Тема

Равнобедренный треугольник

Каким наименьшим числом можно заменить часть «много» в слове «многоугольник»?

Ты на меня, ты на него, на всех нас посмотри,

У нас всего, у нас всего, у нас всего по три.

Три стороны и три угла, и столько же вершин.

И трижды трудные дела мы вместе совершим.

Мы - треугольников семья, дружнее не сыскать,

Мы - треугольников семья, нас каждый должен знать.

Из истории треугольников

Простейшая из многоугольников – треугольник играет в геометрии особую роль. Вся геометрия со времён Евклида покоится на «трёх китах» - трёх признаках равенства треугольников. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В Древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в 7 веке до нашей эры Фалесом, и в школе Пифагора. Уже Фалес доказал, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Учение о треугольниках было затем полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида. Среди «определений», которыми начинается эта книга, имеются и следующие: «Из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же – имеющая только две равные стороны, разносторонний – имеющая три неравные стороны».

Теоремы о треугольниках

Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, она имеет много важных и интереснейших свойств. К этим свойствам сводятся свойства других, более сложных фигур.

Треугольникам уделяли внимание многие выдающиеся учёные (теорема Пифагора, формула Герона, точка Торричелли, окружность Эйлера, теорема Лейбница и Карно и другие). Особенно активно свойства треугольника исследовались в 15 – 17 вв. Вот одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности». Эта окружность получила название окружности девяти точек. Её центр оказался в середине отрезка, соединяющего точку пересечения высот с центром описанной окружности.

О равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник обладает рядом геометрических свойств, которые привлекли к себе внимание еще в древности. В одном египетском папирусе 4000-х летней давности говорится, что площадь равнобедренного треугольника равна произведению половины основания на боковую сторону. В задачах на треугольники, содержащихся в папирусе Ахмеса, на первый план выступают равнобедренный и прямоугольный треугольники. На практике часто применялось свойство медианы равнобедренного треугольника, являющийся одновременно и высотой и биссектрисой. Особый интерес представляет прямоугольные треугольники. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый из острых углов равен 45 градусов. Высоты треугольника пересекаются в вершине прямого угла. Медианы пересекаются в середине гипотенузы. Эта точка является и точкой пересечения середин перпендикуляров к сторонам, а также центром описанной окружности.

Определите вид (по сторонам и углам) каждого из треугольников.

Проблемные вопросы

Верно ли, что у равнобедренного треугольника только два угла равны?

Как вырезать равносторонний треугольник из прямоугольного листа бумаги, если можно сделать только один разрез ножницами? (Бумагу можно предварительно сгибать).

Практическая работа

Согните равнобедренный треугольник по медиане, проведённой к основанию. Какими свойствами она обладает?

Согните равнобедренный треугольник по медиане, проведённой к боковой стороне. Обладает ли она таким же свойством, что и медиана проведенная к основанию.

Проблемные вопросы

Что можно сказать о медианах, проведённых к боковым сторонам равнобедренного треугольника?

Что можно сказать о биссектрисах, проведённых к боковым сторонам равнобедренного треугольника?

Вычислите все внутренние углы треугольников, изображенных на рисунке

CDK = 50°, DCK = DKC = 65°. FDE = 50°, FED = 50°, DFE = 80°.