ฟั�งก์�ชั�นและก์ราฟั ตั�วอย่�าง ตัารางแสดงอ�ณหภู�มิ�ในฤด�

ร�อนระหว�างว�นที่!" 19-29 มิ�ถุ�นาย่น 1990

วั�นที่�� 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Temp(F)

109 113 114 113 113 113 120 122 118 228 108

อ�ณหภู�มิ� H ขึ้%&นก์�บว�นที่!" t : H=f(t)

ตั�วแปรอ�สระ หร)อ ตั�วแปรตั�น คื)อ ว�นตั�วแปรตัามิ หร)อ ผลล�พธ์� คื)อ อ�ณหภู�มิ�

เซตัขึ้องตั�วแปรอ�สระ เราเร!ย่ก์ว�า โดเมิน (domain)เซตัขึ้องตั�วแปรตัามิ เราเร!ย่ก์ว�า เรนจ์� (range)

ในที่!"น!& }29,28,27,26,25,24,23,22,21,20,19{fD

}108,118,122,120,114,113,109{fR

นอก์จ์าก์น!& ฟั�งก์�ชั�น H=f(t) สามิารถุเขึ้!ย่นอย่��ในร�ปขึ้องเซตัที่!"มิ!สมิาชั�ก์เป2นคื��ล3าด�บได�ด�งตั�อไปน!&

)}108,29(),...,114,21(),113,20(),109,19{(

วั�นที่�� 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Temp(F)

109 113 114 113 113 113 120 122 118 228 108

การนาข้�อมู�ลมูาเข้�ยนกราฟ

บที่น�ยามู ฟั�งก์�ชั�น คื)อ คืวามิส�มิพ�นธ์�ขึ้องเซตั 2 เซตั ภูาย่ใตั�หล�ก์เก์ณฑ์�ที่!"แสดงคืวามิส�มิพ�นธ์�ระหว�าง 2 เซตัน�&น โดย่ที่!" แตั�ละสมิาชั�ก์ในเซตัที่!"ก์3าหนดให�(โดเมิน ) ที่3าให�ได�สมิาชั�ก์ในอ!ก์เซตัหน%"งเพ!ย่งตั�วเด!ย่วเที่�าน�&น (เร!ย่ก์เซตัน!&ว�า เรนจ์�) x

y

x

y

ไมิ�เป2นฟั�งก์�ชั�น เพราะ A ถุ�ก์ส�งไปย่�งสมิาชั�ก์ 2 ตั�ว (Not well-defined)

ตั�วอย่�าง ก์3าหนดฟั�งก์�ชั�น f และ g ด�งน!&x

xgxxf1

)(,)( 2

),0[

f

f

R

RD

}0{

}0{

RR

RD

f

g

2)( xxf x

xg1

)(

Discussion

จ์งหาโดเมินและเรนจ์�ขึ้อง

1

1)(

x

xf

ตั�วัอย�าง ในก์ารศึ%ก์ษาแบคืที่!เร!ย่ชัน�ดหน%"ง พบว�า แตั�ละเซลล�จ์ะแบ�งตั�วเป2น 2 เซลล�ในที่�ก์ๆ 2o นาที่! ก์3าหนดให�เร�"มิตั�นก์ารที่ดลอง มิ!แบคืที่!เร!ย่อย่�� 1 เซลล� จ์งหาจ์3านวนแบคืที่!เร!ย่ เมิ)"อเวลาผ�านไป t นาที่!

t(นาที่�) จำานวันเซลล�0 1

20 2

40 4

60 8

80 16

t ???

),1[),,0[ ff RD

ตั�วัอย�าง ในก์ารศึ%ก์ษาแบคืที่!เร!ย่ชัน�ดหน%"ง พบว�า แตั�ละเซลล�จ์ะแบ�งตั�วเป2น 2 เซลล�ในที่�ก์ๆ 2o นาที่! ก์3าหนดให�เร�"มิตั�นก์ารที่ดลอง มิ!แบคืที่!เร!ย่อย่�� 1 เซลล� จ์งหาจ์3านวนแบคืที่!เร!ย่ เมิ)"อเวลาผ�านไป t นาที่!

t(นาที่�) จำานวันเซลล�0 1

20 =1x20 2

40 = 2x20 4 = 22

60 = 3x20 8= 23

80 = 4x20 16 = 24

t = mx20 2m =

202t

ร�ปแบบก์ารน3าเสนอฟั�งก์�ชั�น

1 .ตัารางขึ้�อมิ�ล2. ขึ้�อคืวามิ (เชั�นโจ์ที่ย่�

เร)"องแบคืที่!เร!ย่)3. ก์ราฟั4. ส�ตัร 5. เซตัขึ้องคื��อ�นด�บ

ฟั�งก์�ชั�นและก์ราฟัที่!"คืวรร� �จ์�ก์

ฟั�งก์�ชั�นพ!ชัคืณ�ตั (algebraicfunction)

• ฟั�งก์�ชั�นพห�นามิ• ฟั�งก์�ชั�นตัรรก์ย่ะ• ฟั�งก์�ชั�นพ!ชัคืณ�ตัอ)"นๆ

ฟั�งก์�ชั�นพห�นามิ

,2,1,0,,,,

)(

10

011

1

nRaaa

axaxaxaxf

n

nn

nn

เป2นจ์3านวนเตั9มิบวก์หร)อ 0

ระดั�บข้��นข้องพหุ!นามู คื)อ อ�นด�บส�งส�ดขึ้อง x ที่!"ปราก์ฎในพห�นามิ น�"นคื)อ f(x) เป2นพห�นามิระด�บขึ้�&น n เมิ)"อ n ≠ 0

12)(

6)( 5

xxg

xxxf

23)(

1)( 4

xxg

xxf ระด�บขึ้�&น = 4

ระด�บขึ้�&น = 1

1. ฟั�งก์�ชั�นคืงตั�ว : 0)( axf

a0

2. ฟั�งก์�ชั�นเชั�งเส�น: 01)( axaxf

y = x+2 การร�างกราฟข้องสมูการเส�นตัรง

ที่าไดั�โดัยหุาจำ!ดับนเส�นตัรงน��น 2 จำ!ดั แล�วัลากเส�นตัรงเชื่(�อมูที่��ง 2 จำ!ดั

2. ฟั�งก์�ชั�นก์3าล�งสอง:

012

2)( axaxaxf y = Ax2 + Bx + C, A < 0

y = Ax2 + Bx + C, A > 0

ก์ราฟัขึ้องฟั�งก์�ชั�นก์3าล�งสองด�งที่!"ก์ล�าวมิาน!&มิ!ชั)"อ ว�า พาราโบลา

cbxaxf 2)()( cbxaxf 2)()(

a > 0

a > 0พาราโบลาหงาย่

จ์�ดตั3"าส�ดอย่��ที่!" (b,c)พาราโบลาคืว3"าจ์�ดส�งส�ดอย่��ที่!" (b,c)

Discussion

จ์งหาวาดก์ราฟัขึ้อง

242)( 2 xxxf

พ�จ์ารณาส�ตัว�เซลล�เด!ย่ว ซ%"งมิ!ร�ปร�างเป2นที่รงก์ลมิ คืวามิส�มิพ�นธ์�ระหว�างพ)&นที่!"ผ�ว S ก์�บร�ศึมิ! r ขึ้องเซลล�เป2นฟั�งก์�ชั�นด�งน!&

24 rS น�"นคื)อ S เป2นฟั�งก์�ชั�นขึ้%&นก์�บตั�วแปร r

],0[);,0[ ss RD

พ�จ์ารณาก์ารไหลขึ้องก์ระแสเล)อดในหลอดเล)อด สมิมิตั�ว�า หลอดเล)อดมิ!ล�ก์ษณะเป2นที่รงก์ระบอก์ที่!"มิ!พ)&นที่!"ภูาคืตั�ดขึ้วางเป2นร�ปที่รงก์ลมิขึ้นาดเที่�าก์�นตัลอด และให�ก์ารไหลขึ้องก์ระแสเล)อดมิ!ที่�ศึที่างขึ้นานก์�บหลอดเล)อด

ให� R เป2นร�ศึมิ!ขึ้องหลอดเล)อดให� r เป2นระย่ะห�างจ์าก์แก์นก์ลางไปย่�งจ์�ดใดๆ ในหลอดเล)อด (cm.)

จ์ะได�ว�า คืวามิเร9ว v ขึ้องก์ระแสเล)อดที่!"ผ�านจ์�ดน�&นคื)อ

)( 22 rRKv cm/s.

ถุ�าให� K = 1100, R=0.2 cm.

)2.0(1100 22 rv

R=0.2cm.

)2.0(1100 22 rv

]44,0[];2.0,0[ vv RD

ก์ราฟั ??? วาดได�ไหมิคืะ

คืวามิเร9วตั3"าส�ด = 0 cm/sเก์�ดขึ้%&นที่!"ผน�งขึ้องหลอดเล)อด

คืวามิเร9วส�งส�ด = 44 cm/sเก์�ดขึ้%&นที่!"แก์นก์ลางขึ้องหลอดเล)อด

ฟั�งก์�ชั�นตัรรก์ย่ะ : )(

)()(

xq

xpxf

p(x), q(x) เป2นพห�นามิ และ q(x) ≠ 0

x

xxf

1)(

}1|{},0|{ yyRxxD ff

Graph ??? เราจ์ะมิาวาดก์�นในส�วนที่�าย่ขึ้องบที่น!&

ฟั�งก์�ชั�นพ!ชัคืณ�ตัร�ปแบบอ)"นๆ คื)อ ฟั�งก์�ชั�นพ!ชัคืณ�ตัที่!"ไมิ�ใชั�ฟั�งก์�ชั�นพห�นามิและฟั�งก์�ชั�นตัรรก์ย่ะ แตั�เป2นฟั�งก์�ชั�นที่!"เก์�ดจ์าก์ก์าร บวก์ ลบ คื�ณ หาร ย่ก์ก์3าล�ง และ ถุอดราก์

2

2)(

3)(

x

xxh

xxf

น�ก์สร!ระว�ที่ย่าพบว�า พ)&นที่!"ผ�ว S ขึ้องร�างก์าย่ส�ตัว� (m2 ) มิ!คืวามิส�มิพ�นธ์�ก์�บน3&าหน�ก์ W ขึ้องส�ตัว�น� &น (kg. ) ด�งสมิก์าร

3

2

KWS เมิ)"อ K เป2นคื�าคืงที่!" ซ%"งขึ้%&นอย่��ก์�บชัน�ดขึ้องส�ตัว�ถุ�า K = 0.1 จ์ะได�

3

2

1.0 WS

}0|{},0|{ ssRwwD ss

ฟั�งก์�ชั�นแย่ก์น�ย่ามิ (Step function)ฟ)งก�ชื่�นแยกน�ยามู คื)อ

ฟั�งก์�ชั�นที่!"มิ!ก์ารก์3าหนดคื�าตั�างก์�นในแตั�ละชั�วงโดเมิน

1,13

1,1

1)(

2 xx

xxxf

1,13

1,1

1)(

2 xx

xxxf

1,13

1,1

1)(

2 xx

xxxf

1,

1,1

)(2 xx

xxxf

Graph ??

ฟั�งก์�ชั�นคื�าส�มิบ�รณ�

ฟั�งก์�ชั�นที่!"อย่��ในร�ป f(x) = |x|

xxx

xxx

||,0

||,0

Discussion

จ์งวาดก์ราฟัขึ้องฟั�งก์�ชั�น f(x) = 2|x|

จ์งวาดก์ราฟัขึ้องฟั�งก์�ชั�น f(x) = x+2|x|

ฟั�งก์�ชั�นขึ้�&นบ�นได (Step function)ฟั�งก์�ชั�นที่!"มิ!คื�าคืงตั�วเป2น

ชั�วงๆ เชั�น 33,)( xxxf

เมิ)"อ [x] = จ์3านวนเตั9มิที่!"ใหญ่�ที่!"ส�ดที่!"น�อย่ก์ว�าหร)อเที่�าก์�บ x

1 2 30-1[-0.4]=-1

[2.2]=2

33,)( xxxf

-3 -2 -1 0 1 2 3

ฟั�งก์�ชั�นเลขึ้ชั!&ก์3าล�ง(Exponential

function)ฟั�งก์�ชั�นที่!"อย่��ในร�ป f(x) = ax เมิ)"อ a >0

x

xx

xxx

xyyx

yxy

x

yxyx

mnn mn

m

xx

b

a

b

a

baab

aa

aa

a

aaa

aaa

aa

a

.8

).(7

).(6

.5

.4

)(.3

1.2

1.1 0

กราฟข้องฟ)งก�ชื่�นชื่��กาล�ง

1, aay x10, aay x

ฟั�งก์�ชั�นลอก์าร�ที่%มิ(Logarithm

function)ฟั�งก์�ชั�นที่!"อย่��ฟั�งก์�ชั�นลอก์าร�ที่%มิคื)อฟั�งก์�ชั�นผก์ผ�นขึ้องฟั�งก์�ชั�นเอก์ซ�โพเนนเชั!ย่ลโดย่เป2นฟั�งก์�ชั�นจ์าก์ R+ ไป R

ya axxy log (a>0)

เราเร!ย่ก์ฟั�งก์�ชั�น y = logax ว�าฟั�งก์�ชั�นลอก์าร�ที่%มิฐาน aถุ�า a = e ≈ 2.8 เราเร!ย่ก์ y = logex ว�าลอการ�ที่*มูธรรมูชื่าตั�

Domain = ?

Range = ?

b

xx

xrx

yxy

x

yxxy

a

a

ab

ar

a

aaa

aaa

a

a

log

loglog.6

loglog.5

logloglog.4

loglog)(log.3

1log.2

01log.1

คื�ณสมิบ�ตั�ฟั�งก์�ชั�นลอก์าร�ที่%มิ

ก์ราฟัขึ้องฟั�งก์�ชั�นชั!&ก์3าล�ง VS ก์ราฟัขึ้องฟั�งก์�ชั�นลอก์าร�ที่%มิ

พ!ชัคืณ�ตัขึ้องฟั�งก์�ชั�น

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x)≠0

gf DDDomain

}0)(|{ xgxDDDomain gf

Discussion

ตั�วัอย�าง จ์งหาโดเมินขึ้องฟั�งก์�ชั�น

2)( xxf

1

1)(

2 x

xf

1)( 2 xxf

21

1)(

xxf

1.3

1

1.2

1

1.1

2

2

2

x

x

x

ก์ราฟัขึ้องฟั�งก์�ชั�นใหมิ�จ์าก์ฟั�งก์�ชั�นเด�มิ

G(x)= x2 +2= F(x)+2F(x)= x2

H(x) = x2-2 = F(x)-2

การเล(�อนตัามูแกน y

ก์3าหนดก์ราฟั y

= f(x)

จ์งวาดก์ราฟั y =

f(x)±c,c>0y=f(x)+c

เล(�อนกราฟข้องy = f(x) ข้*�น

ข้�างบน c หุน�วัย

y=f(x)-c เล)"อนก์ราฟัขึ้อง

y = f(x) ลง ขึ้�างล�าง c

หน�วย่

F(x)

F(x)+1

F(x)F(x)-1

ก์ราฟัขึ้องฟั�งก์�ชั�นใหมิ�จ์าก์ฟั�งก์�ชั�นเด�มิ

การเล(�อนตัามูแกน x

F(x) = x2

G(x) = (x-1)2H(x) = (x+1)2

ก์3าหนดก์ราฟั y

= f(x)

จ์งวาดก์ราฟั y =

f(x±c),c>0y=f(x-c)

เล(�อนกราฟข้องy = f(x) ไป

ที่างข้วัา c หุน�วัย

y=f(x+c) เล)"อนก์ราฟัขึ้อง

y = f(x) ไป ที่างซ�าย่ c

หน�วย่

F(x)

F(x-1)

F(x)

F(x+1)

Discussion

ก์3าหนดก์ราฟัขึ้องฟั�งก์�ชั�น y=f(x) ด�งร�ป

จ์งวาดก์ราฟัขึ้องฟั�งก์�ชั�น y=f(x+2), y= f(x-2), y=f(x)+2, y= f(x)-2

1-2

2