折り紙とコンパスで    “計算”  してみよう

日曜数学者  辻 順平  (@tsujimotter)

今回紹介するデモアプリは  

すべて以下のページに置いてあります。

tsujimotter  のポートフォリオ  

http://tsujimotter.info  

2

自己紹介 辻 順平（tsujimotter）    静岡県出身  -­‐>  札幌（大学・大学院９年間）  

       -­‐>  つくば（１年）    専門はコンピュータサイエンス（博士（情報科学））  数学が大好き  日曜数学者  

3

日曜数学者とは 興味の赴くままに 趣味として 数学を楽しむ人のこと

4

tsujimotter  のノートブック 辻が興味を持った  

数学的なトピックについて  

熱く語って語りまくるブログ  

 

http://tsujimotter.hatenablog.com  

5

数学について語るのが大好き

とにもかくにも

6

今日語りたいこと 折り紙

定木とコンパスを使った作図

7

折り紙の思い出

正六角形でつくる雪の結晶 8

正六角形 雪の結晶 正方形

ここが重要！

折る 折る

9

正六角形を  

折ってみよう

10

正六角形 雪の結晶 正方形

折る 折る

正五角形 星形

折る

折る

11

折り紙を使って作図できる正  n  角形は？  

Q.

12

1896  年  スンダラ・ロー  「折紙の幾何学的演習」            折り紙の数学的研究が盛んに

1989  年  第１回折紙国際会議（イタリア）  

紀元前  ユークリッド    定木とコンパスを使った                  作図の発祥 正三角形，正五角形の作図法

1796  年  ガウス  洗練された作図理論          （定木とコンパスを使った）作図と計算  

13

お品書き•  イントロダクション

正六角形と雪の結晶の折り方

•  定木とコンパスを使った作図定木とコンパスで計算（ガウスの作図理論），ガウスの作図理論が生まれたきっかけ

•  折り紙を使った作図正？角形の折り方

済

14

定木とコンパスを使った  

作図 15

「定木とコンパスを使った作図」とは

定木（じょうぎ） コンパス

目盛りは使っちゃダメ

古代ギリシャ人が生み出した，究極の縛りプレイ 16

“直線”を描く道具 “円”を描く道具

17

作図の基本ルール

２点

1.  定木（じょうぎ）  

与えられた２点を通る直線を引く

18

作図の基本ルール 2.  コンパス  

与えられた中心と半径の円を描く

半径中心

19

作図の基本ルール 3.  直線・円のそれぞれの交点だけが作図に利用できる

20

作図の基本ルール 4.  ただし，２点は最初に与えられて作図に利用できる

21

作図の基本ルール（まとめ）

1.  定木      与えられた２点を通る直線を引く  

2.  コンパス    与えられた中心と半径の円を描く

3.  直線・円のそれぞれの交点だけが作図に利用できる  

4.  ただし，２点は最初に与えられて作図に利用できる

22

正三角形を  

描いてみよう

23

正三角形の描き方

4.    ２点は最初に与えられて作図に利用できる 24

正三角形の描き方

2.    コンパス・・・与えられた中心と半径の円を描く

中心

半径

25

正三角形の描き方

3.    直線・円のそれぞれの交点だけが作図に利用できる

交点

26

正三角形の描き方

1.    定木・・・与えられた２点を通る直線を引く 27

正三角形の描き方

28

正三角形の描き方

できあがり！！

29

応用：正六角形の描き方

できあがり！！

30

覚えておきたい作図の基本技法 1.  垂直二等分線 2.  平行線

与えられた２点を二等分する垂線 与えられた点を通り，直線に平行な線

31

正五角形 正七角形

定木とコンパスによって以下は作図できるか？ 問題

32

正七角形は作図不能！ 正五角形は作図可能

定木＆コンパスの場合

33

定木とコンパスで    

計算 34

3 + 4 = 7

12÷ 4 = 3

計算？

35

3 + 4 = 7

12÷ 4 = 35⇥ 8 = 40

5� 3 = 2

作図であつかう「数」

最初に与えられた  二点の長さを  “1”    とする

作図によって得られる長さ  

＝　作図可能数  

36

作図であつかう「数」

最初に与えられた  二点の長さを  “1”    とする

作図によって作られた長さ  

＝　作図可能数  

1

2

1p3

2

✓1

2

◆2

+

p3

2

!2

= 12

ピタゴラスの定理

37

　　 が作図可能数のとき，以下の数は作図可能数となる  a, b

a+ b a� b a⇥ b a/b

pa

四則演算

ルート計算

定木とコンパスを使った作図によって「四則演算」と「ルート」が計算できる

38

足し算

b

a+ b

a

39

引き算

b

a� b

a

40

かけ算

b

a1

a⇥ b41

割り算

b

a

1

a/b

42

ルート計算

1 a

pa

43

　　 が作図可能数のとき，以下の数は作図可能数となる  a, b

a+ b a� b a⇥ b a/b

pa

四則演算

ルート計算

定木とコンパスを使った作図によって「四則演算」と「ルート」が計算できる 44

作図できる（できない）  

正多角形

45

垂線

頂点

垂線

頂点

46

1 1

ここの長さが計算できれば  

対応する正多角形も作図できる

47

1 1

�1 +p5

4�1

6+

3

q72 (1 + 3

p�3)

6+

3

q72 (1� 3

p�3)

6

正七角形は作図不能！ 正五角形は作図可能

定木＆コンパスの場合

48

正五角形を  

描いてみよう

49

正五角形の作図（１／７）

与えられた２点

50

正五角形の作図（２／７）

垂直二等分線

51

正五角形の作図（３／７）

平行線

52

正五角形の作図（４／７）

53

正五角形の作図（５／７）

垂直二等分線

54

正五角形の作図（６／７）

55

正五角形の作図（７／７）

できあがり！！

56

ガウスの作図理論が  

生まれたきっかけ 57

3, 5, 7?, 11?, 13?, 17?

58

古代ギリシャから  作図できると知られていた

作図できないと思われていた

ガウス青年の大発見

カール・フリードリヒ・ガウス

１９世紀の大数学者！

ガウス青年（19 歳） 「正十七角形は作図可能である」

目が覚めたら思いついたったwww

おれ天才やしwww

数学者になったろwww

59

垂線

頂点

「四則演算」と「ルート」だけで表現できる 　＝ 　作図可能

正十七角形の場合

� 1

16+

1

16

p17 +

1

16

q2(17�

p17) +

1

8

r

17 + 3p17�

q2(17�

p17)� 2

q2(17 +

p17)

60

やってみた

正確に描くのはむずかしい61

作図支援ソフトウェア　Heptadecagon

『正十七角形を正確に描く、ただそれだけのために作られたソフトウェア』

62

実演動画：  https://www.youtube.com/watch?v=wyjn441NVPE  

お品書き•  イントロダクション

正六角形と雪の結晶の折り方

•  定木とコンパスを使った作図定木とコンパスで計算，作図できる（できない）正多角形

•  折り紙を使った作図正？角形の折り方

済

済

63

折り紙を使った  

作図 64

正七角形は作図不能！ 正五角形は作図可能

定木＆コンパスの場合

65

正五角形，正七角形どちらも作図可能！！

折り紙の場合

66

折り紙で作図できる図形

定木＆コンパスで  作図できる図形

•  放物線  

•  三次方程式の解  

•  正七角形  

•  直線，円  

•  二次方程式の解  

•  正三角形，正五角形，etc.  

67

折り紙では  

放物線が作図できる

68

折り紙のすごいところ　その１

折り紙と放物線 点を直線に折り合わせるとき，放物線の接線が得られる

折り重ねる

放物線接線

デモアプリあり

デモアプリ：  http://tsujimotter.info/origami/    

三次方程式の解が  計算できる

70

折り紙のすごいところ　その２

二次方程式の解の公式 二次方程式   の解 　は，次の公式で表せる

ax

2 + bx+ c = 0

x =�b±

pb

2 � 4ac

2a

ax

2 + bx+ c = 0

a,  b,  c  が作図可能数のとき，二次方程式の解も作図可能

四則演算とルートによって表される

71

三次方程式のまえに・・・

折り紙と三次方程式 ２つの直線上に，２点を同時に折り重ねるとき，  

その折り目によって得られる直線の「傾き」が，三次方程式の解となる

折り重ねる

傾きが三次方程式の解

デモアプリあり

デモアプリ：  http://tsujimotter.info/origami/cubic.html  

 

正七角形が作図できる

73

折り紙のすごいところ　その３

垂線

頂点

垂線

頂点

74

1 1

�1 +p5

4�1

6+

3

q72 (1 + 3

p�3)

6+

3

q72 (1� 3

p�3)

6

垂線

頂点

垂線

頂点

75

1 1

二次方程式  

4x2  +  2x  –  1  =  0  の解

三次方程式  

8x3  +  4x2  –  4x  –  1  =  0  の解    

正七角形を  折ってみよう

76

77

ダウンロードはこちらから  http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/07/07/234101

3, 5, 7, 11, 13, 17

3, 5, 7, 11, 13, 17

作図できる正  n  角形 定木＆コンパスの場合

折り紙の場合

78

正11角形は  どちらの方法でも  作図できない

折り紙を使って作図できる正  n  角形は？  

（n が 20 以下においては）

n = 11 以外すべての正 n 角形

A.

Q.

79

折紙とコンパスで  “計算”  してみよう  まとめ

•  定木＆コンパス や 折り紙 の作図操作を「計算」に対応づけることができる 定木とコンパスによる作図 「四則演算」と「ルート」の計算

折り紙による作図 上に加えて「三次方程式の解」の計算

 

•   「計算できる数」の観点から，「作図可能な図形の条件」を数学的に導ける 80

日曜数学は面白い •  趣味なので解けなくても気にしない  

•  興味をもったところから手を出してよい  

•  自分なりの方法で遊べばよい

一緒に数学してみませんか 81

参考文献 •  ロベルト・ゲレトシュレーガー 著「折紙の数学」森北出版（2002年）定価：2,800円  

•  大野栄一 著「定木とコンパスで挑む数学」講談社  BLUE  

BACKS（1993年）定価：780  円  

•  tsujimotter  のノートブック,  

http://tsujimotter.hatenablog.com  

82

補足

83

作図できる正  n  角形 定木＆コンパスの場合

3, 4, 5, 6, 7, 8?, 9?, 10?, 11?, 12?, 13?, 14?, 15?, 16?, 17?, 18?, 19?, 20?

どれが作図できる正  n  角形でしょうか？

84

作図できる正  n  角形 定木＆コンパスの場合

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

85

作図できる正  n  角形 定木＆コンパスの場合

31, 22, 51, 21 x 31, 71, 23, 32, 21 x 51, 111, 22 x 31, 131, 21 x 71, 31 x 51, 24, 171, 21 x 32, 191, 22 x 51

観察 ①  2 は何回かけてもよい  

②  奇素数 3, 5, 17 をそれぞれ 0  回または 1  回かけている

86

3, 5, 17, 257, 65537, …

22n

+ 1 の形でかける素数

（これをフェルマー素数という）

古代ギリシャから，  

作図できることが知られていたもの

87