数学史的教育功能

四川师范大学 张红

数学史的教育功能 数学是一门重要的科学，是学校里的重要课程。数

学这门科学有悠久的历史，发展过程充满了人类的创造和理性智慧，积累了这门学科富有魅力的题材。

英国科学史家丹皮尔曾经说过 :“ 再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了 .

如 : 棋盘上的学问，高斯的快速求和的传说。

数学史的教育功能

数学史研究数学概念 , 数学方法数学思想的起源与发展 , 及其与社会政治 , 经济和一般文化的联系。英国科学史家丹皮尔曾经说过：“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了。”

数学史的教育功能

1. 贯通数学历史，把握数学发展的脉络，加深对数学概念、方法、思想的理解。

例如：设 G 是一个非空集合，如果在 G上定义了一个代数运算，称为乘法，如果满足如下条件， G 称为一个群。

1. 封闭性 2. 结合律 3. 存在单位元 4. 存在逆元

2. 整合数学学科，理清数学学科关系，体会数学创造过程。

3. 把学生从课内导向课外，形成对文化的历史认同感。

4. 传承数学史的文化，增强学习数学的动力。

国外研究现状：

ICMI: 国际数学教学委员会： 1908 年 HPM: 数学史与数学教学研究组织 1976 年 PME: 数学教育心理学组织， 1976 年 IOWME: 妇女与数学教育组织， 1984 年 WFNMC: 数学竞赛世界联盟， 1994 年 ICTMA: 数学建模与应用组织， 2003 年

HPM 历届会议的举办地点

1984 年，阿德莱德，澳大利亚 1988 年，弗洛伦莎，意大利 1992 年，多伦多，加拿大 1996 年，葡萄牙 2000 年，台北，台湾 2004 年 ，瑞典。涉及数学史与数学，数学与

艺术，数学与文学，数学与音乐等。 2008 年，墨西哥。

国内研究现状分析

数学史的研究，在一批数学家特别是在吴文俊院士、王元院士、张景中院士、姜伯驹院士的推动下，达到了前所未有的高度。

1. 近年出版《中国数学史》大系。 2. 数学史课程在大学高中数学课程标准数学史

内容。 4.2005 年 5 月西安首次数学史与数学教育会议。

数学史与数学教育研究扫描

王元——华罗庚 张景中——院士数学讲座专集 张顺燕，数学的美与理，数学的思想、

方法和应用，数学的源与流。汪晓勤，中学数学中的数学史刘洁民，数学史与数学教育

四川师大：

1. 《白话九章算术》徐品方，成都时代出版社 2 《女数学家传奇》，徐品方，科学出版社 3. 《数学符号史》徐品方，张红，科学出版社 4. 《中学数学简史》，徐品方，张红，宁锐（拟出，出版社待定）

高中数学课程标准数学史内容

直接选题：（ 1）早期算术与几何 -计数与测量（ 2）古希腊数学（ 3）中国古代数学瑰宝（ 4）平面解析几何的产生 - 数与形的

结合（ 5）微积分的产生

高中数学课程标准数学史内容

（ 6）欧拉与高斯（ 7）伽罗华与近世代数的产生（ 8）康托的集合论（ 9）随机思想的发展（ 10）算法思想的历程（ 11）中国现代数学的发展

高中数学课程标准数学史内容

数学文化内容与各模块内容的有机结合，其中有 9 个直接与数学史有关。

（ 1）数的产生与发展（ 2）欧几里得《几何原本》与公理化思想 （ 3）平面解析几何的产生与数形结合的思想 （ 4）微积分与极限思想 （ 5）非欧几何与相对论问题

高中数学课程标准数学史内容

数学文化内容与各模块内容的有机结合，其中有 9 个直接与数学史有关 .

(6)拓扑学的产生 （ 7）二进制与计算机 （ 8）黄金分割引出的数学问题 （ 9）无限与悖论

初中新课程中的数学史

教材出现了关于代数 ,几何 , 数论 , 分析 , 概率分支的数学史事和传说 . 棋盘上的学问，高斯快速求和。

教材内容也和数学史结合起来 .

如 :负数的历史 ,无理数的发现 ,寻找圆周率的近似值 , 代数的由来 , 方程的历史 ,勾股定理 ,尺规作图 ,欧式几何的来历 .

还有 ,计算器的分类 ,计算机的发展 , 功能 .

数学史的意义 数学是一门历史性或者说累积性很强的学科 .

( 如数的演进 , 非欧几何的产生 ,抽象代数的出现 ). 天文学的“地心说” ,物理学的“以太说” ,

化学的“燃素说” . 数学包含并且正在继续生长出越来越多的分支 . 数学史可以看到数学的发展和数学家创造的艰难和喜悦 .

所以 ,不了解数学史就不可能全面了解数学科学 .

数学史的意义

而且 ,不了解数学史 ,就不可能全面了解整个人类文明史 .

数学是文化 . 其文化特点是 : 数学以抽象的形式 ,追求高度精确 ,可靠的知识 .

数学追求一般性模式特别是一般性算法 .

数学的创造具有美的特征 .

数学史的分期

1. 数学的起源与早期发展 (公元 6 世纪前 )

2.初等数学时期 (公元前 6 世纪 -16 世纪 )

(1)古希腊数学 (公元 6 世纪 -6 世纪 )

(2) 中世纪东方数学 (3 世纪 -15 世纪 )

(3)欧洲文艺复兴时期 (15 世纪 -16 世纪 )

3. 近代数学时期 (17-18 世纪 )

4. 现代数学时期 (1820- 现在 )

数学的起源与早期发展

数概念的形成 :30万年以前 计数 :手指 -石子 - 结绳 -刻痕 早期记数系统 :10进制 (埃及 , 中国 ,希腊 ,印度 )60进制 (巴比伦 ),20进制 (玛雅 )

几何的实践来源 :

埃及几何 -测地 , 印度几何 -宗教 中国几何 -天文 , 希腊几何 - 哲学

河谷文明

埃及 ,美索不达米亚 , 中国 ,印度地域的文明 -河谷文明 .

尼罗河 ,底格里斯河与幼发拉底河 ,黄河与长江 ,印度河与恒河 .

埃及数学来源于两部纸草书 - 莱茵德纸草书和莫斯科纸草书 . 特点 :10进制 ,无位值概念

美索不达米亚数学来源于泥版文书 . 特点 :60进制 ,引进位值概念 .( 同一个记号 ,根据它在数字表示中的相对位置而赋予不同的值 .)

初等数学时期 -古希腊数学

1.论证数学的发端 : 代表人物 :泰勒斯 (测量金字塔的塔高 ,相似形 ,全等形 ),

毕达哥拉斯 : a.<原本 > 的前两卷的材料 b.正多面体作图 c.黄金分割 d.万物皆数 ,可公度量 ,无理数的发现 -第一次

数学危机

初等数学时期 -古希腊数学2.论证数学的发展 (雅典时期的希腊数学 ) 特点 : 学派林立 (伊利亚学派 ,诡辩学派 , 柏拉图学派 , 亚里斯多德学派 ) 三大几何问题 (尺规作图问题 ): a. 化圆为方 b.倍立方体 c.三等分角

1837 年 , 法国数学家旺泽尔在代数方程论基础上证明了倍立方体和三等分任意角不可能只用尺规作图 .1882 年 , 德国数学家林德曼证明了圆周率的超越性 , 从而化圆为方不可能 .任何有理系数代数方程的任何一个根叫做代数数 ,否则叫做超越数 .

初等数学时期 -古希腊数学

亚里斯多德学派指出 :需要有未加定义的名词 - 原始概念 ( 如 : 点 ,线 ,面 , 体 ).定义了公理 ,公设 , 创立了独立的逻辑学 ,其中的基本逻辑规律 : 矛盾律和排中律 ,成为数学中间接证明的核心 . 亚里斯多德的形式逻辑为欧几里德演绎几何体系的形成奠定了方法论基础 .

初等数学时期 -古希腊数学

3.希腊数学的黄金时代 代表人物 :欧几里德 , 阿基米德 , 阿波罗尼奥斯 .

欧几里德 <原本 >,共 13卷 , 前 6卷由利马窦和徐光启合译 .后 6卷由李善兰译 . 其中 , 有5 条公理 ,5 条公设 ,119 个定义和 465 个命题 .构成了历史上第一个数学公理体系 .公理体系的要求 :独立性 ,相容性 ,完备性 .

<原本 > 与希尔伯特的 <几何基础 >. 欧式第五公设：

初等数学时期 -古希腊数学

独立性：每一公理不能由其它公理推出。相容性：公里系统内不存在矛盾。完备性：每一命题在公里系统内必可判定。 第五公设的两个等价命题：1. 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。

2.三角形的内角和为两直角。

初等数学时期 -古希腊数学

3. 希腊数学的黄金时代 : 阿基米德 :公元前两世纪 , 用“穷竭

法”计算了圆周率的近似值 22/7(祖冲之叫约率 )

阿波罗尼奥斯创立了相当完美的圆锥曲线理论 .之前 ,希腊人用三种不同的圆锥面导出圆锥曲线 , 阿氏从对顶锥得到所有圆锥曲线 ,并命名椭圆 ,双曲线 ,抛物线 . 是希腊演绎几何的最高成就 .

初等数学时期 -古希腊数学

4.希腊数学的后期 :丢番图的 < 算术 >:将一个已知的平方数分为两个平方

数 .即 费马对此问题的研究引出了“费马大定理” :

(n>2).无非零整数解 .1994 年 ,由维尔斯证明 .

“坐地日行八万里” .古希腊人用“两条平行线被第三条直线所截 , 内错角相等”算出地球周长约为 40000公里 .

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n n nz y x

三次发展高潮 :两汉时期 ,魏晋南北朝时期 ,宋元时期 . 两汉时期 :<周髀算经 >是中国古代数学中最早的一部 .最为突出的是勾股算法 ,周朝数学家商高所说 :勾三 ,股四 ,弦五 .寻找勾股数导致了 1637 年 ,费马提出费马大定理。勾股定理称为毕达哥拉斯定理 .三国时赵爽用出入相补原理 (面积拼补法 )证明了勾股定理 . 出入相补原理 : 一个平面几何图形被分割成若干部分后 ,面积的总和保持不变 .注意 :不是任意两个体积相等的立体图形都可以拼补和剖分 .1900 年德恩证明了存在等底等高却不剖分相等甚至也不拼补相等的四面体 .(希尔伯特 23 个问题中的第三个问题 )

中世纪的中国数学

两汉时期的中国数学

<九章算术 > 是中国古典数学中最重要的著作 .全书共 246 个问题 , 分成九章 ,依次为 : 方田 ,粟米 ,衰分 ,少广 ,商功 ,均输 ,盈不足 , 方程 ,勾股 . 涉及算术 , 代数 ,几何方面 .

在该书中 ,明确提出的 :“正负术”（正，负数的加减运算法则）是世界上至今发现的最早的最详细的关于负数的记载 . 对负数的认识是人类数系扩充的重要步骤 .7 世纪印度使用负数 ,欧洲最早承认负数的是法国数学家笛卡儿 .

魏晋南北朝时期的中国数学1.刘徽的成就 (公元三世纪 ) 徽率 :157/50 体积理论 :计算体积 ( 多面体和球 )公式时使用了两种无限小方法 :极限方法和不可分量方法 .

2.祖冲之的成就 :(公元五世纪 ) 圆周率 :3.1415926(肭数 )< <3.1415927(盈

数 ) 22/7(约率 ),355/113(密率 ,祖率 ),16 世纪欧洲人才算出密率 ,祖冲之领先欧洲 1000 年 .

球的体积公式 ,依据出入相补原理和祖氏原理证明。

魏晋南北朝时期的中国数学

3.< 算经十书 >

<孙子算经 >(4 世纪 ) 中的“鸡兔同笼”问题 .

35头 ,94 足 ,鸡兔各几何 ?

< 张邱建算经 >(5 世纪 ) 中的“百鸡问题” :

鸡翁一 ,直钱五 .鸡母一 ,直钱三 .

鸡雏三 ,直钱一 .百钱买百鸡 ,鸡翁 ,母 ,雏各几何 .“百鸡问题”是世界著名的不定方程问题 ,13 世纪意大利 ,15 世纪阿拉伯数学中有记载 .

宋元时期的中国数学

宋元时期是中国古代最高成就时期 . 四大家 :杨辉 ,秦九韶 ,李冶 ,朱世杰 杨辉三角 ,又叫贾宪三角 , 西方叫帕斯卡三角 .

秦九韶的求解一次同余方程组的方法—大衍总数术。

宋元时期的中国数学

方程小史 : 古埃及在纸草书上写下了含有未知数的

问题 12 世纪 ,李冶用“天元术”解题 , 14 世纪 , 元朝数学家朱世杰用“四元

术”解题 . “天元术”和“四元术”是半符号化

代数的尝试 .

中国数学的半符号化的尝试

大衍总数术与《孙子算经》孙子问题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”

N 2(mod3 ） 3 （ mod5 ）2 （ mod7）答案是： N ＝ 70*2+21*3+15*2-

2*105 ＝ 23 ，被民间称为“韩信点兵”，编有“孙子歌” :

三人同行七十稀，五树梅花二十一枝， 七子团员月正半，除百零五便得知。

印度与阿拉伯数学

1.印度数学 :0 是印度数学对世界文明的贡献 .印度人不仅把 0看作计数法中的空位 ,而且也把0 看为可实行运算的一个独立的数 .

2. 阿拉伯数学 : 代数学名称归功于 9 世纪阿拉伯数学家花拉子米 .“ 用字母表示数”是代数的基础 ,符号代数在 16 世纪的欧洲由韦达和笛卡儿完成 .初等代数主要以引进符号和未知数为特征 .它的基本内容是解方程 .19 世纪代数学的研究是代数结构 .

近代数学时期 - 分析

1. 文艺复兴时期的数学 :兔子问题与斐波那锲数列 :1,1,2,3,5,8,11,13,21…

一次 ,二次 ,三次 ,四次方程的根式解 . 代数基本定理 :n次方程必有 n 个根 . 2. 解析几何的诞生 :笛卡儿和费马的贡献3.微积分的诞生 :牛顿和莱布尼兹的贡献4.第二次数学危机和分析的严格化（魏尔斯特拉

斯，戴德金分割，康托的基本序列，自然数的基数，实数－连续统的基数）

近代数学时期 - 分析

5.欧拉对微积分的贡献 ,欧拉是拓扑学的创始人 .欧拉定理 : 对凸多面体 ,f+v=e+2

6.微积分对数论的影响 :

1640 年 ,费马验证了当 n=0,1,2,3,4,时 ,

是质数。叫做费马数。费马提出猜想 :费马数是质数。但当 n ＝ 5时，费马数 =641×6700417,

122 n

近代数学时期 -几何

非欧几何的产生 :

欧式几何的第五公设的等价命题 :

1. 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 .

2.三角形的内角和为两直角 .

近代数学时期 -几何

罗巴切夫斯基几何第五公设变为 :1. 过直线外一点没有直线与已知直线平行 .2.三角形的内角和小于两直角 . 黎曼几何第五公设变为 :1. 过直线外一点有两条以上直线与已知直线平行 .2.三角形的内角和大于两直角 .

近代数学时期 - 代数

对根式解的研究导致群概念的产生 -抽象代数 .

次数大于或等于 5 的方程无根式解 -拉格朗日提出 , 阿贝尔证明 .

伽罗华找到了有根式解的充分必要条件 . 在这一过程中建立了群概念 .

现代数学时期

1. 数学基础的三大学派 : 逻辑主义学派 ,直觉主义学派 , 形式主义学派（与布尔巴基学派的结构统一数学的比较） .

2. 集合论悖论 (罗素悖论 ) 与 Z － F 系统。3. 概率和统计的产生 .10 个老年人的健康状况能否

代表所有老年人的健康状况 .样本的大小 . 1936 年 ,美 < 文学文摘 >根据 1000万户电话用户和该杂志定户 ,断言罗斯福 :兰登 =370:161, 结果是…… ,抽样调查关注样本的代表性 .

现代数学时期

4计算器的分类和计算机的发展 :

简单计算器 , 科学计算器和图形计算器 .

用 Excel可以很方便地制作统计图 .,计算数据的平均数 ,众位数 ,众数 ,还可求出方差和标准差 .

第一台能作加减运算的机械式计算机是由帕斯卡 1642 年发明的 .

第一台能进行加减乘除四则运算的计算机是由莱布尼兹 1674 年发明的 .

现代数学时期

巴贝奇使四则计算机带程序功能 , 是向现代计算机过渡的关键 .

20 世纪 40 年代 , 冯 .诺依曼革新程序存储概念 ,即用记忆数据的同一记忆装置存储执行运算的命令 , 是使全部运算成为真正的自动化过程 .

机器证明的骄傲 :四色问题的解决 .

现代数学时期

歌德尔不完全性定理及意义：1.任一足以包含自然数算术的形式系统，

如果是相容的 ，则它一定存在有不可判定命题。

2. 如果一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。

谢谢！