【やってみた】リーマン多様体へのグラフ描画アルゴリズムの実装【実装してみた】...
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【やってみた】 リーマン多様体上への
グラフ描画アルゴリズムの実装 【実装してみた】
情報通信研究機構 高野 祐輝
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バネモデルレイアウト
2
グラフ描画アルゴリズム
エッジでつながっているノード同士 はバネで引き寄せられている
ノード同士は反発力が働いている
引き合う力
反発しあう力
リーマン多様体上における バネモデルレイアウト
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ユークリッド空間ではなく 曲がった空間上における バネモデルレイアウト
元論文
Kobourov, S. G., and Wampler, K. Non-Euclidean Spring Embedders.
IEEE Trans. Vis. Comput. Graph. 11, 6 (2005), 757‒767.
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本発表の目的
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実装デモが主目的
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数学的な厳密性や細かな解釈は とりあえず横においておき
実装可能な段階までブレークダウンしてみる
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なぜなら可視化の目的は 数学でも科学でもなく
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芸術なので美しければよかろうなのだ！
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元論文の説明（１）リーマン多様体 M は，すべての点 x ∈ M で
接ベクトル空間を持つ
リーマン多様体上の a と b を結ぶ 連続曲線 γ: [a, b] → M の長さは
length(γ) =b
a||γ(t) ||dt
となり，任意の点 a, b 間を最小とする曲線の長さが 点 a, b 間の距離と定義され d(a, b) と表す
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元論文の説明（２）
1. 全ての y ∈M に対してτ－1x (τx(y)) = y2. ||τx(y) || = d(x, y )3. τx は原点に対する角度を維持する4. Range(τx) = M5. Range(τ－1x ) = TxM
ここで，すべての点 x ∈ M でリーマン多様体と 接ベクトル空間への写像を
τx: M → Tx M，τx-1: Tx M → Mと定義する． ただし，τx とτx-1 は以下の条件を満たすとする．
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元論文の説明（３）
generateinitial layout(G)while not donedofor n∈G dox := position[n]G := τx(G )x := force directedplacement(n, G )position[n] := τ－1x (x )
endend
すると，リーマン多様体上における バネモデルレイアウトのアルゴリズムは以下のようになる
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なるほど よくわからん！
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数式と実装までに 乖離がありすぎ
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数式ではなく 「距離」と「力の向き」の 2つに注目して考える
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考え方の基礎（１） リーマン多様体上における2点間の距離
曲面上の2点間を最短で結べる曲線の長さ
最短曲線
A
B
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考え方の基礎（２） リーマン多様体上における2点間に働く力の向き
最短曲線
A
B
接平面における最短曲線の方向が 局所空間における力の向きとなる
接平面
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力の向き
考え方がわかったところで 具体的に球面幾何上での レイアウトを考えてみる
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球面幾何上へのグラフレイアウト（１） 極座標表記
x
y
z
φ
θ
a
半径１の単位球面を考えると 球面上にある任意の点 a (x, y, z)は θ∈ [0, 2π) とφ∈ [0, π)
で表せる
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球面幾何上へのグラフレイアウト（２） 極座標・直交座標変換
x
y
z
φ
θ
a
極座標から直交座標への変換は(cosθcosφ, sinθsinφ, cosθ)
で行える
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球面幾何上へのグラフレイアウト（３） 接ベクトル空間
x
y
za
ua va任意の点 a の接ベクトル ua, va は
ua = (-cosθcosφ, sinθsinφ, sinθ)va = (sinφ, cosφ, 0)
と表わせ，点 a に及ぼす力は この接ベクトル空間で考えることができる
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球面幾何上へのグラフレイアウト（４） ２点間に及ぼす力
x
y
za
b
いま点 a, b があり 点 a が b へ，ある力 F(a, b)で 引き寄せられているとする
このときの F(a, b)について考える
引き合う力
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球面幾何上へのグラフレイアウト（５） 接ベクトル空間への写像と力の向き
まず，点 b から 点 a の 接ベクトル空間への写像 b’
について考える
ベクトル a b’ が 局所空間で
点 b が 点 a に 及ぼす力の向きとなるx
y
za
b
b’
力の向き
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球面幾何上へのグラフレイアウト（６） 直線 b b’
点 b を通りベクトル a と 平行な直線 b b’ を考えると
この直線 b b’ は
x
y
za
b
b’
x －bxax = y－byay = z－bzaz
と表せ，媒介変数 t を使うとx = bx+ ax ty = by+ ay tz = bz+ az tとなる
aと平行な直線
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球面幾何上へのグラフレイアウト（７） 点 a の接平面
点 a の接平面は
x
y
za
b
b’
ax (x - ax) + ay (y - ay) + az (z - az)
となる
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球面幾何上へのグラフレイアウト（８） b’の導出（A）
x
y
za
b
b’
ax (x - ax) + ay (y - ay) + az (z - az)x = bx+ ax ty = by+ ay tz = bz+ az t
を
へ代入すると t が求まる
t を x = bx+ ax ty = by+ ay tz = bz+ az t
へ代入すると b’ が求まる
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球面幾何上へのグラフレイアウト（９） b’の導出（B）
x
y
za
b
b’
ax (bx+ ax t－ax ) + ay (by+ ay t－ay ) + az (bz+ az t－az ) = 0(a2x + a2y + a2z )t = a2x + a2y + a2z －axbx－ayby－azbz
t = a2x + a2y + a2z －axbx－ayby－azbz
a2x + a2y + a2z
すなわち t は
となる．ただし単位球面なので
t = 1－axbx－ayby－azbz
となり，b’つまり力の向きが求まる
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球面幾何上へのグラフレイアウト（10） 力の大きさ
点 a, b 間の力の大きさは 点 a, b の球面上の距離 d(a, b)
で表される
x
y
z a
bψ
ただし，球面幾何なので d(a, b)は 点 a, b のなす角ψで表される
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球面幾何上へのグラフレイアウト（11） 点 a, b のなす角ψ
点 a, b のなす角ψは 球面三角法の余弦定理より
となるx
y
z a
b
N
ψ
cosψ= cosθa cosθb+ sinθa sinθbcos(φa－φb)ψ= cos－1(cosθacosθb+ sinθa sinθbcos(φa－φb))
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球面幾何上へのグラフレイアウト（12） 力の向きと大きさ
力の向き b’ - a と 力の大きさψ が得られた
x
y
za
b
b’
ψ
力の向き
力の大きさ
あとは点 a を実際に動かすのみ
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球面幾何上へのグラフレイアウト（12） 点 a の動き
x
y
za
b
b’
ψ
力の向き
力の大きさ
点 a の球面幾何上の動きは， ベクトル (b’ - a) と a の外積
(b’ - a)☓a を軸として
角度cψだけ回転させれば良い （cは定数）
b’ - a
外積（回転軸） (b’ - a)☓a
任意軸の回転はクォータニオンで 実現可能
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球面幾何上へのグラフレイアウト（13） 力の合成
力の合成は，接ベクトル空間で ユークリッド空間と同じように考えれば良い
a
F1
F2
F1+F2
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球面幾何上へのグラフレイアウト（14） バネモデルレイアウト
力の計算方法がわかったので あとはバネモデルレイアウトの手順を
そのまま適用すれば終了
33
ね？簡単でしょう？
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デモ36
まとめ• 数式ではなく考え方を理解する
• 一見難しそうな数式でも，背景にある考え方を理解すれば実装できる
• 考え方がわかれば，数式も理解できる
• とにかく実装してみる
• 数学的な厳密性はあとでじっくり考える
• Try and Errorを繰り返す．たくさん失敗してみる．何度も何度も．
• 美しいは大正義37