5.6 　三角形的中位线

想一想：要测量池塘的宽 BC. 你知道怎样做吗 ?

C B

若 D,E 分别是 AB,AC 的中点 ,则测出 DE的长 ,就可以求出池塘的宽 BC. 你知道为什么吗 ?

E D

C B

A

在本节中 ,我们将运用平行四边形的有关知识 ,学习三角形的中位线的概念及其有关性质 .

合作学习合作学习

剪一刀 ,将一张三角形纸片剪成一张三角形和一张梯形纸片 .

(2) 如果要求剪得的两个图形拼成一个平行四边形 ,可将其中的三角形怎样的图形变换 ?

(1) 如果要求剪得的两个图形拼成一个平行四边形 ,剪痕的位置有什么要求 ?

　连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 .,在⊿ ABC 中 ,D,E 分别是 AB,AC 的中点 .DE就是⊿ ABC 的一条中位线 .

想一想：三角形的中线与中位线的区别与联系？B

A

D

C

E

合作学习合作学习

三角形的中位线与第三条这之间有什么关系？

三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边 ,, 并且并且等于第三边的一半等于第三边的一半 ..

B

A

D

C

E

三角形的中位线平行于第三边 ,并且等于第三边的一半 .

已知 : 如图　　 ,DE 是的⊿ ABC 中位线 . 求证 DE

BC.

1

2∥=

你还有什么方法吗？

E D

C B

A

　　要测量 B,C 两地的距离 ,小明想出一个方法 :在池塘外取点 A,得到线段 AB,AC, 并取 AB,AC 的中点 D,E,连结 DE. 只要测出 DE 的长 ,就可以求得 B,C 两地的距离 .你认为这个方法正确吗 ?请说明理由 .

问题解决问题解决

B

D

A

E

CF

1 、三角形的三条中位线围成一个新的三角形，它与原来的三角形中周长、面积有何关系 ?

　　 2、三角形面积为 20平方厘米，则它的三条中位线围成的三角形面积是　　　　　。　　 3、三角形周长为 10厘米，则它的三条中位线围成的三角形周长是　　　　　　。

变式一

3. 已知 : 如图 ,DE,EF 是⊿ ABC 的两条中位线 .

求证 :四边形 BFED 是平行四边形 .

D

B CF

E

A

( 第 3 题 )

变式二

4. 如图 ,DE 是⊿ ABC 的中位线 ,AF 是 BC 边上的中线 ,

DE 和 AF 交于点 O. 求证 :DE 与 AF 互相平分 .

F

ED

CB

A

O

( 第 4 题 )

变式三

分析 由 E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 各边的中点 ,联想到应用三角形的中位线定理来证明 .

已知 : 如图 5-38, 在四边形 ABCD 中 ,E,F,G,H

分别是 AB,BC,CD,DA 的中点 .

求证 : 四边形 EFGH 是平行四边形 .H

G

F

ED

CB

A

图 5-38

证明 : 连结 AC.

∵ EF 是⊿ ABC 的中位线 ,

同理 ,HG AC1

2∥=

∴EF AC ( 三角形的中位线平行于第三边 , 并且等于张三边的一半 )

1

2∥=

∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 ( 一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形 ).

∥= ∴ EF HG

5 、在四边形 ABCD 中， AB=CD ， M， N， P分别 AD ，BC ， BD 的中点。求证：∠ PNM=∠PMN

4 、 DE 是 RtΔABC 的中位线， AF是斜边 BC 上的中线，则 DE与 AF 有何数量关系？

练一练