圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系

尖中初三数学组

新 北 京 新 奥 运 2 0 0 8

认真观察

观察结果

外离 : 两圆无公共点 , 并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫两圆外离 .

外切 : 两圆有一个公共点 , 并且除了公共点外 , 每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫两圆外切 .

切点

切点相交 : 两圆有两个公共点时 , 叫两圆相交 .

内切 : 两圆有一个公共点 , 并且除了公共点外 , 一个圆上的点都在另一个圆的内部时 , 叫两圆内切 .

内含 : 两圆无公共点 , 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时 ,叫两圆内含 .

特 例

连心线：过两圆心的直线圆心距：两圆心之间的距离

外离 外切 相交

内切 内含 ( 同心圆 )

相切

相离

相交

内含

外离

外切

内切

圆与圆的位置关系

两圆相切的性质 :相切两圆的连心线经过切点 .

两圆位置关系的性质与判定 : 位置关系 d 和 R 、 r 关

系交点

两圆外离 d >R+ r 0

两圆外切 d =R+ r 1

两圆相交 R− r <d <R+ r 2

两圆内切 R− r =d 1

两圆内含 R− r >d 0

性质

判定

0 R―r R+r

同心圆 内

含外离

外切

相交

内切

位

置

关

系

数

字 化演 示d

一、判断：

1 两圆无公共点，两圆一定外离 （ ）

2 当两圆圆心距大于半径之差 时，两圆相交（ ）

3 已知两圆相切 R=7 r=2 则圆心距等于 9 （ ）

0

0 R―r R+r

相交 二、已知：⊙ O1 和⊙ O2 的半径分别为 3cm 和 4cm, 当O1O2 分别为下列数值时，判断两圆位置关系 .

O1O2 =8cm O1O2=7cm O1O2=5cm

O1O2=1cm O1O2=0.5cm O1O2=0cm

相交内含

外离 外切内切 同心圆

1 、若两圆只有一个交点 , 则这两圆外切 . （ ）

×

2 、如果两圆没有交点，则这两圆的位置关系是外离 .

（ ）×

3 、当 O 1 O 2=0 时 , 两圆位置关系是同心圆 . （

）√

4 、若 O1O2=1.5,r=1,R=3, 则 O1 O2<R+r, 所以两圆相交 .

（ ）×

5 、若 O1O2=4 ，且 r=7,R=3,

则 O1O2<R － r, 所以两圆内含。 （ ）

×

1 、如图 ,⊙O 的半径为 5cm ，点 P 是⊙ O外

（ 1 ）以 P 为圆心作⊙ P 与⊙ O 外切，小圆⊙ P 的半径是多少？

一点， OP=8cm.

（ 2 ）以 P 为圆心作⊙ P 与⊙ O 内切，则⊙ P的半径是多少？

· ·O P

B·

例题分析例题分析

1 、如图 ,⊙O 的半径为 5cm ，点 P 是⊙ O外

（ 1 ）以 P 为圆心作⊙ P 与⊙ O 外切，小圆⊙ P 的半径是多少？

一点， OP=8cm.

（ 2 ）以 P 为圆心作⊙ P 与⊙ O 内切，则⊙ P的半径是多少？（ 3 ）以 P 为圆心作⊙ P 与⊙ O 相切，则⊙ P的半径是多少？

· ·O P

B·A

例题分析例题分析

·O ·P

如图， ⊙ O 的半径为 5cm ，点 P 是⊙O 内一点， OP=2cm. ⊙P 与⊙ O 内切，则⊙ P 的半径是多少？

例题分析例题分析

三、定圆⊙ O 半径为 4cm ， 动圆⊙ P 半径为 1cm

（ 1 ）当两圆外切时 OP 为 cm ？点 P 在什么样的圆上运动？即 P 点的轨迹是 。

（ 2 ）当两圆内切时 OP 为 cm ？点 P 在什么样的圆上运动？即 P 点的轨迹是 。

OP

解：设⊙ B 的半径为 R(1) 若⊙ A 与⊙ B 外切， 则 OB=4+R =10 ∴R=6 cm

(2) 若⊙ A 与⊙ B 内切，则 OB=R-4=10

∴R=14 cm所以⊙ B 的半径为 6cm 或 14

cm

(2) 若⊙ A 与⊙ B 内切，则 OB=R-4=10

∴R=14 cm所以⊙ B 的半径为 6cm 或 14

cm

....BBAA

例 如图⊙ A的半径为 4cm ，点 B是⊙ A外一点， AB=10cm 。 若以 B为圆心作⊙ B与⊙ A相切，求⊙ B的半径？

实例研讨

位置关系 图形 交点个数 d与 R、 r的关系外离

内含

外切

相离

相交

内切相切

0

2

1

d ＞ R+r

d ＜ R-r

R-r ＜ d ＜ R+rd=R+rd=R-r

圆与圆的位置关系

2 、 ⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的圆心 O1 、

O2 的坐标分别是 O1(3 ， 0) 、

O2(0 ， 4) ，两圆的半径分别

是 R=8,r=2, 则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２

的位置关系是 .X

Y

O O1

O2 d

内含·

·=5

例题分析例题分析

2 、相切两圆的性质如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 .

1 、圆和圆的位置关系及其对应的数量关系 小 结小 结（ 1 ）两圆外离 d>R+r

（ 2 ）两圆外切 d=R+r

（ 3 ）两圆相交

R-r<d<R+r

（ 4 ）两圆内切 d=R-r

（ 5 ）两圆内含 0≤d<R-r

(R≥r)

(R ＞ r)

(R ＞ r)