アルゴリズムとデータ構造アルゴリズムとデータ構造アルゴリズムとデータ構造アルゴリズムとデータ構造

20132013 年年 77 月月 1818 日日

酒居敬一酒居敬一 ((sakai.keiichi@kochi-tech.ac.jp))

http://www.info.kochi-tech.ac.jp/k1sakai/Lecture/ALG/2013/index.html

文字集合と符号化

• 2011 年度までの A-WS– 日本語 EUC(EUC-JP) 符号化– JIS X 0208 および ASCII 文字集合

• 2012 年度からの A-WS– UTF-8 符号化 ( 例外 : Mac の javac は

sjis)– Unicode 文字集合

• Java の内部– UTF-16 符号化 (16bit の char で保持 )– Unicode 文字集合 2

javac に -J-Dfile.encoding=UTF8というオプションを与える理由

文字列の照合（２９８ページ）

3]1[]1[

]1[]1[

][]0[

mpostextmpattern

postextpattern

postextpattern

ｃｈａｒ［］　ｔｅｘｔ ＝ ｎｅｗ ｃｈａｒ［ｎ］； ｃｈａｒ［］　ｐａｔｔｅｒｎ ＝ ｎｅｗ ｃｈａｒ［ｍ］；

テキストとパターンの長さをそれぞれｎ，ｍとしたとき、それぞれ次のように配列で与えられているとする。(Javaの場合、 charは Unicodeなので、漢字も含まれる。 )

文字列照合あるいは文字列探索とは、テキストとパターンに関して次のような関係の成り立つｐｏｓを求めることである。

public class SimpleMatch { public static int match(char[] text, char[] pattern){ shift: for(int i = 0; i <= (text.length - pattern.length); i++){ for(int j = 0; j < pattern.length; j++){ if(text[i+j] != pattern[j]){ continue shift; } } return i; } return -1; }}

4

最後まで一致したら終了

素朴なアルゴリズム（２９９ページ）

素朴なアルゴリズムでは、テキストの最初から順にパターンと一致する部分があるかどうかを調べていく。

一致しなければ、１文字ずらしてやりなおし

ａ ｂ ａｃ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ｃａ ｃｃ ｂ

public static void main(String[] args) { String a, b; int c; a = " テキスト内でパターンが見付かったか "; b = " パターン "; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println(" 「 " + a + " 」「 " + b + " 」 " + c); a = " 計算量を気にしなければ、この問題の解法はいとも簡単である。 "; b = " テキスト "; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println(" 「 " + a + " 」「 " + b + " 」 " + c); a = "KMP アルゴリズムの比較の回数は、最大 2n 回である。つまり計算量は… "; b = " 、最大 "; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println(" 「 " + a + " 」「 " + b + " 」 " + c); a = "Dijkstra って読むの難しいよね。ダイクストラって発音するんだよ。 "; b = " 偉い人なんだよ。 "; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println(" 「 " + a + " 」「 " + b + " 」 " + c); a = " アルゴリズムとデータ構造 "; b = " オペレーティングシステム "; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println(" 「 " + a + " 」「 " + b + " 」 " + c); }

5

「テキスト内でパターンが見付かったか」「パターン」 6「計算量を気にしなければ、この問題の解法はいとも簡単である。」「テキスト」 -1「 KMP アルゴリズムの比較の回数は、最大 2n 回である。つまり計算量は…」「、最大」 16「 Dijkstra って読むの難しいよね。ダイクストラって発音するんだよ。」「偉い人なんだよ。」 -1「アルゴリズムとデータ構造」「オペレーティングシステム」 -1

6

ａ ａ ａ ｂ

ａ ａ ａａ ａ ａ

＝ ≠＝ ≠＝＝ ≠＝

ａ ａ ａ ｂａ ａ ａ ｂ

素朴なアルゴリズムは時間計算量はＯ（ｍｎ）。実装が簡単なので実行したときの性能はそう悪くない。

一致したという情報を再利用すれば、比較回数が減る。そこで、ｔ文字一致した後に不一致が検出されたとき、パターンをテキストに対してどれだけ進めればいいか、パターンのどこから比較を開始すればいいかを求めておく。

ａ ａ ａ ｂ

ａ ａ ａａ ａ ａ

＝ ≠＝ ≠＝＝ ≠＝

ａ ａ ａ ｂａ ａ ａ ｂ

テキストとパターンの比較は不一致のあったところからになる。テキストストリームの逆戻りがない。

Knuth-Morris-Pratt のアルゴリズム

（３０１ページ）

• あらかじめパターンを調べておいて不一致が起きたときに、比較回数を減らすべく、次の比較位置を決定する。

• 比較中のテキストの文字位置に戻りがない。• 後述のＢＭアルゴリズムほどではないが、

素朴なアルゴリズムより実行性能は良い。

7

8

ａ ｂ ａｃ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂパターン３文字目で不一致

テキスト

ａ ｂ ａ ｂ

ｃａ

ａ ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ｃｃ ｂ

０ １ ０ １

ａ ｂ ａ ｂ

-1 ０ -1 ０

Pascal 的添え字( 教科書の例 )

Java 的添え字

ｎｅｘｔ配列の内容

２文字目で不一致

４文字目で不一致

１文字目で不一致

１文字目で不一致

9

パターン

先頭

先頭から

１文字一致

先頭から

１文字一致

先頭から

２文字一致

先頭から全く一致な

し 先頭から全く一致な

し 先頭から全く一致な

し 先頭から全く一致な

し先頭から

１文字一致

先頭から

２文字一致

先頭から

３文字一致

ａ ｂ ａｄ ｅ ａ ｃｂ ａ ｂ ｄ ｆ

先頭から全く一致な

し

-1 0 0 0 -1 1 0 2 -1 0 0 3ｎｅｘｔ配列（Ｊａｖａ）

•パターンの中で、パターン先頭から始まる部分文字列が　パターン中に現れるかどうかを調べる。•これまで一致していた部分文字列の有無、不一致文字が部分文字列　のどこ含まれているかどうかで操作を決定する。

先頭から

１文字一致

先頭から

２文字一致

ａ ｂ

-1 0

先頭から

１文字一致

先頭から

２文字一致

ａ ｂ

2 0

変数ｔ-1 00 00 0011 1 1212 2 3

public class KnuthMorrisPratt { private static void kmpinit(char[] pattern, int[] next){ int t = -1; next[0] = -1; for(int j = 1; j < pattern.length; j++){ while((t >= 0) && (pattern[j-1] != pattern[t])) t = next[t]; t++; if(pattern[j] != pattern[t]) next[j] = t; else next[j] = next[t]; } } private static int kmpmatch(char[] text, char[] pattern, int[] next){ int i = 0; int j = 0; while((i < text.length) && (j < pattern.length)){ while((j >= 0) && (text[i] != pattern[j])){ j = next[j]; } i++; j++; } if(j < pattern.length) return -1; return i - j; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ int[] next = new int[pattern.length]; kmpinit(pattern, next); return kmpmatch(text, pattern, next); }}

パターンは先頭から、テキストは未比較の文字位置からそれぞれ比較するというフラグ。

テキストの中で、パターンと現在比較しているところを指す。 ｉ＝０から単調増加である。

（ｊ - ２）文字の一致が見られたときに、パターンを少しずらせて比較を続ける

Boyer-Moore のアルゴリズム

（３０４ページ）

• あらかじめパターンを調べておいて不一致が起きたときに、比較回数を減らすべく、次の比較位置を決定する。– ２つの作戦により、比較回数を減らす。– ＫＭＰアルゴリズムでは少なくとも１回は、テ

キストの文字を調べないといけないが、この方法では１回も調べない文字が存在する。その分速い。

• パターンは後ろから比較する。 11

12

作戦１

ａ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ｘ

図５ .１ . ５　作戦１（その１）

図５ .１ . ５　作戦１（その２）

テキスト

パターン

テキスト

パターン

最初の比較で不一致

最初の比較で不一致

比べるだけ無駄

比べるだけ無駄

比べるだけ無駄

新たなるテキストからならば、比べる意味はある

１文字目が一致するので、２文字目以降は比べる意味はある

public class BoyerMooreMap { private static void bminit(char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ for(int j = 0; j < pattern.length - 1; j++){ skip.put(pattern[j], pattern.length - j - 1); } } public static int bmmatch(char[] text, char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ shift: for(int i = pattern.length - 1; i < text.length;){ for(int j = pattern.length - 1; j >= 0; i--, j--){ if(text[i] != pattern[j]){ // 教科書のプログラム 5.1.8 そのまま Integer s = skip.get(text[i]); if(s == null) i += pattern.length; else i += Math.max(s, pattern.length - j); continue shift; } } return ++i; } return -1; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ Map<Character, Integer> skip = new HashMap<Character, Integer>(pattern.length*2); bminit(pattern, skip); return bmmatch(text, pattern, skip); }}

ハッシュテーブルを使うと簡単なので教科書の擬似プログラムを書き換えた。パターンに含まれる文字をキー、スキップ量を値としている。

public class BoyerMooreMap { private static void bminit(char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ for(int j = 0; j < pattern.length - 1; j++){ skip.put(pattern[j], pattern.length - j - 1); } } public static int bmmatch(char[] text, char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ shift: for(int i = pattern.length - 1; i < text.length;){ for(int j = pattern.length - 1; j >= 0; i--, j--){ if(text[i] != pattern[j]){ // 教科書の３０９ページにあるように iを元に戻した場合。 i += pattern.length - 1 - j; Integer s = skip.get(text[i]); i += (s == null)? pattern.length: s; continue shift; } } return ++i; } return -1; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ Map<Character, Integer> skip = new HashMap<Character, Integer>(pattern.length*2); bminit(pattern, skip); return bmmatch(text, pattern, skip); }}

計算の手間はともかく、動作の理解にはいったん元に戻す方法も悪くない。

15

作戦２

図５ .１ .１０　作戦２（その１）

図５ .１ .１１　作戦２（その２）

テキスト

３文字目で不一致

無駄

無駄

ａ ｂ ｃ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ｃ ａ ｂ

ａ ｂ ｃ ａ ｂ

ａ ｂ ｃ ａ ｂ

ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ｘ ｂ

無駄

２文字目で不一致

無駄

無駄

パターンの比較を末尾から行うということを除けば、ＫＭＰアルゴリズムと考え方は同じ。

16

○

×

△

○

○

×

×

図５ .１ .１２　場合 1

図５ .１ .１３　場合２

図５ .１ .１４　場合３

文字の並びが同じ部分がある

（ただし、○≠△）

少しずらせる。

文字の並びが同じ部分が少しある

かなりずらせる。

文字の並びが同じ部分がない

public class BoyerMoore { private static void bminit(char[] pattern, Map<Character, Integer> skip, int[] next){ int[] g = new int[pattern.length]; int j; for(j = 0; j < pattern.length; j++){ next[j] = 2*pattern.length - j - 1; // length + (length - j - 1) } j = pattern.length; for(int k = pattern.length - 1; k >= 0; k--, j--){ g[k] = j; while((j < pattern.length) && (pattern[j] != pattern[k])){ next[j] = Math.min(next[j], pattern.length - k - 1); j = g[j]; } } int s = j; for(j = 0; j < pattern.length; j++){ next[j] = Math.min(next[j], s + pattern.length - j - 1); if(j >= s){ s = g[s]; } } for(j = 0; j < pattern.length - 1; j++){ skip.put(pattern[j], pattern.length - j - 1); } }}ｂｍｍａｔｃｈメソッドなどは次のページで…

ｓｋｉｐを求める

ｎｅｘｔを求める

教科書のｍ－ｊに相当するＪａｖａ表現

public static int bmmatch(char[] text, char[] pattern, Map<Character, Integer> skip, int[] next){ shift: for(int i = pattern.length - 1; i < text.length;){ for(int j = pattern.length - 1; j >= 0; i--, j--){ if(text[i] != pattern[j]){ Integer s = skip.get(text[i]); if(s == null){ i += Math.max(pattern.length, next[j]); } else { i += Math.max(s, next[j]); } continue shift; } } return ++i; } return -1;} public static int match(char[] text, char[] pattern){ Map<Character, Integer> skip = new HashMap<Character, Integer>(pattern.length*2); int[] next = new int[pattern.length]; bminit(pattern, skip, next); return bmmatch(text, pattern, skip, next);}