Σε κάθε φοιτητή του Πολυτεχνείου εξηγείται στην αρχή των σπουδών του, να μην απεικονίζει το

άθροισμα δύο μεγεθών, όπως π.χ. το

211 =+με τον παραπάνω τρόπο. Αυτός είναι παιδαριώδης και

προδίδει έλλειψη στυλ.

Πρώτο μάθημα στα εφηρμοσμέναμαθηματικά

Ήδη από το πρώτο εξάμηνο γνωρίζουμε ότι:

)ln(1 e=και επιπλέον

)(cos)(sin1 22 pp +=

Πέραν αυτού ο ανήσυχος φοιτητής γνωρίζει ότι

n

n∑∞

=

=

0 2

12

Συνεπώς το άθροισμα

211 =+μπορεί να γραφεί με την κατά πολύ

επιστημονικότερη μορφή

( )n

n

ppe ∑∞

=

=++

0

22

2

1)(cos)(sinln

Είναι δε προφανές ότι

)(tanh1*)cosh(1 2 qq −=

και

21

1lim

+=

∞→ ze

z

Συνεπώς το παρακάτώ άθροισμα

( )n

n

ppe ∑∞

=

=++

0

22

2

1)(cos)(sinln

απλοποιείται ως εξής

∑∞

=∞→

−=++

+

0

222

2

2

)(tanh1*)cosh()(cos)(sin

11limln

nnz

qqpp

z

Εάν λάβουμε υπόψιν μας ότι

1!0 =και θυμηθούμε, ότι η αναστροφή του μετατεθειμένου

πίνακα ισούται με την μετάθεση της αναστροφής, μπορούμε θεωρώντας μονοδιάστατο χώρο να

προχωρήσουμε σε περαιτέρω απλοποίηση εισάγοντας ένα διάνυσμα Χ, όπου προφανώς ισχύει:

( ) ( ) 011

=−−− TT

XX

Συνδυάζοντας

1!0 =με

( ) ( ) 011

=−−− TT

XX

προκύπτει

( ) ( ) 1!11

=

−

−− TTXX

Εισάγοντάς το στο άθροισμα

∑∞

=∞→

−=++

+

0

222

2

2

)(tanh1*)cosh()(cos)(sin

11limln

nnz

qqpp

zΠροκύπτει για το άθροισμα η ακόλουθη

απλοποιημένη μορφή:

( ) ( ) ∑∞

=

−−

∞→

−=++

+

−

0

222

211

2

)(tanh1*)cosh()(cos)(sin

1!limln

nn

TT

z

qqpp

zXX

Το αργότερο τώρα γίνεται αντιληπτό, ότι αυτή η εξίσωση είναι πολύ πιο απλή και κατανοητή από το

211 =+

Υπάρχει μία σειρά άλλων μεθόδων που οδηγούν στην απλοποίηση της εξισώσεως

211 =+Με αυτές όμως θα ασχοληθεί ο φοιτητής μετά την

κατανόηση των πρώτων απλών αρχών απλοποιήσεως εξισώσεων που παρουσιάστηκαν σήμερα.