条件概率与事件的独立性

概率复习课

例例 11..抛掷红抛掷红 ..蓝两颗骰子蓝两颗骰子 ,,记事件记事件 AA为掷得红骰子为掷得红骰子的点数为奇数点的点数为奇数点 ,,事件事件 BB为掷得蓝骰子的点数大于为掷得蓝骰子的点数大于3,3,事件事件 CC为两骰子点数之和大于为两骰子点数之和大于 8.8.

(3,6), (4,5), (4,6), (5, 4), (5,5)

(5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)C

1

( )2

P A 1( )

2P B 10 5

( )36 18

P C

1 1 1( ) ( ) ( )

2 2 4P A B P A P B

②② 　求红色骰子掷得奇数点且蓝色骰子掷得点　求红色骰子掷得奇数点且蓝色骰子掷得点数大于数大于 33 的概率的概率

①① 　分别求事件　分别求事件 A.A. 事件事件 B.B. 事件事件 CC 发生的发生的概率概率 ..

(3,6), (5,4), (5,5), (5,6)A C 4 1

( )36 9

P A C

1( | ) ( )

2P B A P B

③ ③ 求红色骰子掷得奇数点且两骰子点数之和大于求红色骰子掷得奇数点且两骰子点数之和大于 88的概率的概率 ..

1( | ) ( )

2P A B P A

④ ④ 已知红色骰子掷得奇数点时已知红色骰子掷得奇数点时 ,, 求蓝色骰子点数大于求蓝色骰子点数大于33 的概率的概率

变式变式 11.. 已知蓝色骰子点数大于已知蓝色骰子点数大于 33 时时 ,, 求红色骰子掷得求红色骰子掷得奇数点的概率奇数点的概率 ..

⑤ 已知两骰子点数之和大于 8 时 , 求红色骰子掷得奇数点的概率

变式 2. 已知红色骰子掷得奇数点时 , 求两骰子点数之和大于 8 的概率

4( ) 236( | )

10( ) 536

P A CP A C

P C

4( ) 236( | )

1( ) 92

P A CP C A

P A

⑥ 若将红色骰子连续抛掷 5 次 , 求恰有 3 次出现奇数点的概率 .

变式 3: 若将红色骰子连续抛掷 5 次 , 求至少有 3 次出现奇数点的概率 .

3 3 25 5

1 1 5(3) ( ) (1 )

2 2 16P C

3 3 2 4 4 5 55 5 5 5 5 5

1 1 1 1 1(3) (4) (5) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )

2 2 2 2 216 1

32 2

P P P P C C C

⑦ 若将两颗骰子各连续抛掷 5 次 , 求红色骰子恰有3 次出现奇数点且蓝色骰子恰有 2 次点数大于 3 的概率 .

3 3 2 2 2 35 5 5 5

1 1 1 1 25(3) (2) ( ) (1 ) ( ) (1 )

2 2 2 2 256P P P C C

变式 4: 若将两颗骰子各连续抛掷 5 次 , 求红色骰子恰有 2 次出现奇数点且蓝色骰子至多有 2 次点数大于 3 的概率 .

2 2 3 0 5 1 4 2 2 35 5 5 5

1 1 1 1 1 1 1( ) (1 ) (1 ) ( )(1 ) ( ) (1 )2 2 2 2 2 2 2

5

32

P C C C C

⑧ 假设抛掷红色骰子有两次没有掷得奇数点 , 则终止试验 , 求红色骰子恰好抛掷 5 次后被终止的概率 .

⑨ 假设抛掷红色骰子连续两次没有掷得奇数点 , 则终止试验 , 求红色骰子恰好抛掷 5 次后被终止的概率 .

1 1 34

1 1 1 4 1(1 ) ( ) (1 )

2 2 2 32 8P C

1 1 3 22 2

1 1 3( 1)( ) (1 )

2 2 32P C C

所以分布列为 x 2 3 4 5

P

⑩ 假设抛掷红色骰子连续两次没有掷得奇数点 ,则终止抛掷 , 或者若抛掷 5 次后无论是否连续两次掷得奇数点都终止试验 . 求抛掷次数 X 的分布列。

21 1( 2) (1 )

2 4P X 21 1 1

( 3) ( )(1 )2 2 8

P X

1 22

1 1 1 1( 4) ( )( )(1 )

2 2 2 8P X C

1 1 1 1( 5) 1

4 8 8 2P X

设抛掷次数为 X, 则 X=2,3,4 ，5

1

4

1

8

1

8

1

2

例 2: 在 2004 年雅典奥运会中 , 中国女排与俄罗斯女排以 5 局 3 胜制进行决赛 . 在过去中俄女排比赛中 , 中国女排每一局赢的概率为 0.6, 决赛时俄罗斯女排先胜第一局 .. 求 :① 中国女排在这种情况下取胜的概率 . ② 设比赛局数为 X, 求 X 的分布列 .解：①若比赛 4 局，中国队取胜的概率为：

3(0.6) 0.216 若比赛 5局，中国队取胜的概率为：

2 23 (0.6) (0.4)(0.6) 0.2592C

所以中国队取胜的概率为： 0.216+0.2592=0.4752

1 14 41 17 7

16( )

49

C CP B

C C

练习 1: 已知袋中有大小相同的 7个球 ,其中 4个红球 ,3 个黑球 .① 从中任取 1 球 , 求取到红球的概率 .

② 从中不放回的依次取出 2 个小球 , 求都是红球的概率

③ 从中有放回的依次取出 2 个小球 , 求都是红球的概率 .

4( )

7P A 解：设取得红球记为事件 A, 则

1 14 31 17 6

2( )

7

C CP B

C C 设都是红球记为事件 B ，

则

已知袋中有大小相同的 7个球 ,其中 4个红球 ,3个黑球 .④ 从中不放回的依次取出 2 个小球 , 求已知第一次取到红球时 , 第二次又取到红球的概率 . 记第一次取到红球为事件 A ，第二次取到红球为事件B

⑤ 从中任取 2 个小球 , 求已知有一个为红球时 , 另一个也为红球的概率 .记有一个红球为事件 A ，另一个也为红球为事件 B

( ) 1( | )

( ) 2

P A BP B A

P A

24

2 27 3

( ) 1( | )

( ) 3

CP A BP B A

P A C C

已知袋中有大小相同的 7个球 ,其中 4个红球 ,3个黑球 .⑥ 从中有放回的依次取出 3 个小球 , 求恰有 2 次取到红球的概率 .

⑦ 从中有放回的每次取出 1 个小球 , 有 2 次取到红球即停止 , 求恰好取 4 次停止的概率

⑧ 从中有放回的每次取出 1 个小球 , 有 2 次取到红球即停止 , 或取 4 次后无论是否合乎要求 , 试验均结束 ,求取球次数的分布列 .

2 23 3

4 3 144(2) ( ) ( )

7 7 343P C

1 23

4 3 4 432( )( ) ( )7 7 7 2401

P C

解 : 设取球次数为 X, 则 X=2,3,423 16

( 2) (1 )7 49

P X

12

4 3 4 96( 3) ( )( )( )

7 7 7 343P X C

1 2 33

4 3 3 135( 4) ( )( ) ( )

7 7 7 343P X C

所以分布列为

X 2 3 4

P 16/49 96/343 135/343

练习 2: 冰箱里放有可乐和雪碧两种饮料各 5 瓶 , 每次饮用时从中任意取 1 瓶 , 且取用两种饮料的概率相等 . 求 : ① 可乐饮用完毕而雪碧还剩下 3 瓶的概率 . ② 饮用可乐的瓶数比饮用雪碧的瓶数至少多 4 瓶的概率 .