集合的概念与运算

一、如何理解集合的特征？

1 、特征是什么意思？答：一个事物的特征就是这个事物区别于另一个事物的标志。比如你看到一只动物在抓老鼠那它肯定是猫不是狗，因为抓老鼠是猫的特征。狗的特征我们不好意思讲，因为太粗俗。即狗的特征是吃屎。

2 、集合的特征是如何来的？

答：根据具体的集合的例子通过观察归纳总结得到集合特征的，就像观察猫抓老鼠一样。比如如下这个集合：

3 、我们高二（ ）班全体同学组成一个集合① 、问有没有一个同学既属于我们班也属于其他班级？这抽象出集合有什么特征？

答：确定性② 、问把我们班的同学座位换一下，这个班级还是我们班级吗？这抽象出集合有什么特征？

答：无序性

③ 问我们班有没有两位同学是一样的？这抽象出集合的什么特征？答：互异性，集合中元素不能重复出现。

开玩笑：我是可以的，因为我是同卵双胞胎。

3 、列举法同学们容易明白，描述法许多同学不懂。描述法① 、描述是什么意思？

答：描述就是许多东西有共同的特征，我们把这个共同的特征用文字或符号把它叙述出来。这也是为什么要取名描述法，就是顾名思义。因为数学上的一个名字不会无怨无故取的。就像你父母给你取名字。

② 、问集合 {0 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ，…… } 是用什么办法表示？如果用描述法，这些元素有什么共同特征？该用什么符号表示？

③ 、 {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ， 13 ， 15 ，…… .}

④ 、 x<10 的所有实数有什么共同特征？能用列举法表示吗？如何用描述法且符号化。

4 、子集、真子集如何区分？

答：用小于号和小于等于号。

5 、交集、并集同学们理解它的三种语言即文字语言、图形语言、符号语言。有一年高考就考交集、并集的符号语言，许多同学做不出来。

6 、全集、补集同学们很难懂我们该如何理解？

答：“全”是全部的意思。比如温州市瓯海区 2012 年全年的财政收入 32 亿，那好这个 32 亿就是全集，比如只有 1 亿投入教育，那这 1 亿就是子集。“补”就是剩余的意思，剩下的钱投入到了其他部门如瓯海大道建设、绿化植树等等。这剩下的钱就是相对于全年财政收入这个全集就是补集。通俗直观的讲全集减去 1 亿这个子集等于补集。图形语言、符号语言就是：

7 、集合的运算性质同学们需要死记硬背住这些符号语言吗？是记住公式去生搬硬套吗？

答：利用韦恩图数形结合，既然会数形结合那考试如果考到也会考数形结合，是考过程不是考结果即公式。

8 、若集合 M 中含有 n 个元素，则它有多少个子集、真子集。你知道为什么规定空集是任何集合的子集？ 空集是怎么来的？

答：教室里全体同学组成一个集合，那如果教室空无一人，这还组成一个集合吗？如果组成一个集合你觉得该取什么名字？名字取的好不好？

例 1 已知 A= ，且 1 A∈ ，求实 a 的值。

例 2已知集合 A= B=

(1)若

(2)若

（ 3 ）若 A=B ，求 a 的取值范围。

反思：我们大脑里觉得很乱是因为第一情况很多，第二我们没有找到分类的标准。因为就算情况很多，只要我们找到分类标准，那整个事物也会变得清晰。

反思： 1 、一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式三者归一，这“一”就是一元二次函数的图像。前三个是属于数，后者属于形，即数形结合。2 、对于集合之间的运算、关系最好也是数形结合。

已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，

y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩ B的元素个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

例 3 ：

反思：集合是作为现代数学的基本语言，所以常常用集合的语言表示有关的数学对象。集合语言属于数学三种语言中的符号语言。我们要发展用数学语言交流的能力。于是问题出来了，既然用集合语言表示数学对象，那你能理解集合语言表示的内容吗？此题就这个意思。

【解析】(1)A∩ B 的元素个数即为圆 x2＋y2

＝1 与直线 y＝x 的交点个数，易知直线 y＝x 与

圆 x2＋y2＝1相交，故有两个交点，所以 A∩ B的

元素个数为 2，故选 C.

(1)满足M⊆ {a1，a2，a3，a4}，且M∩

{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是 2个 .

(2)已知集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，

且M∩ N＝N，求实数a的值．

例 4

(2)反思，如果是选择题有许多同学会对，如果是填空题那错的人更多，因为会漏掉 a=0 的情况。

【解析】 (1)由M∩ {a1，a2，a3}＝{a1，a2}，

可知 a1∈ M，a2∈ M，且 a3∉M.

又M⊆ {a1，a2，a3，a4}，从而M＝{a1，a2}

或M＝{a1，a2，a4}，共 2个．

(2)由 x2＋x－6＝0得 x＝2或 x＝－3，所以M＝{2，－3}．

N∩ M＝N⇔ N⊆ M.

(ⅰ )当 a＝0时，N＝∅，此时 N⊆ M；

(ⅱ )当 a≠ 0时，N＝{1a}．

由 N⊆ M得1a＝2或

1a＝－3，

即 a＝12或 a＝－

13.

故所求实数 a的值为 0或12或－

13.

四 集合的创新与应用

【例 4】 对任意两个集合M，N，定义：M－N＝{x|x∈

M且x ∉N}，M △ N (＝ M－N) ∪ (N－M)，M＝{y|y＝x2，x∈

R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M△ N＝____________.

反思： 1 、一个人的学习能力如何区分，学习数学能力强考高分能力弱考低分，那如何用试题来测试，既是这道题，那就是学习新知识的能力，接受新知识快的同学就可以考出来，接受新知识慢或接受起来困难的同学就考不出来，这也是测试到大学里继续学习数学的能力是否具备。2 、如前面一题，需要读懂集合语言，知道这个集合表示什么数学对象。

【解析】因为 M＝[0，＋∞ )，N＝[－3,3]．

由M－N＝{x|x∈ M且 x∉N}，

所以 M－N＝(3，＋∞ )，N－M＝[－3,0)，

所以 M△ N＝(M－N)∪ (N－M)＝[－3,0)∪

(3，＋∞ )．