誤差橢圓

誤差橢圓誤差橢圓誤差橢圓的概念誤差橢圓的概念誤差橢圓計算誤差橢圓計算

誤差橢圓誤差橢圓前言前言橢圓方位與半徑的計算橢圓方位與半徑的計算標準誤差橢圓計算舉例標準誤差橢圓計算舉例其他舉例其他舉例誤差橢圓的信心水準誤差橢圓的信心水準誤差橢圓的優點誤差橢圓的優點

前言前言最小自乘法平差後，可獲最小自乘法平差後，可獲得點位坐標的估計標準差，得點位坐標的估計標準差，此標準差提供了在坐標軸此標準差提供了在坐標軸方向的誤差估值。方向的誤差估值。

根據標準差所預估的誤差根據標準差所預估的誤差範圍，與實際的誤差範圍範圍，與實際的誤差範圍並不相符。並不相符。

實際的誤差範圍應該由方實際的誤差範圍應該由方向與距離來推估，而不是向與距離來推估，而不是在坐標軸的方向上。在坐標軸的方向上。

點位誤差範圍應遵循雙變點位誤差範圍應遵循雙變數的常態分配。數的常態分配。

NαAB

A

B

2Sx

2Sy

x

y

前言前言要推估點位誤差，需要知道誤要推估點位誤差，需要知道誤差橢圓的橢圓的方位與兩個半差橢圓的橢圓的方位與兩個半徑。徑。即右圖中的即右圖中的 tt與與 SSuu, S, Svv 圖中圖中 uu與與 vv為兩正交軸，為兩正交軸， uu軸軸為代表點位最弱的方向，換言為代表點位最弱的方向，換言之，是代表點位誤差最大的方之，是代表點位誤差最大的方向。而向。而 vv軸為點位最強的方向軸為點位最強的方向((點位誤差最小的方向點位誤差最小的方向 ))。。

誤差橢圓的正確機率與自由度誤差橢圓的正確機率與自由度有關，其大小可由有關，其大小可由 FF 分配機率分配機率百分比的表列值來調整。百分比的表列值來調整。

簡單的閉合導線其誤差橢圓的簡單的閉合導線其誤差橢圓的機率只有機率只有 35%35%。。

x

y

uvSx

Sy

標準誤差矩形

標準誤差橢圓

Su

Sv

t

誤差橢圓方位與半徑的計算誤差橢圓方位與半徑的計算

TxxZZ RRQQ

RXZ

i

i

i

i

i

i

y

x

tt

tt

y

x

v

u

t

sincos

cossin

cossin

sincos

90

θ

由於最小自乘法平差所獲得的點位誤差是在 x軸與 y軸方向的，故需進行下列程序：

1.利用坐標轉換方式，轉換成在 u軸與 v軸方向的誤差。

2.根據誤差傳播定律求得坐標轉換後的誤差大小。


(18.6) q q

q q

q)t(sinq)tsin()tcos(

q)tcos()tsin(q)t(cos

q)tcos()tsin(q)t(cos

q)t(sinq)tsin()t(osc

q)tsin()tcos(q)t(sin

q)t(cosq)tcos()tsin(

q)t(cosq)tcos()tsin(

q)tsin()tcos(q)t(sin

Q

vvuv

uvuu

yy2

xy

xyxx2

yyxy2

xy2

xx

yyxy2

xy2

xx

yy2

xy

xyxx2

zz

3. 將矩陣展開


tqtqqqq

q

tqttq

ttqqq

q

qttqtqtqtq

ttqq

q

qt

qtqtq

qtqttqtq

xyxxyyyyxx

uu

xyxxyyyyxx

uu

xyxxyyyyxxyyxx

uu

xyyyxxuu

yyxyxxuu

2sin2cos22

2sinsincos2

sincos22

2sin2

cos

2

sin

2

cos

2

sincossin

2

2

2sin2cossin

cossincos2sin

2222

222222

22

22

4.


xxyy

xy

xyxxyy

xyxxyyuu

qq

qt

t

t

tqtqq

tqtqq

dt

dq

22tan

2cos

2sin

2cos22sin

02cos22sin22

表18.1 (18.4)式中2t角之象限分子分母 2t角之象限

+ + 1+ - 2- - 3- + 4

先選2t之象限，再除以2而求t角。

由上式可求得 quu最大的誤差橢圓方位 t。所計算的 t值，構成誤差橢圓長短半徑，即相當於將協變方矩陣旋轉至對角線外的元素不為零。因此，點位誤差的 u與 v坐標值為非相關，即 quv為零。

xxyy

xy

xyyyxx

uv

qq

qt

t

t

tqtqq

q

22tan

2cos

2sin

02cos2sin2


tqttqtqq

tqttqtqq

qq

qt

yyxyxxvv

yyxyxxuu

xxyy

xy

22

22

sinsincos2cos

cossincos2sin

22tan

誤差橢圓方位與半徑計算公式

S20quu的平方根即為誤差橢圓的長半徑 Su， S2

0qvv的平方根則為短半徑 Sv。

vvvuuu qSSqSS 00

誤差橢圓計算例誤差橢圓計算例

C

C

W

W

dY

dX

dY

dX

X

由 13.5節的三邊測量計算例中，計算得So=± 0.1359

未知數與其協變方矩陣為1.198574 -1.160249 -0.099772 -1.402250

Qxx= -1.160249 2.634937 0.193956 2.725964

N-1= -0.099772 0.193956 0.583150 0.4604804,4 -1.402250 2.725964 0.460480 3.962823

6155.1198574.1634937.2

)160249.1(2)t2tan(

2t=tan-1(-1.6155)+360°=301°45.5´ t=150°53´

誤差橢圓計算例誤差橢圓計算例

點 2t(rad.) t(deg.) 度分秒 S u S v S x S y

W 5.266654 150.879 150 52 43 0.246 0.101 0.149 0.221C 0.266040 7.621 7 37 17 0.273 0.098 0.104 0.271

點位誤差橢圓的長短半徑分別為

誤差橢圓的繪製誤差橢圓的繪製利用 CAD軟體可協助繪製誤差橢圓因為 t與長短半徑均已知道，故僅需決定繪圖比例尺，即可很容易地繪製誤差橢圓。

誤差橢圓的信心水準誤差橢圓的信心水準誤差橢圓可利用誤差橢圓可利用 FF統統計子，來進行調整其計子，來進行調整其大小，及利用在大小，及利用在 αα信信心水準下分子為心水準下分子為 22個個自由度，分母則為平自由度，分母則為平差時自由度的差時自由度的 FF統計統計子，來調整誤差橢圓。子，來調整誤差橢圓。

FF統計子為兩個不同自統計子為兩個不同自由度的變異數比，因由度的變異數比，因此，自由度增加將可此，自由度增加將可提高精度。提高精度。

表18.2 選定機率水準之F α ,2,自由度統計

自由度 90% 95% 99%1 49.50 119.50 4999.502 9.00 19.00 99.003 5.46 9.55 30.824 4.32 6.94 18.005 3.78 5.79 13.27

10 2.92 4.10 7.5615 2.70 3.68 6.3620 2.59 3.49 5.8530 2.49 3.32 5.3960 2.39 3.15 4.98

機率

誤差橢圓的信心水準誤差橢圓的信心水準誤差橢圓的信心水準誤差橢圓的信心水準可利用乘因子可利用乘因子 cc，增，增加到任意的水準。加到任意的水準。

由前述可清楚地看出，由前述可清楚地看出，自由度增加，則誤差自由度增加，則誤差橢圓大小會減小。橢圓大小會減小。

乘因子乘因子 cc可由表可由表 18.118.1求得，此表並未包含求得，此表並未包含所有情況。所有情況。

cSS

cSFSS

Fc

vv

ufreedomofreeuu

freedomofree

%

deg,2,%

deg,2,

2

2

誤差橢圓的優點誤差橢圓的優點誤差橢圓可提供的優點誤差橢圓可提供的優點

平差點位的精度重要資訊平差點位的精度重要資訊各點位的相對精度比較各點位的相對精度比較

根據誤差橢圓的形狀、大小以及方位，可很快地了根據誤差橢圓的形狀、大小以及方位，可很快地了解各個點位的誤差狀況。解各個點位的誤差狀況。

測量網形設計測量網形設計誤差橢圓的形狀、大小與方位受下列因素影響誤差橢圓的形狀、大小與方位受下列因素影響

使用的控制點使用的控制點觀測量的精度觀測量的精度測量的幾何性質，即網形的幾何強度。測量的幾何性質，即網形的幾何強度。

觀測量的精度與網形的幾何強度，因受測區的情觀測量的精度與網形的幾何強度，因受測區的情況與使用的設備等因素影響，變化相當大。況與使用的設備等因素影響，變化相當大。

爲了獲得合理的結果，通常會對測區的可用控制爲了獲得合理的結果，通常會對測區的可用控制點，並進行初步的選點點，並進行初步的選點 ((測量的幾何性質測量的幾何性質 ))以及所以及所要使用的設備要使用的設備 ((觀測量的精度觀測量的精度 ))等因素，進行模擬等因素，進行模擬平差，此過程稱之為網形設計。平差，此過程稱之為網形設計。

再根據模擬平差的結果，來調整網形的設計。再根據模擬平差的結果，來調整網形的設計。

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