Экспериментальный_модальный_анализ_[Электронный_ресурс]_...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

(национальный исследовательский университет)»

Г. М. Макарьянц, Е. В. Шахматов, С. А. Гафуров

Экспериментальный модальный анализ

Электронное учебное пособие по курсу лекций

С А М А Р А

2010

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

УДК519.62/.64

Авторы: Макарьянц Георгий Михайлович,

Шахматов Евгений Владимирович,

Гафуров Салимжан Азатович

Проведение комплексного исследования объектов при решении сложных

инженерных задач невозможно без проведения модального анализа. Определение

модальных параметров объектов требует от специалистов разного профиля

овладения навыками использования методов проведения экспериментального

модального анализа и оценки полученных результатов с целью их наилучшей

интерпретации. Для студентов технических специальностей главным является

понимание основных идей, особенностей и областей применения рассмотренных

методов.

Приведенные типы анализа амплитудно-частотных характеристик объектов

отличаются простой физической интерпретацией основных вычислительных

операций. Его лёгкая приспособляемость к геометрии рассматриваемой области,

граничным условиям является также очень важным достоинством.

В предлагаемом учебном пособии в сжатом виде приводятся основные

необходимые сведения о математических уравнениях, связывающих измеренные

данные амплитудно-частотной характеристики объекта с его модальными

параметрами, и уравнениях, лежащих в основе их оценки. В пособии также

рассмотрены основные ситуации, в которых необходимо применять тот или иной

способ оценки модальных параметров.

Учебное пособие рекомендуется для студентов специальностей и

направлений, учебный план которых включает курсы «Основы виброакустики

машин», «Динамические измерения и обработка экспериментальных данных»,

для магистрантов в рамках магистерской программы «Мехатронные

пнемвогидравлические агрегаты и системы» по направлению 160700.68

«Двигатели летательных аппаратов», а так же для инженеров, и аспирантов, чья

деятельность связана с исследованием и анализом динамических характеристик

технических объектов.

Учебное пособие разработано на кафедре автоматических систем

энергетических установок.

© Самарский государственный

аэрокосмический университет, 2010


3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ....................................................................................... 4 1 Оценка модальных параметров ............................................... 5

1.1 Модальные параметры ...................................................... 5 1.2 Замечания по поводу единиц измерения ......................... 8

2 Типы анализа ............................................................................. 9 2.1 Методы одной и множества степеней свободы .............. 9

2.1.1 Метод одной степени свободы (SDOF) ................. 10

2.1.2 Метод множества степеней свободы (MDOF) .... 10 2.2 Локальные и глобальные оценки .................................... 11

2.3 Анализ множества входных сигналов ............................ 12 2.4 Анализ во временной и частотной области ................... 14

3. Методы оценки параметров .................................................. 18

3.1 Метод наименьших квадратов с комплексными

экспонентами (LSCE) ............................................................ 18

3.1.1 Модель для непрерывных данных ............................ 18

3.1.2 Модель для дискретных данных .............................. 19

3.1.3 Практическая реализация метода .......................... 20 3.1.4 Определение оптимального числа мод ................... 22

3.1.5 Многоопорный метод LSCE .................................... 26 3.2 Метод наименьших квадратов для частотной области

(LSFD) ..................................................................................... 33 3.2.1 Многоопорный метод LSFD .................................... 34

3.3 Метод наименьших квадратов в комплексной частотной

области (PolyMAX) ................................................................ 35

3.3.1 Модель данных .......................................................... 36

3.3.1 Модальные параметры ............................................ 37 Заключение ................................................................................. 39


4

Введение

Проведение комплексного исследования объектов при решении

сложных инженерных задач невозможно без проведения

модального анализа. Определение модальных параметров объектов

требует от специалистов разного профиля овладения навыками

использования методов проведения экспериментального

модального анализа и оценки полученных результатов с целью их

наилучшей интерпретации. Для студентов технических

специальностей главным является понимание основных идей,

особенностей и областей применения рассмотренных методов.

Приведенные типы анализа амплитудно-частотных

характеристик объектов отличаются простой физической

интерпретацией основных вычислительных операций. Его лёгкая

приспособляемость к геометрии рассматриваемой области,

граничным условиям является также очень важным достоинством.

В предлагаемом учебном пособии в сжатом виде приводятся

основные необходимые сведения о математических уравнениях,

связывающих измеренные данные амплитудно-частотной

характеристики объекта с его модальными параметрами, и

уравнениях, лежащих в основе их оценки. В пособии также

рассмотрены основные ситуации, в которых необходимо

применять тот или иной способ оценки модальных параметров.


5

1 Оценка модальных параметров

1.1 Модальные параметры

Модальный анализ обеспечивает получение набора модальных

параметров, которые характеризуют динамическое поведение

структуры. На основе этих параметров формируется модальная

модель. На рисунке 1.1 показан процесс получения модальных

параметров.

Рисунок 1.1 – Извлечение модальных параметров

Если существует система, на которой могут быть сделаны

измерения, то можно предположить, что может быть определена её

параметрическая модель, описываемая полученными данными.

Отправной точкой обычно является набор измеренных данных – в

большинстве случаев это амплитудно-частотные характеристики

(FRFs – Frequency Response Functions) или эквивалентные им

временные характеристики импульсных откликов (IRs – Impulse

Responses).

Для импульсных откликов соотношение между модальными

параметрами и измеренными параметрами описывается

следующим уравнением:


6

)()(1

**11

N

k

t

ijk

t

ijkij ererth

(1.1)

Соответствующее соотношение для амплитудно-частотных

характеристик (FRFs) описывается уравнением:

)()(()(

*

*

1 k

ijkN

k k

ijk

ijj

r

j

rjh

, (1.2)

где

)(thij - импульсный отклик (IR) между сигналом отклика (или

выходом) степени свободы I (DOF i) и опорным сигналом (или

входом) степени свободы j (DOF j);

)( jhij- амплитудно-частотная характеристика (FRF) между

сигналом отклика (или выходом) степени свободы I (DOF i) и

опорным сигналом (или входом) степени свободы j (DOF j);

N – число мод вибрации, вносящих вклад в динамический

отклик структуры в пределах исследуемого частотного диапазона;

ijkr - значения остатка (residue) для моды k;

k - значения полюса (pole) для моды k;

*

*

k

ijk

j

r

- комплексно сопряженное число для

k

ijk

j

r

.

Значение полюса (pole) может быть выражено следующим

образом:

dkkk jωδλ , (1.3)

где:

dk - собственная частота затухающих колебаний моды к;

k - коэффициент затухания (damping factor) моды к.

Или

21 knknkkk ςjωωςλ , (1.4)

где:

nk - собственная частота незатухающих колебаний моды к;

k - относительное демпфирование (damping ratio) моды к.


7

Уравнение 1.5 показывает, что величина ijkr может быть

найдена как произведение трёх членов:

jkikkijk ar , (1.5)

где:

ik - коэффициент формы моды для отклика степени свободы I

(response DOF i) моды к;

jk - коэффициент формы моды для отклика степени свободы j

(response DOF j) моды к;

ka - комплексная константа масштабирования, значение

которой определяется масштабированием форм мод.

Коэффициент формы моды может быть действительным

(формы нормальных мод) или комплексным.

Если формы мод действительные (real), то константа

масштабирования может быть выражена следующим образом:

dkk

kωmj

a

2

1 , (1.6)

где:

km - модальная масса моды к.

Полюса, собственные частоты (демпфированные и

недемпфированные), коэффициенты затухания (damping factors) или

относительного демпфирования (damping ratios), формы мод и

остатки обычно называются модальными параметрами

(параметрами мод структуры).

Основную трудность при оценке параметров составляет сбор

(оценка) параметров модели таким образом, чтобы данные

вычисленной заранее модели по возможности приближались к

непосредственно измеренным данным (или аппроксимировались их

кривой). Для оценки модальных параметров может быть

использовано множество методик, которые будут рассмотрены

ниже.


8

1.2 Замечания по поводу единиц измерения

Значения частоты (frequency) и демпфирования (damping)

имеют размерность 1/время, поэтому учитываются в Гц.

Остатки (residues), как видно из уравнений 1.1 или l.2, имеют ту

же размерность, что и измеренные данные. Остатки являются

результатом перемножения коэффициентов формы моды (mode

shape coefficients) и константы масштабирования (scaling constant)

(см. уравнение l.5). Коэффициенты формы моды не имеют ни

размерности, ни абсолютной или масштабированной величины.

Размерность, а, следовательно, и единицы измерения будут

рассматриваться как атрибуты константы масштабирования.

Наконец, для анализа множества входных сигналов, остатки

записываются в форме разложения на множители, как

произведение форм мод (mode shapes) с коэффициентами

модального участия (modal participation factors). Опять

произведение коэффициентов будет иметь размерность и

абсолютную величину. Формально, коэффициенты формы моды

снова рассматриваются как не имеющие размерности и,

следовательно, единицы измерения будут рассматриваться как

атрибуты остатков.


9

2 Типы анализа

2.1 Методы одной и множества степеней свободы

Если предполагается, что в заданной полосе частот важна

только одна мода, то тогда параметры этой моды могут быть

определены отдельно. Это предположение иногда называют

«предположение об одной степени свободы» (single degree of

freedom (SDOF) assumption).

Рисунок 2.1 - Предположение об одной степени свободы

Согласно предположению, уравнение l.2, описывающее

амплитудно-частотную характеристику (FRF), может быть

упрощено, если размерность будет в виде отношения смещения к

силе, и примет вид:

maxmin ωωω

)λ(jω

r

)λ(jω

rh

*

k

*

ijk

k

ijk

ij

(2.1)

Моды в окрестностях этой полосы можно скомпенсировать,

введя в уравнение так называемые верхние и нижние остаточные

члены (upper and lower residual terms).

2*

*

)()(

ij

ij

k

ijk

k

ijk

ij

lrur

jw

r

jw

rh

(2.2)

где:


10

ijur - верхний остаточный член (остаточная жёсткость - residual

stiffness), используемый для аппроксимации мод на частотах выше

min;

ijlr - нижний остаточный член (остаточная масса - residual

mass), используемый для аппроксимации мод на частотах ниже

max.

Верхние и нижние остатки проиллюстрированы на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 - Верхние и нижние остатки

Уравнение 2.1 можно упростить ещё больше, если пренебречь

комплексными сопряженными членами, и тогда получим:

)( k

ijk

ijj

rh

(2.3)

2.1.1 Метод одной степени свободы (SDOF)

Предположение об одной степени свободы (SDOF - Single

degree of freedom) создаёт основу для таких методов оценки

параметров, как выбор пиков (Peak picking), выбор мод (Mode

picking) и подгонка окружности (Circle fitting).

2.1.2 Метод множества степеней свободы (MDOF)

Предположение об одной степени свободы (SDOF) допустимо

только в том случае, когда моды системы будут не сильно

связанные. В основном это предположение не соответствует


11

действительности. Тогда становится необходимым

аппроксимировать данные вместе с моделью, которая включает в

себя несколько мод. Параметры нескольких мод при этом будут

оцениваться одновременно с помощью метода называемого

«метод множества степеней свободы» (multiple degree of freedom

method).

2.2 Локальные и глобальные оценки

Если Вы восстановите взаимосвязь между модальными

параметрами и измеренными функциями во временной области,

N

k

t

ijk

t

ijkij ererth1

*)()(

*11

(2.4)

то Вы увидите, что значения полюса h независимы и от отклика

(response) и от эталонных степеней свободы (reference DOFs).

Другими словами, значение полюса h является характеристикой

системы и должно быть найдено в любой функции, измеренной на

структуре. При применении методов оценки параметров, можно

использовать одну из двух стратегий: сделать местные (local) или

глобальные (global) оценки (см. таблицу 2.1).

Таблица 2.1 Сравнение локальных и глобальных оценок

Локальные оценки Глобальные оценки

Каждая запись данных

анализируется индивидуально, и

каждый раз находятся

потенциально различные оценки

значения полюса.

Для оценки структурных

характеристик все записи

данных анализируются

одновременно.

При анализе данных этим

способом будет получено

столько оценок для каждого

полюса, сколько есть записей

данных. Затем пользователю

предстоит решить, какая оценка

наилучшая, так или иначе,

вычислить наилучшее среднее

значение всех оценок.

При этом подходе, будет

получена единственная оценка

значения для каждого полюса.

Такие оценки, поэтому и

называются глобальными

оценками (global estimates).

Методами, позволяющими Экспоненциальный


12

вычислить локальные оценки

значений полюса, являются

«метод выбора пиков» (Peak

picking) и «метод подгонки

окружности» (Circle fitting).

комплексный метод

наименьших квадратов (LSCE -

Least Squares Complex

Exponential) и метод PolyMAX

позволяет Вам получить

глобальные оценки

характеристик структуры.

2.3 Анализ множества входных сигналов

Предположим, что доступны данные между Ni входных

степеней свободы (Ni input DOFs) и N0 выходных степеней свободы

(N0 output DOFs). Тогда выражение для каждой из индивидуальных

записей данных (см. уравнение 2.4) может быть перезаписано в

матричной форме для всех записей данных.

N

k

t

k

t

k eReRH1

**11

, (2.5)

где

H - матрица (N0, Ni) с hij элементами;

kR - матрица (N0, Ni) с rijk элементами.

Уравнение 1.5 может быть использовано для выражения матрицы

остатков (residue matrix) в форме разложения на множители

krkkk VVaR , (2.6)

где

kV - вектор (столбец) N0 с коэффициентами формы моды (mode

shape coefficients) на выходе степеней свободы (output DOFs);

krV - вектор (строка) Ni с коэффициентами формы моды (mode

shape coefficients) на входе степеней свободы (input DOFs).

Если степени свободы (DOFs) i и j являются выходной и входной

степенями свободы, тогда вышеупомянутое уравнение

подразумевает взаимность Максвелла-Бетти,

jikijk rr (2.7)


13

Это предположение не затрагивает существа дела, однако, после

этого матрица остатков может быть выражена в более общей форме,

kkk LVR , (2.8)

где:

kL - вектор (строка) с коэффициентами Ni, выражающими

участие моды к в данных отклика относительно другого входа

степеней свободы.

Поэтому эти коэффициенты называются коэффициентами

модального участия (modal participation factors).

Если предполагается взаимность, то коэффициенты модального

участия (modal participation factors) будут пропорциональны

коэффициенту формы моды (mode shape coefficient) на входе степени

свободы (input DOFs).

Используя матрицу остатков в форме разложения на множители,

уравнение 2.5 можно записать так,

N

k

t

kk

t

kk eLVeLVH1

*** 11 (2.9)

Если будут рассматриваться только данные между каким-нибудь

выходом степени свободы и всеми входами степеней свободы тогда

N

k

t

kik

t

kikieLeLH

1

***11 , (2.10)

где

iH - вектор Ni данных между выходом степени свободы i и

всеми входами степеней свободы.

Весьма важным в уравнении 2.10 модели является то, что и

полюса и коэффициенты модального участия являются

независимыми от выхода степени свободы. Иначе говоря, в этой

формулировке характеристики имеют вид

t

keL 1 (2.11)

Метод оценки модальных параметров по множеству входов

является единственным методом анализа данных позволяющим

оценить характеристики, выраженные уравнением 2.11 (то есть

значения полюсов и коэффициенты модального участия)

относительно нескольких входов одновременно. В основе этих


14

методик идентификации лежит модель, представленная уравнением

2.10.

Идентификация коэффициентов модального участия необходима

для разделения сильно связанных или даже кратных корней. Чтобы

проиллюстрировать это, рассмотрим структуру, которая имеет две

моды с очень близкими значениями полюсов 1 и 2. Пренебрегая

другими модами и комплексно-сопряженными членами данные

отклика относительно входа степени свободы j, можно выразить так

...... 21

2211 t

j

t

ji elVelVH

(2.12)

или, так

...... 2211

t

jji elVlVH (2.13)

Из последнего уравнения видно, что в данных отклика

относительно входа степени свободы, наблюдается комбинация

пары мод, а не индивидуальные моды. Коэффициентами сочетания

(combination coefficients) для мод являются коэффициенты модального

участия l1j и l2j.

Данные отклика относительно другого входа степени свободы l,

выражаются уравнением подобным уравнению 2.13.

...... 2211

t

lli elVlVH (2.14)

Единственное различие между этими двумя последними

уравнениями заключается в коэффициентах модального участия l1j и

l2j. Если они линейно независимые коэффициенты модального участия

для входа i, то в данных отклика относительно входа l моды появятся

в другой комбинации. Поскольку в методе оценки параметров по

множеству входов анализируются данные относительно нескольких

вводов одновременно, а коэффициенты модального участия

позволяют провести идентификацию, то возможно обнаружение

сильно связанных или повторяющихся мод.

2.4 Анализ во временной и частотной области

При использовании цифровых методов обработки сигналов

доступны только замеры непрерывной функции. Выборка данных

для оценки модальных параметров очень часто совмещается с

измерениями амплитудно-частотных характеристик (FRF). Обычно

эти данные собираются на равноотстоящих частотных

спектральных линиях. Некоторые методы испытания, например,


15

пошаговое возбуждение синусоидальным сигналом (stepped sine

excitation) позволяют измерять данные на неравноотстоящих

частотных спектральных линиях.

В приложениях оценивающих модальные параметры по

данным, измеренным в частотной области, ввод набора такого типа

данных приводит к преобразованию уравнения для модели:

N

k kn

ijk

kn

ijk

nijj

r

j

rjh

1*

*

,)()(

)(

, (2.15)

где:

nijh ,- выборки данных в диапазоне измерений;

n - значения частот выборок в диапазоне измерений.

Метод оценки параметров в частотной области для оценки

модальных параметров позволяет использовать данные

непосредственно в частотной области. Поэтому не имеет значения,

расположены ли частотные спектральные линии равномерно или

неравномерно. Метод базируется непосредственно на модели,

выраженной уравнением 2.15.

Если данные были выбраны на равноотстоящих частотных

спектральных линиях, то для получения соответствующей

импульсной характеристики (IR – Impulse Response) амплитудно-

частотная характеристика (FRF) может быть преобразована

обратно во временную область. Для этого преобразования

используется алгоритм «быстрое преобразование Фурье» (FFT),

хотя ограничение на число спектральных линий частоты, которое

должно быть равным степени 2 (например, 32, 64, 128, ...)

уменьшает его эффективность. После преобразования, будет

получен ряд равноотстоящих выборок соответствующих функций

импульсной характеристики. Метод оценки параметров в

частотной области позволяет Вам проанализировать такие

равноотстоящие временные выборки и оценить модальные

параметры.

На практике, разнообразие параметров означает, что полоса

частоты, в которой проанализированы данные, меньше всей

полосы измерения. Это проиллюстрировано на рисунке 2.3.


16

Рисунок 2.3- Частотная полоса измерения и анализа

В частотной полосе анализа находится только три моды, а в

полосе измерения пять. При преобразовании данных из частотной

области во временную область, приращение времени между

выборками будет определяться частотной полосой анализа, а не

частотной полосой измерения. Если частотная полоса анализа

связана с max и min тогда t определяется из выражения:

)(2

2

minmax

t (2.16)

Подставив вместо временных выборок непрерывное время,

получим:

N

k

tn

ijk

tn

ijknijkk ererth

1

*

,

*

)(

(2.17)

или

N

k

n

kijk

n

kijknij zrzrh1

**

, , (2.18)

где t

kkez

(2.19)

Методы оценки параметров во временной области основаны на

модели, определяемой уравнением 2.18. При этом анализируются hij,n,

чтобы оценить zk. Затем из уравнения 2.19 вычисляются k.

Однако это вычисление является не однозначным.

Так как


17

tttjm

kkk eez

)/2(

(2.20)

Это подразумевает, что не могут быть идентифицированы никакие

полюса вне полосы частоты равной 2/t. Другими словами, при

использовании метода оценки параметров во временной области, все

оцениваемые полюса должны быть найдены в полосе частоты

анализа (min, max).

Это может вызвать проблемы при оценке модальных

параметров, если на данные в полосе частоты анализа оказывают

сильное влияние моды вне этой полосы (остаточные явления). Так как

метод оценки в частотной области позволяет оценивать параметры

без промежуточных ступеней, то никаких таких ограничений не

возникает. Поэтому иногда метод оценки в частотной области

предпочитают методу оценки во временной области, чтобы иметь

возможность проанализировать данные в узкой полосе частот при

наличии значительных остаточных явлений.


18

3. Методы оценки параметров

3.1 Метод наименьших квадратов с комплексными экспонентами (LSCE)

Метод LSCE - это метод наименьших квадратов с

использованием комплексных экспонент (Least Square Complex

Exponential method) позволяющий Вам оценивать значения

модальной частоты и демпфирования для нескольких мод

одновременно. Так как все данные анализируются одновременно, то

результатом являются глобальные оценки (global estimates).

Чтобы разобраться в том, как работает этот метод, вспомним

сначала выражение для импульсной характеристики (IR), которое

приводится ниже

N

k

t

ijk

t

ijkij ererth1

*)()(

*11

(3.1)

Как видно из этого выражения, оценка значения полюса k, не

является функцией специфического сигнала отклика (выхода) или

опорного сигнала (входа) степени свободы. Другими словами,

значения полюса являются глобальными (а не локальными),

характеристиками структуры. Они имеют одни и те же значения при

анализе любой измеренной на структуре амплитудно-частотной

характеристики (FRF). А это делает возможным использование всех

доступных данных, измеренных на системе для одновременного

определения глобальных оценок.

Этот метод можно использовать при проведении анализа как по

одному входу, так и по множеству входов.

3.1.1 Модель для непрерывных данных

Особая проблема при попытке использования уравнения 3.l для

достижения вышеуказанной цели заключается в том, что оно

содержит в себе остатки rijk, которые зависят от сигнала отклика и

опорного сигнала степени свободы. Следовательно, для данных hij

необходимо определить другую параметрическую модель, в

которой коэффициенты будут независимы от сигнала отклика и

опорного сигнала степени свободы, и их можно будет использовать

для определения оценок k. Может быть доказано, что такая модель


19

приобретает форму линейного дифференциального уравнения

порядка 2N с постоянными реальными коэффициентами.

0... 2

12

1

2

ijNij

N

ij

N

hahdt

dah

dt

d (3.2)

Действительно, уравнение 3.l выражает данные как линейную

суперпозицию набора 2N комплексных экспоненциальных

функций демпфирования, имеющих место в комплексно-

сопряжённых парах.

Такие комплексные экспоненциальные функции могут быть

рассмотрены как характеристические решения линейного

дифференциального уравнения с постоянными реальными

коэффициентами.

0)(...)()( 2

12

1

2

tfatfdt

datf

dt

dN

NN

(3.3)

Импульсная передаточная функция, будучи линейной

суперпозицией характеристических решений, сама по себе также

является характеристическим решением. Следовательно, уравнение

3.2 справедливо, если его коэффициенты будут соответствовать

условию:

Nk

aa

kk

N

NN

...1,,

0...

*

2

12

1

2

(3.4)

Следовательно, если подойти с другой стороны, то сначала

можно попробовать оценить коэффициент в уравнении 3.2 используя

все доступные данные.

Затем оценки коэффициента k комплексных экспоненциальных

функций могут быть найдены при решении уравнения 3.4.

3.1.2 Модель для дискретных данных

Однако измеренные данные являются дискретными, а не

непрерывными. По этой причине, вместо уравнения 3.l необходимо

использовать следующее уравнение:


20

t

k

N

k

n

kijk

n

kijknij

kez

zrzrh

1

**

,

(3.5)

Теперь, вместо комплексных экспоненциальных функций

демпфирования, характеристиками являются степенные ряды с

базисной величиной zk.

Рассуждая также как и при рассмотрении непрерывных данных,

можно доказать, что дискретные данные являются решением

линейного уравнения в конечных разностях с постоянными

реальными коэффициентами порядка 2N (а не дифференциального

уравнения как для непрерывных данных).

0... 2,21,1, NnijNnijnij hahah (3.6)

Характеристики, а, следовательно, и полюсы hij,n могут быть

найдены при решении следующего уравнения:

0... 2

12

1

2

N

N

k

N

k azaz (3.7)

3.1.3 Практическая реализация метода

Метод наименьших квадратов с использованием комплексных

экспонент (LSCE) является методом, который позволяет для

оценки коэффициентов в уравнении 3.6 использовать данные,

измеренные на системе.

В принципе может быть использована любая запись данных

hij,n. Применение метода единовременно только к отдельной записи

данных закончится получением локальных оценок полюсов.

Для оценки коэффициентов в уравнении 3.6 в значениях

наименьших квадратов, уравнения для всех возможных временных

точек и всех возможных сигналов откликов (response) и опорных

сигналов (reference) степеней свободы, должны быть решены

одновременно, как указано в уравнении 3.8. Эта система уравнений

будет сильно переопределённой. Чтобы найти решение методом

наименьших квадратов, может быть применён метод нормальных

уравнений, позволяющий окончательное решение вычислить на

основе компактного уравнения с квадратной матрицей


21

коэффициентов (уравнение 3.9). Матрица коэффициентов в этом

уравнении называется ковариационной матрицей.

ti

t

titi

tt

NNN

nij

N

N

N

NNNNNNN

Nnijnij

NNN

N

h

h

h

hs

a

a

a

hh

hh

hh

hh

,

,

,11

2,11

2

2

1

2,1,

2,1,

2,111,11

0,1112,11

000

, (3.8)

где

Nt – последняя доступная временная выборка;

No – число сигналов откликов (response) степеней свободы

(DOFs);

Ni – число сигналов возбуждения (input) степеней свободы

(DOFs).

Мы можем записать это уравнение в боле простом виде:

0,2

0,2

0,1

2

2

1

2,2

2,22,2

2,12,11,1

NNNN

N

N

r

r

r

a

a

a

r

rr

srsrr

(3.9)

Коэффициенты в ковариационной матрице определяются как:

o i tN

i

N

j

N

n

lnijknijlk hhr1 1 1

,,, )( (3.10)

Построение этой ковариационной матрицы является первым

этапом при применении метода наименьших квадратов с

использованием комплексных экспонент. Этот этап обычно

является самым трудоёмким, так как для составления скалярного

произведения выраженного уравнением 3.10 используются все

доступные данные.

После решения уравнения 3.9 всё, что необходимо сделать для

вычисления оценок модальной частоты и демпфирования, это


22

заменить оценки коэффициентов в уравнении 3.7.и решить его для

zk.

3.1.4 Определение оптимального числа мод

В результате решения уравнения 3.9 будут получены оценки

коэффициентов методом наименьших квадратов в модели,

описываемой уравнением 3.6. Следовательно, также возможно

вычислить соответствующую ошибку метода наименьших

квадратов. Эта ошибка важна при определении минимального

числа мод в данных. При предыдущих объяснениях

предполагалось, что в данных присутствуют N мод.

Однако, число мод, содержащихся в данных, было фактически

неизвестно. Предпочтительно число мод определять

непосредственно с помощью самого метода. При использовании

метода наименьших квадратов с использованием комплексных

экспонент это может быть достигнуто за счёт наблюдения за

развитием ошибки метода наименьших квадратов при решении

уравнения 3.8 как функции числа допускаемых мод.

Для этого, нужно вначале создать уравнение подобное

уравнению 3.8, с достаточно большим числом предполагаемых мод

N. Затеем, подмножество этого уравнения будет использовано для

нахождения коэффициентов модели, описывающих только одну

моду.

0,2

0,1

2

1

2,2

2,11,1

r

r

a

a

r

rr (3.11)

Соответствующая ошибка метода наименьших квадратов

обозначается 1.

Если в данных предполагается наличие двух мод, тогда

подмножество, которое нужно решать имеет вид:

0,4

0,3

0,2

0,1

4

3

2

1

4,4

4,33,3

4,23,22,2

4,13,12,11,1

r

r

r

r

a

a

a

a

r

rr

rrr

rrrr

(3.12)


23

с соответствующими ошибками метода наименьших квадратов и так

далее. Теперь, если в модели предположено наличие мод в

количестве равном числу мод, присутствующих в данных, то

соответствующая ошибка метода наименьших квадратов должна

быть значительно меньше, чем ошибки для моделей с меньшим

количеством мод.

Диаграмму, на которой отображают график ошибки метода

наименьших квадратов для возрастающего числа мод, называют

диаграммой ошибки метода наименьших квадратов (least square

error chart) (см. рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 - Диаграмма ошибки метода наименьших квадратов

(для системы с 4 модами) Чтобы определить оптимальное число мод, Вы могли бы

попробовать сравнить оценки частоты и демпфирования, вычисленные

из моделей с различным числом мод. Интуиция могла бы привести Вас к

тому, что при увеличении числа мод можно ожидать повторного

появления (приблизительно на том же самом месте) оценок частоты

и демпфирования, соответствующих истинным структурным модам.

Вычислительные же моды не будут вновь появляться с идентичной

частотой и демпфированием. На диаграмме, показывающей эволюцию

частоты и демпфирования как число мод, которые могут быть

вычислены для использования, можно также увидеть, что

значительно не изменяются те моды, которые имеют значения частоты

и демпфирования физических мод. Другими словами, те, которые

являются стабильными (см. рисунок 3.2).


24

Рисунок 3.2 - Стабилизационная диаграмма (stabilization diagram)

3.1.4.1 Пример

Допустим, что имеются две записи данных измеренных на

системе, которые показаны на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 - Пример для метода наименьших квадратов с использованием

комплексных экспонент (least squares complex exponential)

Допустим, что значения для четырёх измеренных выборок

данных этих записей указаны в таблице 3.1.


25

Таблица 3.1 - Сравнение локальных и глобальных оценок

n h11 h21

0 1 0

1 0 1

2 -1 0

3 0 -1

Рассмотрим модель для первой моды (N=1). После

подстановки данных, уравнение 3.8 и уравнение 3.9 принимают

соответственно следующий вид:

1

0

0

1

10

01

01

10

2

1

a

a

s

2

0

20

02

2

1

a

a

Следовательно, решением является: a1=0, a2=1. Теперь

используем уравнение 3.7 для вычисления zk и k.

jz

z

012

Значения частоты и демпфирования определяются следующим

образом:

tjjz

tjjz

ez t

20,

20,

Решение показывает моду с периодом 4t и нулевым

демпфированием, что соответствует кривой показанной выше, на

рисунке 3.3


26

3.1.5 Многоопорный метод LSCE

В методе наименьших квадратов с использованием

комплексных экспонент (Least squares Complex Exponential

method), описанном выше, для определения совокупных

(глобальных) оценок модальных частот и демпфирования

используются все данные, измеренные на структуре. В принципе,

могут быть использованы и данные, связанные с несколькими

опорными сигналами степеней свободы (reference DOFs). Однако

модель, используемая в предыдущем методе, не имеет

определённого преимущества перед этой.

Многоопорный метод наименьших квадратов с использованием

комплексных экспонент (multiple inputs Least Squares Complex

Exponential), является расширением метода наименьших квадратов

с использованием комплексных экспонент и обеспечивает

последовательный одновременный анализ данных связанных с

несколькими опорными сигналами (входными сигналами) степеней

свободы. Метод позволяет вычислить глобальные оценки частоты

и демпфирования, а также коэффициенты модального участия.

Коэффициенты модального участия являются элементами,

выражающими участие мод в отклике системы в качестве функции

опорного сигнала (входного сигнала) степени свободы (см. раздел

«Анализ по множеству входов» в разделе 2.3.). Одновременная

оценка модальных частот, демпфирования и коэффициентов

модального участия означает, что могут быть идентифицированы

сильно связанные, чётные повторные моды (highly couples, even

repeated modes).

В основе многоопорного метода наименьших квадратов с

использованием комплексных экспонент лежит модель данных,

выраженная уравнением 2.10 приведённым в разделе «Анализ по

множеству входов» (см. раздел 2.3).

N

k

t

kik

t

kikieLeLH

1

***11 (3.13)

где

iH - вектор (строка) Ni импульсных характеристик (IRs -

Impulse Responses) между выходом степени свободы i (DOF i) и

всеми входами степеней свободы (DOFs);


27

kL - векторный коэффициент модального участия (vector

modal participation factor) для моды к. Если предполагается, что Ni

опорный сигнал степени свободы (reference DOF), тогда kL

является размерностью Ni.

ik - коэффициент формы моды (modes shape coefficient) в

отклике степени свободы i (DOF i) для моды k.

В этой модели, частоты, демпфирование и коэффициенты

модального участия являются независимыми от частных

откликов степеней свободы. Поэтому для оценки этих

коэффициентов возможно одновременное использование всех

доступных данных.

3.1.5.1 Модель для дискретных данных

Модель, выраженная уравнением 3.13 не подходит для

непосредственного определения глобальных оценок модальных

частот, демпфирования и коэффициентов модального участия,

поскольку содержит в себе коэффициенты формы моды (mode shape

coefficients), зависящие от отклика степени свободы (response DOF).

Поэтому должна быть получена более подходящая модель.

Если в уравнение 3.13 сначала ввести дискретные данные

(sampled nature of the data), то его можно будет перезаписать

следующим образом:

N

k

n

kkik

n

kkikin zLzLH1

*** (3.14)

t

k ez

1

Может быть доказано, что, если данные могут быть описаны

уравнением 3.14, то они также могут быть описаны следующей

моделью:

0...11 pipninin AHAHH (3.15)

если выполнены следующие условия

0...1

1

p

p

k

p

kk AAzzL (3.16)

NpNi 2 (3.17)


28

Проверить это можно с помощью элементарных вычислений

наподобие сделанных при обосновании метода наименьших

квадратов с использованием комплексных экспонент.

Уравнение 3.15 в матричном представлении представляет

собой связанный набор Ni уравнений в конечных разностях с

постоянными коэффициентами. Следовательно, коэффициенты

A1…Ap определяют размерность матрицы (NiNi).

Из условия, выраженного уравнением 3.16 следует, что члены

уравнения kL и n

kz являются характеристическими решениями

этой системы уравнений в конечных разностях. Поскольку

уравнение 3.14 - суперпозиция 2N таких членов уравнения, то, как

следует их уравнения 3.17, нужно чтобы число характеристических

решений этой системы уравнений pNi, по крайней мере, было равно

2N.

В конечном счёте, если данные для каждого опорного сигнала

степени свободы будут обрабатываться индивидуально, то есть при

Ni=1, то уравнения 3.15 и 3.16 упрощаются до уравнений 3.6 и 3.7.

Таким образом, метод наименьших квадратов с

использованием комплексных экспонент является частным случаем

многоопорного метода наименьших квадратов с использованием

комплексных экспонент.

3.1.5.2 Практическая реализация метода

Чтобы оценить коэффициенты уравнения 3.15 в значениях

наименьших квадратов, уравнения для всех возможных откликов

степеней свободы необходимо решить одновременно в

соответствии с уравнением 3.18. Решение для метода наименьших

квадратов находится, например, с помощью метода нормальных

уравнений из уравнения 3.19. В этом уравнении матрица

коэффициентов снова представлена в виде ковариационной матрицы.


29

ot

t

ot

ot

tt

NN

in

N

p

p

NpNNN

ipnin

pNN

p

H

H

H

H

A

A

A

HH

HH

HH

HH

1

1

2

1

1

1

111

1011

(3.18)

где:

Nt – последняя доступная временная выборка;

No – число откликов степеней свободы.

o tN

i

N

pniln

t

iknlk HHR1

, (3.19)

0,

0,2

0,1

2

1

,

,22,2

,12,11,1

pppp

p

p

R

R

R

A

A

A

R

RR

RRR

(3.20)

Порядок (p) уравнения в конечных разностях связан с числом

мод в данных согласно уравнению 3.17. Очень хорошо, что порядок

определяется с помощью непосредственно метода. Поскольку

коэффициенты уравнения в конечных разностях решаются

относительно значений наименьших квадратов, то при этом можно

наблюдать за ошибкой метода наименьших квадратов как функцией

принятого порядка. Так как порядок находится исходя из условия,

что модель описывает множество мод присутствующих в данных, то

ошибка при этом значительно уменьшается.

Вследствие условия, выраженного уравнением 3.17 нет линейного

соотношения между числом мод, которые могут быть описаны

моделью и порядком модели. Связь между числом мод, порядком

модели и числом опорных сигналов степеней свободы показана в

таблице ниже (см. таблицу 3.2). Из таблицы видно, что модель 8-го

порядка может быть описана 11 или 12 модами, если одновременно

будут проанализированы данные 3-х входных сигналов (входов).


30

Следовательно, на графике ошибки такая же ошибка метода

наименьших квадратов будет показана для мод 11 и 12.

Для определения оптимального числа мод при применении

метода наименьших квадратов с использованием комплексных

экспонент также может быть создана стабилизационная диаграмма

(stabilization diagram). Как и при сравнении значений частот и

демпфирования, последовательно вычисляемых из моделей, теперь

также возможно сравнить стабилизацию коэффициентов модального

участия. В разделе «Анализ по множеству входов» (см. раздел 2.3),

было показано, что коэффициенты модального участия

пропорциональны коэффициентам формы моды в опорных сигналах

степеней свободы. Они также отображают физические

характеристики структуры подобные частоте и демпфированию.

Поэтому, при увеличении порядка модели должны стабилизироваться

и значения, соответствующие структурным модам. Этот

дополнительный критерий значительно увеличивает

удобочитаемость стабилизационной диаграммы и возможность

отличить вычислительные моды (computational modes) от физических

мод (physical modes).

К тому же, сами коэффициенты модального участия могут быть

использованы для идентификации физических мод. Если они

нормализованы относительно наибольшего коэффициента, то все

значения для структурных мод должны быть приблизительно

реальными, в фазе или в противофазе.

Таблица 3.2 - Связь между модальным порядком (сведенным в

таблицу), числом мод (N) и числом опорных сигналов степеней

свободы (Ni)

N Ni=1 Ni=2 Ni=3 Ni=4 Ni=5 Ni=6

1 2 1 1 1 1 1

2 4 2 2 1 1 1

3 6 3 2 2 2 1

4 8 4 3 2 2 2

5 10 5 4 3 2 2

6 12 6 4 3 3 2


31

7 14 7 5 4 3 3

8 16 8 6 4 4 3

9 18 9 6 5 4 3

10 20 10 7 5 4 4

11 22 11 8 6 5 4

12 24 12 8 6 5 4

13 26 13 9 7 6 5

14 28 14 10 7 6 5

15 30 15 10 8 6 5

16 32 16 11 8 7 6

17 34 17 12 9 7 6

18 36 18 12 9 8 6

19 38 19 13 10 8 7

20 40 20 14 10 8 7

21 42 21 14 11 9 7

22 44 22 15 11 9 8

23 46 23 16 12 10 8

24 48 24 16 12 10 8

25 50 25 17 13 10 9

26 52 26 18 13 11 9

27 54 27 18 14 11 9

28 56 28 19 14 12 10

29 58 29 20 15 12 10

30 60 30 20 15 12 10

31 62 31 21 16 13 11

32 64 32 22 16 13 11


32

3.1.5.3 Пример

Чтобы прояснить метод, снова рассмотрим пример, приведённый в

разделе выше (см. Раздел 3.1.5.2). Допустим, что пример системы

удовлетворяет принципу взаимности, а значит, h12 будет равно h21.

Тогда вектор [h12 h21] будет отображать данные между откликом

степени свободы 1 (DOF 1) и опорными степенями свободы 1и 2

(DOF 1 и 2).

Если рассмотреть модель для моды 1 (p = 1, Ni = 2), то уравнения

3.9 и 3.10 будут выглядеть следующим образом.

01

20

20

02

10

01

10

01

10

01

2212

1211

2212

1211

aa

aa

aa

aa

Следовательно, в результате имеем матричный многочлен

0

0

1

121

z

zll

и решением задачи о собственных (характеристических)

значениях будет

1,2

0,

jL

tjjz

Решение для частоты демпфирования такое же, как и

найденное при применении метода наименьших квадратов с

использованием комплексных экспонент

Кроме того Вы также найдёте оценку коэффициентов

модального участия. Для этого примера, они указывают на то, что

должно быть различие по фазе между откликами системы при

возбуждении от опорных степеней свободы 1 и 2 (DOFs 1 и 2), так

как h11 - это косинус, а h12 это - синус.


33

3.2 Метод наименьших квадратов для частотной области (LSFD)

Метод LSFD - это метод наименьших квадратов для частотной

области (Least Square Frequency Domain method), позволяющий

оценить остатки (residue) или коэффициенты форм мод (mode shape

coefficients) на основе множества степеней свободы (multiple DOF).

Перед использованием этого метода требуется предварительно

оценить значения частот и демпфирования. Метод можно

использовать с одним или несколькими входами.

Рассматриваемая модель описывается уравнением:

N

k

t

ijk

t

ijkij ererth1

*'11)(

(3.21)

Если оценки модальной частоты и демпфирования доступны, то

остатки в этой модели показываются как линейные неизвестные

величины.

Для того чтобы оценить остатки, уравнение 3.21 обратно

преобразовывается в частотную область. Если данные дискретные,

то

,2

1*

*

,

p

ij

ij

N

k kp

ijk

kp

ijk

pij

lrur

j

r

j

rh

(3.22)

где

urij – верхние остаточные члены, используемые для

аппроксимации модели на частотах выше max,

lrij – нижние остаточные члены, используемые для

аппроксимации модели на частотах ниже min.

Это было проиллюстрировано ранее на рисунке 2.2.

Остатки, а также нижние и верхние остаточные члены -

локальные характеристики, то есть, они зависят от отдельных

степеней свободы отклика (response DOF) и опорных степеней

свободы (reference DOF).

Метод наименьших квадратов для частотной области основан

на модели, описываемой уравнением 3.22. Оценки методом

наименьших квадратов остатков (residues), нижних и верхних

остаточных членов (lower and upper residuals) вычисляются при

анализе значений всех данных в выбранном частотном диапазоне.


34

3.2.1 Многоопорный метод LSFD

Многоопорный метод LSFD - это многоопорный метод

наименьших квадратов для частотной области (Multiple input Least

Square Frequency Domain method), позволяющий оценить формы

мод (mode shapes) на основе множества степеней свободы (multiple

DOF).

В этом методе данные одновременно анализируются

относительно нескольких опорных степеней свободы (reference

DOFs), что позволяет оценивать коэффициенты форм мод (mode

shape coefficients), которые независимы от опорных степеней

свободы.

Рассматриваемая модель описывается уравнением 3.23:

.1

**'11

N

k

t

kik

t

kikieLeLH (3.23)

Если доступны оценки частот, демпфирования и модальных

коэффициентов участия, то коэффициенты форм мод в этой модели

показываются как линейные неизвестные величины. Кроме того,

они зависят только от степени свободы отклика (response DOF), а

не от опорной степени свободы (reference DOF), поэтому данные

одновременно могут быть проанализированы относительно

нескольких опорных степеней свободы.

Для того чтобы оценить остатки, уравнение 3.23 обратно

преобразовывается в частотную область. После добавления

остаточных членов и с учётом того, что данные дискретные, в

результате получаем:

,2

1*

**

i

p

iN

k kp

kik

kp

kik

ip URLR

j

L

j

LH

(3.24)

где

[UR]i – верхние остаточные члены между откликом степени

свободы i (response DOF i) и всеми опорными степенями свободы

(reference DOFs), вектор размерности Ni;

[LR]i – нижние остаточные члены между откликом степени

свободы i (response DOF i) и всеми опорными степенями свободы

(reference DOFs), вектор размерности Ni.


35

В основе многоопорного метода LSFD (многоопорного метода

наименьших квадратов для частотной области) лежит уравнение

3.24.

3.3 Метод наименьших квадратов в комплексной частотной области (PolyMAX)

Метод «PolyMAX» является дальнейшим развитием технологии

оценки по методу наименьших квадратов в комплексной частотной

области (LSCF - Least-Squares Complex Frequency-domain). Метод

LSCF, позволяющий идентифицировать так называемую модель с

общим знаменателем (common-denominator model), был предложен

как метод обнаружения начальных значений для итерационного

метода наибольшего правдоподобия (iterative maximum likelihood

method). Эти «начальные значения» позволяют извлекать очень

точные модальные параметры при очень небольшом объёме

вычислений. Самое важное преимущество оценки по методу

LSCF, по сравнению с другими доступными и широко

применяемыми методиками оценки параметров, заключается в том,

что этот метод обеспечивает получение очень ясных

стабилизационных диаграмм.

Было обнаружено, что идентифицированная модель с общим

знаменателем точно соответствует измеренным данным АЧХ.

Однако при преобразовании этой модели в модальную модель (см.

уравнение 3.25), с использованием разложения по сингулярным

числам матрицы (SVD - singular value decomposition) для

сокращения остатков (residues) и ранга матрицы до первого,

качество согласования уменьшается. Ещё одной особенностью

реализации общего знаменателя является то, что

стабилизационную диаграмму можно создать, пользуясь только

сведениями о полюсах (собственные частоты и относительное

демпфирование). Ни коэффициенты участия, ни формы мод на

первых порах не доступны. Теоретически сопутствующий

недостаток состоит в том, что близко расположенные полюса

показываются неверно, в виде одного полюса.

Эти две причины послужили причиной для разработки модели

многоопорной (polyreference) версии метода LSCF, называемой

«PolyMAX».


36

3.3.1 Модель данных

Точно так же, как и в методе «Прямой идентификация

параметров в области частот» (FDPI - Frequency-domain direct

parameter identification), в методе «PolyMAX» в качестве первичных

данных используются измеренные АЧХ. В методах анализа во

временной области, таких как «Многоопорный метод наименьших

квадратов с использованием комплексных экспонент»

(polyreference LSCE method), обычно в качестве первичных данных

требуется использовать импульсные характеристики (получаемые

из АЧХ с помощью обратного преобразовании Фурье). В методе

«PolyMAX», представление измеренных АЧХ принято в так

называемой правой части матрицы модели (right matrix-fraction

model):

,

1

0 0

p

r

p

r

r

r

r

r zzH (3.25)

где

mlH C – матрица, содержащая АЧХ между всеми m

входами и всеми l выходами;

ml

r

C – матрица числителей полиномиальных

коэффициентов;

mm

r

C – матрица знаменателей полиномиальных

коэффициентов;

p – порядок модели.

Учтите, что в уравнении 3.25 используется так называемая

модель в z-области (то есть модель в частотной области, которая

выведена из дискретной временной модели):

,fjez (3.26)

где f - интервал дискретизации по времени.

Уравнение 3.25 может быть записано для всех значений

частотной оси данных АЧХ. Далее, решение методом наименьших

квадратов этих уравнений (после линеаризация) позволит найти, в

основном, неизвестные коэффициенты модели.


37

3.3.1 Модальные параметры

Как только будут определены коэффициенты знаменателя r ,

полюса (poles) и модальные коэффициенты участия (modal

participation factors) будут восстановлены как собственные

значения и собственные векторы их сопровождающей матрицы

(companion matrix). Эта процедура подобная той, которая

выполняется в методе LSCE для временной области, позволяет

создавать стабилизационную диаграмму для модели увеличенного

порядка и использовать критерии устойчивости для собственных

частот, декрементов затухания и модальных коэффициентов

участия.

Хотя теоретически формы мод могут быть выведены из

коэффициентов rr , модели, мы воспользуемся другим

способом. Рассмотрим так называемую модель с вычетами в

полюсах:

,1

2*

*

URLR

j

l

j

lH

n

i i

H

ii

i

T

ii

(3.27)

где:

n – число мод;

l

i C – формы мод; * ,

T , H – соответственно

обозначают комплексно-сопряженные значения, транспозицию

матрицы и комплексно-сопряженную транспонированную

матрицу; mCT

il – коэффициенты модального участия и полюса,

которые имеют место в комплексно-сопряженных парах и которые

связаны с собственными частотами i и декрементами затухания

i следующим образом:

.1, 2*

iiiiii j (3.28)

Эта процедура подобная той, которая выполняется в методе

LSCE для временной области, позволяет создавать

стабилизационную диаграмму для увеличенной модели порядка p и

использовать критерии устойчивости для собственных частот,

декрементов затухания и модальных коэффициентов участия.


38

В уравнении 3.28 mlURLR R, соответственно нижние и

верхние остатки, моделирующие влияние внеполосных мод в

пределах рассматриваемого диапазона частот. Интерпретация

стабилизационной диаграммы приводит к ряду полюсов i и

соответствующих коэффициентов участия T

il . Так как

неизвестны только формы мод i и нижние и верхние остатки, то

они легко могут быть получены при решении уравнения 3.27, в

линейных значениях наименьших квадратов. Этот второй шаг

обычно называют «методом наименьших квадратов для частотной

области» (LSFD - least-squares frequency-domain) (см.раздел 3.2).

Этот же самый метод оценки форм мод также обычно используется

и вместе с «методом LSCE для временной области» (см. раздел

3.1.5).


39

Заключение

В пособии отражены основные этапы проведения

экспериментального модального анализа. Дано описание

параметров, которые полностью описывают модальные

характеристики объектов. Приведены зависимости,

позволяющие связывать измеренную амплитудно-частотную

характеристику объекта с его модальными параметрами. В

данном учебном пособии дано описание типов модального

анализа, а также методов оценки полученных модальных

характеристик.


Экспериментальный_модальный_анализ_[Электронный_ресурс]_...

Documents