实物模型

原型： 原型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象

模型： 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分特征、属性，而进行简化、抽象、提炼出来的原型的替代物把原型尺寸按比例缩小或放大供展览或玩耍的实物。它主要追求外观的逼真，例如，玩具飞机、昆虫标本、建筑模型等

1.1 数学模型与数学建模

模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征

物理模型

符号模型

是为测试原型的物理及动力学特性，根据相似性原理对原型构造的模型。它主要追求物理性能的一致，例如，航模飞机、实验模型等

是在一些约定或假设下，借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来对原型的描述。它主要追求框架结构与关系的关联特征，例如，分子结构图，电路图、地图等

数学模型： 是为了一定的目的，根据原型内在的规律和本质属性，通过必要的简化假设，运用适当的数学工具，而作的抽象、简化的数学结构。

数学模型是一种抽象的模拟，它用符号、式子、程序、图形等数学语言刻划客观事物的本质属性与内在联系，是现实世界的简化而又本质的描述。

数学模型的三个主要功能是：解释、判断与预测。也就是数学模型能用来解释某些客观现象及发生的原因；数学模型能用来判断原来知识，认识的可靠性；数学模型能用来预测事物未来的发展规律，或为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略，为人们的行为提供指导。

数学建模 建立数学模型的全过程，包括问题的表述、求解、解释、检验等。

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。

数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。

数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，需要有较好的抽象概括能力、数学语言的翻译能力、善于抓住本质的洞察能力、联想及综合分析能力、掌握和使用当代科技成果的能力等。从而数学建模是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的综合能力与素质的必备手段之一。

数学建模是一种创造性的思维活动，没有统一模式和固定的方法，在数学建模过程中需要充分发挥想象力，善于联想，新颖而独特地提出问题、解决问题，并由此产生有价值的新思想、新方法、新成果等。从而数学建模也是培养和提高同学们想象力和创新能力的必备手段之一。

问题：将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，问是否总能设法使它的四条腿同时着地。

椅子能在不平的地面上放稳吗？

模型假设1 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面 ;

1.2 数学建模示例 1

2 地面相对平坦，椅子的腿是足够长的，椅子在任意位置至少有三只脚同时着地；3 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形； 以椅子的中心为坐标原点，对角线的初始位置为坐标轴，椅子绕原点旋转，椅子位置用(对角线与 x 轴的夹角 )表示。

x

B

A

D

CO

D´C ´

B ´ A ´

模型构建

由假设 1由假设 2

记 A,C 两脚与地面距离之和为 )(f

记 B,D 两脚与地面距离之和为 )(g

是连续函数)(),( gf

对任意 0)()(, gf

现不妨设 0)0(,0)0( gf

数学问题已知： 是连续函数 ;对任意 且 . 证明：存在 ，使

)(),( gf 0)()( gf 0)0(,0)0( gf

0 0)()( 00 gf

模型求解 将椅子旋转 90度时，对角线 AC和 BD 互换。所以令 , 则 为连续函数 ,且

据连续函数的基本性质 , 必存在 , 使 即 .因为 , 所以

0)2

(,0)2

(

gf

)()()( gfh )(h

0)2

(,0)0(

hh

0)( 0 h

)()( 00 gf 0

0)()( gf 0)()( 00 gf

评注和思考考察四脚呈长方形的椅子建模的关键是 和 的确定 )(),( gf

• 流言蜚语的传播问题（见书 p5 ）• 假设： 1. 该地区总人口不变，常数。 • 2. 为可微函数。• 表示某时刻知道流言蜚语的总人数， • 表示单位时间知道流言蜚语增加的人数， 表示单• 位时间在不知道的人群中传播流言蜚语的人数，于

• 是 ，利用分离变量法求解。

x t

1.3 数学建模示例 2

xNdxN dx

Ndt dt

h

0

(1 )

0

dxN hN x

dtx x

模型的结果不合理，修改模型：

• 同样利用分离变量法求解，再分析结果。

0

( )

0

dxN N h h r x

dtx x

问题 ( 商人们怎样安全过河 )：

三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约 , 在河的任一岸 , 一旦随从的人数比商人多 , 就杀人越货 . 但是如何乘船渡河由商人决定，问商人应如何安排才能安全渡河。

河小船 (至多 2人 )

1.3 数学建模示例 3

问题分析 这是一类智力游戏问题，可经过一番逻辑推理求解。当然也可视为一个多步决策问题，每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要对船上的人员作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数不比商人多）经有限步使全体人员过河 由于该问题是虚拟的，已经理想化了，所以不必再作假设。

模型构建 记第 k次渡河前此岸的商人数为 ，随从数为 ，而 为过程中的状态。

kx

ky ),( kkk yxs

安全渡河条件下的状态称为允许状态，全体允许状态构成的集合记为 S

)}3,3(),2,3(),1,3(),0,3(

)2,2(),1,1(),3,0(),2,0(),1,0(),0,0{(S

记第 k次渡船上的商人数为 ，随从数为 ，而 为过程中的决策。

ku

kv ),( kkk vud

多步决策问题模型：

安全渡河条件下的决策称为允许决策，全体允许决策构成的集合记为 D

)}0,2(),1,1(),0,1(),2,0(),1,0{(D

因为， 为奇数时船从此岸驶向彼岸， 为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态转移律为

k k

k

k

kk dss )1(1

求 使 并按转移律由 到达

Ddk Ssk )3,3(1 s)0,0(1 ns

模型求解• 穷举法 k

k

kk dss )1(1 Ddk

Ssk

)3,3(1 s

)0,0(1 ns

从 通过 且

使得 得到例如 )3,3(1 s 112 dss

可能的通过 且 Dd 1

得到)}2,2(),1,3(),2,3{(2 s

)2,3(2 s如果 则 )3,3(3 s 还原，故 )2,3(2 s

)2,2(2 s如果 则 如果)2,3(3 s

)}1,3(),2,2{(2 s)2,3(3 s

)1,3(2 s 也有

故 且 )2,3(3 s

穷举法适宜编程上机运算

• 图解法状态 s=(x,y)为 16个格点

允许决策为移动 1或 2格 ;k为奇数时 ,向左、下移 ;k为偶数时 ,向右、上移 .d1, ， d11给出安全渡河方案

允许状态为 10个点

x

y

3

32

2

1

10

s1

sn+1

d1

d11

评注和思考 还有没有其他的方案。考虑 4名商人各带一随从的情况

1.5 数学建模的方法和步骤•数学建模的基本方法

建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的重要特征 ; 同时在数学上易于处理，数学模型应具有好的可靠性和较强的使用性。机理分析法 根据对现实对象特性的认识，分

析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的数学模型常具有明确的物理或现实意义。

用机理分析建立模型结构 ,用测试分析确定模型参数

二者结合

测试分析法 将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析法也叫做系统辩识法。

•数学建模的一般步骤模型准备 模型假设 模型构建

模型求解

模型分析模型检验模型应用

模型准备 了解实际背景，明确建模目的，搜集有关信息，掌握对象特征，形成一个比较清晰的‘问题’

在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼简化，在合理与简化之间作出折中，提出若干符合客观实际的假设。

模型假设

在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，用数学的语言、符号描述问题，建立相应的数学结构——即建立数学模型。

模型构建

尽量采用简单的数学工具

模型求解 对所建数学模型，利用适当的数学方法、软件和计算机技术进行求解。 模型分析 对计算结果进行必要的误差分析、统计分析、以及模型对数据的稳定性分析 .

与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性 .

模型检验

模型应用

检验通过模型即可应用 , 否则进行修改

数学建模的全过程

现实对象的信息 数学模型

现实对象的解答 数学模型的解答

表述

求解

解释

验证( 归纳 ) ( 演

绎 )

表述求解解释验证

根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象

用现实对象的信息检验得到的解答

实践

现实世界

数学世界

理论 实践

1、摘要 :问题、模型、方法、结果2、问题重述

4、分析与建立模型5、模型求解6、模型检验7、模型推广8、参考文献9、附录

3、模型假设

1.6 怎样撰写数学建模的论文