวแบบจาลอง

สปดาหท RN จานวนผตดตง

1 0.27

2 0.30

3 0.80

4 0.10

5 0.50

6 0.60

7 0.49

8 0.78

9 0.66

10 0.80

รวม

บทท 3 หนา 5 / 15

2. บรษทประดษฐกรรมไทยตองการประดษฐระบบเตอนภยแบบใหมซงคาดวาจะเปนทนยมใช ฝายวศวกรรมใหความเหนวา

การพฒนาระบบดงกลาวสามารถทาได 2 วธ แตละวธจะไดมาซงระบบเตอนภยทมคณสมบตตามทฝายการตลาดตองการ แต

การพฒนาจะใชเวลาและคาใชจายตางกน ดงน

ระยะเวลาทใชพฒนา ความนาจะเปน

(เดอน) วธท 1 วธท 2

6 0.1 0.3

9 0.3 0.4

12 0.6 0.3

วธท 1 จะใชคาใชจาย 500,000 บาท หลงการพฒนาจะไดระบบทใชคาใชจายผนแปรในการผลต 7.50 บาท

วธท 2 จะใชคาใชจาย 1,900,000 บาท หลงการพฒนาจะไดระบบทใชคาใชจายผนแปรในการผลต 7.25 บาท

ระบบดงกลาวจะขายในราคา 10 บาท ฝายการตลาดเชอวาปรมาณขายจะขนกบระยะเวลาทใชในการ

พฒนา เพราะบรษทมคแขงมาก จากการประมาณการขาย ไดขอมลประมาณการยอดขายและความนาจะเปน

ดงน

ยอดขาย (หนวย) ระยะเวลาทใชพฒนา (เดอน)

6 9 12

1,000,000 0.2 0.4 0.5

1,500,000 0.8 0.6 0.5

แสดงการจาลอง 5 ครง เพอคานวณวากาไรทบรษทคาดหมายวาจะไดจากแตละวธการของการ

พฒนาจะเปนเทาไร และควรเลอกใชวธใด

บทท 3 หนา 6 / 15

3. ในระบบพสดคงคลงซงคาใชจายของระบบประกอบดวย คาเกบรกษาพสด คาสงซอพสด และการสญเสยกาไรในการสงซอ

ใชนโยบายการจดซอแบบใชจดสงซอ (Reorder Point) ซงจะพจารณาจากปรมาณพสดคงเหลอในคลงรวมกบปรมาณพสด

ระหวางการสงซอ เปนดชนในการออกใบสงซอ โดยกาหนดใหปรมาณการ สงซอจะเทากนทกครงทสงซอ

จากการวเคราะหระบบ พบวา คาเกบรกษาพสดตอหนวยสนคาทสงซอคอ 200 บาท/สปดาห คาสงซอพสด 500

บาท/ครง และการสญเสยกาไร 2000 บาท/ชน

ตารางดานลาง แสดงขอมลความตองการใชพสด และระยะเวลาในการสงของหลงจากออกใบสงซอทเกบรวบรวมจาก

การทางานของระบบ 100 ครง

ความตองการใชพสด

ความตองการ

(หนวย)

ความถ ความนาจะเปน ความนาจะเปน

สะสม

ชวงของตวเลข

แบบสม

0 2

1 8

2 22

3 34

4 18

5 9

6 7

รวม 100

ระยะเวลาสาหรบการสงของ

ระยะเวลา

(สปดาห)

ความถ ความนาจะเปน ความนาจะเปน

สะสม

ชวงของตวเลข

แบบสม

1 23

2 45

3 17

4 9

5 6

รวม 100

กาหนดใหใชจดสงซอ 15 หนวย ปรมาณการสงซอ 20 หนวย พสดคงเหลอในคลงเมอเรมการจาลองม 20 หนวย

คานวณหาคาใชจายเมอทาการจาลองทงหมด 18 สปดาห เพอวเคราะหหาจดสงซอและปรมาณการสงซอทเหมาะสม

บทท 3 หนา 7 / 15

สปดาหท RN1 ความตองการใช

(หนวย)

RN2 ระยะเวลา

(สปดาห)

พสดเขาคลง

(หนวย)

พสดคงเหลอ

(หนวย)

คาเกบรกษา

พสด (บาท)

คาสงซอ

(บาท)

กาไรสญเสย

(บาท)

คาใชจายรวม

(บาท)

0 20

1 0.52 3 17 3400 3400

2 0.28

0.50

3 0.89

4 0.08

5 0.59

6 0.81

7 0.95

8 0.68

0.15

9 0.90

10 0.93 6 21 4200 4200

11 0.72 4 17 3400 3400

12 0.89 5 12 2400

0.95 5 500 2900

13 0.44 3 9 1800 1800

14 0.60 3 6 1200 1200

15 0.68 4 2 400 400

16 0.52

17 0.28

18 0.30

4.5 การแปลงผกผน (Inverse Transformation)

การจาลองดวยการใชขอมลในอดต จะไดผลลพธของอดต ถาในอนาคตระบบงานไมมการเปลยนแปลง การใชขอมลของ

อดตจะไมมความผดพลาด แตจะพบวาในสภาพการทางานจรง ระบบสวนใหญจะมการเปลยนแปลงเกดขน ถาการ

เปลยนแปลงทเกดขนมคาของตวแปรสมทใชในการคานวณทไมมรวมอยในขอมลของอดต ผลลพธทไดจากการจาลองจะม

ความผดพลาดเกดขน

วธการอกวธการหนงในการสรางคาตวแปรสมเพอใชสาหรบการคานวณโดยเทคนคมอนตคารโล คอ ใชวธการ

แปลงผกผน ซงมขนตอนการทางาน ดงน

(1) ใชเทคนคทางสถตเพอคานวณหาสมการคณตศาสตรทแสดงความสมพนธระหวางองคประกอบตาง ๆ ของ

ระบบ

(2) พจารณาประเภทของการแจกแจงความนาจะเปนขององคประกอบเหลาน

(3) แปลงคาเปนคาตวแปรสมตามประเภทของการแจกแจงความนาจะเปน

การแจกแจงปกต (Normal Distribution)

รปรางของโคงปกตขนกบพารามเตอร 2 คา

(1) คาเฉลย (Mean) =

(2) สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) =

x = ตวแปรสมปกต (normal random variable)

z = x -

เมอใชการแปลงผกผน จะไดคาตวเลขสม

เมอ RNNi = ตวเลขสมแบบปกต (Random Normal Number) ซงเปดไดจากตารางตวเลขสมแบบนอรมอล

แบบฝกหด 4.4 กาหนด A, B, C เปนตวแปรสมซงเปนอสระแกกน

A เปนตวแปรสมทมการแจกแจงแบบปกต โดยมคา = 100 = 20

B เปนตวแปรสมทมการแจกแจงแบบปกต โดยมคา = 20 = 5

C มการแจกแจงความนาจะเปนดงตาราง

คาของ C ความนาจะเปน ความนาจะเปน

สะสม

ชวงของคา RN

10 0.10

20 0.25

30 0.50

40 0.15

ii RNNx

บทท 3 หนา 9 / 15

ใชการจาลองดวยเทคนคมอนตคารโล ในการหาคา Z ซงมคาเทากบ (A + B) / C เมอใชตวเลขแบบสม 5 คา ดงน

RNN A RNN B RN C Z

-0.04 1.48 16

1.23 1.75 23

0.93 -0.86 57

-0.65 1.33 79

0.56 -0.32 37

รวม

การแจกแจงยนฟอรม (Uniform Distribution)

กาหนดตวแปรสมตอเนอง X สาหรบการทดลองหนงซงมผลลพธอยในชวงของคา (a, b) โดยท a < b ผลลพธแตละผลลพธ

จะมโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กน ซงกาหนดใหเปนคาคงท k จะไดคาความนาจะเปนเทากบ


จากการสารวจเบยเลยงของนกศกษาฝกงานกลมหนงพบวา นกศกษาจะไดรบคาเบยเลยงวนละตงแต 50 ถง 100 บาท

ถากาหนดใหตวแปรสม X ซงเปนคาเบยเลยงทนกศกษาไดรบมการแจกแจงแบบยนฟอรม คานวณหาความนาจะเปนของ

นกศกษาทจะไดคาเบยเลยง

(1) 80 บาท (2) 120 บาท

??? ?? ???x�??

bXa�??ab

kXfxXP0

1)()(

บทท 3 หนา 10 / 15


xi = a + RNi(b - a)


กาหนดตวแปรสม X เปนนาหนกของเดกผหญงกลมหนงซงมคาอยระหวาง 40 ถง 50 กโลกรม ถา X มการแจกแจงแบบย

นฟอรม ใชการจาลองดวยเทคนคมอนตคารโลในการคานวณหาสวนสง (Y) โดยใชสตร Y = 110 + X เมอทดลองดวย

การใชเลขสมจานวน 5 คา ดงน

RN X Y

0.64

0.38

0.45

0.16

0.33

รวม

การแจกแจงเอกซโพเนนเชยล (Exponential Distribution)

กาหนดตวแปรสมตอเนอง X ซงมการแจกแจงแบบเอกซโพเนนเชยล ทมคาเฉลย > 0 จะมคาความนาจะเปนเทากบ

f(X) = e-X ถา X > 0

0 ถา x = คาอน ๆ


)ln(1

ii RNx

บทท 3 หนา 11 / 15


1. ในการใหบรการลกคาของธนาคารแหงหนง ถากาหนดตวแปรสม

X เปนเวลาทลกคาเขามาใชบรการ มการแจกแจงแบบเอกซโพเนนเชยล

Y เปนเวลาทธนาคารใหบรการลกคา มการแจกแจงแบบเอกซโพเนนเชยล

ถาคาเฉลยของการเขามาใชบรการของลกคาเปน 3 คนตอชวโมง และอตราการใหบรการลกคาเปน 5 คนตอชวโมง

ถากาหนดใหใชแบบจาลองในหนวยของ 1/100 ชวโมงและเรมตนใหบรการท 0.00 น. จงหาคาเฉลยของการใช

เวลาเขารบบรการของลกคา และจานวนลกคาโดยเฉลย เมอทดลองดวยตวเลขสมจานวน 10 คา

RN X เวลาทมาถง RN Y เวลาทออก เวลาทใช จานวน

ลกคา

0.096 0.608

0.569 0.571

0.665 0..347

0.764 0.09 1.20 0.933 0.01 1.33 0.13

0.842 0.06 1.26 0.581 0.11 1.44 0.18

0.491 0.24 1.50 0.173 0.35 1.85 0.35

0.224 0.50 2.00 0.603 0.10 2.10 0.10

0.050 0.02 2.02 0.044 0.64 2.74 0.72

0.610 0.16 2.18 0.605 0.10 2.84 0.64

0.145 0.64 2.82 0.842 0.03 2.87 0.05

รวม

2. ทนตแพทยรายหนง จะนดคนไขทแจงความจานงมาทาฟน หางกนคนละ ? ชวโมง เพราะปกตโดยเฉลยมกจะใชเวลา

กบคนไขแตละคนประมาณครงชวโมง แตเวลาทใชกบคนไขจรง ๆ จะมลกษณะเปนตวแปรสมทมการแจกแจงความนาจะ

เปนแบบปกตดวยคาเฉลย ? ชวโมง และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 15 นาท คนไขทนดไวบางรายกมาเรวหรอชากวา

กาหนด และบางรายกไมมา จากการศกษาขอมลในอดตพบวา 10% ของคนไขทนดไวจะไมมา 50% มาตรงเวลา 20%

มาเรวไป ? ชวโมง และ 20% มาชาไป ? ชวโมง

จงจาลองแบบกจกรรมของทนตแพทยสาหรบการทางาน 3 ชวโมง (คนไขนด 6 คน) การบรการคนไขใชหลกมา

กอนบรการกอน

บทท 3 หนา 12 / 15

4.6 วธการสรางตวเลขแบบสม

ปญหาทใชการจาลองดวยเทคนคมอนตคารโล ททาการคานวณโดยอาศยคอมพวเตอร มกจะเปนปญหาทซบซอนและใช

หนวยความจาของคอมพวเตอรมาก การใสตารางตวเลขแบบสมเขาไวในคอมพวเตอรเพอใหคอมพวเตอรเลอกคามาใช

คานวณหาคาตวแปร จะทาใหเสยเวลาและหนวยความจา จงจาเปนจะตองหาวธทใหคอมพวเตอรสามารถสรางตวแปรสม

ขนใชเองแทนการใชคาจากตารางคาตวเลขสม

ในการสรางตวเลขแบบสม สามารถทาได 2 วธ

(1) เครองมอทางกายภาพ

ลกเตา

ไพ

กระดาษเขยนเบอร

เครองอเลกทรอนกส

(2) การสรางตวเลขสมแบบเทยม (Pseudo-random Number) - การใชสตรคณตศาสตร

วธสวนกาลงสอง

วธการใชเศษเหลอ

วธตดกลางกาลงสอง (Midsquare Method)

(1) เลอกตวเลขสหลก

(2) หาคายกกาลงของตวเลขนน ถาเลขทไดมไมครบ 8 หลกใหเตมศนยขางหนา

(3) ใชสหลกกลางของเลขทไดในขอ 2 เปนตวเลขสม

(4) หาคายกกาลงสองของเลขในขอ (3)

(5) ทาขนตอน (3) และ (4) จนกวาจะไดตวเลขสมเทาจานวนทตองการ

แบบฝกหด 4.8 สรางตวเลขแบบสม 5 คา เมอกาหนดคาเรมตน x0 = 2712

การใชวธนจะมปญหา

ไมทราบขนาดชวงความยาวของลาดบตวเลขสมกอนทตวเลขสมนนจะซาเดม

ตวเลขทไดอาจไมเปนแบบสม ถาเลอกคาเรมตนไมด เชน

2500062500002500

062500002500

202500004500

3

202

201

200

xxx

xx

xx

บทท 3 หนา 13 / 15

วธตดกลางของผลคณ (Midproduct Method)

(1) เลอกตวเลขสหลก 2 คา x'0 และ x0

(2) คณคา x'0 และ x0 เขาดวยกน

(3) ใชสหลกกลางของผลคณทไดในขอ (2) เปนตวเลขสม = x1

(4) คณ คา x0 และ x1


แบบฝกหด 4.9 สรางตวเลขแบบสม 3 คา เมอกาหนดคาเรมตน x'0 = 3579 และ x0 = 9753

วธตวคณคงท (Constant Multiplier Technique)

(1) กาหนดคาคงท k ขนาดสหลก และคาเรมตน x0

(2) คณคา k และ x0 เขาดวยกน

(3) ใชสหลกกลางของผลคณทไดในขอ (2) เปนตวเลขสม = x1

(4) คณ คา k และ x1


แบบฝกหด 4.10 สรางตวเลขแบบสม 3 คา เมอกาหนดคาเรมตน k = 1357 และ x0 = 3579

วธการบวกเศษเหลอ (Additive Congruent Method)

(1) กาหนดตวเลขจานวนเตม x1 , x2 ,..., xn

(2) สราง xn+1 , xn+2 , ... จากตวเลขในขอ (1)

(3) สรางตวเลขสมโดยใชสตร

mx

R

mxxx

ini

niii

mod)( 1

บทท 3 หนา 14 / 15

แบบฝกหด 4.11 สรางตวเลขแบบสม 3 คา เมอกาหนดคา

x1 = 65 x2 = 24 x3 = 39 x4 = 88 x5 = 75 m = 100 n = 5

วธการใชเศษเหลอ (Congruent Method)

วธการทนยมใชทสดในการสรางตวเลขแบบสมคอ การใชเศษเหลอของผลคณ (Multiplicative Congruential Method)โดย

ใชสตร

ดวยการกาหนดคาให a และ m ซงจะตองไมเปนคาลบ และกาหนดคาเรมตน x0

แบบฝกหด 4.12 สรางตวเลขแบบสม 5 คาเมอกาหนด a = 2, m = 10 และคาเรมตน x0 = 1

การบาน 3 ขอ 1 ซเปอรมารเกตแหงหนง ไดเกบขอมลปรมาณความตองการตอสปดาหของนมสดบรรจกลองยหอหนง ใน 50

สปดาหทผานมามดงน

ความตองการ (กลอง) 18 19 20 21 22 23 รวม

จานวนสปดาห 2 8 15 15 5 5 100

ถาซเปอรมารเกตสงนมมาจาหนายสปดาหละ 20 กลอง แสดงการจาลองเปนเวลา 10 สปดาห และคานวณหา

ปรมาณนมทไมพอขายโดยเฉลยตอสปดาห และปรมาณนมทเหลอโดยเฉลยตอสปดาห สาหรบคาสมให

นกศกษากาหนดเอง

)(mod1 maxx ii

บทท 3 หนา 15 / 15

ขอ 2 สายการผลตสายหนงของบรษทมอเตอรสากล ประกอบดวยหนวยงานประกอบ 3 หนวย เวลาทใชและความ

นาจะเปนทแตละหนวยประกอบ มดงน

ความนาจะเปน

เวลา (นาท) หนวย 1 หนวย 2 หนวย 3

4 0.25 0.10 0.05

5 0.25 0.30 0.25

6 0.25 0.40 0.25

7 0.25 0.20 0.45

สรางตารางการจาลองแบบระบบประกอบมอเตอรของการประกอบมอเตอร 10 ตว และหาคาเฉลยของเวลาทใช

ในการประกอบ สาหรบคาสมใหนกศกษากาหนดเอง

ขอ 3 กาหนด A และ B เปนตวแปรสมซงเปนอสระแกกน โดยท A มการแจกแจงแบบปกต โดยมคา = 30 = 8

และ B มการแจกแจงความนาจะเปนดงตาราง

คาของ B 10 15 20 25 30

ความนาจะเปน 0.2 0.2 0.4 0.1 0.1

แสดงการจาลองคา C ซงมคาเทากบ (A + B) / 2 จานวน 5 คา พรอมทงคานวณหาคาเฉลย

สาหรบคาสมใหนกศกษากาหนดเอง

ขอ 4 กาหนดตวแปรสม X เปนจานวนครงในการเขารวมกจกรรมของนกศกษากลมหนงซงมคาอยระหวาง 5 ถง 10

ครง ถา X มการแจกแจงแบบยนฟอรม แสดงการจาลองคาคะแนน (Y) ซงมคาเทากบ 10 + X จานวน 5 คา พรอมทง

คานวณหาคาเฉลย สาหรบคาสมใหนกศกษากาหนดเอง

ขอ 5 5.1 สรางตวเลขแบบสม 10 คาโดยวธตดกลางกาลงสอง เมอกาหนด X0 = 6677

5.2 สรางตวเลขแบบสม 10 คาโดยวธใชเศษเหลอ เมอกาหนด X = 21 a = 4 และ m = 100

การสร้างตัวเลขสุ่ม

Documents