1

นิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ( A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B )

นิยาม เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกของเซต A อย่างน้อยหน่ึงตัวไม่เป็น

สมาชิกของเซต B ( A ไม่เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B )

ใบความรู้ที่ 3.1

เรื่อง สับเซต (Subset)

ถ้า A = {1}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 4, 5, 6} และ D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} จะได้ว่า AB เพราะสมาชิกทั้งหมดของ A หรือ 1 เป็นสมาชิกของ B B D เพราะสมาชิกทั้งหมดของ B เป็นสมาชิกของ D AD เพราะสมาชิกทั้งหมดของ A เป็นสมาชิกของ D AC เพราะ 1 A แต่ 1 C BC เพราะ มีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว ซึ่ง 2 B แต่ 2 C CD เพราะ 6 C แต่ 6 D

ตัวอย่างท่ี 1

2

จากการสังเกต

ถ้า AB แล้วทุกสมาชิกของ A เป็นสมาชิกของ B

และ

ถ้า BA แล้วทุกสมาชิกของ B เป็นสมาชิกของ A เมื่อเงื่อนไขท้ังสองเป็นจริงพร้อมกัน จะได้ว่า A = B

ถ้า AB และ BA แล้ว A =B

3

ถ้า A = {a, b, c} และ B = {a, b, c, d} จะได้ AB เพราะทุกสมาชิกของ A เป็นสมาชิกของ B ถ้า C= {2, 4, 6} และ D = {6, 4, 2} จะได้ CD เพราะทุกสมาชิกของ C เป็นสมาชิกของ D และ C= D เราเรียกสับเซตแบบนี้ว่า สับเซตไม่แท้

ข้อสังเกต 1. เซตทุกเซต เป็นสับเซตของตัวเอง ( ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A A )

2. ถ้า A B และ B A แล้ว A = B 3. ถ้า A B และ A ≠ B แล้ว เรียก A ว่า สับเซตแท้ ของ B

( A B ) 4. ถ้า n(A) = n แล้ว จ านวนสับเซตทั้งหมดของเซต A = 2n เซต

และ จ านวนสับเซตแท้ท้ังหมดของเซต A = 2n – 1 เซต 5. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต และเซตว่างไม่มีสับเซตแท้

ตัวอย่างท่ี 2

4

ก าหนดให้ A = {a, b} จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต A วิธีท า สับเซตของ A ท่ีไม่มีสมาชิกเลย คือ สับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 1 ตัว ได้แก่ {a}, {b} สับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 2 ตัว ได้แก ่{a, b} ดังนั้น A มีสับเซตคือ , {a}, {b}, {a, b}

ก าหนดให้ B = {1, {2}, 3} จงหาสับเซตทั้งหมดของเซต A วิธีท า สับเซตของ A ท่ีไม่มีสมาชิกเลย คือ สับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 1 ตัว ได้แก่ {1}, {{2}}, {3} สับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 2 ตัว ได้แก ่{1, {2}} , {1, 3} , !{2}, 3} สับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 3 ตัว ได้แก ่{1, {2}, 3} ดังนั้น A มีสับเซตคือ , {1}, {{2}}, {3}, 1, {2}} , {1, 3} , !{2}, 3}, {1, {2}, 3}

เซตจ ากัดใด ๆ และมีจ านวนสมาชิก n ตัว จ านวนสับเซตทั้งหมดของเซต A จะเท่ากับ 2n เซต

ตัวอย่างท่ี3

ตัวอย่างท่ี4

5

สรุป เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ ………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ …………………………… ……………………………………………………………………………………………………….

ใบกิจกรรมที่ 3.1 เรื่อง สับเซต

ข้อที ่

เซตที่ก าหนดให ้

ความสัมพันธ์ของเซตที่ก าหนดให ้A เป็นสับเซตของ

เซต B A ไม่เป็นสับ

เซตของเซต B 1 A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, 4} 2 A = {3, 4, 5} , B = {1, 2, 3, 4} 3 A = {a, b} , B = {a, b, c, d} 4 A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4, 5,

6, 7}

5 A = {5, 10, 15, 20} , B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

6 A = {a, b, c} , B = {a, b, d, e, f} 7 A = {1, 2, 3, 4, 6} , B = {1, 2, 3, 4,

5}

8 A = { } , B = {1, 2, 3} 9 A = {a, b, c, d} , B = {a, b, c, e, f,

g}

10 A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3}

ค าช้ีแจง 1. ให้นักเรียนร่วมกันปฏิบัติกิจกรรมและตอบค าถามต่อไปนี้ 2. ให้เวลาท ากิจกรรม 5 นาที

6

สรุป ……………………………………………………………………………………………………….

ข้อที่

เซตที่ก าหนดให้

สับเซตของเซตท่ีก าหนดให้

จ านวนสับเซต ทั้งหมดของเซต

ที่ก าหนดให้ 1 A = {a} {a} , 2 = 21 2 A = {1, 2} {1}, {2}, {1, 2}, 4 = 22 3 A = {1, 2, 3}

………………………………………………………………………………………………

…………

4 A = {1, 2, 3, 4} ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………

5 A = {a, b, c} ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………

…………

6 A = {a, b} ………………………………

…………

7

แบบฝึกหัดที่ 3.1

เรื่อง สับเซต

จงหาสับเซตทั้งหมดของเซตท่ีก าหนดให้ต่อไปนี้ 1. A = { 0 } n(A) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต A มี .................... เซต

ได้แก่

..............................................................................................................................................

2. B = { 2, x } n(B) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต B มี .................... เซต ได้แก่

..............................................................................................................................................

3. C = { 1, 3, 5 } n(C) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต C มี .................... เซต ได้แก่

..............................................................................................................................................

4. D = { 2, 4, a, x } n(D) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต D มี .................... เซต ได้แก่ .............................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................

5. E = { {1} } n(E) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต E มี .................... เซต ได้แก่

..............................................................................................................................................

6. F = { 0, {5} } n(F) = ……… สับเซตทั้งหมดของเซต F มี .................... เซต ได้แก่ ...................................................................................................................................

ค าช้ีแจง 1. ให้นักเรียนร่วมกันปฏิบัติกิจกรรมและตอบค าถามต่อไปนี้ 2. ให้เวลาท ากิจกรรม 5 นาท ี

8

ตอนที่ 2 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ถูก หรือ ผิด 1. ให้ ก าหนด A = 0 , 1 , 2 , 3

1. 0 A 5. 4 A 2. 0 A 6. 1 , 2 A 3. 2 A 7. 1 , 2 ,3 A 4. 3 A 8. 0, 1 , 2 , 4 A

2.ให้ B = a , b , c 1 . a B 5 ) a , b , c B 2 . b B 6 ) a B 3 . c B 7 ) a , c B 4 . a B 8 ) b B

3. ให้ A= {1, 2, 3}, B ={ 2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4} , D = {2, 3, 4, 5} ……………1. A B ……………2. B C ……………3. B A ……………4. C B ……………5. B D ……………6. C D ……………7. A D ……………8. A C ตอนที่ 3 จงกาเครื่องหมาย หน้าข้อที่เห็นว่าถูก และกาเครื่องหมาย หน้าข้อ ที่เห็นว่าผิด …………. 2.1 ถ้า A B แล้ว B A …………..2.2 ถ้า A B และ a A แล้ว a B …………..2.3 ถ้า A B และ B = C แล้ว A C …………..2.4 ก าหนด A = {1, 2, {2, 5}} แล้ว {2, 5} A ………….2.5 ถ้า A = {1, 3} แล้ว จ านวนสับเซตของ A เท่ากับ 4 เซต …………..2.6 ถ้า A = {a, b, c} แล้ว A

9

ใบความรู้ที่ 3.2 เรื่อง เพาเวอร์เซต

นิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A หมายถึง เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสับเซตท้ังหมดของเซต A เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A)

P(A) ={ Axx } ถ้า n(A) = n แล้ว จ านวนสมาชิกของ P(A) = 2n

ก าหนดให้ C = {1, {2}, {2,3}} จงหาเพาเวอร์เซตของ C

วิธีท า C = {1, {2}, {2,3}} จ านวนสมาชิกของ C มี 3 ตัว จ านวนสับเซตท้ังหมดของ C

เท่ากับ 32 = 8 เซต คือ

สับเซตของ C ท่ีไม่มีสมาชิกเลยคือ

สับเซตของ C ท่ีมีสมาชิก 1 ตัว คือ {1}, {{2}}, {{2,3}}

สับเซตของ C ท่ีมีสมาชิก 2 ตัว คือ {1,{2}}, {1,{2,3}}, {2,{2,3}}

สับเซตของ C ท่ีมีสมาชิก 3 ตัว คือ {1, {2}, {2,3}}

ดังนั้น P(C) = { , {1}, {{2}}, {{2,3}}, {1,{2}}, {1,{2,3}}, {2,{2,3}}, {1, {2},

{2,3}} }

ตัวอย่างท่ี 1

10

ก าหนดให้ D = { ,{1}} จงหา P(D)

วิธีท า วิธีท า D = { ,{1}} จ านวนสมาชิกของ D มี 2 ตัว จ านวนสับเซตท้ังหมดของ D

เท่ากับ 22 = 4 เซต คือ

สับเซตของ D ท่ีไม่มีสมาชิกเลยคือ

สับเซตของ D ท่ีมีสมาชิก 1 ตัว คือ { }, {{1}}

สับเซตของ D ท่ีมีสมาชิก 2 ตัว คือ { ,{1}}

ดังนั้น P(D) = { , { }, {{1}}, { ,{1}}

ข้อสังเกต ก าหนดให้ A เป็นเซตใด ๆ แล้วจะได้ว่า

1. P(A)

2. A P(A)

3. P(A)

4. ถ้า A เป็นเซตว่าง P(A) = { }

ตัวอย่างท่ี2

11

ตอนที่ 1

ข้อที ่

เซตที่ก าหนดให ้

สับเซตของเซตที่

ก าหนดให้

จ านวนสับเซต ทั้งหมดของเซต

ที่ก าหนดให ้

เพาเวอร์เซตของเซตที่ก าหนดให้

1 A = {a} {a} , 2 = 21 {{a} , } 2 A = {1, 2} {1}, {2}, {1, 2}, 4 = 22 {{1}, {2}, {1, 2}, } 3 A = {1, 2, 3} 4 A = {1, 2, 3,

4}

5 A = {a, b, c} 6 A = {a, b}

สรุป เพาเวอร์เซตของเซต A คือ …………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..

ใบกิจกรรมที่ 3.2 เรื่อง เพาเวอร์เซต

ค าช้ีแจง 1. ให้นักเรียนร่วมกันปฏิบัติกิจกรรมและตอบค าถามต่อไปนี้ 2. ให้เวลาท ากิจกรรม 5 นาที

12 ตอนที่ 2 จงเขียนเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี้

1. A = { 4 } n(A) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(A) มี .................... เซต P(A) = ...........................................................................................................................

2. B = { 3, 5 } n(B) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(B) มี .................... เซต P(B) = .............................................................................................................................

.

3. C = { a, b, c } n(C) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(C) มี .................... เซต P(C) = ............................................................................................................................

4. G = { {3}, {a} } n(G) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(G) มี .................... เซต P(G) =.................................................................................................................................

5. H = { 1, {2, 3} } n(H) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(H) มี .................... เซต P(H) = ................................................................................................................................

6. M = { 0, } n(M) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(M) มี .................. เซต P(M) = ..............................................................................................................................

7. A = { x } n(A) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(A) มี .................... เซต P(A) = ....................................................................................................................... P( P(A) ) = .......................................................................................................................

8. B = n(B) = ……… จ านวนสมาชิกของ P(B) มี .................... เซต P(B) = ....................................................................................................................... P( P(B) ) = .......................................................................................................................

P( P( P(B) ) )= .......................................................................................................................

13

แบบฝึกหัดที่ 3.2 เรื่อง เพาเวอร์เซต

ตอนที่ 1 1. A = 2. B = {a} 3. { 2 , 5 } 4. D = { 1 , 3 , 5 } 5. A = {{1}} 6. A = {1,{1}} 7. A = {,{}}

ค าช้ีแจง 1. ให้นักเรียนหาเพาเวอร์เซตของแต่ละข้อต่อไปนี้ 2. ให้เวลาท ากิจกรรม 5 นาท ี

14 ตอนที ่2 จงเติมเครื่องหมาย หน้าข้อความที่เป็นจริง และเติมเครื่องหมาย หน้าข้อความที่เป็นเท็จ 1. ให้ A= {1, 2, 3}, B ={ 2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4} , D = {2, 3, 4, 5} จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ จริง หรือ เท็จ ……………1.1 A B ……………1.2 B C ……………1.3 B A ……………1.4 C B ……………1.5 B D ……………1.6 C D …………. 2. P(A) …………. 3. A P(A) …………. 4. มีเซต A ท่ีท าให้ P(A) มีจ านวนสมาชิกเป็นจ านวนคี่ …………. 5. มีเซต A ซึ่ง P(A) = …………, 6. ถ้า P(A) มีสมาชิก 256 ตัว แล้ว A มีสมาชิก 8 ตัว