數學能力的提昇

廖高仁

數學的能力是什麼？

1 四則計算能力。 ＋ － × ÷

2 解題能力…閱讀理解題意

3 方法﹎如四則混合計算。

學生對學習數學的困難• 1 七年級的學生數學能力兩極化嚴重。• 2 計算能力不足，又緩慢，對除法困難更嚴

重。• 3 對數的概念不 清楚，尤其對分數和小數。• 4 對隔代教養及父母教育水準不高者，指導

高年級數學是有困難的。• 5 數學沒有生活化影響數學之學習。

加法練習• 1 補數的認識• 6 ＋ 4 ＝ 10 7 ＋ 3 ＝ 10

• 6 和 4 兩數為互補 7 和 3 為互補• 2 補數的練習• （ 1 ）用手指• （ 2 ）使用撲克牌• （ 3 ）用計算•

補數練習依據數的大小排列

被加數

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

加數

和數 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

補數練習隨意排列

被加數

6 8 9 1 3 5 7 0 2 4

加數

和數 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

補數練習卷 1

• （ 1 ）（ ）＋ 3 ＝ 10 （ 10 ） 3 ＋（ ）＝ 10• （ 2 ）（ ）＋ 7 ＝ 10 （ 11 ） 2 ＋（ ）＝ 10• （ 3 ）（ ）＋ 1 ＝ 10 （ 12 ） 1 ＋（ ）＝ 10• （ 4 ）（ ）＋ 5 ＝ 10 （ 13 ） 7 ＋（ ）＝ 10• （ 5 ）（ ）＋ 6 ＝ 10 （ 14 ） 5 ＋（ ）＝ 10• （ 6 ）（ ）＋ 2 ＝ 10 （ 15 ） 9 ＋（ ）＝ 10• （ 7 ）（ ）＋ 4 ＝ 10 （ 16 ） 8 ＋（ ）＝ 10• （ 8 ）（）＋ 9 ＝ 10 （ 17 ） 6 ＋（ ）＝ 10• （ 9 ）（ ）＋ 8 ＝ 10 （ 18 ） 4 ＋（ ）＝ 10

補數練習卷 2

• （ 19 ） 10 －（ ）＝ 6• （ 20 ） 10 －（ ）＝ 8• （ 21 ） 10 －（ ）＝ 1• （ 22 ） 10 －（ ）＝ 3• （ 23 ） 10 －（ ）＝ 2• （ 24 ） 10 －（ ）＝ 5• （ 25 ） 10 －（ ）＝ 4• （ 26 ） 10 －（ ）＝ 9• （ 27 ） 10 －（ ）＝ 7

進位練習 從補數最小的開始

• 從 9 ＋ 2 ＝？開始• 9 的補數是 1

• （ 9 ＋ 1 ）＋（ 2 － 1 ）＝ 10 ＋ 1 ＝ 11

• 9 ＋ 5 ＝？• （ 9 ＋ 1 ）＋（ 5 － 1 ）＝ 10 ＋ 4 ＝ 14

• 9 的加法練習之後再練習 8 的加法，因為 9 和• 8 的補數比較容易。

加法練習＋ 9 8 5 4 1 0 7 3 6 2

3

4

9

5

7

0

1

2

8

6

百格計算的創始者• 陰山英男 • 1958 年出生於兵庫縣， 80 年畢業於岡山

大學， 89 年到兵庫縣朝來市山口小學任教。• 到校之初，山口小學的畢業生上中學功課

聽不懂。陰山先生拜訪中學老師，為了孩子上中學後不再困擾，要那些能力，探討之結果是「讀」「寫」「算」之反覆練習

• 在數學的練習研發了「百格計算」。

減法練習• 退位練習• 被減數兩位減 9 的開始練習，因為 9 的

補數是 1 ，小朋友容易了解。• 15 － 9 ＝？• 10 － 9 ＝ 1

• 5 ＋ 1 ＝ 6

• 一般來說補數比較小的比較容易了解。

減法練習－ 15 17 18 16 14 13 11 12 19 10

5

6

9

8

7

1

0

2

4

3

乘法練習× 2 5 4 7 1 8 9 0 3 6

2

3

1

5

9

7

0

8

4

6

百格計算之作法• 1 由上而下，往橫的計算。• 2 用碼錶計錄時間。• 3 每日一張，繼續一段時間。• 4 目標時間為三分鐘完成。• 5 不和他人比較，昨天的我和今天的我比較• 6 徹底的反複練習最重要。• 7 適時應用左手手指

百格計算的應用• 1 做為家庭作業，印發給學生自我練習。• 2 課堂上練習。• （ 1 ）發給計算紙（ 2 ）發開始之口令• （ 3 ）做完的舉手計上時間（ 4 ）定正給

分• 3 晨間練習；一所中學的做法• （ 1 ）自己發卷（ 2 ）大家一起開始

（ 3 ）計時間（ 4 ）定正

除法的練習• 1 除法是數學計算中最困難的。• 2 先練習除數一位整除的除法。• 3 再練習除數一位有餘的除法。• 4 數字比較大的除法是很難，包括（ 1 ）立

商（ 2 ）使用乘法（ 3 ）使用減法（ 4 ）往下一段再下一段。

整除的練習• 25÷5 ＝ 24÷4 ＝ 28÷7 ＝• 36÷6 ＝• 每次可出 50 題

有餘的除法• 23÷5 ＝ 37÷6 ＝ 64÷7 ＝• 每張可出 50 題

除法練習（有餘時寫成上下兩數）÷

15 20 25 22 30 18 19 24 23 32

5

6

4

練習格子的數量• 1 可以依學生的程度而定。

• 2 5×5

• 10×2

• 10×3

測驗卷的標題要包括什麼• 名稱 如加法 減法 乘法 除法。• 第幾卷• 年級 班級 號數 姓名• 得分• 所用時間• 測驗日期

舉例• 加法練習卷第 卷 測驗日期 年 月 日• 年 班 號姓名 （ 分 秒）得分

七年級新生加法的速度一所日本中學

加法

7%

40%

33%

20% 1分鐘以內

2分

3分

4分

七年級新生減法的速度資料來自日文書

減法

2%27%

28%

43%

1分鐘以內

2分

3分

4分

七年級新生乘法的速度陰山先生之著作

乘法

21%

49%

23%7% 1分鐘以內

2分

3分

4分

百格計算的理想速度• 理想速度為壹分鐘• 日本某國中七年級之測驗超過四分鐘者

• （ 1 ）加法有 20％• （ 2 ）減法有 43％• （ 3 ）乘法有 7％• 以此能力要把數學學好是很難的。• 要及早把計算能力訓練好。

• 1 先詳讀題目，了解題意。• 2 再圖解理解，或以具體物操作。• 3示範演算。• 4 出類似題給小朋友演算，即刻訂正，依難

度及時間增加練習次數。• 5 分析發生錯誤之處及原因。• 6 應用多本練習簿。

文字題之指導

能力增強之方式• 1 練習簿之份量夠嗎？• 2必要增加練習的機會和題目數量。• 3利用時間，找出時間。• 4 完整，充分，透徹之了解。• 5 教師要具備出題之能力。• （ 1 ）數字要簡單。（ 2 ）文字敘述要簡單。（ 3 ）漸漸增長題目和內涵。

• 6參考書籍時要有所選擇。

數學簿之批改• 1膝前訂正，及時讓小朋友知道錯在哪裡。• 2 作業簿之交法要建立制度。• 3批改符號要有默契。• 4批改方式要建立，初改，退回，再次批改，

一直到完全為止。• 5 給分方法多樣化。• 6 所有題目在黑板上再演算一次。

印度式數學節自日文雜誌 200803地球村

• 最近印度式的計算在日本引起風潮，很多人都在研究。 乘式中有一數是 99 的乘法

• 27×99 ＝？ 其演算如下• 27 － 1 ＝ 26 被乘數減 1• 99 － 26 ＝ 73 答案是 2673• 53×99 ＝？• 53 － 1 ＝ 52• 99 － 52 ＝ 47 答案是 5247

兩位數乘 99 的速算法• 55×99 ＝？ 55× （ 100 － 1 ）

＝ 55×100 － 55 ＝ 5500 － 55 ＝ 5445

• 34×99 ＝？ 34× （ 100 － 1 ）• ＝ 34×100 － 34 ＝ 3400 － 34 ＝ 3366

兩位乘 98 的速算法• 65×98 ＝ 65× （ 100 － 2 ）• ＝ 65×100 － 65×2

• ＝ 6500 － 130 ＝ 6370

•

• 23×98 ＝ 23× （ 100 － 2 ）• ＝ 23×100 － 23×2

• ＝ 2300 － 46 ＝ 2254

印度式數學舉例 2

• 十位的和數是 10 ，個位數相同的乘法• 63×43 ＝？• 6×4 ＋ 3 ＝ 27 十位相乘加上個位數• 3×3 ＝ 9 答案是 2709 （因為 9 是個位

所以加一個 0 ）• 78×38 ＝？• 7×3 ＋ 8 ＝ 29• 8×8 ＝ 64 答案是 2964

11 到 19 的乘法• 你能很快的算出下列各題的答案嗎？• 15×12 ＝？

• 18×13 ＝？

• 18×17 ＝？

印度的九九乘法• 在我國九九乘法的學習是背到九九八十一，

而印度的乘法口訣是背到十九。• 印度人是如何達成呢？• 13×12 ＝？• 第一步 13 ＋ 2 ＝ 15• 第二步 3×2 ＝ 6• 第三步 15×10 ＋ 6 ＝ 156

• （ 15×10就是 15 的後面加一個 0 ）

舉例• 15×16 ＝？• 第一步 15 ＋ 6 ＝ 21• 第二步 5×6 ＝ 30• 第三步 21×10 ＋ 30 ＝ 240• 14×18 ＝？• 第一步 14 ＋ 8 ＝ 22• 第二步 4×8 ＝ 32• 第三步 22×10 ＋ 32 ＝ 252

印度式解題的思考方式• 16×14 ＝？• 10×10 ＋ 6×10 ＋ 4×10 ＋ 6×4

• ＝（ 10 ＋ 6 ＋ 4 ） ×10 ＋ 24

• ＝ 20×10 ＋ 24 ＝ 224

• 印度式的解答方式：• 16 ＋ 4 ＝ 20 6×4 ＝ 24

• 20×10 ＝ 200 200 ＋ 24 ＝ 224

原來如此• 印度人可以用心算很快地把 11×11 到 19×1

9

• 的答案算出來，真是神奇。• 各位請多多練習，心算能力強對學習數學

是很有幫助。

• 資料來自網路

20 到 29 的乘法

• 25×23 ＝？ 26×27 ＝？• 25 ＋ 3 ＝ 28 （ 26 ＋ 7 ） ×20

＝ 660

• 28×20 ＝ 560 6×7 ＝ 42

• 5×3 ＝ 15 660 ＋ 42 ＝ 702

• 560 ＋ 15 ＝ 575

30 到 39 的乘法• 31×32 ＝？• （ 31 ＋ 2 ） ×30 ＝ 990

• 1×2 ＝ 2

• 990 ＋ 2 ＝ 992

• 各位可以自己多多練習。

中國古老的珠算除法口訣• 二一添作五 逢二進一 逢四進二 逢六進三• 逢八進四• 三一三十一 三二六十二 逢三進一 逢六進二 • 逢九進三• 四一二十二 四二添作五 四三七十二 逢四進一• 逢八進二• 五一添作二 五二添作四 五三添作六• 五四添作八 逢五進一• 解釋 三一三十一是 10÷3 ＝ 3 1‧‧• 三二六十二是 20÷3 ＝ 6．． 2• 逢三進一是 30÷3 ＝ 1

結論•先求正確•再求熟練•再次速度